Cap 5 numeros

Moisés Villena Muñoz Números
91
5
5.1 CLASIFICACIÓN
5.2 NÚMEROS REALES
• PROPIEDADES
• OPERACIONES
• EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando interaccionamos con
los números. Si queremos contar, mencionar nuestra edad, nuestro peso, la cantidad de
dinero que poseemos,..., necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para
estudios más formales, debemos definirlos, clasificarlos, estudiar sus propiedades…

92
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Clasifique a los números
• Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales.
• Defina operación binaria.
• Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada es binaria o no.
• Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del elemento idéntico,
existencia del elemento inverso.
• Construya ejemplos de operaciones binarias.
• Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes, radicales, producto
notable, factorización.
5.1 CLASIFICACIÓN
La clasificación de los números la observamos en el siguiente
cuadro:
























−
+




















−
+
















−
+





−
aginarios
IesIrracional
iosFraccionar
Znegativos
Cero
INNaturalesPositivos
ZEnteros
QRacionales
IRales
CCOMPLEJOS
Im
:
:
0:
::
:
:
:Re
:
Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los
números complejos C . Todo número complejo tiene la forma:
bia +
Es decir, se compone de dos partes:
1. Parte real “ a ”
2. Parte imaginaria “ b ”
Si 0=a tenemos a los números imaginarios.
Si 0=b tenemos a los números reales.
5.2 NUMEROS REALES: IR
Los números reales están clasificados en dos grandes grupos:
1. Los números Racionales: Q.
2. Los números Irracionales: I .

93
5.2.1 NÚMEROS RACIONALES. Q
Los números racionales son todos aquellos que pueden ser
expresados como una fracción
q
p
, donde Zqp ∈∧ .
Por tanto a este conjunto pertenecen:
 Los ENTEROS )(Z . Estos números no tienen parte decimal, por
ejemplo:
...
3
6
5
10
2
4
2 ====
 Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por
ejemplo:
10
31
1.3 =
100
523
23.5 =
 Los números que tienen una cantidad infinita de decimales
periódicos, por ejemplo:
...131313.3=a
...42535353.2=b
Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN
CORRESPONDIENTE?.
Para lo cual, tenemos la siguiente regla:
REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL
PERIÓDICO EN FRACCIÓN.
1. Identificar el primer período.
2. Encontrar dos números. Uno, cuyo punto
decimal aparezca después del primer período
y el otro, cuyo punto decimal aparezca
antes del primer período.

94
3. Restar estos números. Observe que el
número resultante es un entero.
4. Encontrar el número.
Bien, apliquemos la regla para convertir los dos últimos números
anteriores en sus respectivas fracciones:
Ejemplo 1
Para el número

...131313.3=a los números a restar serían:
000000.31099
...131313.3
...131313.313100
=
=−
=
a
a
a
por lo tanto
99
310
=a
Ejemplo 2
Para el número

...53535342.2=b los números a restar serían:
00000.240119900
...535353.242100
...535353.2425310000
=
=−
=
b
b
b
por lo tanto
9900
24011
=b
Finalmente hallemos la fracción equivalente para este otro número
racional.
Ejemplo 3
Si

...5125125120.3=c los números a restar serían:
...000000.304829990
...512512.3010
...512512.3051210000
=
=−
=
c
c
c
por
lo tanto
9990
30482
=c ¿SE PUEDE SIMPLIFICAR? ¿CÓMO QUEDARÍA?
Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se
obtiene el número en forma decimal.
Ejercicios Propuestos 5.1

95
1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números:
a) 02.2
b) 0101010101.0
c) 14161616.3

96
5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES I
Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción.
Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.
Existen infinita cantidad de números irracionales, pero los típicos,
usados frecuentemente, son:
...718281.2=e
...1415926.3=π
...41421356.12 = etc.
PREGUNTA: Los números
2
π
,
2
2
,
2
e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES? ¿POR QUÉ?
5.2.3 REPRESENTACIÓN
Los números reales se pueden representar sobre la RECTA
NUMÉRICA.
Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los
otros números reales no se los pueda ubicar sobre la recta numérica, es
cuestión de observarlos como decimales.
Ejercicio Propuesto 5.2
Ubique en la recta numérica los siguientes números:
a) 14.3
b)
5
4
c)
6
7
d) 1.2−
e)
4
3−
f)
4
9−
5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN
En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números
que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que
quedan a la derecha serán mayores que este número.

97
Esquemáticamente sería:
Se puede decir que nm > ó lo que es lo mismo que mn < .
Además, todos los números que están a la izquierda de m son
menores que éste, y los que están a la derecha son mayores.
1. Si IR=Re el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el
conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA:
a) IIIR =∩ b) IRIZQ =∪∪ )( c) φ=∩ IQ d) ZIIR =−
e) QQZI =∪∩ )(
2. Si se consideran los siguientes conjuntos de números:
N : Naturales IR : Reales Z : Enteros I : Irracionales Q : Racionales
Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela.
a) IRQN ⊆∪ )( b) IRQI =∩ c) QZ ⊆ d) ZN ⊆
e) )( IQN ∪⊆
3. Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:
a) φ=∩ IQ b) QNQ =∪ c) IRIN C
=∩ )( d) IRIQIR ∩=−
e) QNQ =−
4. Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales, I = números irracionales
y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA:
a) IRN ⊂ b) φ=∩ IQ c) IRIN ⊂∪ )( d) )( IQIR ∪=
e) IRIZN ⊂⊂⊂
5. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) 24 −= siempre que π−2 es un número racional.
b) 3
5
10
5 =





+ ó ( ) 2
15 −
− es un número negativo.
c) El número
e
e)2(
es racional.
d) Si 1 es irracional, entonces 413 −=− .
e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

98
5.2.5 OPERACIONES
Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros
números reales. Existen las operaciones convencionales como son la
ADICIÓN y la MULTIPLICACIÓN (RESTA Y DIVISIÓN)
5.2.5.1 ADICIÓN
Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de
estos números se la denota como ba + y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. abba +=+ , CONMUTATIVA
2. cbacba ++=++ )()( , ASOCIATIVA
3. aa =+ 0 , donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO”
4. 0)( =−+ aa , donde a− es llamado “INVERSO ADITIVO DE
a ”
La operación RESTA ba − se la considera como una suma de
a con el inverso aditivo de b , es decir: ( )ba −+ .
5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN
Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de
estos números se la denota como ba ⋅ y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. abba ⋅=⋅ ; CONMUTATIVA
2. cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()( ; ASOCIATIVA
3. aa =⋅1 donde 1es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO”
4. 1)
1
( =⋅
a
a donde
a
1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” ( 0≠a )
La operación DIVISIÓN ba ÷ se la considera como una
multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:






⋅
b
a
1
, donde 0≠b .
NOTA: La división entre cero no se define.

