1. APOSTILA
DE
TRIGONOMETRIA
Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado
1

2. Introdução à Trigonometria
Para obter uma ideia do que realmente é trigonometria, falaremos sobre arco de
circunferência, ângulo central e comprimento de circunferência.
Os dois pontos em vermelho representam as
Extremidades do arco destacado em mesma cor.
Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois
de seus pontos.
B
P Q A
Nestas duas representações temos os arcos: . No caso do primeiro arco as
extremidades deste coincidem com a extremidade do diâmetro, assim chamada de
semicircunferência.
A
O B A P
O B Q
O arco e possuem o mesmo ângulo
gerador logo são proporcionais, variando em relação
ao raio.
Comprimento de circunferência é dado por , pois:
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3. Para o entendimento maior de ângulos, temos o ciclo trigonométrico definido no centro do
sistema cartesiano xy, e possui raio um. Este ciclo possui quatro quadrantes, cada um com 90°
graus ou radianos:
II I 90° ou rad II I 180° ou rad
III IV III IV
II I II I
270° ou rad 360° ou rad
III IV III IV
Seno e Cosseno
Cada ângulo possui um valor para seno e cosseno, mas afinal o que representa o valor do seno
e do cosseno?
Seno
Para entender o valor do seno usaremos o software winplot com arquivo: Ciclo trigonométrico
seno.
A função seno é representada no eixo y, onde é definido pela projeção do raio sobre este eixo:
Veja o raio em azul, produzindo uma projeção no eixo y, em verde. Esta projeção em verde é o
valor do seno do ângulo representado por este arco em vermelho.
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4. Exercícios:
1- Calcular através da visualização do software o valor do seno dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30° g) l) 120° r) w) 260°
b) 45° m) 135° x) 315°
h) s)
c) 50° n) 234° y) 350°
d) 60° i) o) 290° t) z) 270°
e) 5° j) p) u)
f) k) q) v)
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus senos
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
Cosseno
Para o entendimento de cosseno usaremos o mesmo software com arquivo: Ciclo
trigonométrico cosseno.
Porém o cosseno de um ângulo é representado no eixo x como a projeção do segmento que
define o ângulo:
Exercícios:
1- Calcular através da visualização do software o valor do cosseno dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30° h) n) 234° t) z) 270°
b) 45° o) 290°
i) u)
c) 50° p)
d) 60° j) v)
q)
e) 5° k) w) 260°
f) r) x) 315°
l) 120°
g) m) 135° s) y) 350°
4

5. 2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus cossenos
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
Com entendimento de seno e cosseno, abra no software o arquivo ciclo trigonométrico seno e
cosseno.
Simetria de Seno e Cosseno
Ao classificar valores de ângulos percebemos que existe certa simetria nos valores dos senos e
cossenos para alguns ângulos.
Existem ângulos que possuem o mesmo valor de seno ou de cosseno, este fenômeno é dado
pela simetria do ciclo trigonométrico:
5

6. Após utilizar o software para melhor visualização da simetria de senos e cossenos, pode-se
observar que podemos reduzir ângulos do segundo, terceiro e do quarto quadrante para o
primeiro.
Estudo do sinal dos senos e cossenos
+ seno + seno
- cosseno + cosseno
- seno - seno
- cosseno + cosseno
Exercícios:
1- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.
a) 100° i) 281° q) w)
b) 145° j) 299°
r) x)
c) 172° k) 307°
d) 196° l) 312° s) y)
e) 219° m) 329° t) z)
f) 247° n) 357°
u)
g) 251° o)
h) 273° v)
p)
2- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o
cosseno dos seguintes ângulos.
a) 130° e) 195° h) k)
b) 245° f) l) 120°
i)
c) 450° m) 135°
g) j)
d) 760° n) 234°
6

7. o) 290° r) u) y) 350°
p) z) 270°
s) v)
q) w) 260°
t)
x) 315°
3- Calcule o valor das expressões:
a) d)
e)
b)
f)
c)
Gráficos da função seno e cosseno
Analisando o ciclo trigonométrico podemos notar que para , temos que o ângulo é
dado por x que varia de 0 a , enquanto y varia de -1 a 1.
Logo,
Para a função cosseno notamos que a variação de x e de y é a mesma da função
seno.
Logo,
Para melhor visualização das duas funções veja a função ao lado do ciclo trigonométrico:
SENO:
7

