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INTEGRACION POR PARTES MATEMATICA II ANIVAL TORRE 1
INTEGRACION POR PARTES ANIVAL TORRE 	Sean u y v funciones derivables de x, en estas condiciones: d(uv) = udv +  vdu udv=  d(uv)  - vdu Aplicando integrales:  udv  = uv -  vdu 2
1. I= lnxdx ANIVAL TORRE 	  	  u= lnx               dv=dx 		du= 1/x dx            v= dx =x   	I= 	x lnx  -  x (1/x) dx  	I= 	x lnx  -  1 dx    	I= 	x lnx  - x  +c 3
2.  x2lnxdx ANIVAL TORRE 		   u=lnx    dv= x2dx 		 du=dx/x,    v=x3/ 3 I= (x3/3)lnx-(x3/3)(dx/x)  I=(x3/ 3)lnx  - x3/ 9   + c 4
3.-    xexdx ANIVAL TORRE 		u=x     du=dx 		dv= exdx       v=  exdx= ex I=x ex  -  exdx 	I= x ex  -ex  + c 5
4.  (X2+3)3x2dx 			u=X2+3           dv=3x2dx 			Du= 2x dx         v=  3x2dx = x3  I= (X2+3)3x2dx  =  (X2+3 )x3  -  x3 2x dx  	I=   (x5 +3 x3 )  -  2x4  dx 	I= (x5 +3 x3 )  - 2/5  x5    +c ANIVAL TORRE 6
EJERCICIO 1 Solución  Reemplazando  Reemplazando  ANIVAL TORRE 7
EJERCICIO 2 Solución  Reemplazando  ANIVAL TORRE 8
EJERCICIO 3 Solución ANIVAL TORRE 9
EJERCICIO 4 ANIVAL TORRE 10
Reemplazando en “I1” Resolviendo I1 Resolviendo I2 Reemplazando en I: ANIVAL TORRE 11
EJERCICIO 5 Solución Sea:  Sea:  ANIVAL TORRE 12
Reemplazando en “I”:  ANIVAL TORRE 13
EJERCICIO 6 Solución Integrando por partes:  ANIVAL TORRE 14
EJERCICIO 7 Solución  Integrando por partes  Integrando por partes:  Integrando por partes:  ANIVAL TORRE 15
Reemplazando en I1:  Reemplazando en “I”  ANIVAL TORRE 16
EJERCICIO 8 Solución ANIVAL TORRE 17
Reemplazando en I1:  Reemplazando en I:  ANIVAL TORRE 18
EJERCICIO 9 Hallando I1:  Solución Sea:  Reemplazando  Integrando en I:  Integrando por partes: ANIVAL TORRE 19
Hallando en I2:  Reemplazando en I2  Reemplazando en I:  Hallando I3:  ANIVAL TORRE 20
EJERCICIO 10 Hallando I1:  Solución Sea:  Reemplazando:  Reemplazando:  Integrando por partes: Integrando por partes I:  ANIVAL TORRE 21
Hallando I2  Reemplazando en I:  ANIVAL TORRE 22
EJERCICIO 11 Solución Sea  ANIVAL TORRE 23
EJERCICIO 12 Solución Sea:  ANIVAL TORRE 24
EJERCICIO 13 Resolviendo I1 Solución Sea: Sea: Reemplazando en “I” ANIVAL TORRE 25
EJERCICIO 14 Solución  Integrando por partes  Reemplazando  Hallando I1:  ANIVAL TORRE 26
EJERCICIO 15 Reemplazando: Solución: Haciendo Utilizando: ANIVAL TORRE 27
EJERCICIO 16 Solución Integrando por partes  ANIVAL TORRE 28
EJERCICIO 17 De la figura  Solución  Reemplazando en I:  ANIVAL TORRE 29
EJERCICIO 18 Haciendo:  Reemplazando en I  Solución Haciendo: Hallando I2  I2  I1  Hallando I1:  ANIVAL TORRE 30
EJERCICIO 19 Solución  Reemplazando:  Haciendo  ANIVAL TORRE 31
EJERCICIO 20 Reemplazando en I:  Solución Utilizando la transformación ANIVAL TORRE 32
EJERCICIO 21 Solución  Haciendo:  Haciendo  ANIVAL TORRE 33
