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4
4.1 PARES ORDENADOS
4.2 PRODUCTO CARTESIANO
4.3 REPRESENTACIÓN
4.4 RELACIONES
4.5 FUNCIONES
Uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas es el de FUNCIÓN. Los cursos
de Matemáticas Universitarias requieren como base que, el estudiante tenga nociones de las
definiciones, propiedades y operaciones que giran en torno al concepto de función.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
67
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina conjuntos ordenados de dos, tres, cuatro y más componentes ( n componentes).
• Obtenga producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Represente en diagramas de flechas el producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Defina relaciones, funciones, dominio e imagen.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para distinguir las funciones de las relaciones y para obtener dominios e imágenes.
• Encuentre relaciones entre elementos de dos conjuntos y determine la regla de correspondencia de ser posible.
• Defina funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Construya con conjuntos finitos funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función inversa de una función dada.
• Infiera condiciones para la existencia de la función inversa.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función compuesta de una, dos, tres, etc. funciones.
• Infiera condiciones para la existencia de la función compuesta.
4.1 PARES ORDENADOS
Un PAR ORDENADO es un conjunto de dos
elementos, llamados COMPONENTES, en donde
importa el orden de dichas componentes. Es
decir ( )yx, donde ≡x primera componente
≡y segunda componente
También existen:
 Conjuntos ordenados de 3 componentes (TERNAS ORDENADAS): ( )zyx ,, .
 Conjuntos ordenados de 4 componentes: ( )4321 ,,, xxxx .
 En general, conjuntos ordenados de “n” componentes: ( )nxxxx ,...,,, 321 .
4.2 PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces
el producto cartesiano A con B , denotado por
BA× , se define como:
( ){ }ByAxyxBA ∈∧∈=× /,
Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su primera
componente la tomamos del conjunto A y la segunda componente la
tomamos del conjunto B .
Ejemplo
Sean los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB , entonces
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }⊗⊗∗∗⊗=× ?,,?,,,,,,,1,,1 aaaBA
Note que ( ) ( )BNANBAN =× )(
El producto cartesiano de B con A sería:
( ){ }AyBxyxAB ∈∧∈=× /,
Ejemplo
Para los conjuntos anteriores { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }?,,,,1,,?,,,,1, ⊗∗⊗⊗∗=× aaaAB
PREGUNTA: ¿CÓMO Y CÚALES SERÍAN AA× Y BB × ?
La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es:
( ){ }CzByAxzyxCBA ∈∧∈∧∈=×× /,,
Ejemplo
Sean los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB , y { }¡,∇=C entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 





⊗∇⊗∇
⊗∗∇⊗∗∗∇∗⊗∇⊗∇
=××
¡,?,,,?,,¡,?,,,?,
,¡,,,,,,¡,,,,,,¡,,1,,,1,¡,,1,,,1
aa
aaaa
CBA
Note que: ( ) ( ) ( ) ( )CNBNANCBAN =××
También se pueden obtener: BAA ×× , BCA ×× , ... ¿ENCUÉNTRELOS?
4.3 REPRESENTACIÓN
A los pares ordenados se los suele representar gráficamente es
un sistema bidimensional, lo cual trataremos con mayor
profundidad más adelante.
Ejercicios Propuestos 4.1
1. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.
a) {} { }3,2,11 ∈ b) {}11 ⊂ c) {} { }3,21 ⊂ d) ( ){ } { } { }3,23,13,2 ×⊆
e) ( ) { } { }4,3,13,24,3 ×∈
2. Dados los conjuntos { } { } { }4,3,,,,2,1 === CzyxBA , entonces es VERDAD que:
a) El producto cartesiano CBA ×× tiene 7 elementos.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
69
OBSERVE QUE:
1. BAr :1
2. BAr ×⊆1
b) El producto cartesiano CBA ×× contiene 17 elementos.
c) El producto cartesiano CBA ×× contiene una terna ( )3,1,1 .
d) El producto cartesiano CBA ×× posee 12 elementos.
e) El producto cartesiano CBA ×× es imposible realizarlo.
4.4 RELACIONES
Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a
todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro
conjunto. Nace el concepto de relación o asociación.
Podemos también relacionar sólo ciertos elementos de un conjunto
con algunos elementos de otro conjunto. Es decir vamos a considerar los
subconjuntos de BA× .
Entonces formalmente podríamos definir a una relación de la
siguiente manera:
Sean A y B dos conjuntos. Una RELACIÓN
r de A en B , denotada por BAr : , es una
asociación de elementos (no necesariamente
todos) de un conjunto A con elementos de un
conjunto B . Es decir, tenemos que BAr ×⊆ .
Note que no necesariamente AB ≠ , es decir que podrán existir:
 Relaciones de A en A ( AAr : ) donde AAr ×⊆ .
 Relaciones de B en A ( ABr : ) donde ABr ×⊆ .
 Relaciones de B en B ( BBr : ) donde BBr ×⊆ .
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Suponga que con los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB formamos la relación
( ) ( ) ( ){ }⊗∗∗= ,,,,,11 aar , la cual la podemos representar en un diagrama de flechas de la
siguiente manera:
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
70
)()()(
22 BNANBAN
== ×
Ejemplo 2
Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos otra relación BAr :2
tal que, ( ) ( )( ) ( ){ }aaar ?,,,,1,,12 ∗⊗= . Que representada en un diagrama de flechas,
tendríamos:
En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones.
Una regla para el número total de relaciones de A en B , que se
pueden construir, es:
CANTIDAD DE
RELACIONES DE BA 
Es decir, todos los subconjuntos de BA× , serían una relación.
Para el caso anterior tendríamos 6422 623
==×
relaciones en total. No
olvide de considerar la relación vacía Φ=r y la relación BAr ×=
4.4.1 DOMINIO DE UNA RELACIÓN
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
71
Sea BAr : una relación. El DOMINIO de
r , denotado por rDom , es el conjunto
constituido por los elementos del conjunto
A que estén considerados en la relación. Es
decir:
{ yrxAxrDom /∈= , para algún }By ∈
Entonces rDom A⊆ .
Algunos autores le llaman CONJUNTO DE PARTIDA. En un diagrama de
flechas sería cuestión de determinar a cuales elementos les salen las
flechas.
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
1. { } ArDom ⊂∗= ,11
2. { } ArDom =∗= ?,,12
4.4.2 RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea BAr : una relación. El RANGO de r ,
denotado por rrg , es el conjunto constituido
por los elementos del conjunto B que están
relacionados con los elementos de su dominio.
Es decir: { }DomrxparayrxByrrg ∈∀∈= ,/
Entonces rrg B⊆ .
Es llamado también CONJUNTO DE LLEGADA. En un diagrama de
flechas sería cuestión de determinar los elementos a los cuales les están
llegando flechas.
Ejemplo 1
Para los casos anteriores, tenemos:
1. { } Barrg =⊗= ,1
2. { } Barrg =⊗= ,2
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
72
El diagrama de flechas nos permite establecer
rápidamente por inspección su dominio y su rango.
1. { } BarDom ⊂=
2. { } Arrg ⊂∗= ,1
Note además que: ABr ×⊂
Ejemplo 2
Suponga ahora que tenemos la relación ABr : , tal que, ( ) ( ){ }∗= aar ,1, .
Realizando su diagrama de flechas tenemos:
Ejercicio propuesto 4.2
1. Sean los conjuntos { }6,5,4,3,2=A y { }5,4,3,2,0=B y sea R una relación de A en B definida por
( ){ }AadondeabbaR ∈−== 1/, . Entonces el número de pares ordenados que pertenecen a la relación
R es:
a) 4 b) 3 c) 0 d) 5 e) 2
4.5 FUNCIONES
El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado
frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más
importantes de las Matemáticas
4.5.1 DEFINICIÓN
Una relación de A en B , es una FUNCIÓN sí
y sólo sí, cumple las dos condiciones siguientes:
1. ArDom =
2. Existe una CORRESPONDENCIA ÚNICA. Es decir,
a un elemento del conjunto A no le debe
corresponder dos o más elementos del
conjunto B . Sólo uno le debe
corresponder, no debe existir esta
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
73
ambigüedad de correspondencia.
Simbólicamente sería:
( )[ ]2121 yyyrxyrx =⇒∧ .
4.5.2 NOTACIÓN
Lo más usual para denotar a una función es la letra “ f ”. Aunque se
pueden emplear las letras “ g ”, “ h ”, y otras.
Ejemplo 1
Sean los conjuntos { }?,,1 ⊗=A y { }!,0,,∗= aB y sea BAf : tal que,
( ) ( )( ){ }!?,,0,,,1 ⊗= af .
Realizando el diagrama de flechas, observamos que:
Ejemplo 2
Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como BAg →:
tal que ( ) ( ) ( ){ }!?,,,,,1 aag ⊗= , cuyo diagrama de flechas sería:
Ejercicio Resuelto
Dados los conjuntos { }8,6,4,2=A y { }13,11,9,7,5,3,1=B . Identifique ¿cuál de las
siguientes relaciones de A en B es una función de A en B :
a) { }xyBAyxR >×∈= /),(1 c) { }2/),(3 =×∈= xBAyxR
b) { }12/),(2 −=×∈= xyBAyxR d) { }3/),(4 =×∈= yBAyxR
De acuerdo a las definiciones, f es una función.