8. COSSENO:
Analisando os gráficos podemos notar que a função seno é impar e a função cosseno é par:
e
e
Exercícios:
1- Construa o gráfico das funções, com :
a) l)
b)
m)
c)
n)
d)
e) o)
f) p)
g) q)
r)
h)
s)
i) t)
j) u)
k)
2- Dados os gráficos identifique a função:
a)
8

9. b)
c)
d)
Tangente
É definido como tangente o prolongamento da aresta (azul) – que define o comprimento do
arco em relação ao eixo x – até a reta , representando o valor da tangente pela cor
amarela:
Analisando o gráfico, temos seno do ângulo formado pelo arco em vermelho de , assim o
segmento vermelho sobre o eixo x é o cosseno deste ângulo, o segmento verde sobre o eixo y
é o seno do mesmo ângulo, enquanto o segmento amarelo sobre a reta x=1 é a tangente.
Por semelhança de triângulos, provamos que:
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10. 1° quadrante a tangente é positiva 2° quadrante a tangente é negativa
3° quadrante a tangente é positiva 4° quadrante a tangente é negativa
Assim como o seno e o cosseno, a tangente também possui simetria entre os quadrantes:
Com uma peculiaridade, pois as tangentes dos quadrantes pares são positivas e as dos
quadrantes impares são negativas.
Gráfico da função tangente:
O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.
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11. Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:
Exercícios:
1- Calcular através da visualização do software o valor da tangente dos seguintes
ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):
a) 30° h) n) 234° t) z) 270°
b) 45° o) 290°
i) u)
c) 50° p)
d) 60° j) v)
q)
e) 5° k) w) 260°
f) r) x) 315°
l) 120°
g) m) 135° s) y) 350°
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas tangentes
através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.
a) 100° i) 281° q) w)
b) 145° j) 299°
r) x)
c) 172° k) 307°
d) 196° l) 312° s) y)
e) 219° m) 329° t) z)
f) 247° n) 357°
u)
g) 251° o)
h) 273° v)
p)
5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o
cosseno dos seguintes ângulos.
a) 130° f) j) o) 290°
b) 245° p)
g) k)
c) 450°
l) 120° q)
d) 760° h)
e) 195° m) 135° r)
i)
n) 234°
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12. s) u) x) 315°
y) 350°
t) v)
z) 270°
w) 260°
6- Calcule o valor das expressões:
a) e)
f)
b)
g)
c) h)
d)
7- Construa o gráfico das funções, com :
a) f)
b) g)
c)
h)
d)
e)
Cotangente
Nota-se que a cotangente é o inverso da tangente graficamente. Veja que a tangente tem sua
reta de valor paralela ao eixo y enquanto a cotangente é medida por uma reta paralela ao eixo
x, .
Assim, podemos notar que:
Veja os sinais da cotangente em cada quadrante, note que são os mesmos sinais da tangente:
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13. 1° quadrante a cotangente é positiva 2° quadrante a cotangente é negativa
3° quadrante a cotangente é positiva 4° quadrante a cotangente é negativa
Gráfico da função cotangente:
O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.
Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:
Secante e cossecante
Traçando uma reta tangente a circunferência no ponto onde intercepta a reta azul que define
o ângulo de forma ortogonal. Esta reta tangente gera o valor da secante e da cossecante, nos
eixos x e y respectivamente.
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14. SECANTE COSSECANTE
Os sinais da secante e cossecante são o mesmo do cosseno e seno respectivamente, pois são
funções inversas:
Função secante e cossecante:
Função secante função cossecante
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15. Exercícios:
1- Calcular através da visualização do software o valor da secante, cossecante e
cotangente dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em
radianos):
a) 30° h) n) 234° t) z) 270°
b) 45° o) 290°
i) u)
c) 50° p)
d) 60° j) v)
q)
e) 5° k) w) 260°
f) r) x) 315°
l) 120°
g) m) 135° s) y) 350°
2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas secantes,
cossecantes e cotangentes através de sua calculadora científica:
3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.
4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida calcule a secante e
cossecante.
a) 100° i) 281° q) w)
b) 145° j) 299°
r) x)
c) 172° k) 307°
d) 196° l) 312° s) y)
e) 219° m) 329° t) z)
f) 247° n) 357°
u)
g) 251° o)
h) 273° v)
p)
5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule a secante,
a cossecante e cotangente dos seguintes ângulos.
a) 130° h) o) 290° u)
b) 245° p)
i) v)
c) 450°
q) w) 260°
d) 760° j)
e) 195° r) x) 315°
k)
y) 350°
f) l) 120° s)
z) 270°
g) m) 135° t)
n) 234°
6- Calcule o valor das expressões, quando existirem valores reais:
a) e)
f)
b)
g)
c) h)
d)
15

