Unidad 5. Probabilidad
5.1. Conceptos
5.2. Propiedades elementales de la probabilidad
5.3. Calculo de la propiedad de un evento
5.4. Curva normal

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado
determinado cuando se realiza un experimento.
Es una herramienta matemática que ayuda a cuantificar la incertidumbre.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro
de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por
lo tanto,a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar.
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de
antemano cual de ellos va a salir.
Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aquí no
podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.

Espacio muestral.
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
1.Al lanzar una moneda
A. Águila
S. Sol
2.Al lanzar un dado al aire
¿ Qué cara quedará arriba cuando caiga al suelo?
3. Lanzar dos monedas de manera consecutiva

Evento Simple.
Es un subconjuntodel espacio muestral. Además no depende de otro
sucesoy se identifica con la letra mayúscula
A B X
Ejemplo: Lanzar un dado
A= Caiga par
X= Sea mayor que 4
A
X
M = Caiga primero «águila» M= {(A,A), (A,S)}
A= Caiga el mismo lado A= {(A,A), (S,S)}
Lanzar dos monedas

Evento compuesto.
Se forma con 2 o más eventos simples
A sabiendoque sucede B (A B)
A ó B (A B)
A y B (A B)

Ejemplo 1: una mujer portadora de hemofiliatiene 3 hijos¿Cuál es el espacio muestral
apropiado para estudiar la posiblehemofilia de estos?
Opción a: Cada hijopuede padecer hemofilia (s) o no (n), por tanto
E1={sss,ssn,sns,nss, snn, nsn,nns, nnn}
Donde, por ejemplo,'sns' significa el primero y el tercero la padecen y el segundo no. Hay que
asegurarse que no se olvida ninguno.
En este espacio muestral,el suceso "dos hijospadecen hemofilia"se representa como
A={ssn,sns, nss}
y el suceso "los dos primeros no la padecen" como
B={nns, nnn}
Opción b: Pueden padecer hemofilia los tres hijos(3), dos (2),...
E2={3, 2, 1, 0}
En este espacio muestral,el suceso "dos hijospadecen hemofilia"esA={2} y el suceso "los dos
primeros no la padecen" no se puede representar porque en el espacio muestral no está
contemplado el orden.

5.2 Propiedades elementalesde la probabilidad
Tres son las propiedades:
1. Mutuamente excluyentes.
2. Exhaustividad
3. La probabilidadde la ocurrencia de es igual a la suma de sus probabilidadesindividuales
Ejemplo 2:
Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital
son hipertensos,un 10% son obesos y un 3% son
hipertensos y obesos.¿Qué probabilidad hay de que
elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso}
A B = {hipertenso y obeso}
A B = {obeso o hipertenso}
p(A) = 0,10;p(B) = 0,15; p(A Ç B) = 0,03
p(A B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
Ejemplo 2:
Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital
son hipertensos,un 10% son obesos y un 3% son
hipertensos y obesos.¿Qué probabilidad hay de que
elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso}
A B = {hipertenso y obeso}
A B = {obeso o hipertenso}
p(A) = 0,10;p(B) = 0,15; p(A Ç B) = 0,03
p(A B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
Ejemplo 2:
Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital
son hipertensos,un 10% son obesos y un 3% son
hipertensos y obesos.¿Qué probabilidad hay de que
elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso}
A B = {hipertenso y obeso}
A B = {obeso o hipertenso}
p(A) = 0,10;p(B) = 0,15; p(A B) = 0,03
p(A B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22

5.3. Calculo de la propiedad de un evento

SENSIBILIDAD es la certeza con la cual una prueba
identifica a personas con una enfermedad, es decir identifica
a losVERDADEROS POSITIVOS.
ESPECIFICIDAD es la certeza con la cual una prueba
identifica a personas sin la enfermedad, es decir aquellos
quienes son losVERDADEROS NEGATIVOS.

Ejemplo para ilustrar diferentesgrados de sensibilidady especificidadde las pruebas de diagnóstico.
Supongamos que tenemos un grupo de 10 personas de las cuales sólo 3 presentantrombosis venosa,a
todos ellos se les aplican diferentes pruebas diagnósticaspara conocer quienestienen la enfermedad:

Al aplicar la primera prueba se obtuvo que las tres personas portadoras de trombosis son positivasal
test y las siete no portadoras son negativas:
entonces tendremos
un test con una
sensibilidad y
especificidad
alta para el
diagnóstico de
trombosis venosa

En la segunda prueba se detecta a las 3 personas con trombosis venosay además a tres de las personas
saludablesse les asigna falsamente como portadoras de trombosis venosa,
entonces tendremos un
test de sensibilidad
alta pues detecta a
todos los verdaderos
positivos pero con una
especificidad
reducida ya que no es
capaz de discernir
adecuadamente los
verdaderos negativos.