Observamos que:
1. AgDom = ; y,
2. Existe correspondencia única. De todos y cada uno
de los elementos del conjunto A le sale sólo una
flecha.
Por tanto g también es función.
NOTA: No importa que a algún elemento de B le llegue
más de una flecha.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
74
No es Función
e) Ninguna de las anteriores relaciones es una función.
SOLUCIÓN: Interpretemos cada opción con su respectivo diagrama de flechas.
a)
( ){ }
{ })13,8(),7,4(,),7,2(),5,2(),3,2(
/,1
=
<×∈= yxBAyxR
b)
( ){ }
( ) ( ) ( ){ }11,6,7,4,3,2
12/,2
=
−=×∈= xyBAyxR
c)
( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }13,2,11.2,9,2,7,2,5,2,3,2,1,2
2/,3
=
=×∈= xBAyxR
d)
( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }3,8,3,6,3,4,3,2
3/,4
=
=×∈= yBAyxR
Ejercicios propuestos 4 .3
1. Sean los conjuntos { }8,6,4,2=A y { }13,11,9,7,5,3=B . Una de las siguientes relaciones determina una
función. Identifíquela:
a) { }2/),(1 =×∈= bABabr b) { }baABabr >×∈= /),(2
c) { }12/),(3 −=×∈= baABabr d) { }7/),(4 =×∈= bBAbar
e) { }8/),(5 =×∈= aABabr
2. Sean los conjuntos { }7,6,5,4,3,2,1=A y { }?@,,*,,Π∆=B . Si 21, rr y 3r son relaciones de A en
B , tales que:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }Π∆=∆Π=Π∆= ,3,,4,,4,,3,,*2,@,1,,*7,,6,,5 321 rrr
Entonces es VERDAD que:
a) 21 rr − es una función. b) 21 rr ∪ es una función.
c) 121 rrr =∪ d) 232 rrr =− e) ( ) 321 rrr −∪ es una función.
3. Sean los conjuntos { }3,2,1,0,1,2,3 −−−=A y { }4,3,2,1,0=B . Si 21, rr y 3r relaciones de A en
B , tales que: { }1/),(1 +== xyyxr { }0/),(2 =+= yxyxr
{ })1,1(),0,0(3 −=r
Entonces es VERDAD que:
a) 21 rr ∪ es una función b) 21 rr − es una función
c) ( ) 321 rrr −∪ es función d) 131 rrr =∪
No es Función
No es Función Si es FUNCIÓN, por tanto esta es la
RESPUESTA
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
75
e) 232 rrr =−
4. Si se tiene la siguiente tabla de datos:
Alumnos
Edad en
años
Karla 12
Washington 11
Consuelo 16
Edison 14
Fernando 11
Margarita 17
y se definen los conjuntos:
{ xxX /= es una alumna y está en la tabla anterior }
{ yyY /= es un alumno y está en la tabla anterior }
Diga ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?:
a) { xyxr /),(1 = es de mayor edad que }y
b) { xyxr /),(2 = es igual en edad que }y
c) { xyxr /),(3 = es de menor o igual edad que }y
d) { xyxr /),(4 = es de mayor o igual edad que }y
e) Elija esta opción si niinguna de las relaciones anteriores representa una función.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
76
4.5.3 TIPOS DE FUNCIONES
4.5.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA
Sea BAf : una función. Entonces f es
INYECTIVA si y sólo si AxAx ∈∀∧∈∀ 21 se
cumple que 2121 yyxx ≠⇒≠ donde
( ) ( )2211 xfyxfy =∧= .
Es decir son funciones con correspondencia de UNO A UNO.
Ejemplo
Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }!,,, ⊗∗= aB y sea BAf : una función tal que:
( ) ( ) ( ){ }∗⊗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas sería:
4.5.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Sea BAf : una función. Entonces f es
SOBREYECTIVA si y sólo si se cumple que
Bfrg = .
Ejemplo
Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }∗= ,aB y sea BAf : una función tal que:
( ) ( ) ( ){ }∗Π= ?,,,,,1 aaf . Entonces su diagrama de flechas es:
Como a los elementos del rango de f les llega
una y sólo una flecha, entonces existe
correspondencia uno a uno. Por lo tanto esta
función es INYECTIVA..
NOTE QUE: para construir funciones inyectivas se
tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN ≤ . ¿POR QUÉ?
Esta función es SOBREYECTIVA porque
Bfrg = .
NOTE QUE: para construir funciones
sobreyectivas se tiene que cumplir:
( ) ( )BNAN ≥ ¿POR QUÉ?
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
77
4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es BIYECTIVA, si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez.
Ejemplo:
Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }⊗∗= ,,aB y sea BAf : una función tal que:
( ) ( ) ( ){ }⊗∗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas es:
Finalmente, podríamos representar esta clasificación en un
diagrama de Venn de la siguiente manera:
4.5.4 FUNCIÓN INVERSA
Observe que:
1. Existe correspondencia uno a uno.
2. Bfrg =
Por tanto esta función es BIYECTIVA.
NOTE QUE: para construir funciones biyectivas se
tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN = ¿POR QUÉ?
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
78
{ }?),();,();1,(1
⊗Π∗=−
af
ABf →−
:1
BAf →:
⇒
Sea BAf : una función. Entonces la
INVERSA de f , denotada como 1−
f , si existe,
es de B en A. Es decir ABf :1−
Teorema
1−
f existe, sí y sólo sí f es biyectiva.
Ejemplo
Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos:
Note que:
fDomfrg
frgfDom
=
=
−
−
1
1
Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino de
regreso.
4.5.5 FUNCIÓN COMPUESTA (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)
Se pueden construir funciones a partir de otras funciones.
Ejemplo 1
Sean las funciones BAf : y CBg ∗
: cuyos diagramas de flechas son:
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
79
( )
( )
(?))()(@
)()(
)1()(@
fgg
fgg
fgag
=∗=
◊=⊗=∆
==
?
1
◊
( ))()( xfgxfg =
(?)
)(
)1(
f
f
fa
=∗
◊=⊗
=
COMPOSICIÓN
Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto C , empleando
las correspondencias de las funciones f y g . Entonces obtendríamos:
La operación que hemos realizado se llama COMPOSICIÓN DE FUNCIONES y se obtuvo una nueva función, la función
compuesta fg  , debido a que:
NOTE QUE:
1. ( ) CAfg  :
2. ( ) ( ))()( xfgxfg =
3. fDomfgDom =
4. gDomfrg ⊆ , en este ejemplo tenemos { } { }baa ,,,,,, Π⊗∗⊂⊗∗ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO
OCURRIERA?
EN OCASIONES también se puede encontrar la función compuesta
gf 
Aquí en cambio se cumple que:
1. ( ) ( ))()( xgfxgf =
2. ( ) gDomgfDom =
3. fDomgrg ⊆ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA?
( ) ( ))()( xgfxgf =
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
80
NOTE QUE:
1. BBgf  ∗
:
2. ( ) ( ))()(4 ∗== gfagf
3. ( ) ( ) ( ))()()(5 bgfgfgf ==⊗=
Ejemplo 2
Suponga que f y g son funciones, tales que:
Obteniendo la función compuesta gf  , tenemos:
Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUNCIÓN
BIYECTIVA CON SU INVERSA.
Ejemplo 3
Suponga que f y 1−
f son funciones, tales que, sus diagramas de flechas son:
Entonces 1−
ff  es:
{ }),(),,(),,(1
⊗⊗∗∗=−
aaff  , ésta es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN B :
BIff =−1

Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
81
Ejemplo 4
Ahora hallemos ff 1−
, para el mismo ejemplo anterior:
Entonces:
{ }?)(?,),,(),1,1(1
◊◊=−
ff  , esta en cambio es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN A :
AIff =−
1
También hay momentos en que se puede realizar la COMPOSICIÓN
DE MÁS DE DOS FUNCIONES.
Ejemplo 5
)( fgh  , la cual esquemáticamente sería:
)))((())(( xfghxfgh =
Entonces: ( )( ) )))((()( xfghxfgh =
Analicemos ejercicios que globalice todo lo mencionado.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
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Ejercicio Resuelto 1
Dados los conjuntos { }@,,, Π∆⊕=A { },*!?,=B y las funciones ABf →: y
BAg →: , tales que: ( ) ( ) ( ){ }⊕Π∆= *,,,!,?,f y ( ) ( ) ( ) ( ){ }@,*,,*,!,,?,: Π∆⊕g
Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA
a) fg  es inyectiva.
b) g es sobreyectiva ∧ f es sobreyectiva.
c) fg  es sobreyectiva.
d) f es inyectiva ∧ g no es biyectiva .
e) gf  no es inyectiva.
SOLUCIÓN:
Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos:
a) Encontremos fg 
b) (RESPUESTA) Esta opción es FALSA porque g SI es sobreyectiva f∧ NO es sobreyectiva de
acuerdo a lo que se observa en sus diagramas de flechas respectivos.
c) Esta opción es VERDADERA, porque fg  SI es sobreyectiva.
d) Esta opción también es VERDADERA, porque f SI es inyectiva g∧ NO es biyectiva ( g no es
inyectiva) .
e) Encontremos gf 
Observe que fg  es inyectiva, por
tanto esta opción es VERDADERA.