99
5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS
Además de las operaciones anteriores, se pueden definir otras,
ya no convencionales, sobre los números reales o sobre cualquier
otro conjunto.
Sea S un conjunto cualquiera y sea
SbSa ∈∧∈ . Suponga que se define la operación
“∗”. Esta operación será BINARIA si y sólo si
al par ( )ba, le asignamos un único elemento de
S , es decir el resultado de ( )ba ∗ debe ser un
elemento de S .
Simbólicamente:
( ) baba
SSS
∗
×∗


,
:""
Ejemplo 1
Sea el conjunto IRS = y “ ∗ ” una operación definida de la siguiente manera:
baba 2+=∗ .
Es decir que si 2=a y 3=b , entonces ( ) 832232 =+=∗ en otro caso, si 3−=a y 4=b , entonces
( ) ( ) 542343 =+−=∗− . En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos de S ,
no necesariamente diferentes.
Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.
Ejemplo 2
En cambio , si tomamos al conjunto +
= IRS y “∗ ” la operación definida de la siguiente
manera: baba 2−=∗ .
NO ES BINARIA, porque si 2=a y 4=b entonces
+
∉−=−=∗ R6)4(2242
Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario,
pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de
disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias.
También lo serían las operaciones de Unión e Intersección
sobre el Conjunto de todos los conjuntos.
Una operación Binaria podría cumplir con las
siguientes propiedades:

100
1. CONMUTATIVA si, [ ]abbaSbSa ∗=∗∈∀∈∀ ,
2. ASOCIATIVA si,
( ) ( )[ ]cbacbaScSbSa ∗∗=∗∗∈∀∈∀∈∀ ,,
3. PROPIEDAD DEL NEUTRO
si, [ ]anaSaSn =∗∈∀∈∃ , , n es llamado el elemento
neutro, idéntico o nulo.
4. PROPIEDAD DEL INVERSO si
[ ]nIaSISa =∗∈∃∈∀ , , I es llamado el inverso de
a .
Ejemplo 3
La operación binaria baba 2+=∗ definida sobre IRS = .
1. NO ES CONMUTATIVA, porque baabab ∗≠+=∗ 2
2. TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque
( ) ( )
cba
cbacba
22
2
++=
∗+=∗∗
es diferente a
( ) ( )
( )
cba
cba
cbacba
42
22
2
++=
++=
+∗=∗∗
3. EL NEUTRO sería: ???????
4. El INVERSO sería: ???????
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio Resuelto 1
Si “ ∗” es una operación binaria definida sobre Z de la manera abbaba 222
−+=∗ ,
identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?:
a) ( ) 6352 =∗∗ b) La operación “∗” es asociativa
c) 010 =∗ d) La operación “∗” es conmutativa
e) 6252 ∗≥∗
SOLUCIÓN:
a) Calculemos
( ) ( )( )( )
( )
( )( )
36
39239
39
352252352
22
22
=
−+=
∗=
∗−+=∗∗
más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.

101
Entonces es FALSO que:
a) ∆∗Ο∗Π=∆∗Ο∗Π )()(
b) El neutro de la operación es Π
c) ∆=Ο∗Ο∗Π )(
d) Ο=∆∗Ο∗Π )(
e) La operación es conmutativa
b) Para que la operación sea asociativa debe cumplir ( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗ , entonces hallemos
( ) ( )
( ) ( )cabbacabba
cabbacba
222
2
222222
22
−+−+−+=
∗−+=∗∗
y
( ) ( )
( ) ( )bccbabccba
bccbacba
222
2
222222
22
−+−−++=
−+∗=∗∗
los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.
c) ( )( ) 11021010 22
=−+=∗ mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA
d) Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que abba ∗=∗ , entonces
como abbaba 222
−+=∗ y como baabab 222
−+=∗ la operación si es conmutativa,
por tanto esta es la opción VERDADERA .
e) Es FALSA ¿POR QUÉ?
Sea { }ΠΟ∆= ,,S un conjunto sobre el que se define una operación binaria “∗”
representada en el siguiente cuadro:
SOLUCIÓN: Analicemos cada opción:
a) De acuerdo al cuadro ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π y como ( ) ( ) Π=∆∗Ο=∆∗Ο∗Π , por lo tanto esta
opción es VERDADERA.
b) De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con Π se obtiene los mismos
elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es
VERDADERA.
c) ( ) ( ) ∆=∆∗Π=Ο∗Ο∗Π Esta opción también es VERDADERA.
d) ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π que es diferente de Ο , por tanto esta es la opción FALSA.
e) Es VERDADERA ¿POR QUÉ?
1. Sea la siguiente operación: ZZZ →×:* , tal que yxyx += 2
*
Entonces es VERDAD que:
a) ∗ no es una operación binaria. b) )20(12)01( ∗∗=∗∗
c) La operación es conmutativa. d) La operación es asociativa.
e) 00)12( =∗∗
2. Sea { }cbaS ,,= ; sobre este conjunto se define la operación binaria " ∆ " por medio de la tabla:
∆ a b c
a b a a
b b c b
c a b c
Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA:
a) caa =∆ )(
b) La operación binaria “ ∆ ” es conmutativa
c) [ ]acbaa ∆∆=∆ )()(
d) [ ]ccbbb ∆∆=∆ )()(
e) [ ] )()()( bccaba ∆≠∆∆∆
∗ ∆ Ο Π
∆ Ο Π ∆
Ο Π ∆ Ο
Π ∆ Ο Π

