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Probabilidades
1. Probabilidades El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1)   El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada. 2)   Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidades  de  ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje. 1.1 Definición
Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”.  De aquí se deduce que un hecho o evento que  NO  puede ocurrir tendrá probabilidad  cero  y uno cuya probabilidad es segura tendrá probabilidad  uno . Luego, si  A  representa un evento o suceso, se cumple que: 0    P(A)    1
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo:  1  moneda 2  monedas 3  monedas n  monedas 2  posibilidades 2 ·2 = 4  posibilidades 2 ·2·2 = 8  posibilidades 2 ·2·2·2···2= 2 n  posibilidades Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen m·n elementos. 1.2 Espacio muestral (E)
Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio.  Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? El espacio muestral (E) corresponde a: CC – CS – SC – SS  (2 • 2 = 4 elementos) Solución: El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces: CC (1 elemento) 1.3 Evento o Suceso
2. Probabilidad clásica  Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución: El espacio muestral E, está dado por: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,  6 casos posibles. Sea A, el evento o suceso: A: que salga un número primo, entonces se tiene que:  A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables. Casos posibles Casos favorables P(A) =
P(A) = Entonces: Casos favorables (números primos):  3   (2, 3, y 5)   Casos posibles:  6   (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Por lo tanto: Ejemplo2: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Casos posibles:  4   Casos favorables (2 caras):  1   Entonces: P(2 caras) = = 3 6 1 2 1 4
La probabilidad de que un suceso  NO  ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de: 3. Propiedades 3.1  Tipos de sucesos Probabilidad de un suceso contrario (A):   P(A) = 1 - P(A)  A E A
Ejemplo: Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva)   Si La probabilidad de que llueva es  , ¿cuál es la probabilidad de que  NO  llueva? 2 5 P(no llueva)   =  1 -  2 5 3 5 P(no llueva)   =
Si se tiene certeza absoluta de que un evento  A  ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles:  6   (1,2,3,4,5,6)  Casos favorables:  6   (1,2,3,4,5,6)   Probabilidad de un suceso seguro:   6 6 P(natural)   = = 1
Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). P(A) = 0 Casos posibles:  6   (1,2,3,4,5,6)  Casos favorables:  0 P(mayor que 6)   = = 0 Probabilidad de un suceso imposible:   Si se tiene certeza absoluta de que un evento  A   NO  ocurrirá: 0 6
4. Probabilidad total Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B, siendo éstos  mutuamente excluyentes : P(A   B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara o sello? Solución: = 1 y P(cara) ó P(sello) =  P(cara)  P(sello)  U P(cara) =  1 2 1 P(sello) =  2 =  P(cara)  P(sello)  + 1 2 =  + 1 2
De no ser  mutuamente excluyentes : Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par? Solución: Casos posibles  6   (1,2,3,4,5,6)   Casos favorables (menor que 5):  4  (1,2,3,4) Casos favorables (número par):  3  (2,4,6)   P(A   B) = P(A) + P(B) – P(A  B) U 4 6 P (menor que 5) =  3 6 P (número par) =
Como  2  y  4  son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces.  Por lo tanto: La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al lanzar un dado se expresa como: = P(< 5)  +  P(par)  –  P(<5 y par) P (< 5)  ó  P(par) = P(<5)  P(par)  –  P(<5  par)  U U =  +   -   4 6 3 6 2 6 5 6 =
En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente,  A  y   B . 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso  A  y el suceso  B , siendo éstos dependientes o independientes. Caso 1:   Cuando  A  y  B  son eventos independientes, se cumple que: U A B P(  ) = P(A)  · P(B) A  B U
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: Casos posibles:  6   (1,2,3,4,5,6)  Casos favorables:  3   (2,4,6)  Entonces: P(dos pares)  = P(par) y P(par)   = P(par)  ·  P(par) = 3 6 · 3 6 =  1 4
Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.  Solución: B : Sacar 4 A : Número par = { 2,4,6 } Ejemplo1: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par? Caso 2:   Cuando  A  y  B  son eventos dependientes corresponde a la  Probabilidad Condicionada . U P(A  B) P(A) P (B/A) =  P (B/A) =  1 3
Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución: Casos posibles:  30   Casos favorables:  12   Entonces: P(dos blancas)  = P(blanca) y P(blanca)   = P(blanca)  ·  P(blanca) Casos posibles:  29   Casos favorables:  11   Primera extracción   Segunda extracción  (Sin reposición) 30 29 = 12 · 11

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  • 2. 1. Probabilidades El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada. 2) Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje. 1.1 Definición
  • 3. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”. De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede ocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad es segura tendrá probabilidad uno . Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0  P(A)  1
  • 4. Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo: 1 moneda 2 monedas 3 monedas n monedas 2 posibilidades 2 ·2 = 4 posibilidades 2 ·2·2 = 8 posibilidades 2 ·2·2·2···2= 2 n posibilidades Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen m·n elementos. 1.2 Espacio muestral (E)
  • 5. Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? El espacio muestral (E) corresponde a: CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos) Solución: El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces: CC (1 elemento) 1.3 Evento o Suceso
  • 6. 2. Probabilidad clásica Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución: El espacio muestral E, está dado por: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir, 6 casos posibles. Sea A, el evento o suceso: A: que salga un número primo, entonces se tiene que: A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables. Casos posibles Casos favorables P(A) =
  • 7. P(A) = Entonces: Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5) Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Por lo tanto: Ejemplo2: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Casos posibles: 4 Casos favorables (2 caras): 1 Entonces: P(2 caras) = = 3 6 1 2 1 4
  • 8. La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de: 3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesos Probabilidad de un suceso contrario (A): P(A) = 1 - P(A) A E A
  • 9. Ejemplo: Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva) Si La probabilidad de que llueva es , ¿cuál es la probabilidad de que NO llueva? 2 5 P(no llueva) = 1 - 2 5 3 5 P(no llueva) =
  • 10. Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6) Probabilidad de un suceso seguro: 6 6 P(natural) = = 1
  • 11. Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). P(A) = 0 Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0 P(mayor que 6) = = 0 Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: 0 6
  • 12. 4. Probabilidad total Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B, siendo éstos mutuamente excluyentes : P(A  B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara o sello? Solución: = 1 y P(cara) ó P(sello) = P(cara) P(sello) U P(cara) = 1 2 1 P(sello) = 2 = P(cara) P(sello) + 1 2 = + 1 2
  • 13. De no ser mutuamente excluyentes : Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par? Solución: Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4) Casos favorables (número par): 3 (2,4,6)   P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A B) U 4 6 P (menor que 5) = 3 6 P (número par) =
  • 14. Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces. Por lo tanto: La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al lanzar un dado se expresa como: = P(< 5) + P(par) – P(<5 y par) P (< 5) ó P(par) = P(<5) P(par) – P(<5 par) U U = + - 4 6 3 6 2 6 5 6 =
  • 15. En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B . 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B , siendo éstos dependientes o independientes. Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que: U A B P( ) = P(A) · P(B) A B U
  • 16. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6) Entonces: P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) · P(par) = 3 6 · 3 6 = 1 4
  • 17. Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. Solución: B : Sacar 4 A : Número par = { 2,4,6 } Ejemplo1: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par? Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde a la Probabilidad Condicionada . U P(A B) P(A) P (B/A) = P (B/A) = 1 3
  • 18. Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución: Casos posibles: 30 Casos favorables: 12 Entonces: P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca) Casos posibles: 29 Casos favorables: 11 Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición) 30 29 = 12 · 11