Observe que gf  no es
inyectiva. Por tanto esta opción
también es VERDADERA.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
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Ejercicio Resuelto 2
Sean los conjuntos { }4,3,2=A y { }8,6,4,3,2,1=B y sean BAf →: y ABg →:
funciones tales que: ( ){ }abBAbaf 2/, =×∈= y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g
Entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva. b) f es inyectiva.
c) ( )( ) 43 =fg  d) ( )( ) 33 =gf  e) ( )( ) 62 =fgf 
SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos:
a) Observamos que g SI es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
b) Observamos que f SI es inyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
c) Para hallar ( )( )3fg  , hagamos lo siguiente:
Empezamos con 3 . Hallamos su correspondiente en f vemos que es 6 . Luego a este
resultado le hallamos su correspondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta
opción también es VERDADERA.
d) Hallemos ( )( )3gf  igual que en la opción anterior.
Observe que se obtiene como resultado final 6 , más no 3 , como indica la opción. Por
tanto esta es la FALSA (RESPUESTA)
e) Esta opción es VERDADERA, porque:
6)2)(( =fgf 
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
84
La correspondencia final para “ t ”
es “ s ” y no “ n ” como indica la
opción. Por tanto esta opción es
FALSA.
Ejercicio resuelto 3
Dados los conjuntos { }uoieaV ,,,,= y { }tsrlnmC ,,,,,= y las funciones:
{ }),(),,(),,(),,(),,( surolinemaf = y { }),(),,(),,(),,(),,(),,( utosirelanamg =
siendo CVf →: y VCg →: , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela.:
a) ntgf =))((  b) No es posible construir fg 
c) f es inversa de g d) f y g son biyectivas
e) { }srlnmgfrg ,,,,)( =
SOLUCIÓN:
Primero, los diagramas de flechas respectivos serían:
Analizando cada opción, tenemos:.
a) Hallemos ))(( tgf  , para lo cual el siguiente diagrama ayuda
b) Hallemos fg 
c) Observe que f no es biyectiva (¿POR QUÉ?), por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna
función. Entonces esta opción también es FALSA.
d) Ni f ni g son biyectivas (¿POR QUÉ?) Por tanto esta opción también es FALSA.
e) Hallemos gf 
Observe que, sí es posible construir
fg  . Por Tanto esta opción
también es FALSA.
Observe que { }srlnmgfrg ,,,,= Por tanto
esta opción es la VERDADERA.
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
85
Ejercicio resuelto 4
Sean los conjuntos { }zyxA ,,= , { }rtsB ,,= , { }3,2,1=C y { }cbaD ,,= . Y BAf :
DCh : y ADg : funciones tales que:
{ }),(),,(),,( zcxbyag =
Entonces hgf  corresponde a:
a) { }),3(),,2(),,1( tts b) { }),3(),,2(),,1( zyx c) { })3,(),2,(),1,( rts
d) { }),3(),,2(),,1( yzx e) { }),(),,(),,( rczbya
SOLUCIÓN:
Note que { }),3(),,2(),,1( aabh = . El dominio de hgf  va a ser el dominio de h , entonces
partiendo de estos elementos )3,2,1( le determinamos la respectiva correspondencia primero en g y luego sus
resultados le determinamos su respectiva correspondencia en f . Obteniendo
{ }),3(),,2(),,1( ttshgf = . Por tanto la opción “a” es la VERDADERA.
Ejercicios Propuestos 4.4
1. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) Si ),()( BNAN ≤ no existe función alguna de A en B que sea inyectiva.
b) Si ),()( BNAN > no existe funciones sobreyectivas de A en B .
c) Si BAf →: es una función inyectiva, entonces ).()( BNAN >
d) Si )(AN y )(BN son finitos y ),()( BNAN = existen más funciones inyecitvas que funciones
sobreyectivas.
e) Si BA ⊂ y 1)( =AN y 2)( =BN , existen más funciones de A en B que funciones de B
en A .
2. Dados los conjuntos: { }ΟΠ∆Ω= ,,,A , { }+= ?,*,B , { }5,4,3,2,1=C y las relaciones 4321 ,,, rrrr y
5r definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?
a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,,4,,2,,1,1 ΟΠ∆Ω=r ; CrRg =1 .
b) ( ) ( ) ( ){ }?,4,,3,,*12 +=r ; CrDom =2 .
c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }+ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,3r es una función biyectiva.
d) Si ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,,3,,2,,1,4 ΟΠ∆Ω=r y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }+= ,5,,*4,,*3,,*2,?,15r entonces 45 rr  es
una función inyectiva.
e) Si ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }ΠΟΠ∆Ω= ,5,4,,3,,2,,16r y ( ) ( ) ( ) ( ){ }+ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,7r entonces
67 rr  es función sobreyectiva.
3. Dado los conjuntos: { }srqpA ,,,= y { }ponmB ,,,= y las funciones A en B .
{ }),(),,(),,(),,( nsmrpqmpf = y { }),(),,(),,(),,( osnrmqppg =
entonces es CIERTO que:
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
86
a) gf ∪ es una función inyectiva. b) g es sobreyectiva pero no inyectiva.
c) f es inyectiva pero no sobreyectiva. d) g es una función biyectiva.
e) f es una función biyectiva.
4. Sea el conjunto =A {Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan} y f una función tal que AAf →: con la siguiente
definición: f (Elena) = Hessel, f (Hessel) = Elsi, f (Elsi) = Angel, f (Angel) = Elena, f (Juan) = Elena
entonces, será verdad que:
a) ff  es inyectiva b) )( ff  (Juan) = Hessel c) f es sobreyectiva
d) ffdomfrg =
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
5. Considere los conjuntos { }?,*,,bA β= y { }!,*,,α= aB . Sea BAf →: y ABg →: dos
funciones tales que: { })(?,),,(),,(),,( ∗∗αβ= abaf y { }?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= ag . Entonces es
VERDAD que:
a) { })(?,?),,(),,(?),,( β∗ββ= bgf  b) { }),(!),,(),,(),,( ∗∗∗α= aaagf 
c) { })(?,),,(),,(),,( ρ∗αβ= abagf  d) { }?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= agf 
e) { }?),(!),,(?),,(),,( aaagf ∗α=
6. Sea { }uoieaV ,,,,= y se define una función VVf →: por: uaf =)( ; ief =)( ;
aif =)( ; oof =)( y iuf =)( .
El rango de ff  es:
a) { }uoiea ,,,, b) { }uoia ,,, c) { }uoa ,, d) { }oia ,, e) { }uiea ,,,
7. Las gráficas:
representan las funciones BAf →: y DCg →: donde { }cbaC ,,= y { }3,2,1=D .
Determine ¿cuál de las siguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar?
a) gf  b) fg  c) ff 1−
d) 1−
gg  e) 11 −−
gf 
8. Dadas las funciones:
Entonces es VERDAD que:
a) f y g son sobreyectivas b) gf  es inyectiva c) fg  es biyectiva
d) El rango de gf  es igual a B . e) El rango de fg  es igual al rango de f .
9. Si f es una función de A en B y g es una función de B en C , entonces es VERDAD que:
a) gDomfgDom =
D
C
a b c
3
2
1
g
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
87
b) Si f es inyectiva, entonces fg  también lo es.
c) Si f y g son sobreyectivas, entonces fg  también lo es.
d) Si fg  es sobreyectiva entonces f también lo es.
e) )()( fRgfgRg =
10. Sean los conjuntos { },*1?,$,=A y { },*3,2,1=B , y sea BAf →: y ABg →: dos funciones
tales que: i { })1,(),,1(),($,),1(?, ∗∗∗=f y { }),3(),1,(,$),2(?),,1( ∗∗=g . Determine ¿cuál de las
siguientes proposiciones es FALSA?
a) g es una función inyectiva pero f no lo es.
b) El dominio de fg  es { }∗,1?,$, .
c) El rango de gf  es { }∗,1 .
d) )()1,1( gf ∈
e) El rango de fg  es igual al rango de g .