16. a) e)
f)
b)
g)
c) h)
d)
7- Construa o gráfico das funções, com :
a) n)
b) o)
c)
p)
d)
e) q)
f) r)
s)
g)
t)
h) u)
i) v)
j) w)
k)
x)
l)
m)
Relação trigonométrica
fundamental
Através do teorema de Pitágoras
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17. Exercícios:
1- Dado , com , calcular
2- Dado , com , calcule
3- Dada , com , calcular .
4- Dada , com , calcular .
5- Para que valores de temos, simultaneamente, e .
6- Simplifique a expressão:
a)
b)
c)
Baseando na relação trigonométrica fundamental:
Temos:
Exercícios:
1- Sabendo-se que , calcule o valor da expressão .
2- Sabendo-se que e , calcule .
3- Sendo ,com , calcule .
4- Sabendo que e , calcule o valor da expressão .
5- Sabendo que e , calcular o valor de .
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18. 6- Sabendo que e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão
.
Propriedades de arcos
complementares
Arcos complementares, são aqueles que quando somados (unidos) produzem um arco
com ângulo de 90 graus.
Assim os ângulos de medida e são complementares.
Winplot: ciclo trigonométrico arcos complementares
Exercícios:
1- Simplifique a expressão .
2- Demonstre que .
3- Simplifique a expressão .
4- Simplifique a expressão .
5- Simplifique a expressão .
6- Resolva a equação .
7- Resolva a equação , para .
8- Resolva a equação .
9- Resolva a equação .
10- Determine o conjunto solução da equação .
Adição ou subtração de Arcos
Sejam e dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma pertence ao primeiro
quadrante, ou seja:
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19. No caso de senos e cossenos:
Para subtração de arcos o sistema é o mesmo:
No caso da tangente temos:
Exercícios:
1- Calcule os senos, cossenos e tangentes dos seguintes arcos:
a) 105°
b) 135°
c) 15°
d) 75°
e)
f)
g)
2- Determine o conjunto solução da equação .
3- Quais são os arcos, de 0° a 180°, que satisfazem a equação .
4- Resolva o sistema: , com .
5- Faça as demonstrações:
a)
b)
6- Sabendo que e , calcule .
7- Utilizando todas as formulas já conhecidas, e sabendo que e .
Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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20. Multiplicação e divisão de arcos
No caso da multiplicação é apenas uma aplicação das fórmulas da adição de dois
arcos. Nelas faremos , obtendo as fórmulas para o arco .
Assim,
No caso da divisão, obteremos as formulas por outro processo, que nos permitem calcular
, e .
Sabendo que
Logo,
Tendo,
De maneira análoga temos:
Enquanto a tangente:
Exercícios:
1- Conhecendo-se , , calcule:
a) f) j)
b) g)
c) k)
d) h)
l)
e) i) m)
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21. 2- Demonstre que .
3- Dados e , com e no 1º quadrante, calcule .
4- Resolva a equação .
5- Se , calcule .
6- Dado , calcule:
a) f) j)
b) g)
c) k)
d) h)
l)
e) i) m)
7- Calcule , de 2 maneiras diferentes, no mínimo.
8- Resolva a equação .
9- Sendo no com no terceiro
quadrante. Calcule .
10- Demonstre as identidades:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
11- Prove que:
a)
b)
c)
Transformação de soma em
produto
Através de soma e subtração de arcos, podemos encontrar :
21

22. Exercícios:
1- Fatorar, ou transformar em produto, a expressão .
2- Fatorar
3- Transformar em produto a expressão
4- Resolver a equação
5- Fatore a expressão
6- Simplifique a expressão
7- Resolva a equação
8- Simplifique a expressão .
9- Calcule o valor da expressão .
10- Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
22