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14 Teorema de Pitágoras 1 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son  perpendiculares Hipotenusa Catetos C B A a c b
14 Teorema de Pitágoras 2 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos: propiedades Dos propiedades de interés: Primera En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º Segunda La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. M BM = MC Los triángulos ABM  y  AMC son iguales C B A a c b A B C son  complementarios
14 Teorema de Pitágoras 3 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: idea intuitiva En un triángulo rectángulo: Área = a 2 Área = c 2 Área = b 2 el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los  cuadrados construidos sobre los catetos c 2  = a 2  + b 2   a c b
14 Teorema de Pitágoras 4 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: comprobación Por tanto: 3 2  + 4 2  = 5 2   Consideramos un triángulo rectángulo de catetos  3  y  4  cm El área del cuadrado construido sobre el primer cateto vale 9 Hay  3·3 = 9 cuadraditos El área del cuadrado construido sobre el segundo cateto vale 16 Hay  4·4 = 16 cuadraditos Hallemos el área del cuadrado construido  sobre la  hipotenusa. Observa : 1. El área del triángulo es 6 2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área  6. Además contiene un cuadradito de área 1.  3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5 3 4
14 Teorema de Pitágoras 5 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: segunda comprobación Consideramos un cuadrado de  7 cm  de lado. Su área será  49 cm 2 Cuatro triángulos  rectángulos de  catetos  3  y  4  cm. Cuyas áreas valen  6 cm 2  cada uno. 4 3 7 Observa que en ese cuadrado caben: Además cabe un  cuadrado de lado c, cuya superficie es c 2 .  Se tiene pues: 49 = 4·6 + c 2 c 2  = 49 - 24 = 25 c 2  = 25 = 5 2 c 2 25 cm 2 25 = 9 + 16 Por tanto,  5 2  = 3 2  + 4 2 6 cm 2 c
14 Teorema de Pitágoras 6 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio primero En un triángulo rectángulo los catetos miden  5  y  12 cm, calcula la hipotenusa. 5 12 c? Como  c 2  = a 2  + b 2   se tiene: c 2  = 5 2  + 12 2   = 25 + 144 = 169 c = 13 cm Haciendo la  raíz cuadrada
14 Teorema de Pitágoras 7 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo En un triángulo rectángulo un cateto mide  6  cm  y  la hipotenusa  10 cm. Calcula el valor del otro cateto. 6 a? 10 Como  c 2  = a 2  + b 2   se tiene: a 2  = 10 2  - 6 2   = 100 - 36 = 64 a = 8 cm a 2  = c 2   -  b 2   Luego: Haciendo la raíz cuadrada:
14 Teorema de Pitágoras 8 Matemáticas 1º ESO Los triángulos “sagrados” Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios. Las medidas de sus lados son:  3,  4  y  5   o  5,  12  y  13 (También las proporcionales a estas) 5 4 3 13 5 12 Todos ellos son  rectángulos,  pues cumplen la relación: a 2  + b 2  = c 2 3 2  + 4 2  = 5 2 6 2  + 8 2  = 10 2 9 2  + 12 2  = 15 2 5 2  +12 2  = 13 2 10 6 8 15 9 12
14 Teorema de Pitágoras 9 Matemáticas 1º ESO Reconociendo triángulos rectángulos Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo.  Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que: a 2  + b 2  =   c 2   Pero  60 2  + 80 2   = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida 80 cm ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? a b c Mientras que  102 2  = 10404 Son distintos 60 cm 102 cm
14 Teorema de Pitágoras 10 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la diagonal de un cuadrado Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden  7 cm cada uno.  Luego,  d 2  = 49 + 49  = 98 ¿Cuánto mide su diagonal? 7 7 d Cumplirá que:  d 2  = 7 2  + 7 2
14 Teorema de Pitágoras 11 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la diagonal de un rectángulo Tenemos un rectángulo cuyos lados miden  6  y  8  cm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden  6  y  8 cm, respectivamente.  Luego,  d 2  = 36 + 64  = 100 ¿Cuánto mide su diagonal? 6 8 d Cumplirá que:  d 2  = 6 2  + 8 2   d = 10
14 Teorema de Pitágoras 12 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales  8  cm, y el otro 6 cm. La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm.  Luego,  64 = 9 + h 2 ¿Cuánto mide su altura? 6 8 Cumplirá que:  8 2  = 3 2  + h 2   Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y  la divide en dos partes iguales  h 3 3 h 2  = 55 8
14 Teorema de Pitágoras 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular Tenemos un hexágono regular de lado  6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? a 2  = 36 - 9 = 27 Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3.   Recuerda: Cumplirá que:  6 2  = a 2  + 3 2   1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado.  2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado.  3 3 6
14 Teorema de Pitágoras 14 Matemáticas 1º ESO Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia En una circunferencia de radio  5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado? Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos  5  y  5 cm Observa: Entonces:  c 2  = 5 2  + 5 2   = 50  1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm.  2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno.  90º 5 5 c
14 Teorema de Pitágoras 15 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito a 2  = 64 -16 = 48 Recuerda: Por tanto:  8 2  = a 2  + 4 2   2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado.  1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia.  En una circunferencia de radio  8 cm se inscribe un hexágono regular.  ¿Cuánto mide su apotema? r l  = 8 Equilátero Luego, la apotema es un  cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.