11. Sean las funciones { })5,4(),4,3(),3,2(),2,1(=g y { })7,6(),6,5(),5,4(),4,3(),3,2(=h
Entonces el valor de )1)(( gh  es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Dado el conjunto { }JulioMaríaMarioHildaTaniaA ,,,,= y las funciones: AAf →: y
AAg →: , definidas por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
;;;;
HildaJuliof
TaniaMariofMaríaMaríafJulioHildafMaríaTaniaf
=
====
( ) ( ) ( ) ( )
( ) MaríaJuliog
HildaMariogTaniaMaríagTaniaHildagMarioTaniag
=
==== ;;;;
Entonces
una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( )( ) JulioMariogf = b) g es inyectiva f∨ es sobreyectiva
c) f es inyectiva f∨ es función. d) ( )( ) MaríaHildafg = e) ( )( ) TaniaTaniafg =
13. Dado el conjunto { }5,4,3,2,1=A y las funciones AAf →: y :g AA → , tales que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35;24;13;12;41
25;14;33;52;31
=====
=====
ggggg
fffff
¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) ( )( ) 32 =gf  b) ( )( ) 15 =fg  c) f es inyectiva ó g es inyectiva.
d) ( )( ) 31 =gf  ó ( )( ) 33 =gf  e) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 112154 =∨=∨= fggffg 
14. Dado el conjunto { }dcbaA ,,,= y las funciones biyectivas AAf →: y AAg →: , donde
{ }),(),,(),,(),,( adbccbdaf = y ( ) ( ) ( ) ( ){ }adbccbdafg ,,,,,,,=
entonces la FUNCIÓN g es:
a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ddccbbaag ,,,,,,,= b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }addccbdag ,,,,,,,=
c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }addccbbag ,,,,,,,= d) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bdacdbcag ,,,,,,,=
e) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bdccdbaag ,,,,,,,=
15. Sean A y B conjuntos no vacíos, tal que: { }γβα= ,,A y { }ΨΩΣ= ,,B y BAf →: y
ABg →: dos funciones, tales que:
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )( ) α=βΩ=γβ=Σ
ΣγΨβΩα=
−
fggg
f
,,
,,,,,
1
entonces, es FALSO que:
a) ( ) ( ) ( ){ }αΨγΩβΣ= ,,,,,g b) f y g son funciones biyectivas.
c) gf  sí existe. d) ( )( ) γ=αfg  e) ( ) Ω=α−1
g
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
88
Miscelaneos
1. Sea el conjunto { }5,4,3,2,1=A y las funciones f y g de A en A tales que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,5,5,4,5,3,5,2,5,1=f y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,5,4,4,3,3,2,2,1,1=g . Entonces es FALSO que:
a) ( ) ggf =
b) ( ) { }5=gfrg 
c) ( ) fgf =
d) ( ) ( )fggf  =
e) ( ) { }5=fgrg 
2. Se tiene el conjunto { }uoieaA ,,,,= y la función f definida de A en A , tal que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }uuiooiaeeaf ,,,,,,,,,= , entonces es FALSO que:
a) ( ) fff  es inyectiva.
b) ( )ff  es la función identidad.
c) ( ) ffff ≠
d) f es inyectiva.
e) f es sobreyectiva.
3. Sean los conjuntos { }8/ ≤∧∈= nINnnA , { }4/ ≤∧∈= nINnnB y sea f una función de A en
B ; entonces es FALSO que:
a) f no puede ser sobreyectiva.
b) f no puede ser biyectiva.
c) f no puede ser inyectiva.
d) f no tiene inversa.
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son verdaderas.
4. Sean A y B dos conjuntos tales que: { }dcbaA ,,,= y { }feB ,= , entonces es VERDAD que:
a) ( ) BAdb ×∈,
b) ( ) ABaa ×∈,
c) ( ) BAcc ×∈,
d) ( ) BAea ×∈,
e) ( ) ABea ×∈,
5. Sean los conjuntos { }4,3,2,1=A y { }cbaB ,,= y las relaciones BAR :1 y BAR :2 tales
que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bccaaR ,4,,3,,2,,3,,11 = y ( ) ( ) ( ) ( ){ }aaccR ,3,,1,,2,,42 = . Entonces es
VERDAD que:
a) 1R y 2R son funciones.
b) ( ) 321 =∩ RRN
c) ( )21 RR − es una función
d) Si BA×=Re entonces 212 RRR C
⊂∩
e) BARR ×=∪ 21
6. Sean los conjuntos { },,,, ΘΠΩ∆=A y { }∞◊∑= ,,B y las funciones ABf : y BAg :
tales que ( ) ( ) ( ){ }∆∞Π◊Ω∑= ,,,,,f y ( ) ( ) ( ) ( ){ }∞Θ◊Ω∞Π∑∆= ,,,,,,,g
Entonces la FUNCIÓN fg  es:
a) ( ) ( ) ( ){ }∞∑◊∞∑◊= ,,,,,fg 
b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∆ΘΠΩ∆ΠΩ∆= ,,,,,,,fg 
c) ( ) ( ) ( ){ }∑∞∞◊◊∑= ,,,,,fg 
d) ( ) ( ) ( ) ( ){ }Θ∆ΩΠΠ∆∆Ω= ,,,,,,,fg 
e) No es posible construir fg 
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
89
7. Sean los conjuntos { }3,2,1=A y { }dcbaB ,,,= y las funciones BAf : y ABg : tales que
af =)1( , bf =)2( , cf =)3(
2)( =ag , 2)( =bg , 2)( =cg y 3)( =dg
Entonces es FALSO que:
a) f es inyectiva o g es sobreyectiva.
b) Bfrg ⊆
c) Si g es sobreyectiva entonces f es inyectiva.
d) Agrg ⊆
e) gf  es biyectiva
8. Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) Si ( ) 3=AN , ( ) 2=BN y ( ) 3=CN , entonces ( ) 18
2=×× CBAN
b) Si ( ) 3=AN y ( ) 2=BN , entonces ( ) 32)( =× BAPN
c) Si ( ) 3=AN , entonces ( ) 4)( =APN
d) Si ( ) 2=AN , entonces ( ) 8)( =APN
e) Si ( ) 3=AN , ( ) 3=BN y ( ) 2=CN entonces ( )( ) 18
2=×× CBAPN
9. Sean los conjuntos { }uoieaA ,,,,= y { }rlnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →:
tales que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }murolinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }irelanamg ,,,,,,,=
Entonces es FALSO que:
a) Si es posible construir gf  .
b) ( )( ) mmgf =
c) ( )( ) mnggf =
d) f y g no tienen inversa.
e) f no es una función inyectiva.
10. Sean los conjuntos { }3,2,1=A y { }6,4,2=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de BA →
es una FUNCIÓN?
a) { }xyBAyxr =×∈= /),(1
b) { }02/),(2 =−×∈= yxBAyxr
c) { }xyBAyxr >×∈= /),(3
d) { }1/),( 22
4 +−=×∈= xyBAyxr
e) { }xyBAyxr 3/),(5 =×∈=
11. Dados los conjuntos { }12,9,6,3=A y { }6,5,4,3,2,1=B . Indique ¿cuál de las siguientes relaciones de A
en B es una FUNCIÓN de A en B ?
a) { }2
5 /),( xyBAyxr =×∈=
b) { }xyBAyxr >×∈= /),(2
c) { }9/),(3 =×∈= xBAyxr
d)






=×∈=
3
2
/),(4
x
yBAyxr
e) { }3/),(1 =×∈= yBAyxr
12. Sean los conjuntos { }4,3,2,1=A , { }dcbaB ,,,= y { }3,2,1=C , las funciones BAf →: y
CBg →: tales que ( ) ( ) ( ) ( ){ }dacbf ,4,,3,,2,,1= y
( ) ( ) ( ) ( ){ }3,,2,,2,,1, dcbag =
entonces es FALSO que:
a) ( )( ) ddff =−1

b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }adcccbbagf ,,,,,,,=
c) ( ) 1−
gf  no existe.
d) ( ) { }4,3,2,1=fgDom 
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
90
e) ( )( ) 3=aggf 
13. Dados los conjuntos A = {♥, ♠, ♦} y B = {α, β, δ, γ} y las funciones f de A en B y g de B en A, tales que:
f = {(♥, β), (♠, α), (♦, γ)} y g = {(α, ♥), (β,♠), (δ,♦),(γ,♦)}
Entonces es VERDAD que:
a) g no es sobreyectiva
b) f es una función biyectiva
c) g es una función biyectiva
d) f es inyectiva y g es sobreyectiva.
e) f no es sobreyectiva y g es inyectiva
14. Sean los conjuntos { } { } { } { }zyxDytsrCBcbaA ,,,,,3,2,1,,, ==== . Y sean f: A  B, g :B 
C y h: C  D ,funciones tales que:
Entonces es VERDAD que:
a) ( )( ) ybhgf =
b) No es posible construir gf 
c) hg  = {(1, y), (2, x), (3, z)}
d) La función inversa de hf  existe
e) ( )( ) rcfg =
15. Si se dan los conjuntos { } { } { }7,6,5,4,3,2,1 === CBA , entonces es VERDAD que:
a) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )4,3,1 .
b) El producto cartesiano CA× contiene a la terna ( )6,3,1 .
c) El producto cartesiano CB× contiene a la terna ( )4,5 .
d) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )2,4,7 .
e) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )7,4,2 .
16. Sean los conjuntos A ={2,3,4} y B ={1,2,3,4,5,6,8} y sean f : A → B y g : B → A funciones tales que:
( ){ }abBAbaf 2/, =×∈=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g
entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva
b) f es inyectiva
c) ( )( ) 43 =fg 
d) ( )( ) 33 =gf 
e) ( )( ) 62 =fgf 
17. Sean A y B conjuntos tales que: { }4,3,2,1=A y { }cbaB ,,= y sean las relaciones T y S : BA  tales
que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }baccaT ,4,,3,,3,,2,,1= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }aaccS ,3,,1,,2,,4=
Entonces es VERDAD que:
a) T y S son funciones.
b) BAST ×=∪ .
c) T-S es una función.
d) T es una función y S no lo es.
e) S es función y T no lo es.
