1. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 1
SỰ GẶP NHAU CỦA HAI VẬT
TRONG QUÁ TRÌNH DAO
ĐỘNG.
Tôi lấy ý tưởng từ một bài trong đề thi đại học năm 2013 để viết bài này, viết tặng các thành viên của
thuvienvatly.com
Dành cho hs từ khá và đã học tương đối kĩ các vấn đề cơ bản của dao động điều hoà.
Các bạn hs cần đọc kĩ để nắm được phương pháp.
Rất mong nhận được sự góp ý của các thày cô.

2. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 2
Có hai trường hợp thường được xét đến:
1. Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng biên độ, khác tần số.
2. Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng tần số, khác biên độ.
Bây giờ tôi tạm thời đưa lên trường hợp 1. Và rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn.
Trường hợp thứ hai sẽ viết, khi có thời gian.
SỰ GẶP NHAU CỦA HAI VẬT DAO
ĐỘNG CÙNG BIÊN ĐỘ, KHÁC TẦN
SỐ.
Tình huống đặt ra như sau.
Hai vật dao động điều hoà với cùng biên độ A, có vị trí cân bằng trùng nhau, nhưng với tần số f1 và f2
khác nhau (Giả sử f2 > f1). Tại thời điểm t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x1 và chuyển động theo chiều
dương, chất điểm thứ hai có li độ x2 chuyển động ngược chiều dương. Hỏi sau bao lâu thì chúng gặp nhau
lần đầu tiên?
Để giải quyết yêu cầu này thì chúng ta cần phải dựa vào mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
động tròn đều.
Có thể xảy ra hai khả năng sau:

3. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 3
Khả năng thứ nhất: Khi gặp nhau hai chất điểm chuyển động cùng chiều nhau.
Tại thời điểm t = 0, trạng thái chuyển động của các chất điểm sẽ tương ứng với các bán kính của
đường tròn như hình vẽ. (màu đỏ biểu diễn cho dao động điều hoà thứ nhất, màu xanh biểu diễn cho dao
động điều hoà thứ hai). Góc tạo bởi hai bán kính khi đó là .
Tần số f2 > f1 tương ứng với tốc độ góc 2 > 1, nên trong cùng một khoảng thời gian, góc α2 mà bán
kính xanh quay được sẽ lớn hơn góc mà bán kính đỏ quay được.
Cho đến khi hai chất điểm gặp nhau, thì hai bán kính xanh và đỏ trùng nhau như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ này, chúng ta có:
 = α2 – α1
Đó chính là công thức ĐẦU MỐI để lập nên các mối liên hệ khác, để cuối cùng tìm ra được kết quả
của bài toán.

4. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 4
Khả năng thứ hai: Khi gặp nhau, chất điểm chuyển động ngược chiều nhau:
Trên hình vẽ:
1
2
a a '
b b'


Cộng từng vế của hai biểu thức với lưu ý là a' +b' = 1800
.
Ta có: α1 + α2 = a + b + 1800
Đây cũng là công thức ĐẦU MỐI để lập các liên hệ khác nhằm tìm đến kết quả của bài toán. Trong
đó: a, b là các góc quét (tính theo độ) của các bán kính tính từ thời điểm t = 0 cho đến thời điểm đầu tiên
các vật tương ứng của chúng đi qua vị trí cân bằng.
Ngoài hai khả năng nói trên thì không còn khả năng nào khác (Các bạn hãy cứ suy nghĩ thật kỹ về các
khả năng có thể xảy ra, cuối cùng thì các bạn sẽ rút ra kết luận giống tôi thôi).

5. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 5
Bây giờ, chúng ta xét ví dụ sau đây:
Bài giải:
Việc khó là cần phải xem xảy ra khả năng nào?
Bây giờ, giả sử xảy ra khả năng thứ nhất – lúc gặp nhau hai vật chuyển động cùng chiều.
(tương ứng với hình vẽ sau)
hình 1.
Theo đề bài thì 1 2 2
2 1 1
T f
1,3
T f


.
Suy ra: α2 = 1,3α1
Như hình vẽ trên thì: α2 = α1 = 750
.
Bài 1. hai vật dao động điều hoà trên hai trục toạ độ Ox và O'x' song song, cùng chiều dương, có gốc
toạ độ với các chu kì dao động T1 = 2,6s và T2 = 2s. Biên độ dao động của chúng có cùng giá trị A1 =
A2 = 10 cm. Lúc t = 0, vật thứ nhất chuyển động nhanh dần qua li độ x1 = -5 cm, vật thứ hai
chuyển động chậm dần qua li độ x2 = 10cm.
a. Xác định thời điểm đầu tiên hai vật gặp nhau.
b. Xác định vị trí gặp nhau đầu tiên của hai vật.

6. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 6
Vậy suy ra: α1 = 2500
. Nghĩa là, khi bán kính xanh đuổi kịp bán kính đỏ. Vị trí của chúng không phải
như hình 1 mà như hình 2 sau đây.
hình 2.
Ta có thể chỉ ra rằng, hình 2 là hình vẽ tương ứng với thời điểm thứ hai hai vật gặp nhau.
Bởi vì trước khi bán kính xanh đuổi kịp bán kính đỏ như hình 2, thì đã có thời điểm bán kính xanh
đang đuổi theo bán kính đỏ và chúng ở vị trí như thế này (Hình 3).
hình 3.

7. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 7
Hình 3 mới là hình tương ứng với thời điểm hai vật gặp nhau lần đầu tiên.
Tóm lại, với bài này, khi hai vật gặp nhau, chúng chuyển động ngược chiều nhau.
Tiện đây, các bạn hs cũng tư duy xem, khi nào thì xảy ra khả năng 1 (lúc gặp nhau hai vật chuyển
động cùng chiều), khi nào thì xảy ra khả năng 2 (lúc gặp nhau hai vật chuyên động ngược chiều)?
Bây giờ, đã biết rằng xảy ra khả năng 2, ta dựa vào hình 3, kết hợp với công thức tương ứng :
α1 + α2 = a + b + 1800
Ta đi tìm kết quả của bài toán.
Trên hình vẽ: a = 1200
, b = 450
.
Và ta có α2 = 1,3 α1.
Thay vào công thức trên ta suy ra: α1 = 1500
.
Biết được góc quét, ta suy ra thời gian quét là: 1
1
150
t .T .2,6 1,083s
360 360

Trên đường tròn lượng giác, vị trí bán kính đỏ lúc sau (trên hình 3) lệch khỏi đường nằm ngang góc α
= 1500
– 450
– 900
= 150
.
Chiếu điểm đầu của bán kính này lên trục Ox, suy ra li độ lúc gặp nhau là:
x = A.cos α = 10 2 cos(150
) = 13,66cm.
Mở rộng cho bài 1:
- xác định thời điểm thứ hai, hai chất điểm có cùng vị trí.
- xác định li độ hai vật gặp nhau lần thứ hai.

8. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 8
Bài 2: (đề thi đại học 2013)
Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81cm và 64cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ
của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con
lắc dao động điều hoà với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Gọi t là khoảng
thời gian ngắn nhất từ lúc truyền vận tốc đầu đến lúc hai dây treo song song song với nhau. Giá trị của t
gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 8,12s B. 2,36s C. 0,45s. 7,20s.
Lời giải:
Bài này sẽ đánh lừa được nhiều bạn hs.
Bởi khi mới đọc, các bạn rất dễ nhầm tưởng là bài về sự gặp nhau của hai vật dao động khác biên độ
và khác tần số.(vì rõ ràng đề cho như thế này thì biên độ dài của hai con lắc là khác nhau)
Nhưng ở đây, chúng ta chỉ cần để ý đến li độ góc mà thôi, bởi vì sự song song của hai sợi dây của hai
con lắc chỉ liên quan đến li độ góc của chúng.
Và như vậy, bài này vẫn là bài về sự gặp nhau của hai con lắc trong quá trình dao động. Nhưng nó
không phải là sự gặp nhau của hai vật mà là sự gặp nhau của hai sợi dây.
Bởi vậy, khi vẽ đường tròn, các bạn lưu ý là: trục hoành phải là trục của li độ góc α.
Bài này thì không cần dùng đến công thức

9. Sự gặp nhau của hai vật dao động điều hoà - GV: Nguyễn văn Đạt, Lạng Giang 1, Bắc Giang
Trang 9
α1 + α2 = a + b + 1800
tuy nhiên, nếu muốn thì chúng ta vẫn cứ áp dụng (với a = b = 0)
trên hình ta thấy ngay
α1 + α2 = 1800
và ta lại lưu ý rằng: 2 2 1
1 1 2
l 81 9
l 64 8
 
 
Giải hệ phương trình ta được: α2 = 95,30
Biết được góc quét, ta tính được thời gian tương ứng là:
2
2 2
95,3
t T T
360 360

Với T1 = 1
l 0,64
2 2 1,59s
g 10
  (tạm lấy g = 10m/s2
).
Ta có: t = 0,42s.
Mở rộng một chút của bài 2.
- biết biên độ góc của hai con lắc là 100
. Hãy tính góc lệch của các sợi dây khỏi phương thẳng đứng
khi lần đầu tiên chúng song song với nhau.
- chọn mốc tính thế năng của mỗi con lắc là vị trí cân bằng của các vật tương ứng của chúng. Biết cơ
năng của con lắc thứ nhất (l = 81cm) là 1J. Hãy tính động năng của vật nhỏ của con lắc thứ hai tại thời
điểm đầu tiên, khi hai sợi dây song song với nhau.