14 Teorema de Pitágoras 16 Matemáticas 1º ESO Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito a 2  = 64 -16 = 48 Observa: Luego:  8 2  = a 2  + 4 2   2. Los lados perpendiculares de ambos  triángulos se cortan en el punto medio..  1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia.  En una circunferencia de radio  8 cm se inscribe un triángulo regular.  ¿Cuánto mide su lado? 3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm.  El cateto  a  desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito:  l  = 2 a . l  = 2 a .
14 Teorema de Pitágoras 17 Matemáticas 1º ESO La escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada. Para ello se siguen los pasos que indicamos: 1º. Marcamos un punto A  sobre la recta dada.   2º. Con centro en A trazamos  un arco de  circunferencia. 3º. A 3 unidades de A, desde B, se traza otro arco de radio 5. Así se obtiene C 4º. Observamos que: AB  = 3,  AC  = 4 y  BC  =  5. Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el vértice A..   4 3 2  + 4 2  = 5 2 La recta pedida es  AC 4

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Ppt 1 teorema de pitágoras

  • 1. 14 Teorema de Pitágoras 1 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto. C B A a c b Ángulo recto Los catetos son perpendiculares Hipotenusa Catetos C B A a c b
  • 2. 14 Teorema de Pitágoras 2 Matemáticas 1º ESO Triángulos rectángulos: propiedades Dos propiedades de interés: Primera En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º Segunda La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. M BM = MC Los triángulos ABM y AMC son iguales C B A a c b A B C son complementarios
  • 3. 14 Teorema de Pitágoras 3 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: idea intuitiva En un triángulo rectángulo: Área = a 2 Área = c 2 Área = b 2 el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos c 2 = a 2 + b 2 a c b
  • 4. 14 Teorema de Pitágoras 4 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: comprobación Por tanto: 3 2 + 4 2 = 5 2 Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm El área del cuadrado construido sobre el primer cateto vale 9 Hay 3·3 = 9 cuadraditos El área del cuadrado construido sobre el segundo cateto vale 16 Hay 4·4 = 16 cuadraditos Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Observa : 1. El área del triángulo es 6 2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1. 3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5 3 4
  • 5. 14 Teorema de Pitágoras 5 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: segunda comprobación Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm 2 Cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 cm. Cuyas áreas valen 6 cm 2 cada uno. 4 3 7 Observa que en ese cuadrado caben: Además cabe un cuadrado de lado c, cuya superficie es c 2 . Se tiene pues: 49 = 4·6 + c 2 c 2 = 49 - 24 = 25 c 2 = 25 = 5 2 c 2 25 cm 2 25 = 9 + 16 Por tanto, 5 2 = 3 2 + 4 2 6 cm 2 c
  • 6. 14 Teorema de Pitágoras 6 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio primero En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa. 5 12 c? Como c 2 = a 2 + b 2 se tiene: c 2 = 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm Haciendo la raíz cuadrada
  • 7. 14 Teorema de Pitágoras 7 Matemáticas 1º ESO Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto. 6 a? 10 Como c 2 = a 2 + b 2 se tiene: a 2 = 10 2 - 6 2 = 100 - 36 = 64 a = 8 cm a 2 = c 2 - b 2 Luego: Haciendo la raíz cuadrada:
  • 8. 14 Teorema de Pitágoras 8 Matemáticas 1º ESO Los triángulos “sagrados” Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios. Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13 (También las proporcionales a estas) 5 4 3 13 5 12 Todos ellos son rectángulos, pues cumplen la relación: a 2 + b 2 = c 2 3 2 + 4 2 = 5 2 6 2 + 8 2 = 10 2 9 2 + 12 2 = 15 2 5 2 +12 2 = 13 2 10 6 8 15 9 12