C
D
Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones
91
18. Sean los conjuntos { }uoieaA ,,,,= y { }srnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →:
tales que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }susorinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }isorenamg ,,,,,,,=
Entonces es VERDAD que:
a) f y g son sobreyectivas.
b) ( )( ) ssgf =
c) ( )( ) aofg =
d) La función ( )gf  es inyectiva.
e) ( ) BfgDom =

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Cap 4 relaciones y funciones

  • 1. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 66 4 4.1 PARES ORDENADOS 4.2 PRODUCTO CARTESIANO 4.3 REPRESENTACIÓN 4.4 RELACIONES 4.5 FUNCIONES Uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas es el de FUNCIÓN. Los cursos de Matemáticas Universitarias requieren como base que, el estudiante tenga nociones de las definiciones, propiedades y operaciones que giran en torno al concepto de función.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 67 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina conjuntos ordenados de dos, tres, cuatro y más componentes ( n componentes). • Obtenga producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. • Represente en diagramas de flechas el producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. • Defina relaciones, funciones, dominio e imagen. • Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para distinguir las funciones de las relaciones y para obtener dominios e imágenes. • Encuentre relaciones entre elementos de dos conjuntos y determine la regla de correspondencia de ser posible. • Defina funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Construya con conjuntos finitos funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. • Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función inversa de una función dada. • Infiera condiciones para la existencia de la función inversa. • Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función compuesta de una, dos, tres, etc. funciones. • Infiera condiciones para la existencia de la función compuesta. 4.1 PARES ORDENADOS Un PAR ORDENADO es un conjunto de dos elementos, llamados COMPONENTES, en donde importa el orden de dichas componentes. Es decir ( )yx, donde ≡x primera componente ≡y segunda componente También existen:  Conjuntos ordenados de 3 componentes (TERNAS ORDENADAS): ( )zyx ,, .  Conjuntos ordenados de 4 componentes: ( )4321 ,,, xxxx .  En general, conjuntos ordenados de “n” componentes: ( )nxxxx ,...,,, 321 . 4.2 PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces el producto cartesiano A con B , denotado por BA× , se define como: ( ){ }ByAxyxBA ∈∧∈=× /, Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su primera componente la tomamos del conjunto A y la segunda componente la tomamos del conjunto B . Ejemplo Sean los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB , entonces
  • 3. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 68 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }⊗⊗∗∗⊗=× ?,,?,,,,,,,1,,1 aaaBA Note que ( ) ( )BNANBAN =× )( El producto cartesiano de B con A sería: ( ){ }AyBxyxAB ∈∧∈=× /, Ejemplo Para los conjuntos anteriores { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }?,,,,1,,?,,,,1, ⊗∗⊗⊗∗=× aaaAB PREGUNTA: ¿CÓMO Y CÚALES SERÍAN AA× Y BB × ? La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es: ( ){ }CzByAxzyxCBA ∈∧∈∧∈=×× /,, Ejemplo Sean los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB , y { }¡,∇=C entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       ⊗∇⊗∇ ⊗∗∇⊗∗∗∇∗⊗∇⊗∇ =×× ¡,?,,,?,,¡,?,,,?, ,¡,,,,,,¡,,,,,,¡,,1,,,1,¡,,1,,,1 aa aaaa CBA Note que: ( ) ( ) ( ) ( )CNBNANCBAN =×× También se pueden obtener: BAA ×× , BCA ×× , ... ¿ENCUÉNTRELOS? 4.3 REPRESENTACIÓN A los pares ordenados se los suele representar gráficamente es un sistema bidimensional, lo cual trataremos con mayor profundidad más adelante. Ejercicios Propuestos 4.1 1. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela. a) {} { }3,2,11 ∈ b) {}11 ⊂ c) {} { }3,21 ⊂ d) ( ){ } { } { }3,23,13,2 ×⊆ e) ( ) { } { }4,3,13,24,3 ×∈ 2. Dados los conjuntos { } { } { }4,3,,,,2,1 === CzyxBA , entonces es VERDAD que: a) El producto cartesiano CBA ×× tiene 7 elementos.
  • 4. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 69 OBSERVE QUE: 1. BAr :1 2. BAr ×⊆1 b) El producto cartesiano CBA ×× contiene 17 elementos. c) El producto cartesiano CBA ×× contiene una terna ( )3,1,1 . d) El producto cartesiano CBA ×× posee 12 elementos. e) El producto cartesiano CBA ×× es imposible realizarlo. 4.4 RELACIONES Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto. Nace el concepto de relación o asociación. Podemos también relacionar sólo ciertos elementos de un conjunto con algunos elementos de otro conjunto. Es decir vamos a considerar los subconjuntos de BA× . Entonces formalmente podríamos definir a una relación de la siguiente manera: Sean A y B dos conjuntos. Una RELACIÓN r de A en B , denotada por BAr : , es una asociación de elementos (no necesariamente todos) de un conjunto A con elementos de un conjunto B . Es decir, tenemos que BAr ×⊆ . Note que no necesariamente AB ≠ , es decir que podrán existir:  Relaciones de A en A ( AAr : ) donde AAr ×⊆ .  Relaciones de B en A ( ABr : ) donde ABr ×⊆ .  Relaciones de B en B ( BBr : ) donde BBr ×⊆ . Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 Suponga que con los conjuntos { }?,,1∗=A y { }⊗= ,aB formamos la relación ( ) ( ) ( ){ }⊗∗∗= ,,,,,11 aar , la cual la podemos representar en un diagrama de flechas de la siguiente manera:
  • 5. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 70 )()()( 22 BNANBAN == × Ejemplo 2 Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos otra relación BAr :2 tal que, ( ) ( )( ) ( ){ }aaar ?,,,,1,,12 ∗⊗= . Que representada en un diagrama de flechas, tendríamos: En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones. Una regla para el número total de relaciones de A en B , que se pueden construir, es: CANTIDAD DE RELACIONES DE BA  Es decir, todos los subconjuntos de BA× , serían una relación. Para el caso anterior tendríamos 6422 623 ==× relaciones en total. No olvide de considerar la relación vacía Φ=r y la relación BAr ×= 4.4.1 DOMINIO DE UNA RELACIÓN
  • 6. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 71 Sea BAr : una relación. El DOMINIO de r , denotado por rDom , es el conjunto constituido por los elementos del conjunto A que estén considerados en la relación. Es decir: { yrxAxrDom /∈= , para algún }By ∈ Entonces rDom A⊆ . Algunos autores le llaman CONJUNTO DE PARTIDA. En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar a cuales elementos les salen las flechas. Ejemplo Para los dos ejemplos anteriores, tenemos: 1. { } ArDom ⊂∗= ,11 2. { } ArDom =∗= ?,,12 4.4.2 RANGO DE UNA RELACIÓN Sea BAr : una relación. El RANGO de r , denotado por rrg , es el conjunto constituido por los elementos del conjunto B que están relacionados con los elementos de su dominio. Es decir: { }DomrxparayrxByrrg ∈∀∈= ,/ Entonces rrg B⊆ . Es llamado también CONJUNTO DE LLEGADA. En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar los elementos a los cuales les están llegando flechas. Ejemplo 1 Para los casos anteriores, tenemos: 1. { } Barrg =⊗= ,1 2. { } Barrg =⊗= ,2
  • 7. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 72 El diagrama de flechas nos permite establecer rápidamente por inspección su dominio y su rango. 1. { } BarDom ⊂= 2. { } Arrg ⊂∗= ,1 Note además que: ABr ×⊂ Ejemplo 2 Suponga ahora que tenemos la relación ABr : , tal que, ( ) ( ){ }∗= aar ,1, . Realizando su diagrama de flechas tenemos: Ejercicio propuesto 4.2 1. Sean los conjuntos { }6,5,4,3,2=A y { }5,4,3,2,0=B y sea R una relación de A en B definida por ( ){ }AadondeabbaR ∈−== 1/, . Entonces el número de pares ordenados que pertenecen a la relación R es: a) 4 b) 3 c) 0 d) 5 e) 2 4.5 FUNCIONES El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más importantes de las Matemáticas 4.5.1 DEFINICIÓN Una relación de A en B , es una FUNCIÓN sí y sólo sí, cumple las dos condiciones siguientes: 1. ArDom = 2. Existe una CORRESPONDENCIA ÚNICA. Es decir, a un elemento del conjunto A no le debe corresponder dos o más elementos del conjunto B . Sólo uno le debe corresponder, no debe existir esta
  • 8. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 73 ambigüedad de correspondencia. Simbólicamente sería: ( )[ ]2121 yyyrxyrx =⇒∧ . 4.5.2 NOTACIÓN Lo más usual para denotar a una función es la letra “ f ”. Aunque se pueden emplear las letras “ g ”, “ h ”, y otras. Ejemplo 1 Sean los conjuntos { }?,,1 ⊗=A y { }!,0,,∗= aB y sea BAf : tal que, ( ) ( )( ){ }!?,,0,,,1 ⊗= af . Realizando el diagrama de flechas, observamos que: Ejemplo 2 Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como BAg →: tal que ( ) ( ) ( ){ }!?,,,,,1 aag ⊗= , cuyo diagrama de flechas sería: Ejercicio Resuelto Dados los conjuntos { }8,6,4,2=A y { }13,11,9,7,5,3,1=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de A en B es una función de A en B : a) { }xyBAyxR >×∈= /),(1 c) { }2/),(3 =×∈= xBAyxR b) { }12/),(2 −=×∈= xyBAyxR d) { }3/),(4 =×∈= yBAyxR De acuerdo a las definiciones, f es una función. Observamos que: 1. AgDom = ; y, 2. Existe correspondencia única. De todos y cada uno de los elementos del conjunto A le sale sólo una flecha. Por tanto g también es función. NOTA: No importa que a algún elemento de B le llegue más de una flecha.