102

103
5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros
números. Combinando las operaciones para diversos números puede ser
necesario expresarlas para luego obtener su resultado.
Ejemplo 1
3
4
1
5
4
3
1
+
−
−
Sin embargo en ocasiones pueden aparecer además letras y no sólo
números. Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Debemos precisar que una expresión algebraica simple está
compuesta por:

  

Término
LiteralParte
eCoeficient
bca 32
3
Existen expresiones algebraicas compuestas por:
 Sólo un término, se llaman MONOMIOS.
 Dos términos, se llaman BINOMIOS.
 Tres términos, se llaman TRINOMIOS.
 Más de un término ó también n términos, se llaman
POLINOMIOS.

104
5.2.6.1 FRACCIONES
Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos
definiciones sobre las fracciones algebraicas.
Una fracción está compuesta por:
rDenominado
Numerador
B
A
→
5.2.6.1.1 Operaciones
Usted puede realizar las siguientes operaciones con las
fracciones:
1. SUMA:
BD
CBAD
D
C
B
A +
=+
2. MULTIPLICACIÓN:
BD
AC
D
C
B
A
=











3. DIVISIÓN:
BC
AD
C
D
B
A
D
C
B
A
=











=
No olvide que la división entre cero no está definida.
Con estas operaciones, en ocasiones es necesario reducir una
expresión algebraica a la mínima expresión.
Ejemplo 1
Si IRx∈ ( )0=∧¬ x ( )1=∧¬ x , la siguiente expresión algebraica:
x
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
se REDUCE a:
a) ( )1−xx b) ( ) xx /1− c) x d) x/1 e) ( )x11+
SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose
las operaciones desde la más interna hasta la externa:

105
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
=−=
−+
−=
−
−
−
−=
−
−−
−
−=
−
−
−
−=
−
−
−
−=
−
−
−
−
Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.
1. Si se simplifica la expresión
2
1
1
1
x
x
x
x
−
+
se obtiene:
a) 1 b) x c) x
1 d)
2
1
x
e)
2
xx −
2. Al simplificar la expresión algebraica:
1
1
+
−
+
−
v
u
w
w
v
u
u
u
se obtiene:
a)
w
u
b)
u
v
c )
v
u
d)
w
v
e) 1
3. Al SIMPLIFICAR:
1
2
2
2
1
2
+
−
−
+
−+
−
x
x
x
x
x
x
se obtiene: a) 58 +x b) x4 c) 15 −x d) 23 +x e) 1−x
4. Al SIMPLIFICAR la expresión:
1
11
1
1
11
1
+





+
+
−
+
+
−





+
+
+
+
+
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
se obtiene: a)
)1(
)(
+
+
ab
ba
b) a c) ba − d)
a
1
e)1
5. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
xx
x
x
x
x
−
−
+
+
−
−
−
+
1
1
1
1
1
1
1
1
, se obtiene:
a) 1 b) x+1 c) x−1 d) 2− e) 2
6. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )
x
x
x
x
x
x
−
−
+
÷
−
−
111
1
1
Se obtiene:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 2)
2
12
)
2
12
)
12
2
)
2
12
)
−
−−
−+
+−
+−
xe
x
xx
d
x
xx
c
xx
x
b
x
xx
a

106
5.2.6.2 EXPONENTES
Existen expresiones algebraicas que poseen exponentes:

vecesn
n
aaaaa .....=
donde ≡a base y ≡n exponente
Entonces para simplificar estas expresiones habrá que hacer uso de
las leyes de los exponentes, es decir:
1. mnmn
aaa +
=.
2. mn
m
n
a
a
a −
=
3. ( )nnn
abba =
4.
n
n
n
b
a
b
a






=
5. ( ) nmmn
aa =
5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios)
Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los
radicales.
nn aa =
1
donde 0≥a cuando n es par.
Entonces: ( )mnn mn
m
aaa ==
La utilidad de esto último observamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Queremos calcular 3 53
5
88 = , entonces es mejor observarlo como ( ) 3228 553 == .
Bien, analicemos los siguientes ejercicios.
Además considere
que:
1.
11 −
= a
a
y
2. 10
=a

107
Si )0( =¬∧∈ aIRa , entonces la expresión:
3
1
3 2
2
1
3 2
6
6 5
3
2
2
−
−








+
a
a
aa
a
a
aa
es equivalente a: a) 4 b)
a
2 c)
a
8 d) a4 e) a2
SOLUCIÓN: Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:
[ ]
[ ]
4
22
2
2
2
22
1
11
3
3
6
6
6
6
3
1
3
2
6
7
6
1
6
5
6
1
3
1
3
2
2
1
3
2
6
1
6
5
3
2
2
1
3
1
3 2
2
13 2
6
6 5
3
2
=
=
+=






+=










+=










+=










+
−
−−
−−
−
−
−
−
−
−
aa
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa
Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.
La expresión:
m
mm
mm
m
m
32
3
3
23
1098
6125274
es equivalente a: a)
mmm 32
532 b)
m
2 c) 1 d)
m
3 e)
m
5
SOLUCIÓN: Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes,
tenemos:
( )
( )
1
532
532
2532
32532
2532
32532
1098
6125274
334
334
333
2232
32
6
3
3
233
3
2
32
3
3
23
=
=
=
×
×
=
mmm
mmm
mmmm
mmmmm
m
mm
mm
m
m
m
mm
mm
m
m
Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”.
La expresión:
3
7527
3216
8328
5
3
−
+






 −
Se reduce a: a)
8
1− b)
8
15− c)
8
2− d)
8
1 e)
8
15
SOLUCIÓN:

108
3
3533
264
2628
3
32539
21616
24328
3
32539
21616
24328
3
7527
3216
8328
5
3
5
3
5
3
5
3
−
+







 −
=
−
+







 −
=
×−×
+








×
×−
=
−
+







 −
8
15
2
8
1
2
2
1
2
32
1
3
32
264
22
3
3
5
5
3
−=
−=
−





=
−








=
−
+








=
Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.
1. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:
3
1
5
3
3
1
211
3
27
























−
−−
ba
ba
se obtiene: a)
3






b
a
b) ab3 c) 3
b d) 23
ba e) 1−
b
2. La siguiente expresión: 1−m
m ab
ab
es EQUIVALENTE a:
( ) ( ) ( )
( )
( )111
)
1
)))) −−− mmm mmm m
abe
ab
dabcabbaba
3. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:
33 2
3 232
nmnm
nmnmnm
se obtiene:
a)
6
5
3
2
n
m
b) 6
5
4
1
nm
−
c) 4
3
4
1
nm
−
d)
6
5
4
1
1
nm
e) 6
5
4
3 −
nm
4. Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica: 6
3
33
4
2
22
27
3
19
2
1
z
yx
z
yx
+
se obtiene:
46
83
3
6
5
3
6
5
3
6
5
3
6
5
3
6
5
xyz
z
xyz
z
xyz
z
xyz
z
xyz
z
a) b) c)
d) e)

109
5. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: ( )033
1
11
11
1
11
11
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
++








−
+
+








−
+
yx
xy
xy
yx
yx
se obtiene:
a)
)(
1
yx +
b)
)(
1
yx +
− c) 1)( 1
++ −
yx d)1 e) 1−
6. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica
1
21
3
1
3 3
16
27
−
−
−
−












ab
baba
se obtiene:
a) ba
3
2
b)
b
a
3
2
c)
b
a
2
3
d)
a
b
2
3
e)
b
a
2
3
7. Al SIMPLIFICAR la expresión 2
2
15
2
2
12
1
1
+














+





−
−
−
−
+−
−
−
x
x
x
x
x
x
, se obtiene:
a)
1+x
x
b)
1+
−
x
x
c) 1−x d)
x+2
1
e)
x−1
1
8. Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica:
2








−
+








−
+
+
ba
ba
ab
ba
bbaa
se obtiene:
a) 0 b) 1− c) 4 d) 1 e) 4−
9. Si se SIMPLIFICA la expresión:
ba
ba
+
+ −− 11
y el resultado se lo multiplica con la expresión
)24(25 aabaab +−+ , entonces el resultado final es:
a)
a
1 b) ab c) 1 d) ba + e) ab2
10. La expresión:
( )333
2
16242
22
5
2
1
+








−
−
se REDUCE a:
a)
27
2 b)
9
4 c)
27
2− d)
9
4− e)
9
1
Para otros tipos de expresiones algebraicas es necesario emplear el
producto notable y la factorización.
5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE
Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar
sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente:
1.
( )( )
( ) abxbax
abaxbxxbxax
+++=
+++=++
2
2
Si ab = tenemos ( )( ) ( ) 222
2 aaxxaxaxax ++=+=++
Observe también que ( ) 222
2 aaxxax +−=−

110
Si ab −= tenemos ( )( ) 22
axaxax −=−+
2. Otros productos notables a considerar son:
( ) 32233
33 axaaxxax −+−=−
( ) 32233
33 axaaxxax +++=+
5.2.6.4 FACTORIZACIÓN
En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la
mínima expresión, es necesario expresarla en factores.
La factorización es el proceso contrario del producto notable.
5.2.6.4.1 Factor Común
Cuando existe un factor común en todos los términos de la
expresión.
Ejemplo
     
( )
 
( )( )22
22222322232
36
36661866
aabbcabc
cbaacbbaacbbabcacbacab
++=
++=++
5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados
Del producto notable, tenemos que:
( )( )bababa +−=− 22
Ejemplo 1
)3)(3()9( 2
−+=− xxx
Ejemplo 2
)2)(2)(4(5
)4)(4(5
)16(5805
22
2222
4444
yxyxyx
yxyx
yxyx
−++=
−+=
−=−

111
Ejemplo 3
)8)(8()8( 2
−+=− xxx
Ejemplo 4
( )( )55)5( −+=− xxx
5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos
DIFERENCIA ( ) ( )2233
)( babababa ++−=−
SUMA ( ) ( )2233
)( babababa +−+=+
Demuestre que es verdad lo anterior.
5.2.6.4.4 Trinomios
De acuerdo al producto notable
( ) 
qpxx
abxbaxbxax
qp
++=
+++=++
2
2
)()(

Observamos que todo trinomio de la forma qpxx ++2
puede
ser expresado como el producto ( )( )bxax ++ donde: qbaypba =⋅=+
Ejemplo
Factoricemos el trinomio 652
+− xx .
Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den 5− –5 y
multiplicados, 6. Estos números son –3 y –2. Entonces:
( )( )23652
−−=+− xxxx
NOTA: al primer factor le puede asignar el mismo signo del término lineal x , y al segundo factor el resultado de
aplicar la ley de los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.