En una tercera prueba se detecta a sólo uno de los tres casos de trombosis venosa tendría una
sensibilidad reducida pues sólo captó pocos verdaderos positivos y una especificidad alta ya
que detectó a todos los verdaderos negativos:

En la cuarta prueba empleada se identifica a sólo uno de los tres casos de trombosis y
también lo hace, de manera incorrecta, con tres de los sujetos sanos, la prueba tiene
sensibilidad reducida al captar sólo un verdadero positivo y también tiene
especificidad reducida al identificar pocos verdaderos negativos:

se cuantifica esto empleando una tabla 2x2 para ejemplificar los resultadosque podemos
obtener ante una prueba diagnóstica:
a: sujetos realmente enfermos cuya prueba fue positiva
b: sujetos sanos a los que la prueba detectó falsamente como positivos
c: sujetosenfermos a los que la prueba dio falsamente como negativos
d: sujetos sanos a los que la prueba detectó como negativos
Los casos expresados en los cuadrantes a y d serían los ideales con un test perfecto, no obstante en las pruebas
diagnósticas existe una posibilidad de fallo (falsos positivos o falsos negativos) expresados en los cuadrantes c y b.
De allí la importancia de conocer previamente nuestra capacidad de detectar verdaderos positivos (sensibilidad) y
verdaderos negativos (especificidad) a modo de entender cuáles son las condiciones previamente conocidas bajo la
cual se acepta o se duda del resultado de una prueba.

De manera cuantitativa la sensibilidad la podemos
expresar como la proporción de verdaderos positivos
(a) identificados por la prueba del total de enfermos
(a+c):
La especificidad representa la proporción de
verdaderos negativos identificados por la prueba del
total de sanos:

En el siguiente ejemplo (2), se ha desarrollado una prueba de laboratorio nueva que mide la
concentración de una enzima particular en la sangre y queremos evaluar su valor en el diagnóstico de
un cáncer en particular. Esta prueba nueva se aplicó a 360 pacientes hospitalizados y los resultados se
compararon con los de un examen anatomo‐patológico. Las concentraciones sanguíneas ≥ 40 VI se
consideraron como valores positivos.Los resultados se muestran en la siguientetabla:
Para la prueba de laboratorio nueva se puede calcular lo siguiente:
Sensibilidad=190/190= 100%
Especificidad=90/170= 53%

La probabilidadp de un suceso está comprendida entre 0 y 1 (0 <= p <= 1), en donde:
p = 0 es la probabilidad del suceso imposible.
p = 1 es la probabilidad del suceso seguro.
La distribución normal de probabilidad, distribución de Gauss o campana de Gauss es una
distribución estadística continua de probabilidad. Se sabe que las características físicas,
psicológicas y sociales de una población, además de otros fenómenos, (inteligencia, peso, belleza,
longevidad,etc.),siguen más o menos la distribución normal de probabilidad.
Por ejemplo, si la estatura se representa en el eje X, entonces se ve que la mayoría de la gente
tiene una estatura normal, situada en el centro de la gráfica, mientras que una minoría de gente
es muy alta y otra minoría muy baja, saliéndose de lo normal, según lo mostrado en la gráfica
en los extremos izquierdo y derecho. Otro ejemplo es la inteligencia: La mayoría de la gente es
de inteligencia normal, mientras que una minoría es muy inteligente y otra es muy poco
inteligente. O la longevidad: La mayoría de la gente tiene una esperanza de vida normal,
mientras que unos pocos mueren demasiado pronto o llegan a centenarios.

Formula para calcular probabilidad de un valor en la curva normal
Z=Variable normal estandarizada
X=Valor
= Desviaciónestándar poblacional
µ= Media poblacional
Ejercicio del libro,
pagina 77, capituloVI

ejemplo, el siguiente problema: supongamos que se
sabe que el peso de los sujetos de una determinada
población sigue una distribuciónaproximadamente
normal, con una media de 80 Kg y una desviación
estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la
probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga
un peso superior a 100 Kg?

Regla empírica
1. Aproximadamente 68% de la observacionescae dentro de ± 1
2. Aproximadamente 95% de la observacionescae dentro de ± 2
3. Aproximadamente 99% de la observacionescae dentro de ± 3