  • 9. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 74 No es Función e) Ninguna de las anteriores relaciones es una función. SOLUCIÓN: Interpretemos cada opción con su respectivo diagrama de flechas. a) ( ){ } { })13,8(),7,4(,),7,2(),5,2(),3,2( /,1 = <×∈= yxBAyxR b) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }11,6,7,4,3,2 12/,2 = −=×∈= xyBAyxR c) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }13,2,11.2,9,2,7,2,5,2,3,2,1,2 2/,3 = =×∈= xBAyxR d) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,8,3,6,3,4,3,2 3/,4 = =×∈= yBAyxR Ejercicios propuestos 4 .3 1. Sean los conjuntos { }8,6,4,2=A y { }13,11,9,7,5,3=B . Una de las siguientes relaciones determina una función. Identifíquela: a) { }2/),(1 =×∈= bABabr b) { }baABabr >×∈= /),(2 c) { }12/),(3 −=×∈= baABabr d) { }7/),(4 =×∈= bBAbar e) { }8/),(5 =×∈= aABabr 2. Sean los conjuntos { }7,6,5,4,3,2,1=A y { }?@,,*,,Π∆=B . Si 21, rr y 3r son relaciones de A en B , tales que: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }Π∆=∆Π=Π∆= ,3,,4,,4,,3,,*2,@,1,,*7,,6,,5 321 rrr Entonces es VERDAD que: a) 21 rr − es una función. b) 21 rr ∪ es una función. c) 121 rrr =∪ d) 232 rrr =− e) ( ) 321 rrr −∪ es una función. 3. Sean los conjuntos { }3,2,1,0,1,2,3 −−−=A y { }4,3,2,1,0=B . Si 21, rr y 3r relaciones de A en B , tales que: { }1/),(1 +== xyyxr { }0/),(2 =+= yxyxr { })1,1(),0,0(3 −=r Entonces es VERDAD que: a) 21 rr ∪ es una función b) 21 rr − es una función c) ( ) 321 rrr −∪ es función d) 131 rrr =∪ No es Función No es Función Si es FUNCIÓN, por tanto esta es la RESPUESTA
  • 10. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 75 e) 232 rrr =− 4. Si se tiene la siguiente tabla de datos: Alumnos Edad en años Karla 12 Washington 11 Consuelo 16 Edison 14 Fernando 11 Margarita 17 y se definen los conjuntos: { xxX /= es una alumna y está en la tabla anterior } { yyY /= es un alumno y está en la tabla anterior } Diga ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?: a) { xyxr /),(1 = es de mayor edad que }y b) { xyxr /),(2 = es igual en edad que }y c) { xyxr /),(3 = es de menor o igual edad que }y d) { xyxr /),(4 = es de mayor o igual edad que }y e) Elija esta opción si niinguna de las relaciones anteriores representa una función.
  • 11. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 76 4.5.3 TIPOS DE FUNCIONES 4.5.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA Sea BAf : una función. Entonces f es INYECTIVA si y sólo si AxAx ∈∀∧∈∀ 21 se cumple que 2121 yyxx ≠⇒≠ donde ( ) ( )2211 xfyxfy =∧= . Es decir son funciones con correspondencia de UNO A UNO. Ejemplo Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }!,,, ⊗∗= aB y sea BAf : una función tal que: ( ) ( ) ( ){ }∗⊗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas sería: 4.5.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA Sea BAf : una función. Entonces f es SOBREYECTIVA si y sólo si se cumple que Bfrg = . Ejemplo Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }∗= ,aB y sea BAf : una función tal que: ( ) ( ) ( ){ }∗Π= ?,,,,,1 aaf . Entonces su diagrama de flechas es: Como a los elementos del rango de f les llega una y sólo una flecha, entonces existe correspondencia uno a uno. Por lo tanto esta función es INYECTIVA.. NOTE QUE: para construir funciones inyectivas se tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN ≤ . ¿POR QUÉ? Esta función es SOBREYECTIVA porque Bfrg = . NOTE QUE: para construir funciones sobreyectivas se tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN ≥ ¿POR QUÉ?
  • 12. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 77 4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA Una función f es BIYECTIVA, si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejemplo: Sean los conjuntos { }?,,1 Π=A y { }⊗∗= ,,aB y sea BAf : una función tal que: ( ) ( ) ( ){ }⊗∗Π= ?,,,,,1 af . Entonces su diagrama de flechas es: Finalmente, podríamos representar esta clasificación en un diagrama de Venn de la siguiente manera: 4.5.4 FUNCIÓN INVERSA Observe que: 1. Existe correspondencia uno a uno. 2. Bfrg = Por tanto esta función es BIYECTIVA. NOTE QUE: para construir funciones biyectivas se tiene que cumplir: ( ) ( )BNAN = ¿POR QUÉ?
  • 13. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 78 { }?),();,();1,(1 ⊗Π∗=− af ABf →− :1 BAf →: ⇒ Sea BAf : una función. Entonces la INVERSA de f , denotada como 1− f , si existe, es de B en A. Es decir ABf :1− Teorema 1− f existe, sí y sólo sí f es biyectiva. Ejemplo Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos: Note que: fDomfrg frgfDom = = − − 1 1 Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino de regreso. 4.5.5 FUNCIÓN COMPUESTA (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES) Se pueden construir funciones a partir de otras funciones. Ejemplo 1 Sean las funciones BAf : y CBg ∗ : cuyos diagramas de flechas son:
  • 14. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 79 ( ) ( ) (?))()(@ )()( )1()(@ fgg fgg fgag =∗= ◊=⊗=∆ == ? 1 ◊ ( ))()( xfgxfg = (?) )( )1( f f fa =∗ ◊=⊗ = COMPOSICIÓN Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto C , empleando las correspondencias de las funciones f y g . Entonces obtendríamos: La operación que hemos realizado se llama COMPOSICIÓN DE FUNCIONES y se obtuvo una nueva función, la función compuesta fg  , debido a que: NOTE QUE: 1. ( ) CAfg  : 2. ( ) ( ))()( xfgxfg = 3. fDomfgDom = 4. gDomfrg ⊆ , en este ejemplo tenemos { } { }baa ,,,,,, Π⊗∗⊂⊗∗ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA? EN OCASIONES también se puede encontrar la función compuesta gf  Aquí en cambio se cumple que: 1. ( ) ( ))()( xgfxgf = 2. ( ) gDomgfDom = 3. fDomgrg ⊆ . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA? ( ) ( ))()( xgfxgf =
  • 15. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 80 NOTE QUE: 1. BBgf  ∗ : 2. ( ) ( ))()(4 ∗== gfagf 3. ( ) ( ) ( ))()()(5 bgfgfgf ==⊗= Ejemplo 2 Suponga que f y g son funciones, tales que: Obteniendo la función compuesta gf  , tenemos: Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUNCIÓN BIYECTIVA CON SU INVERSA. Ejemplo 3 Suponga que f y 1− f son funciones, tales que, sus diagramas de flechas son: Entonces 1− ff  es: { }),(),,(),,(1 ⊗⊗∗∗=− aaff  , ésta es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN B : BIff =−1 
  • 16. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 81 Ejemplo 4 Ahora hallemos ff 1− , para el mismo ejemplo anterior: Entonces: { }?)(?,),,(),1,1(1 ◊◊=− ff  , esta en cambio es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN A : AIff =− 1 También hay momentos en que se puede realizar la COMPOSICIÓN DE MÁS DE DOS FUNCIONES. Ejemplo 5 )( fgh  , la cual esquemáticamente sería: )))((())(( xfghxfgh = Entonces: ( )( ) )))((()( xfghxfgh = Analicemos ejercicios que globalice todo lo mencionado.
  • 17. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 82 Ejercicio Resuelto 1 Dados los conjuntos { }@,,, Π∆⊕=A { },*!?,=B y las funciones ABf →: y BAg →: , tales que: ( ) ( ) ( ){ }⊕Π∆= *,,,!,?,f y ( ) ( ) ( ) ( ){ }@,*,,*,!,,?,: Π∆⊕g Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA a) fg  es inyectiva. b) g es sobreyectiva ∧ f es sobreyectiva. c) fg  es sobreyectiva. d) f es inyectiva ∧ g no es biyectiva . e) gf  no es inyectiva. SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos: a) Encontremos fg  b) (RESPUESTA) Esta opción es FALSA porque g SI es sobreyectiva f∧ NO es sobreyectiva de acuerdo a lo que se observa en sus diagramas de flechas respectivos. c) Esta opción es VERDADERA, porque fg  SI es sobreyectiva. d) Esta opción también es VERDADERA, porque f SI es inyectiva g∧ NO es biyectiva ( g no es inyectiva) . e) Encontremos gf  Observe que fg  es inyectiva, por tanto esta opción es VERDADERA. Observe que gf  no es inyectiva. Por tanto esta opción también es VERDADERA.