112
5.2.6.4.4.1 Trinomio General
Un trinomio de forma general qpxmx ++2
puede ser
expresado en factores siguiendo el siguiente proceso:
1. Multiplicamos y dividimos para “ m ”
( )
m
mqmxpmx
m
mqpmxxm
m
qpxmxm
++
=
++
=
++
)()( 2
222
2. Factorizamos el numerador para “ mx ” de la misma
forma que el caso anterior.
Ejemplo
)23)(3(
3
)23)(93(
3
18)3(11)3(
6113
2
2
++=
/
+/+/
=
++
=++
xx
xx
xx
xx

113
Al SIMPLIFICAR la expresión:
















++
−
÷







+
++








−
−−
34
9
21
96
9
352
2
22
2
2
xx
x
x
xx
x
xx
se obtiene:
a)
1
3
+
−
x
x
b)
( )( )
3
312
−
++
x
xx
c)
3
932
−
−+
x
xx
d)
3
3
−
+
x
x
e)
( )( )
3
31
−
++
x
xx
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos suceptibles de factorizar.
( )
)3(
)1)(3(
)3(
)1(
)21(
)3)(3(
)3)(3(
)12)(3(
)1)(3(
)3)(3(
)21(
3
)3)(3(
2
)12)(62(
2
−
++
=





−
+
⋅
+
++
−+
+−
=








++
−+
÷








+
+
−+
+−
=
x
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xx
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”
Al SIMPLIFICAR la expresión: 





+−
−
÷












−−
−+
+
−
−
34
12
6
352
2
3
1
2
1
2
2
2
xx
x
xx
xx
xx se obtiene:
a)
x
x 1−
b)
x
1
c) x d)
1−x
x
e) 1−x
SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
=
−
−−
•
−−
−
=
−
−−
•





−
−−
=
−
−−
•





−+
+−
•
+
−+
=
−
−−
•














+−
−+
+
−+
=






−
−−


















+−
−+
+
−+
=






+−
−
÷












−−
−+
+
−
=
−
−
−
−
−
12
13
31
12
12
13
12
31
12
13
123
23
2
13
12
13
23
123
2
32
12
13
.
23
2
1262
2
32
34
12
6
352
2
3
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”

114
Por otro lado, tenemos:
( ) ( )( )nnnnnnn
bbababaababa +++++−=− −−−−
...342321
( ) ( )( )nnnnnnn
bbababaababa −+−+−+=+ −−−−
...342321
Sin embargo, factorizar el binomio de una forma u otra depende del
ejercicio que se esté resolviendo.
Ejemplo 1
66
yx − puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o
usando la regla general.
Es decir: 1. ( ) ( ) ( )( )3333232366
yxyxyxyx +−=−=−
2. ( ) ( ) ( )( )422422323266
yyxxyxyxyx ++−=−=−
3. ( )( )5432234566
yxyyxyxyxxyxyx +++++−=−
Ejemplo 2
En cambio, 99
yx − puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o
usando la regla general. Es decir:
1. ( ) ( ) ( )( )633633333399
yyxxyxyxyx ++−=−=−
2. ( )( )8762534435267899
yxyyxyxyxyxyxyxxyxyx ++++++++−=−
Ejercicio Resuelto
Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )66
99
6336
yx
yx
yyxx
−
−
++
se obtiene :
a) 33
yx − b) 22
yx + c) 33
yx + d) 22
yx − e) yx −
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
33
3333
633633
6336
2323
3333
6336
66
99
6336
yx
yxyx
yyxxyx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
+=
+−•
++−
++
=






−
−
++
=−
−
++
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”

115
Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción
sin radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente:
Ejemplo 1
Si tenemos una fracción simple, como
2
3
, se puede multiplicar numerador y denominador
por 2 es decir
2
23
2
2
2
3
=• .
Ejemplo 2
Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de radicales, multiplique tanto al
numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes con
signo contrario).
( ) ( ) 4
53
59
53
53
53
53
53
53
1
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
•
− 
conjugado
1. SIMPLIFICANDO la expresión algebraica ( ) 







+
−
+
−
+
−
−−
−−
−−
−−
11
11
11
11
22
yx
yx
yx
yx
xy se obtiene:
a) 22
yx + b) 22
xy − c) xy2 d) 22
yx − e) ( )22
2 yx +
( ) ( )( )bababa
abbaa
+−−
++
− 33122
223
se obtiene:
a) ( )2
ba + b) b c) a d) ( )2
ba − e) ( )ba −
( )
( )
( )22
24
2
3
2
22
3
9
33
27
9
3
aa
aa
aa
a
a
aa
+
−








−+
−










−
−
se obtiene:
a)
( )
( )a
aa
+
−
3
32
b) 23
3aa − c)
( )
( )a
aa
+
+
3
32
d) 23
3aa + e)
2
3
a
a+
( )
1
2
2
43
1
62
2
2
+
−
−
+
−+
−
−−
x
x
x
x
x
x
xx
Se obtiene:
a) x b)
1
2
−
−
x
x
c)
4
3
cuando 2=x d)
x
x
+
−
2
5
e) 2 cuando 1=x

116
5. Al simplificar:
( )[ ]( )








−
+−+














+
−
+
+−
222
2
2
1
xa
xaxa
xa
a
a
xa
x
xa
se obtiene:
a) xa + b) 1−+ xa c) ( )xa − d) ax − e) ( ) 1−
− xa
6. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica
3
5
1
5
34
2
3 2
−
+
−
+−
−
−
xx
xxx
x
se obtiene:
a) 2 b) 10 c)
10
1+x
d) ( )110 +x e) ( )1+x
4
234
1 x
xxxx
−
−+− se obtiene:
a) x b) 1+x c)
1+x
x d)
1+
−
x
x e)
1−x
x
66
4224
8
42
ba
bbaa
+
+−
se obtiene:
a) ( )22
2ba − b) ( )22
2ba + c)
22
2
1
ba +
d)
( )222
2
1
ba −
e)
( )322
2
1
ba −
9. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:








−







+−−
xa
cbbcd
dcb
xxaaxa 2
35
3223
se obtiene:
a)
bcd
xa
cb
xa +−
2
b)
cb
xa
2
−
c) 3 xa + d) ( )xabcd + e) ( ) 2
1
xa +
2
2
2
2
2
22
1
2
1
1
22






