1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ANALISIS NUMERICO
ESCUELA DE INGENIERIA
JEAN CARLOS GOMEZ
INTERPOLACION
Ejercicio 2
Considere la siguiente tabla:
X 0 1 2 4
Y 1 1 2 5
¿Cuántos polinomios de grado a lo mas tres interpolan la tabla?
EL MAYOR POLINOMIO DE GRADO 3 SERIA UNO SOLO, YA QUE SE TIENE
UNA TABLA CON 4 DATOS, EL NUMERO DE POLINOMIOS ES N-1
Polinomios de interpolación:
TOMAMOS EL POLINOMIO AX3
+ BX2
+CX+D,QUE CORRESPONDE A LA
FORMA GENERAL DEL POLINOMIO DE GRADO C
A03
+ B02
+C0+D =1
A13
+ B12
+C1+D = 1
A23
+ B22
+C2+D = 2
A43
+ B42
+C4+D = 5
De donde resolviendo obtenemos
D = 1
A+B+C+D=1

2. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
8A+4B+2C+D=2
64A+16B+4C+D= 5
Como d= 1 podemos sustituirlo para obtener el sistema
A+B+C=0
8A+4B+2C=1
64A+16B+4C= 4
RESOLVIENDO EL SISTEMA OBTENEMOS: A= -1/12; B= ¾ Y C= -2/3
De manera que el polinomio de interpolación seria
P(x)= -1/12X3
+ ¾X2
+-2/3 X+1
APLICANDO DIFERENCIAS DIVIDIDAS CONTRUIMOS LA SIGUIENTE
TABLA.
x y
0 1
0
1 1 1/2
1 -1/12
2 2 1/6
3/2
4 5
Seguidamente construimos el polinomio interpelante.
P(X)= 1 + 0(X-0)+1/2(X-0)(X-1)-1/12(X-0)(X-1)(X-2)
P(X) = 1+1/2(X2
-X)-1/12(X3
-3X2
+2X)
P(X) = 1+1/2X2
-1/2X-1/12X3
+1/4X2
-1/6X
P(X)= -1/12X3
+ ¾X2
+-2/3 X+1
LUEGO SI VEMOS LOS RESULTADOS POR LOS DOS METODOS SE
OBTIENEN LOS MISMOS POLINOMIOS

3. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Ejercicio 4
Considere la siguiente tabla:
X 0 1 2 4
Y 1 1 2 5
Debemos construir el polinomio de newton, para ello buscaremos los valores
de las constantes
de:
P(x)= a+b(x-0)+c(x-0)(x-1)+d(x-0)(x-1)(x-2)
PROCEDEMOS A BUSCAR LOS COEFICIENTES DE CADA CASO
a=1
b= (1-1)/(1-0)=0
c=1/(2-1)*((2-1)/(2-0)-(1-1)/(1-0) = 1*(1/2-0) =1/2
d=1/(4-2)*((5-1)/(4-0)-(2-1)/(2-0)-(1-1)/(1-0) =1/2*(1-1/2)= ¼
Sustituyendo los valores
P(x)= 1+0(x-0)+1/2(x-0)(x-1)+1/4(x-0)(x-1)(x-2)
P(x)= 1+1/2(x2
-x)+1/4(X3
-3X2
+2X)
P(x)= 1-1/4x2
+1/4X3
Ejercicio 5
En la siguiente tabla tendremos los valores de la función:
X 0 1 2 3

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y 1/2 1 2 4
CON EL POLINOMIO GENERAL TENEMOS AX3
+ BX2
+CX+D, DE
MANERA QUE CADA UNO DE LOS NÚMEROS DE LA TABLA ES
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA.
A03
+ b02
+c0+d =1/2
A13
+ b12
+c1+d = 1
A23
+ b22
+c2+d = 2
A33
+ b32
+c3+d = 4
De donde resolviendo obtenemos
d = 1/2
a+b+c+d=1
8a+4b+2c+d=2
27a+9b+3c+d= 4
Como d= ½ podemos sustituirlo para obtener el sistema
a+b+c=1/2
8a+4b+2c=3/2
27a+9b+3c = 7/2
De donde la solución del sistema es: a= 1/12; b= 0 y c= 5/12
De manera que el polinomio de interpolación seria
P(x)= 1/12X3
+5/12 X+1/2

5. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ERROR RELATIVO= (1,414213562-1,40625)/1,414213562 =
5,63x10-3
Ejercicio 6
Tenemos
x 0 6 15 30
y 0 12 15 0
Ya tenemos p2(x) debemos buscar p3(x)
TOMANDO EL POLINOMIO aX3
+ bX2
+cX+d, ASI:
A03
+ B02
+C0+D =0
A63
+ B62
+C6+D = 12
A153
+ B152
+C15+D = 15
A303
+ B302
+C30+D = 0
RESOLVIENDO TENEMOS
D = 0
216A+36B+6C+D=12
3375A+225B+15C+D=15
27000A+900B+30C+D= 0

6. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Como d= 0 PLANTEAMOS EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES
216A+36B+6C=12
3375A+225B+15C=15
27000A+900B+30C= 0
De donde la solución del sistema es: a= 1/540; b= -3/20 y c= 17/6
De manera que el polinomio de interpolación seria
P(x)= 1/540X3
– 3/20 X2
+17/6X
Aplicando la formula de Simpson (1/3)
Tenemos el área de integración entre x=0 y x=30
TOMANDO COMO PUNTO MEDIO X=15
EL AREA LA PODEMOS CALCULAR FACIL (AREA DE UN SEMICIRCULO)
353,4291; PODEMOS CONCLUIR AL OBSERVAR LOS VALORES DEL AREA
DADA POR LAS DOS INTEGRALES QUE PARA P3(X) ES MAS CERCANO Y
NOS DA UN ERROR MENOR.