  • 18. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 83 Ejercicio Resuelto 2 Sean los conjuntos { }4,3,2=A y { }8,6,4,3,2,1=B y sean BAf →: y ABg →: funciones tales que: ( ){ }abBAbaf 2/, =×∈= y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g Entonces es FALSO que: a) g es sobreyectiva. b) f es inyectiva. c) ( )( ) 43 =fg  d) ( )( ) 33 =gf  e) ( )( ) 62 =fgf  SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos: a) Observamos que g SI es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA. b) Observamos que f SI es inyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA. c) Para hallar ( )( )3fg  , hagamos lo siguiente: Empezamos con 3 . Hallamos su correspondiente en f vemos que es 6 . Luego a este resultado le hallamos su correspondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta opción también es VERDADERA. d) Hallemos ( )( )3gf  igual que en la opción anterior. Observe que se obtiene como resultado final 6 , más no 3 , como indica la opción. Por tanto esta es la FALSA (RESPUESTA) e) Esta opción es VERDADERA, porque: 6)2)(( =fgf 
  • 19. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 84 La correspondencia final para “ t ” es “ s ” y no “ n ” como indica la opción. Por tanto esta opción es FALSA. Ejercicio resuelto 3 Dados los conjuntos { }uoieaV ,,,,= y { }tsrlnmC ,,,,,= y las funciones: { }),(),,(),,(),,(),,( surolinemaf = y { }),(),,(),,(),,(),,(),,( utosirelanamg = siendo CVf →: y VCg →: , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.: a) ntgf =))((  b) No es posible construir fg  c) f es inversa de g d) f y g son biyectivas e) { }srlnmgfrg ,,,,)( = SOLUCIÓN: Primero, los diagramas de flechas respectivos serían: Analizando cada opción, tenemos:. a) Hallemos ))(( tgf  , para lo cual el siguiente diagrama ayuda b) Hallemos fg  c) Observe que f no es biyectiva (¿POR QUÉ?), por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna función. Entonces esta opción también es FALSA. d) Ni f ni g son biyectivas (¿POR QUÉ?) Por tanto esta opción también es FALSA. e) Hallemos gf  Observe que, sí es posible construir fg  . Por Tanto esta opción también es FALSA. Observe que { }srlnmgfrg ,,,,= Por tanto esta opción es la VERDADERA.
  • 20. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 85 Ejercicio resuelto 4 Sean los conjuntos { }zyxA ,,= , { }rtsB ,,= , { }3,2,1=C y { }cbaD ,,= . Y BAf : DCh : y ADg : funciones tales que: { }),(),,(),,( zcxbyag = Entonces hgf  corresponde a: a) { }),3(),,2(),,1( tts b) { }),3(),,2(),,1( zyx c) { })3,(),2,(),1,( rts d) { }),3(),,2(),,1( yzx e) { }),(),,(),,( rczbya SOLUCIÓN: Note que { }),3(),,2(),,1( aabh = . El dominio de hgf  va a ser el dominio de h , entonces partiendo de estos elementos )3,2,1( le determinamos la respectiva correspondencia primero en g y luego sus resultados le determinamos su respectiva correspondencia en f . Obteniendo { }),3(),,2(),,1( ttshgf = . Por tanto la opción “a” es la VERDADERA. Ejercicios Propuestos 4.4 1. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que: a) Si ),()( BNAN ≤ no existe función alguna de A en B que sea inyectiva. b) Si ),()( BNAN > no existe funciones sobreyectivas de A en B . c) Si BAf →: es una función inyectiva, entonces ).()( BNAN > d) Si )(AN y )(BN son finitos y ),()( BNAN = existen más funciones inyecitvas que funciones sobreyectivas. e) Si BA ⊂ y 1)( =AN y 2)( =BN , existen más funciones de A en B que funciones de B en A . 2. Dados los conjuntos: { }ΟΠ∆Ω= ,,,A , { }+= ?,*,B , { }5,4,3,2,1=C y las relaciones 4321 ,,, rrrr y 5r definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ? a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,,4,,2,,1,1 ΟΠ∆Ω=r ; CrRg =1 . b) ( ) ( ) ( ){ }?,4,,3,,*12 +=r ; CrDom =2 . c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }+ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,3r es una función biyectiva. d) Si ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,,3,,2,,1,4 ΟΠ∆Ω=r y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }+= ,5,,*4,,*3,,*2,?,15r entonces 45 rr  es una función inyectiva. e) Si ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }ΠΟΠ∆Ω= ,5,4,,3,,2,,16r y ( ) ( ) ( ) ( ){ }+ΟΠ∆Ω= ,,,*,,*,?,7r entonces 67 rr  es función sobreyectiva. 3. Dado los conjuntos: { }srqpA ,,,= y { }ponmB ,,,= y las funciones A en B . { }),(),,(),,(),,( nsmrpqmpf = y { }),(),,(),,(),,( osnrmqppg = entonces es CIERTO que:
  • 21. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 86 a) gf ∪ es una función inyectiva. b) g es sobreyectiva pero no inyectiva. c) f es inyectiva pero no sobreyectiva. d) g es una función biyectiva. e) f es una función biyectiva. 4. Sea el conjunto =A {Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan} y f una función tal que AAf →: con la siguiente definición: f (Elena) = Hessel, f (Hessel) = Elsi, f (Elsi) = Angel, f (Angel) = Elena, f (Juan) = Elena entonces, será verdad que: a) ff  es inyectiva b) )( ff  (Juan) = Hessel c) f es sobreyectiva d) ffdomfrg = e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas. 5. Considere los conjuntos { }?,*,,bA β= y { }!,*,,α= aB . Sea BAf →: y ABg →: dos funciones tales que: { })(?,),,(),,(),,( ∗∗αβ= abaf y { }?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= ag . Entonces es VERDAD que: a) { })(?,?),,(),,(?),,( β∗ββ= bgf  b) { }),(!),,(),,(),,( ∗∗∗α= aaagf  c) { })(?,),,(),,(),,( ρ∗αβ= abagf  d) { }?),(!),,(?),,(),,( β∗βα= agf  e) { }?),(!),,(?),,(),,( aaagf ∗α= 6. Sea { }uoieaV ,,,,= y se define una función VVf →: por: uaf =)( ; ief =)( ; aif =)( ; oof =)( y iuf =)( . El rango de ff  es: a) { }uoiea ,,,, b) { }uoia ,,, c) { }uoa ,, d) { }oia ,, e) { }uiea ,,, 7. Las gráficas: representan las funciones BAf →: y DCg →: donde { }cbaC ,,= y { }3,2,1=D . Determine ¿cuál de las siguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar? a) gf  b) fg  c) ff 1− d) 1− gg  e) 11 −− gf  8. Dadas las funciones: Entonces es VERDAD que: a) f y g son sobreyectivas b) gf  es inyectiva c) fg  es biyectiva d) El rango de gf  es igual a B . e) El rango de fg  es igual al rango de f . 9. Si f es una función de A en B y g es una función de B en C , entonces es VERDAD que: a) gDomfgDom = D C a b c 3 2 1 g
  • 22. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 87 b) Si f es inyectiva, entonces fg  también lo es. c) Si f y g son sobreyectivas, entonces fg  también lo es. d) Si fg  es sobreyectiva entonces f también lo es. e) )()( fRgfgRg = 10. Sean los conjuntos { },*1?,$,=A y { },*3,2,1=B , y sea BAf →: y ABg →: dos funciones tales que: i { })1,(),,1(),($,),1(?, ∗∗∗=f y { }),3(),1,(,$),2(?),,1( ∗∗=g . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) g es una función inyectiva pero f no lo es. b) El dominio de fg  es { }∗,1?,$, . c) El rango de gf  es { }∗,1 . d) )()1,1( gf ∈ e) El rango de fg  es igual al rango de g . 