+
+








+
−





 −
−




 +
a
a
a
a
baba
se obtiene:
a) a b) b c) ab d)
b
a
e)
a
b
11. Al SIMPLIFICAR la expresión
44
4
55
376
23
2
−+−
+
−+−
−+
yxxy
yxyx
yxxy
yxyyx
se obtiene:
a)
376
5
2
23
−+
+
xx
xx
b) ( )( )1332 −+ xx c)
( )( )
( )5
1332
2
+
−+
xx
xx
d)
( )( )
( )5
1332
2
+
−+
xyx
xx
e)
( )
376
5
2
23
−+
+
xx
yxx
( ) ( )
( ) ( )2222
333
422
28
xaamxmaxm
axmaxam
−+−+
++
− se obtiene:
a) axm 2+ b) a c) 3
8a d) 2
a e) ( ) 1
2 −
+ axm
13. SIMPLIFICANDO
( )( ) xyxxy
xyyxyx
+−
−−
22
3223
4
2
se obtiene:
a)
yx
x
+
b)
yx
y
2+
− c)
yx
x
2
2
+
d)
yx
y
+
−
2
e)
yx
x
−
14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica
22
3223
462
22
baba
babbaa
++
−−+
se obtiene:

117
a)
2
ba +
b)
2
ab −
c)
2
2ba −
d)
2
2ba +
e)
2
ba −
15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad?
a) ( ) ( ) ( )xyyyxxyx 33 223
+++=+
b) ( )( )yxyxyx +−=− 22
c) ( ) ( )( )bababa +−=−
d) ( ) ( )2224
2 yxyxyx ++=+
e) ( ) ( )yxyxyx +−=− 222
16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) ( ) ( ) ( )22
244 yxyxyx −+=−++−
b) ( )( )122326 2
+−=−− xxxx
c) ( )( )xxxx −+=−− 4520 2
d)
2
2
3
1
9
1






+=+ xx
e) ( ) ( )( )12233
+++−=−+− yxyxyxyxyx
17. Al SIMPLIFICAR :
35
35
35
35
−
+
+
+
− Se obtiene:
a) 5 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1
18. Indicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA?
( ) ( ) ( )( )1443)
32
13
2
12
1
)
1
)
4
2
28
)
4
53
53
1
)
2
2
3 2
3
2
2
3
3
−+++=−+++
+=
+
+
−
−
+
=
−






+−





+=+
+
=
−
qpqpqpqpe
d
ba
ba
ba
c
x
x
x
x
x
xb
a
19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) 0;22
2
11 ≠−+−=−+−








xyxyx
b) 10;1
1
3
1
4
≠∧≥+=
−
+
−
−
xxx
xx
x
c) 00;
222
≠∧≠+=
+
yx
yxyx
d)
6
5
2 54
3 48
>
e) 0;11
≠=+−
xxx
20. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) x
yx
y
yx
x
yx
x
yx
y
=
−
−
+
−
−
+
b) 454 012
3
=−+ −
xxx , si 4=x

118
c)
( ) 2
3
222
22
2
20
=
−
−
−
−
d) 24
2
1
53
1
4
5
16
25 −
−−
−
=








yx
yx
xy
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
3223
3223
22
33
22 yxyx
xyyxyx
yxyx
yx
−
+−
÷
−+
+
se obtiene:
a) 22
yx b)1 c) yx + d)
xy
1
e) xy
22. En la expresión algebraica
1
1
2
325
−
+−−
x
xxx
. Si se reemplaza a " x " por un número entero mayor que 1
entonces se obtiene como resultado:
a) Un número entero positivo.
b) Un número fraccionario menor que 1 .
c) Un número fraccionario menor que 1− .
d) Un número entero negativo.
e) El número cero.
Misceláneos
1. Sea el conjunto { }?,,, ∗Ο∆=S . Y la operación binaria “ ⊕ ” en tal que
Entonces es FALSO, que:
a) La operación es conmutativa.
b) El elemento neutro de la operación es “?”
c) ∗⊕∗=Ο⊕∆
d) ( ) Ο=⊕⊕Ο ??
e) ( ) ( )Ο⊕∆⊕∗=Ο⊕∆⊕∗
a) Si RIQ =∩ entonces Z∈2
b) ZQ ⊆ o RN ⊆
c) IN ⊆ y QZ ⊆
d) Si ZN ⊆ entonces RQ ⊆
e) ( ) ( )[ ]ZZNRIQ =∪∧=∪
3. Al SIMPLIFICAR x
xx
xx
+
++−
+−−
11
11
; se obtiene:
a) 12
+x b) 12
−x c) xx +2
d) xx −2
e)
x
x 12
−
⊕ ∆ Ο ∗ ?
∆ ∆ ∗ Ο ∆
Ο ∗ Ο ∆ Ο
∗ Ο ∆ ∗ ∗
? ∆ Ο ∗ ?

119
4. Si se SIMPLIFICA
12
12
3
1
2
1
1
+
−
−
−
−
a
a
, se obtiene:
a)
36
7
+
+
a
a
b)
76
32
+
−
−
a
a
c)
7
32 +a
d)
76
32
+
+
a
a
e) a2
5. Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para
33 43
1
+
, es:
a)
7
2129 33
−+
b)
7
22129 33
−−
c)
2
1
2
1
2
1
7
129 −
d)
7
22129 333 +−
e)
2
1
2
1
2
1
7
129 +
6. Al SIMPLIFICAR
x
x
x
x
x
xx
xx
−
+
⋅
−
⋅
−
−
−+
+−
3
3
8
1
64
9
87
65
2
2
2
2
, se obtiene:
a)
34
2
2
+−
−
xx
x
b)
1
2
−
−
−
x
x
c)
( )( )
( )( )xx
xx
+−
−−
−
31
82
d)
2
1
+
−
x
x
e)
( )( )
1
82
−
−−
x
xx
7. El RESULTADO de simplificar
642
642
222
222
−−−
+++
++
++
nnn
nnn
, es:
a) 512 b)256 c)260 d)181 e)502
8. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )
x
x
x
x
x
xx
x
2
1
1
−
−
+
















