Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de circunferencias sin conocer el radio
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p:p: pasa por puntopasa por punto
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Dibujo técnico. Trazado de tangencias
1. Trazado de tangencias sin conocer el radio
Propiedades de las tangencias
TO1 O2
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RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias
Trazado de tangencias sin conocer el radio
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  1. 1. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de circunferencias sin conocer el radio 2 p:p: pasa por puntopasa por punto r:r: tangente a rectatangente a recta c:c: tangente a circunferenciatangente a circunferencia
  2. 2. Dibujo técnico. Trazado de tangencias 1. Trazado de tangencias sin conocer el radio Propiedades de las tangencias TO1 O2 r O T O B A r s O A T2 1T Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O1O2 Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz del segmento Si una circunferencia es tangente a dos rectas, el centro está en la bisectriz 2
  3. 3. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencia que pasa por tres puntos (ppp) P M N O 1. Se halla la mediatriz del segmento MN 2. Se halla la mediatriz del segmento NP 3. El punto O de intersección de las dos mediatrices de MN y de NP es el centro de la circunferencia Dados los puntos M, N y P: 2
  4. 4. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr) 2. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r 1. Se traza la circunferencia de diámetro AB 3. Se trazan las tangentes desde D obteniendo F y G 1. Por B se traza la perpendicular a la recta 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 3. El punto O es el centro de la circunferencia solución 4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución Los puntos A y B son exteriores a r El punto B pertenece a r m r J E F H G C D B 1O A 2O r A O B 2
  5. 5. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr) m F E G D A L H B C J K s r 2O 1O Punto A exterior a las rectas r y s 1. Se traza m, bisectriz de r y s 2. Hallamos B, simétrico de A respecto de la bisectriz m 4. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r 3. Se traza la circunferencia de diámetro AB 5. Se trazan las tangentes desde D a la circunferencia obteniendo F y G 4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución 2
  6. 6. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr) t B C O2 s r A 1O Punto A sobre la recta s 1. Por A se traza la recta t perpendicular a la recta s 2. Se trazan las bisectrices interior y exterior del ángulo que forman las rectas r y s 3. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias solución 4. Los puntos de tangencia B y C se hallan trazando por O1 y O2 las perpendiculares a la recta r 2
  7. 7. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres rectas (rrr) 1. Se trazan las bisectrices interiores y exteriores de los ángulos que forman las tres rectas 2. Las bisectrices interiores se cortan en el punto O1 3. Las bisectrices exteriores se cortan en los puntos O2, O3 y O4 t r s C B A O2 O4 1 O 3 O 4. Los puntos de tangencia se hallan trazando desde O1, O2, O3 y O4 las perpendiculares a cada una de las tres rectas Sean las rectas r, s y t 2
  8. 8. RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc) r D J G E2O H C F B O A 1O m O A B 1O 1. Se traza la recta m que une O y B 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 3. El punto de intersección entre la recta m y la mediatriz, O1, es el centro de la circunferencia 2. Se halla la intersección de la recta AB con la recta DE obteniendo el punto F 1. Se traza la circunferencia de diámetro AB obteniendo D y E como intersección 3. Se trazan tangentes desde F a la circunferencia dato obteniendo H y J 4. Los puntos O1 y O2 están sobre r, mediatriz de AB, y alineados con HO y con JO respectivamente Los puntos A y B son exteriores Un punto esta situado en la circunferencia 2
  9. 9. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc) El punto A es exterior 1. Se traza por O una perpendicular a la recta dada obteniendo los puntos B, C y D 2. Se traza la circunferencia de centro E que pasa por A, B y D 3. La recta AC corta a esta circunferencia en el punto F 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por dos puntos, A y F, y son tangentes a una recta r (caso ya resuelto) E C G J H N B L F ID K M A O r 2
  10. 10. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc) El punto A está en la circunferencia 1. Se une O con A y se traza la tangente s 2. Se trazan las bisectrices del ángulo que forman r y s 3. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias El punto A está en la recta 1. Se traza la perpendicular a r por A 2. Sobre m se traslada el radio R 3. Se trazan las mediatrices de OB y OC 4. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias m s 1O 2O r O A R R m D B r OR A E C O2 O1 2 C DB
  11. 11. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) O' O'O' B C N H L F J P D K E M G O Q O'' O21O A El punto A es exterior 1. Se traza recta O1O2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección 2. Se trazan dos radios paralelos desde O1 y O2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O1O2 3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y D con la recta AH 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto) 2
  12. 12. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) J OQ M D N P C E G O' F B H 2OO1 A O'' El punto A es exterior 1. Se traza la recta O1O2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección 2. Se trazan radios paralelos en sentido contrario desde O1O2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O1O2 3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y E con la recta AH 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto) 2
  13. 13. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc) a b m O O' M C B D 2O A 1O 1. Se traza la recta m que une O’ y M 2. Sobre la recta m y desde M se traslada el radio de la otra circunferencia de centro O obteniendo los puntos A y B 3. Se trazan las mediatrices de OA y de OB 4. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias El punto M está sobre una circunferencia R 2
  14. 14. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres circunferencias: Problema de Apolonio (ccc) Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ 1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’-R y R’’-R La solución se reduce a trazar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones) La solución se reduce a hallar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones) 2. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’+R y R’’+R R'-R R''-R O' R R' O'' R'' O R''+R R'+R O' O'' R O R' R'' 2
  15. 15. Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radio Circunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc) Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ Hallamos dos de las soluciones 1. Se trazan con centro O’ y O’’ las circunferencias de radios R’ - R y R’’ - R 2. Trazamos radios paralelos O’C y O’’D, y hallamos E, intersección de CD y O’O’’ 3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A, B y O que corta a la recta OE en el punto F 6. Donde se cortan O’’J y O’’K con la mediatriz m de OF obtenemos los centros de la solución 4. Trazamos una circunferencia que pase por los puntos O y F y que corte a la de centro O’’ hallando los puntos B y G 5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde donde se hallan las tangencias en K y J m F N J I D A M G B E O' O O'' C H C' K L 2O O1 2

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