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Moisés Villena Muñoz Circunferencia
359
15
15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
15.2 CIRCUNFERENCIA
15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Un lugar geométrico de interesante estudio que puede proporcionar
planteamientos diferentes a los que hasta aquí se han presentado, es la
circunferencia.
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
360
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina circunferencia.
• Represente en el plano cartesiano el gráfico de una ecuación de circunferencia dada.
• Aplique la definición de circunferencia para resolver problemas de aplicación
15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ),( 111 yxP
y ),( 222 yxP , está dada por:
( ) ( )2
12
2
12 yyxxd −+−=
Si los puntos estuviesen en dirección de una misma vertical,
entonces:
O en dirección horizontal:
12 yyd −=
12 xxd −=
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
361
15.2 CIRCUNFERENCIA
La CIRCUNFERENCIA se define como el lugar
geométrico de todos aquellos puntos ),( yx tales
que su distancia a un punto ),( khO (centro) es
constante. Es decir:
( ) ( ){ }222
/),( rkyhxyxC =−+−= donde
≡r radio
Si el centro fuese el origen )0,0(O , entonces tendríamos:
{ }222
/),( ryxyxC =+= o más simplemente la ecuación: 222
ryx =+
Ejemplo
La ecuación 422
=+ yx representa una circunferencia centrada en el origen y radio
de medida igual a 2 unidades.
Observe que la circunferencia no es una función, pero tomando
sólo la semicircunferencia superior o sólo la semicircunferencia inferior,
sí lo serían.
22
)0()0( −+−= yxr
( ) ( ) 222
rkyhx =−+−
( ) ( )22
kyhxr −+−=
ECUACIÓN
CANÓNICA DE LA
CIRCUNFERENCIA
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
362
2
4 xy −+= 2
4 xy −−=
Ejercicio resuelto 1
Encuentre la ecuación canónica de la circunferencia con centro )5,2(O y radio
3=r
SOLUCIÓN:
Reemplazando 2=h , 5=k y 3=r en ( ) ( ) 222
rkyhx =−+− tenemos:
Ocurre algo interesante cuando desarrollamos los cuadrados y
simplificamos:
020104
9251044
3)5()2(
22
22
222
=+−+−
=+−++−
=−+−
yyxx
xyxx
yx
Al final se obtiene una ecuación de la forma:
022
=++++ EDyCxByAx
A la cual se la llama Ecuación General de la circunferencia,
siempre y cuando BA = y 0422
>−+ AEDC (¿POR QUÉ?)
Para elaborar la gráfica de una circunferencia se necesita tener
definido su centro y su radio, por tanto su ecuación canónica sería muy
útil. Entonces si disponemos de la ecuación general es necesario
transformarla a la ecuación canónica.
222
3)5()2( =−+− yx
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
363
Ejemplo 2
Trazar la gráfica de 014522 22
=−+−+ yxyx
SOLUCIÓN:
Primero transformamos la ecuación general dada en su ecuación canónica.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
16
49
1
4
5
8
49
12
4
5
2
2
8
25
1122
16
25
2
5
2
122
2
5
2
14252
2
2
2
2
22
22
22
=++





−
=++





−
++=+++





+−
=++





−
=++−
yx
yx
yyxx
yyxx
yyxx
Por tanto es una circunferencia con centro 





−1,
4
5
O y radio
4
7
=r
No siempre el lugar geométrico de la ecuación de una cónica es
una circunferencia. Suponga que se hubiese obtenido la ecuación
canónica ( )
16
49
1
4
5 2
2
−=++





− yx . Entonces
16
49
−=r , por tanto esta ecuación
no representa lugar geométrico alguno.
CONCLUSIONES:
En la ecuación canónica ( ) ( ) 222
rkyhx =−+− :
1. Si 02
>r , representa una circunferencia con
centro ( )khO ,= y radio r .
2. Si 02
<r , no representa lugar geométrico
alguno.
← agrupamos para "x" y para "y"
← Factor común " 2"
El tercer término que hace falta para completar el
trinomio cuadrado perfecto se lo obtiene dividiendo
← para 2 a los coeficientes de los términos lineales
y se los eleva al cuadrado.
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
364
3. Si 0=r , representa al punto centro
( )khO ,= .
Ejercicios propuestos 15.1
1. Encuentre la ecuación general de las circunferencias, con:
a) Centro (-2,5) y radio 2
b) Centro (-3,0) y radio 4
c) Centro (0,-2) y radio 3
2. Investigue si la gráfica de 014522 22
=−+−+ yxyx es una circunferencia. Si es así, encuentre su
centro y su radio.
3. Encuentre la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro (1,-3) y pasa por el punto (2,-1).
4. El centro "O" y radio "r" de la circunferencia que tiene por ecuación 014233 22
=−−++ yxyx , son
respectivamente:
a)
3
8
3
2
,
3
1
=∧