  • 9. 14 Teorema de Pitágoras 9 Matemáticas 1º ESO Reconociendo triángulos rectángulos Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo. Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que: a 2 + b 2 = c 2 Pero 60 2 + 80 2 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida 80 cm ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? a b c Mientras que 102 2 = 10404 Son distintos 60 cm 102 cm
  • 10. 14 Teorema de Pitágoras 10 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la diagonal de un cuadrado Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno. Luego, d 2 = 49 + 49 = 98 ¿Cuánto mide su diagonal? 7 7 d Cumplirá que: d 2 = 7 2 + 7 2
  • 11. 14 Teorema de Pitágoras 11 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la diagonal de un rectángulo Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente. Luego, d 2 = 36 + 64 = 100 ¿Cuánto mide su diagonal? 6 8 d Cumplirá que: d 2 = 6 2 + 8 2 d = 10
  • 12. 14 Teorema de Pitágoras 12 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm. La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3 cm. Luego, 64 = 9 + h 2 ¿Cuánto mide su altura? 6 8 Cumplirá que: 8 2 = 3 2 + h 2 Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y la divide en dos partes iguales h 3 3 h 2 = 55 8
  • 13. 14 Teorema de Pitágoras 13 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? a 2 = 36 - 9 = 27 Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3. Recuerda: Cumplirá que: 6 2 = a 2 + 3 2 1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado. 2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado. 3 3 6
  • 14. 14 Teorema de Pitágoras 14 Matemáticas 1º ESO Cálculo del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia En una circunferencia de radio 5 cm se inscribe un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado? Luego, el lado del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 5 cm Observa: Entonces: c 2 = 5 2 + 5 2 = 50 1. La distancia del centro del cuadrado a cada uno de sus vértices es igual al radio: 5 cm. 2. Se forman cuatro ángulos de 90º grados cada uno. 90º 5 5 c
  • 15. 14 Teorema de Pitágoras 15 Matemáticas 1º ESO Cálculo de la apotema de un hexágono regular inscrito a 2 = 64 -16 = 48 Recuerda: Por tanto: 8 2 = a 2 + 4 2 2. La apotema es la medida desde el centro del círculo a la mitad de un lado. 1. En un hexágono regular el lado es igual al radio de la circunferencia. En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un hexágono regular. ¿Cuánto mide su apotema? r l = 8 Equilátero Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y otro cateto de 4 cm.
  • 16. 14 Teorema de Pitágoras 16 Matemáticas 1º ESO Cálculo del lado de un triángulo regular inscrito a 2 = 64 -16 = 48 Observa: Luego: 8 2 = a 2 + 4 2 2. Los lados perpendiculares de ambos triángulos se cortan en el punto medio.. 1. A partir de uno de los vértices del triángulo se construye otro triángulo equilátero, con un segundo vértice en el centro de la circunferencia. En una circunferencia de radio 8 cm se inscribe un triángulo regular. ¿Cuánto mide su lado? 3. Se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y un cateto de 4 cm. El cateto a desconocido es la mitad del lado del triángulo inscrito: l = 2 a . l = 2 a .
  • 17. 14 Teorema de Pitágoras 17 Matemáticas 1º ESO La escuadra pitagórica. Rectas perpendiculares El teorema de Pitágoras permite trazar una recta perpendicular a otra dada. Para ello se siguen los pasos que indicamos: 1º. Marcamos un punto A sobre la recta dada. 2º. Con centro en A trazamos un arco de circunferencia. 3º. A 3 unidades de A, desde B, se traza otro arco de radio 5. Así se obtiene C 4º. Observamos que: AB = 3, AC = 4 y BC = 5. Luego, ABC es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el vértice A.. 4 3 2 + 4 2 = 5 2 La recta pedida es AC 4