11. Sean las funciones { })5,4(),4,3(),3,2(),2,1(=g y { })7,6(),6,5(),5,4(),4,3(),3,2(=h Entonces el valor de )1)(( gh  es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Dado el conjunto { }JulioMaríaMarioHildaTaniaA ,,,,= y las funciones: AAf →: y AAg →: , definidas por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ;;;; HildaJuliof TaniaMariofMaríaMaríafJulioHildafMaríaTaniaf = ==== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MaríaJuliog HildaMariogTaniaMaríagTaniaHildagMarioTaniag = ==== ;;;; Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( )( ) JulioMariogf = b) g es inyectiva f∨ es sobreyectiva c) f es inyectiva f∨ es función. d) ( )( ) MaríaHildafg = e) ( )( ) TaniaTaniafg = 13. Dado el conjunto { }5,4,3,2,1=A y las funciones AAf →: y :g AA → , tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35;24;13;12;41 25;14;33;52;31 ===== ===== ggggg fffff ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) ( )( ) 32 =gf  b) ( )( ) 15 =fg  c) f es inyectiva ó g es inyectiva. d) ( )( ) 31 =gf  ó ( )( ) 33 =gf  e) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 112154 =∨=∨= fggffg  14. Dado el conjunto { }dcbaA ,,,= y las funciones biyectivas AAf →: y AAg →: , donde { }),(),,(),,(),,( adbccbdaf = y ( ) ( ) ( ) ( ){ }adbccbdafg ,,,,,,,= entonces la FUNCIÓN g es: a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ddccbbaag ,,,,,,,= b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }addccbdag ,,,,,,,= c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }addccbbag ,,,,,,,= d) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bdacdbcag ,,,,,,,= e) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bdccdbaag ,,,,,,,= 15. Sean A y B conjuntos no vacíos, tal que: { }γβα= ,,A y { }ΨΩΣ= ,,B y BAf →: y ABg →: dos funciones, tales que: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) α=βΩ=γβ=Σ ΣγΨβΩα= − fggg f ,, ,,,,, 1 entonces, es FALSO que: a) ( ) ( ) ( ){ }αΨγΩβΣ= ,,,,,g b) f y g son funciones biyectivas. c) gf  sí existe. d) ( )( ) γ=αfg  e) ( ) Ω=α−1 g
  • 23. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 88 Miscelaneos 1. Sea el conjunto { }5,4,3,2,1=A y las funciones f y g de A en A tales que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,5,5,4,5,3,5,2,5,1=f y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,5,4,4,3,3,2,2,1,1=g . Entonces es FALSO que: a) ( ) ggf = b) ( ) { }5=gfrg  c) ( ) fgf = d) ( ) ( )fggf  = e) ( ) { }5=fgrg  2. Se tiene el conjunto { }uoieaA ,,,,= y la función f definida de A en A , tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }uuiooiaeeaf ,,,,,,,,,= , entonces es FALSO que: a) ( ) fff  es inyectiva. b) ( )ff  es la función identidad. c) ( ) ffff ≠ d) f es inyectiva. e) f es sobreyectiva. 3. Sean los conjuntos { }8/ ≤∧∈= nINnnA , { }4/ ≤∧∈= nINnnB y sea f una función de A en B ; entonces es FALSO que: a) f no puede ser sobreyectiva. b) f no puede ser biyectiva. c) f no puede ser inyectiva. d) f no tiene inversa. e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son verdaderas. 4. Sean A y B dos conjuntos tales que: { }dcbaA ,,,= y { }feB ,= , entonces es VERDAD que: a) ( ) BAdb ×∈, b) ( ) ABaa ×∈, c) ( ) BAcc ×∈, d) ( ) BAea ×∈, e) ( ) ABea ×∈, 5. Sean los conjuntos { }4,3,2,1=A y { }cbaB ,,= y las relaciones BAR :1 y BAR :2 tales que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bccaaR ,4,,3,,2,,3,,11 = y ( ) ( ) ( ) ( ){ }aaccR ,3,,1,,2,,42 = . Entonces es VERDAD que: a) 1R y 2R son funciones. b) ( ) 321 =∩ RRN c) ( )21 RR − es una función d) Si BA×=Re entonces 212 RRR C ⊂∩ e) BARR ×=∪ 21 6. Sean los conjuntos { },,,, ΘΠΩ∆=A y { }∞◊∑= ,,B y las funciones ABf : y BAg : tales que ( ) ( ) ( ){ }∆∞Π◊Ω∑= ,,,,,f y ( ) ( ) ( ) ( ){ }∞Θ◊Ω∞Π∑∆= ,,,,,,,g Entonces la FUNCIÓN fg  es: a) ( ) ( ) ( ){ }∞∑◊∞∑◊= ,,,,,fg  b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∆ΘΠΩ∆ΠΩ∆= ,,,,,,,fg  c) ( ) ( ) ( ){ }∑∞∞◊◊∑= ,,,,,fg  d) ( ) ( ) ( ) ( ){ }Θ∆ΩΠΠ∆∆Ω= ,,,,,,,fg  e) No es posible construir fg 
  • 24. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 89 7. Sean los conjuntos { }3,2,1=A y { }dcbaB ,,,= y las funciones BAf : y ABg : tales que af =)1( , bf =)2( , cf =)3( 2)( =ag , 2)( =bg , 2)( =cg y 3)( =dg Entonces es FALSO que: a) f es inyectiva o g es sobreyectiva. b) Bfrg ⊆ c) Si g es sobreyectiva entonces f es inyectiva. d) Agrg ⊆ e) gf  es biyectiva 8. Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que: a) Si ( ) 3=AN , ( ) 2=BN y ( ) 3=CN , entonces ( ) 18 2=×× CBAN b) Si ( ) 3=AN y ( ) 2=BN , entonces ( ) 32)( =× BAPN c) Si ( ) 3=AN , entonces ( ) 4)( =APN d) Si ( ) 2=AN , entonces ( ) 8)( =APN e) Si ( ) 3=AN , ( ) 3=BN y ( ) 2=CN entonces ( )( ) 18 2=×× CBAPN 9. Sean los conjuntos { }uoieaA ,,,,= y { }rlnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →: tales que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }murolinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }irelanamg ,,,,,,,= Entonces es FALSO que: a) Si es posible construir gf  . b) ( )( ) mmgf = c) ( )( ) mnggf = d) f y g no tienen inversa. e) f no es una función inyectiva. 10. Sean los conjuntos { }3,2,1=A y { }6,4,2=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de BA → es una FUNCIÓN? a) { }xyBAyxr =×∈= /),(1 b) { }02/),(2 =−×∈= yxBAyxr c) { }xyBAyxr >×∈= /),(3 d) { }1/),( 22 4 +−=×∈= xyBAyxr e) { }xyBAyxr 3/),(5 =×∈= 11. Dados los conjuntos { }12,9,6,3=A y { }6,5,4,3,2,1=B . Indique ¿cuál de las siguientes relaciones de A en B es una FUNCIÓN de A en B ? a) { }2 5 /),( xyBAyxr =×∈= b) { }xyBAyxr >×∈= /),(2 c) { }9/),(3 =×∈= xBAyxr d)       =×∈= 3 2 /),(4 x yBAyxr e) { }3/),(1 =×∈= yBAyxr 12. Sean los conjuntos { }4,3,2,1=A , { }dcbaB ,,,= y { }3,2,1=C , las funciones BAf →: y CBg →: tales que ( ) ( ) ( ) ( ){ }dacbf ,4,,3,,2,,1= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,,2,,2,,1, dcbag = entonces es FALSO que: a) ( )( ) ddff =−1  b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }adcccbbagf ,,,,,,,= c) ( ) 1− gf  no existe. d) ( ) { }4,3,2,1=fgDom 
  • 25. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 90 e) ( )( ) 3=aggf  13. Dados los conjuntos A = {♥, ♠, ♦} y B = {α, β, δ, γ} y las funciones f de A en B y g de B en A, tales que: f = {(♥, β), (♠, α), (♦, γ)} y g = {(α, ♥), (β,♠), (δ,♦),(γ,♦)} Entonces es VERDAD que: a) g no es sobreyectiva b) f es una función biyectiva c) g es una función biyectiva d) f es inyectiva y g es sobreyectiva. e) f no es sobreyectiva y g es inyectiva 14. Sean los conjuntos { } { } { } { }zyxDytsrCBcbaA ,,,,,3,2,1,,, ==== . Y sean f: A  B, g :B  C y h: C  D ,funciones tales que: Entonces es VERDAD que: a) ( )( ) ybhgf = b) No es posible construir gf  c) hg  = {(1, y), (2, x), (3, z)} d) La función inversa de hf  existe e) ( )( ) rcfg = 15. Si se dan los conjuntos { } { } { }7,6,5,4,3,2,1 === CBA , entonces es VERDAD que: a) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )4,3,1 . b) El producto cartesiano CA× contiene a la terna ( )6,3,1 . c) El producto cartesiano CB× contiene a la terna ( )4,5 . d) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )2,4,7 . e) El producto cartesiano CBA ×× contiene a la terna ( )7,4,2 . 16. Sean los conjuntos A ={2,3,4} y B ={1,2,3,4,5,6,8} y sean f : A → B y g : B → A funciones tales que: ( ){ }abBAbaf 2/, =×∈= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g entonces es FALSO que: a) g es sobreyectiva b) f es inyectiva c) ( )( ) 43 =fg  d) ( )( ) 33 =gf  e) ( )( ) 62 =fgf  17. Sean A y B conjuntos tales que: { }4,3,2,1=A y { }cbaB ,,= y sean las relaciones T y S : BA  tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }baccaT ,4,,3,,3,,2,,1= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }aaccS ,3,,1,,2,,4= Entonces es VERDAD que: a) T y S son funciones. b) BAST ×=∪ . c) T-S es una función. d) T es una función y S no lo es. e) S es función y T no lo es. C D
  • 26. Moisés Villena Muñoz Relaciones y Funciones 91 18. Sean los conjuntos { }uoieaA ,,,,= y { }srnmB ,,,= y las funciones BAf →: y ABg →: tales que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }susorinemaf ,,,,,,,,,= y ( ) ( ) ( ) ( ){ }isorenamg ,,,,,,,= Entonces es VERDAD que: a) f y g son sobreyectivas. b) ( )( ) ssgf = c) ( )( ) aofg = d) La función ( )gf  es inyectiva. e) ( ) BfgDom =