− rO b)
3
8
3
2
,
3
1
=∧





rO
c)
9
8
3
2
,
3
1
=∧





− rO d)
3
8
3
2
,
3
1
=∧





− rO
e)
9
8
3
2
,
3
1
=∧





− rO
15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
En algunos problemas de aplicación las variables están
relacionadas con ecuaciones de circunferencias. La diferencia es que
casi siempre los lugares geométricos son considerados sólo en el primer
cuadrante.
Problema resuelto 1
La industria de patines LUX y ANKA, fabrica dos modelos: el veloz modelo LUX de
patines con ruedas en línea ( )x y el clásico modelo ANKA de patines con ruedas
en pares ( )y , donde las letras y,x representan las cantidades en decenas de
miles de patines del respectivo modelo que se producen por año, y que están
relacionadas entre sí por la ecuación de la circunferencia:
39101222
=+++ yxyx . Entonces el máximo número de patines del modelo
clásico ANKA, denotado por y (en decenas de miles), que se pueden producir
anualmente es igual a:
a) 5 b) 4 c) 10 d) 3 e) 6
SOLUCIÓN:
La ecuación que representa la relación entre las dos clases de patines, es la de una
circunferencia, que en su forma canónica sería:
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
365
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 10056
25363925103612
391012
391012
22
22
22
22
=+++
++=+++++
=+++
=+++
yx
yyxx
yyxx
yxyx
Una circunferencia con centro ( )5,6 −−O y radio 10=r
Por tanto, como queremos maxy hacemos 0=x en ( ) ( ) 10056 22
=+++ yx .
Es decir:
( ) ( )
( )
( )
ANKApatinesy
y
y
y
y
max
max
max
max
max
3
85
645
361005
100560
2
2
22
=
=+
=+
−=+
=+++
RESPUESTA: Opción "d"
Problema resuelto 2
Un fabricante de zapatos puede vender "x" unidades de su producto a "p" dólares
por unidad. Con "x" y "p" relacionados entre sí por la ecuación:
035002022
=−++ ppx
Entonces el PRECIO MÁS ALTO por encima del cual no hay posibilidad de
venta es:
a)$10 b) $20 c) $30 d) $40 e) $50
SOLUCIÓN:
De manera semejante al problema anterior , primero transformamos la ecuación a su forma
canónica para de allí determinar su maxp , que sería cuando 0=x
( )
( ) 360010
100350010020
0350020
22
22
22
=++
+=+++
=−++
px
ppx
ppx
Entonces:
Note que como es un problema de
aplicación
0
0
>
>
y
x
. Entonces en el
primer cuadrante se cumple que
0
0
=→
=→
xy
yx
max
max
Circunferencia de centro )10,0( −O y
radio 60=r
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
366
( )
( )
50$
1060
6010
360010
3600100
2
22
=
−=
=+
=+
=++
max
max
max
max
max
p
p
p
p
p
Segundo método: Directamente, en la ecuación general dada se puede reemplazar
0=x para obtener el maxp , es decir:
( )( )
50$
05070
03500202
=
=−+
=−+
max
maxmax
p
pp
pp
RESPUESTA: Opción "e".
Ejercicios propuestos 15.2
1. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el
proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la
ecuación: 975304022
=+++ yxyx . Dibuje la curva de transformación de productos de esta
empresa. ¿Cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que pueden producirse?
2. El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la
fermentación. Las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kilogramos) y y de sidra (en
litros) están relacionadas por la ecuación: 6859250822
=+++ yxyx . Dibuje la gráfica de esta
relación y determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse.
3. (CALCULADORA) Las industrias de bicicletas Coronado fabrican dos tipos de bicicletas denominadas
Coronado y Estrella del Este. Las cantidades posibles x y y (en miles) que puede producir al año están
relacionadas por: 4710622
=+++ yxyx . Bosqueje la curva de esta empresa. ¿Cuáles son los
números máximos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse?
Misceláneos
1. La ecuación 02381244 22
=−+−+ yxyx , representa:
a) Una circunferencia de radio 6.
b) Una circunferencia de longitud π18 . (SUGERENCIA: Rl π= 2 )
c) Una circunferencia que encierra una región de área π9 . (SUGERENCIA:
2
RA π= )
d) Una circunferencia de centro ( )1,
2
3− .
e) La ecuación dada no representa una circunferencia.
2. Sea la ecuación 054233 22
=−−−+ yxyx . Entonces es VERDAD que:
a) Representa una circunferencia de centro 