EJERCICIO 22 Solución  Haciendo  Reemplazando  ANIVAL TORRE 34
EJERCICIO 23 Solución  Integrando por partes  Dividiendo entre  ANIVAL TORRE 35
EJERCICIO 24 Solución  Utilizando la propiedad  Utilizando la propiedad  ANIVAL TORRE 36
EJERCICIO 25 Solución Integrando por partes:  ANIVAL TORRE 37
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EJERCICIO 27 Hallando I1:  Solución Utilizando: Reemplazando:  Reemplazando en I:  ANIVAL TORRE 39
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EJERCICIO 41 Reemplazando  Solución Haciendo:  ANIVAL TORRE 54
EJERCICIO 42 Integrando por fracciones  parciales:  Reemplazando en I  Solución Haciendo:  Se tiene:  Resolviendo las  ecuaciones  ANIVAL TORRE 55
EJERCICIO 43 Integrando por fracciones parciales  Solución Haciendo:  Reemplazando  Reemplazando  Igualando se tiene  Resolviendo las ecuaciones:  ANIVAL TORRE 56
EJERCICIO 44 Sea:  Solución Haciendo:  Reemplazando  Integrando por partes  Hallando I  ANIVAL TORRE 57
EJERCICIO 45 Solución  Reemplazando  Haciendo:  ANIVAL TORRE 58
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ANIVAL TORRE 1.     x /exdx,		u=x   dv=1 /exdx  2.    2x3ex² dx, 		u=2x2     dv=ex²x dx  3.  (lnx / √x )dx,		u= lnx,     dv=1 / √x dx  4.  (lnx / x3 )dx  5.  ln2x dx                             6.     x 2-xdx 60 EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS 7.  x             dx    8.   x3  e2x dx 9.    x2                dx 10.   x2  e-3x dx 11.  (x5+6)2xdx 12.  (x2+3) (x3+ 6) 13.  (x3-2x) (x2+ 3) ANIVAL TORRE 61
INTEGRAR COMPLETANDO CUADRADOS ANIVAL TORRE En adelante estudiaremos integrales un tanto mas complejas. Muchas de estas integrales se llevan  a los casos vistos previa alguna transformación algebraica adecuada. Un caso, es completar cuadrados 			f(x)= ax2 +bx + c Pasos: Dividir f(x) entre el valor de a  Sumarle y restarle la mitad del coeficiente de x  y elevarlo al cuadrado 62
 F(x)=(x+ r) 2  + b ANIVAL TORRE I=   [(x+ r) 2  + b] dx I=  (x+ r) 2 dx  +  b dx      I= (x+ r)2+1    +c1    + bx  + c2                 3 I= (x+ r)3    + bx  +c                 3 Donde:     c=c1 + c2 63
APLICACIONES ANIVAL TORRE De   x2+6x+10 = (x2+6x+9) + 10-9 = (x+3) 2 + 1 note que sumamos y restamos 9 = ( 6/2 ) 2 , el cual es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. I= [(x+3) 2 + 1]  dx  I= (x+3) 2 dx  +   1 dx  I= (x+3) 3 /3 +c1  + 1x + c2 I= (x+3) 3 /3 +1x +c   Donde c=  c1    + c2 64
EJERCICIOS APLICATIVOS  N°11.2 ANIVAL TORRE 2)  (x2 +6x + 8) dx 3)  (x2 +12x +32) dx 4)  (x2 +4x -12) dx 5)  (x2 - 6x -40) dx 6)  (2x2 + 3x +1) dx 7)  (3x2 +9x + 6) dx 8)  (2x2 +10x + 24) dx 9)  (2x2 +8x -24) dx 10)  (2x2 -2x -24) dx 65

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