−−
3
2
,
3
1
y radio
3
20
.
b) Representa una circunferencia de centro ( )2,1 y radio 20 .
c) Representa una circunferencia de centro 





3
2
,
3
1
y radio 20 .
d) Representa una circunferencia de centro 





3
2
,
3
1
y radio
3
20
.
e) La ecuación no representa lugar geométrico alguno.
3. Sea la circunferencia cuya ecuación es 09232481616 22
=−+−+ yxyx . Entonces es VERDAD que:
Moisés Villena Muñoz Circunferencia
367
a) El radio de la circunferencia es 6.
b) El área del círculo limitado por la circunferencia es π6 .
c) La longitud de la circunferencia es π6 .
d) El centro de la circunferencia es ( )1,
2
3−
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
4. Una empresa produce 2 artículos A y B . Las cantidades de producción de los artículos A y B , en
miles, son m y n respectivamente; y están relacionadas por la ecuación: 326422
=+++ nmnm .
Entonces la cantidad de producción máxima de A sobre el cual no se registra producción de B , en
miles , es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 2
5. El VALOR de " D " para que el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
02322
=+−++ Dyxyx sea igual a 2 es:
a)
3
4
b)
3
4
− c)4 d)
4
3
− e)0
6. La ECUACIÓN GENERAL de la circunferencia que tiene como centro al punto )3,4( y que contiene al
punto )1,6( , es:
a) 0176822 22
=+−−+ yxyx
b) 0126822
=++−+ yxyx
c) 0176822
=−+++ yxyx
d) 0176822
=+−−+ yxyx
e) 0176822
=++++ yxyx
7. Con respecto a la ecuación 0236422
=−+++ yxyx , es VERDAD que:
a) Representa una circunferencia con centro ( )3,2
b) Representa una circunferencia con centro ( )3,2 −−
c) Representa una circunferencia de radio 36
d) Representa una circunferencia de longitud π72
e) La ecuación dada no representa lugar geométrico.

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C ap15 circunferencia

  • 1. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 359 15 15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 15.2 CIRCUNFERENCIA 15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Un lugar geométrico de interesante estudio que puede proporcionar planteamientos diferentes a los que hasta aquí se han presentado, es la circunferencia.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 360 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina circunferencia. • Represente en el plano cartesiano el gráfico de una ecuación de circunferencia dada. • Aplique la definición de circunferencia para resolver problemas de aplicación 15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , está dada por: ( ) ( )2 12 2 12 yyxxd −+−= Si los puntos estuviesen en dirección de una misma vertical, entonces: O en dirección horizontal: 12 yyd −= 12 xxd −=
  • 3. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 361 15.2 CIRCUNFERENCIA La CIRCUNFERENCIA se define como el lugar geométrico de todos aquellos puntos ),( yx tales que su distancia a un punto ),( khO (centro) es constante. Es decir: ( ) ( ){ }222 /),( rkyhxyxC =−+−= donde ≡r radio Si el centro fuese el origen )0,0(O , entonces tendríamos: { }222 /),( ryxyxC =+= o más simplemente la ecuación: 222 ryx =+ Ejemplo La ecuación 422 =+ yx representa una circunferencia centrada en el origen y radio de medida igual a 2 unidades. Observe que la circunferencia no es una función, pero tomando sólo la semicircunferencia superior o sólo la semicircunferencia inferior, sí lo serían. 22 )0()0( −+−= yxr ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− ( ) ( )22 kyhxr −+−= ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 4. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 362 2 4 xy −+= 2 4 xy −−= Ejercicio resuelto 1 Encuentre la ecuación canónica de la circunferencia con centro )5,2(O y radio 3=r SOLUCIÓN: Reemplazando 2=h , 5=k y 3=r en ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− tenemos: Ocurre algo interesante cuando desarrollamos los cuadrados y simplificamos: 020104 9251044 3)5()2( 22 22 222 =+−+− =+−++− =−+− yyxx xyxx yx Al final se obtiene una ecuación de la forma: 022 =++++ EDyCxByAx A la cual se la llama Ecuación General de la circunferencia, siempre y cuando BA = y 0422 >−+ AEDC (¿POR QUÉ?) Para elaborar la gráfica de una circunferencia se necesita tener definido su centro y su radio, por tanto su ecuación canónica sería muy útil. Entonces si disponemos de la ecuación general es necesario transformarla a la ecuación canónica. 222 3)5()2( =−+− yx
  • 5. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 363 Ejemplo 2 Trazar la gráfica de 014522 22 =−+−+ yxyx SOLUCIÓN: Primero transformamos la ecuación general dada en su ecuación canónica. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 49 1 4 5 8 49 12 4 5 2 2 8 25 1122 16 25 2 5 2 122 2 5 2 14252 2 2 2 2 22 22 22 =++      − =++      − ++=+++      +− =++      − =++− yx yx yyxx yyxx yyxx Por tanto es una circunferencia con centro       −1, 4 5 O y radio 4 7 =r No siempre el lugar geométrico de la ecuación de una cónica es una circunferencia. Suponga que se hubiese obtenido la ecuación canónica ( ) 16 49 1 4 5 2 2 −=++      − yx . Entonces 16 49 −=r , por tanto esta ecuación no representa lugar geométrico alguno. CONCLUSIONES: En la ecuación canónica ( ) ( ) 222 rkyhx =−+− : 1. Si 02 >r , representa una circunferencia con centro ( )khO ,= y radio r . 2. Si 02 <r , no representa lugar geométrico alguno. ← agrupamos para "x" y para "y" ← Factor común " 2" El tercer término que hace falta para completar el trinomio cuadrado perfecto se lo obtiene dividiendo ← para 2 a los coeficientes de los términos lineales y se los eleva al cuadrado.
  • 6. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 364 3. Si 0=r , representa al punto centro ( )khO ,= . Ejercicios propuestos 15.1 1. Encuentre la ecuación general de las circunferencias, con: a) Centro (-2,5) y radio 2 b) Centro (-3,0) y radio 4 c) Centro (0,-2) y radio 3 2. Investigue si la gráfica de 014522 22 =−+−+ yxyx es una circunferencia. Si es así, encuentre su centro y su radio. 3. Encuentre la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro (1,-3) y pasa por el punto (2,-1). 4. El centro "O" y radio "r" de la circunferencia que tiene por ecuación 014233 22 =−−++ yxyx , son respectivamente: a) 3 8 3 2 , 3 1 =∧      − rO b) 3 8 3 2 , 3 1 =∧      rO c) 9 8 3 2 , 3 1 =∧      − rO d) 3 8 3 2 , 3 1 =∧      − rO e) 9 8 3 2 , 3 1 =∧      − rO 15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN En algunos problemas de aplicación las variables están relacionadas con ecuaciones de circunferencias. La diferencia es que casi siempre los lugares geométricos son considerados sólo en el primer cuadrante. Problema resuelto 1 La industria de patines LUX y ANKA, fabrica dos modelos: el veloz modelo LUX de patines con ruedas en línea ( )x y el clásico modelo ANKA de patines con ruedas en pares ( )y , donde las letras y,x representan las cantidades en decenas de miles de patines del respectivo modelo que se producen por año, y que están relacionadas entre sí por la ecuación de la circunferencia: 39101222 =+++ yxyx . Entonces el máximo número de patines del modelo clásico ANKA, denotado por y (en decenas de miles), que se pueden producir anualmente es igual a: a) 5 b) 4 c) 10 d) 3 e) 6 SOLUCIÓN: La ecuación que representa la relación entre las dos clases de patines, es la de una circunferencia, que en su forma canónica sería:
  • 7. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 365 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10056 25363925103612 391012 391012 22 22 22 22 =+++ ++=+++++ =+++ =+++ yx yyxx yyxx yxyx Una circunferencia con centro ( )5,6 −−O y radio 10=r Por tanto, como queremos maxy hacemos 0=x en ( ) ( ) 10056 22 =+++ yx . Es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ANKApatinesy y y y y max max max max max 3 85 645 361005 100560 2 2 22 = =+ =+ −=+ =+++ RESPUESTA: Opción "d" Problema resuelto 2 Un fabricante de zapatos puede vender "x" unidades de su producto a "p" dólares por unidad. Con "x" y "p" relacionados entre sí por la ecuación: 035002022 =−++ ppx Entonces el PRECIO MÁS ALTO por encima del cual no hay posibilidad de venta es: a)$10 b) $20 c) $30 d) $40 e) $50 SOLUCIÓN: De manera semejante al problema anterior , primero transformamos la ecuación a su forma canónica para de allí determinar su maxp , que sería cuando 0=x ( ) ( ) 360010 100350010020 0350020 22 22 22 =++ +=+++ =−++ px ppx ppx Entonces: Note que como es un problema de aplicación 0 0 > > y x . Entonces en el primer cuadrante se cumple que 0 0 =→ =→ xy yx max max Circunferencia de centro )10,0( −O y radio 60=r
  • 8. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 366 ( ) ( ) 50$ 1060 6010 360010 3600100 2 22 = −= =+ =+ =++ max max max max max p p p p p Segundo método: Directamente, en la ecuación general dada se puede reemplazar 0=x para obtener el maxp , es decir: ( )( ) 50$ 05070 03500202 = =−+ =−+ max maxmax p pp pp RESPUESTA: Opción "e". Ejercicios propuestos 15.2 1. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación: 975304022 =+++ yxyx . Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa. ¿Cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que pueden producirse? 2. El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la fermentación. Las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kilogramos) y y de sidra (en litros) están relacionadas por la ecuación: 6859250822 =+++ yxyx . Dibuje la gráfica de esta relación y determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse. 3. (CALCULADORA) Las industrias de bicicletas Coronado fabrican dos tipos de bicicletas denominadas Coronado y Estrella del Este. Las cantidades posibles x y y (en miles) que puede producir al año están relacionadas por: 4710622 =+++ yxyx . Bosqueje la curva de esta empresa. ¿Cuáles son los números máximos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse? Misceláneos 1. La ecuación 02381244 22 =−+−+ yxyx , representa: a) Una circunferencia de radio 6. b) Una circunferencia de longitud π18 . (SUGERENCIA: Rl π= 2 ) c) Una circunferencia que encierra una región de área π9 . (SUGERENCIA: 2 RA π= ) d) Una circunferencia de centro ( )1, 2 3− . e) La ecuación dada no representa una circunferencia. 2. Sea la ecuación 054233 22 =−−−+ yxyx . Entonces es VERDAD que: a) Representa una circunferencia de centro       −− 3 2 , 3 1 y radio 3 20 . b) Representa una circunferencia de centro ( )2,1 y radio 20 . c) Representa una circunferencia de centro       3 2 , 3 1 y radio 20 . d) Representa una circunferencia de centro       3 2 , 3 1 y radio 3 20 . e) La ecuación no representa lugar geométrico alguno. 3. Sea la circunferencia cuya ecuación es 09232481616 22 =−+−+ yxyx . Entonces es VERDAD que:
  • 9. Moisés Villena Muñoz Circunferencia 367 a) El radio de la circunferencia es 6. b) El área del círculo limitado por la circunferencia es π6 . c) La longitud de la circunferencia es π6 . d) El centro de la circunferencia es ( )1, 2 3− e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas. 4. Una empresa produce 2 artículos A y B . Las cantidades de producción de los artículos A y B , en miles, son m y n respectivamente; y están relacionadas por la ecuación: 326422 =+++ nmnm . Entonces la cantidad de producción máxima de A sobre el cual no se registra producción de B , en miles , es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 2 5. El VALOR de " D " para que el radio de la circunferencia que tiene por ecuación 02322 =+−++ Dyxyx sea igual a 2 es: a) 3 4 b) 3 4 − c)4 d) 4 3 − e)0 6. La ECUACIÓN GENERAL de la circunferencia que tiene como centro al punto )3,4( y que contiene al punto )1,6( , es: a) 0176822 22 =+−−+ yxyx b) 0126822 =++−+ yxyx c) 0176822 =−+++ yxyx d) 0176822 =+−−+ yxyx e) 0176822 =++++ yxyx 7. Con respecto a la ecuación 0236422 =−+++ yxyx , es VERDAD que: a) Representa una circunferencia con centro ( )3,2 b) Representa una circunferencia con centro ( )3,2 −− c) Representa una circunferencia de radio 36 d) Representa una circunferencia de longitud π72 e) La ecuación dada no representa lugar geométrico.