, es:
a) x b)
1−
x c)
1−x
x d)
x
x e)
1+x
x
9. Sea el conjunto { }3,2,1=S . y sea “ ⊕ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:
Entonces es VERDAD que:
a) La operación ⊕ no es binaria.
b) La operación es conmutativa.
c) ( )[ ] S∉⊕⊕ 132 .
d) La operación ⊕ tiene el elemento neutro.
e) ( )[ ] 2321 =⊕⊕
10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) ZIN ∈∧∈ 22
b) O bien Z∈0 o bien IR∈0
c) Si I∈π , entonces Q∉4
3
d) ( ) ZQ ∈+∨∈ 23...2323.0
e) IQ ∉
π
∧∈
2
5.0
⊕ 1 2 3
1 2 3 1
2 3 2 3
3 1 3 1

120
11. Al REDUCIR la expresión:
812
232272
10
1
6.03
−
+−+
se obtiene:
a) 64 2
3+ b)
2
23 +
c)
3
23 −
d)
2
683 +
e) 223 +
( )







+
−





 +
−
−
+
bab
aba
a
ba
ba
ba
2
2 2
se obtiene:
a)
2
bab + b)
( )baa
bab
−
+ 2
2
c)1 d)0 e) ba +2
2
nn
m
a
nm 1
22
−+
−
se obtiene:
a) 1 b)m-n c) a
nm






−
11
d) nm
na
−





+
11
e) ( )naam +−
14. Al SIMPLIFICAR
xx
1
1
3
1
1
1
1
1
1
3
−
+−
+
+
+
se obtiene:
a) x b)2 c) 2−x d) x− e)
x
2
15. Sea la expresión 3561177 22
−+− xyyx . Si
32
1
−
=x y
32
1
+
=y , entonces la expresión
tiene un VALOR numérico igual a:
a) 11 b)10 c)9 d)12 e)13
16. Al SIMPLIFICAR la expresión :
( )( )
( )( )yxxxx
y
x
yx
yx
yxx
+++
÷
−
×
−
−−
9327
49
23
3
3
32
22
2
. Se obtiene:
a) ( )yxx −3
4 b)
yx
x
−
3
4
c)1 d) yx + e) ( )34 3
+xx
17. Sean los conjuntos R = Números Reales
Q = Números Racionales
I = Números Irracionales
Z = Números Enteros
N = Números Naturales
Entonces una de la siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( ) RZN ⊂∩ b) NQR =− c) IZQ ⊆∪
d) RQI =∩ e) ( )NQZ ∩⊆
mnm
mnmn 2
se obtiene:
a) 8 m b) nm8 c)
n
m8
d)
8 3
m
n
e) 3 m
( )( )
( )( )3
3212
3
232
−−
−−−
xxx
xxxx
se obtiene:
a) ( )( )112 2
++− xxxx b) ( )12 2
++ xxx c) ( )22 −xx

121
d)
( )( )
1
212 2
+
−++
x
xxxx
e) ( )( )122 2
+++ xxxx
1
4
234
1
1
1
−






−−







−
−+−
xx
xxxx
se obtiene:
a) x b)
x
x 1+
− c)
1
2
+
−
x
xx
d)
1+
−
x
x
e) 1−−x
21. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )[ ]1
43
1612
43
32 2
234
2
22
−








−+
++
+
−+
+
−
−
−
xx
xxx
xx
xx
x
xx
x
se obtiene:
a) 4 b)2 c)
1
1
−x
d) 12
−x e) 1−x
12
12
3
1
2
1
1
+
−
−
−
−
x
x
se obtiene:
a)
22
12
+
+
x
x
b)
3
21 x+
c)1 d)
76
32
+
+
x
x
e) 12 −x
a) ( ) 2
1
1
1
1
−=
−
−
x
x
x
b) 12
−−
= aa aa
aa
c) 1
1
1
1
1
−=
+
+
+ −− pqqp
xx
d)
nm
nm
nm
nm
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
=






−





+






−





+
11
11
e)
( ) ( )
( )
8
3
2
4
104
120000
0036.0004.0 −
×=
24. Al SIMPLIFICAR












+
+
+
−
+
+
÷












−
+
+
+
+
+
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
xy
xxy
x
y
x
x
y
y
xy
xyy
se obtiene:
a) y b) x c) xy d) xy2
e) yx2
25. Al TRANSFORMAR la expresión ( )xyyx 4−+ se obtiene:
a) 4
1
4
1
yx − b) yx + c) 4
1
4
1
yx − d) 2
1
4
1
yx + e) 4
1
yx +
26. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela:
a) yxyx +=+ , 0,0 >> yx
b) 8
1
xxxx = , 0>x

122
c) 4
3 5
81
16
15
8
<
d)
5
7
5
2
22
72
1
−−−=−
−
e) )54)(43(2012 222
axyaxyaaxyyx +−=−+
27. Al SIMPLIFICAR la expresión 





−







+
++
÷
+−
−
1
4
77
777
222
1
23
2
2
3
xx
xx
xx
x
se obtiene:
a) 2 b) x2 c) 3 d) 12
−x e)
2
12
−x
( )
( ) 01
2
212
2
2
xyx
x
y
yxyx
−+





+−
−
−
−−−
se obtiene:
a) x b)1 c)
[ ]yxx
yx
22
+
+
d)
[ ]yxx
yx
22
+
−
e) ( )2
xy −
a) I∈
π
2
∨ N∈0 b) φ∪=− IQR c) Q
e
e
∈
2
d) ( ) Q∈π 2
2 e)Si I∈1 entonces −3 = 1−4
( ) 4
4
4
49
4
144
7
1
2128
89248
+−+
+−
se obtiene:
a)
7
1421 +
b)
2
7
c)
7
1421 −
d)
7
27 −
e)
32
1
−
31. Sean ba, y c números reales para los cuales se define la expresión
c
ba
x
+
= , entonces es FALSO, que.
a) bxca −= 22
b) axcb −= 22
c)
222442
axacxcb +−=
d)
( )
x
ba
c
2
1
+
= e)
2
2
c
ba
x
+
=
3 3 323232
bababa se obtiene:
a) 3
5
9
10
ba b) 5
3
10
9
ba c) 9
10
2
5
ba d) 2
1
3
1
ba e) 3
1
2
1
ba
33. Si se SIMPLIFICA
12
3
2
3
1
2
9
2
2
50
+−
−−
se obtendrá:
a) 3 b) 2 c)
2
3
d)
3
2
e)
2
1
22
23
22
2
2
32352
3
yxyx
yxx
yxyx
xyx
x
y
+−
−
÷
−+
+
tenemos:

123
a) 2
y b) x c)
x
y
d)
x
y2
e)
2
2
x
y








−
+
÷








+
+−
xxp
apa
p
p
p
4
4
2
2
2 2
22
se obtiene:
a) 1 b) 2−p c) 2+p d) p
a
x
e)
a
px )2( −
( ) ( )( )
( )p
pp
pp
p
p
32
3
3
23
1098
6125274
























, IRp∈ y MULTIPLICARLA por
34
81415 2
+
−+
p
pp
, se obtiene como resultado:
a) p25− b) 34 +p c) ( )2
1 p+ d) ( )2
1 p− e) p
a) )2()2(6 224422448448
yxyxyxyxyyxx +−−−=+−
b) )56()4(20196 2
−+=−+ xxxx
c) 





−





−=+−
3
1
3
1
9
1
3
22
xxxx
d) ( )( )518151318 2
+−=−− aaaa
e) ( )( )22224224
322322984 bababababbaa +−++=++
38. Sea la operación
+++
Ζ→Ζ×Ζ:* , tal que:
22
* yxyx += , entonces es VERDAD que:
a) * no es una operación binaria.
b) ( ) 1694*)2*3( =
c) La operación no es Conmutativa.
d) ( ) 251*2*1 =
e) 2)1*1( =
a) ( )( )3
1
3
1
9
1
3
22
−−=+− xxxx
b) ( )( )56420196 −+=−+ xxxx
c)
10
4224
22
1 33
3
+−
=
+
d)
2
126
2
85243 −
=
−+
e) 25
25
3
−=
+














−
+
−








−
−
+
−
−
−
−
−−
−−
2
22
2
22
44
1
1
1
1
1
1
y
yx
x
yx
yx
se obtiene:
a)
2
2222
y
yxyx ++
b) 2
4y c)
2
2222
x
yxyx ++−

124
b)
2
2b e)
2
2222
x
yxyx ++
2
2
1
3
1
2
12
1
3
9
−
− 









÷






b
an
nb
am
se obtiene:
a) 2
1
ma b) m c) 2
1
a d) ma + e) 6
7
ma
22
33
22
11 yx
yx
yx
y
yx
x
−
+
÷
−
+
−
se obtiene:
a) yx + b) x c) yx − d) 22
yx + e) x−
22
2
22
2
6117
6613
33
32
yxyx
xyx
aayax
yx
yx
x
yx
x
+−
−
−−
−






+
−
−
−
+
se obtiene:
a)
( )
a
yx +
−
2
b)
( )
a
yx −
−
2
c)
( )
a
yx
2
−
d)
( )
a
yx
2
+
e) yx 22 −
44. Al REDUCIR la expresión:
1
2
3
4
−
x
x
x
x
se obtiene:
a) 8
1−
x b) 2
1−
x c)
8−
x d) 4
1−
x e) 8
1
x
yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
−
−
+
−
+
−
−
+
4
2
2
se obtiene:
a) 1 b)
2
2
4
x
yxy −
c) yx + d) yx − e)
( )
2
14
x
xy −
46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica )1(
1
1
2
3
+−
−
−
x
x
x
se obtiene:
a)
x
x 1+
− b) x c)1 d)
1+
−
x
x
e) 1−
47. Al simplificar la expresión
1
222222
65
7
34
4
23
2
−








+−
−
−
+−
+
−
+−
+
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
se obtiene:
a)
yx
yx
3−
−
b)
( )( )yxyx
y
3−−
c)
( )( )
y
yxyx 3−−
d)
y
yx −
e)
y
yx 3−
( )( )
( )( ) 







−−
++−
++−
yx
yxyxyx
yxyxyx
2222
2233
2
. Se obtiene:
a) 0 b) yx + c) xy d)1 e) 1−+ yx

125
a)
d
c
b
a
= si bcad = ; +
∈ IRdb,
b) Si ba = y IRc ∈ entonces bcac = ; IRba ∈,
c)
nn
a
b
b
a






=





−
; INnIRba ∈∈ +
,,
d)
bd
bcad
d
c
b
a +
=+ ; +
∈ IRdb,
e) Si ba > y IRc ∈ entonces bcac > ; +
∈ IRba,
50. Al RESOLVER
4
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
×
+
+
+
+
se obtiene:
a) 1 b)
13
2
c)
2
13
d)
5
13
e)
13
5
51. Al SIMPLIFICAR
22
22
22
22
2
2
2
2 xyyx
yxyx
yxyx
yx
yxy
xyx
+
+−
÷








++
−
÷
+
−
se obtiene:
a) )(2
yxx − b)
( )
( )2
2
yx
yxx
−
+
c)
( )
)(2
2
yxx
yx
−
+
d) ( )2
yxx − e)
yx
yxy
−
+ )(2
( )2
3223
ba
babbaa
+
−−+
se obtiene:
a) a b) ba + c) b d)
ba
ba
+
−
e) ba −
53. Si se SIMPLIFICA la expresión
( )
2
22
1
1
53
20
4
27
2
27
















−
−
−
−
−
yx
yx
yx
yx
se obtiene:
a)
3
2
3






x
y
b)
3
3
2
27
x
y
c)
3
3
x
y
d)
3
3
2x
y
e)
3
3
27
x
y
54. Si se define la operación binaria
22
* bababa ++= en el conjunto de los números naturales,
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) abba ** =
b) 766*4 =
c) ( ) 41*11 =+
d) aa ≠0*
e) La operación binaria * es asociativa.
22
33
33
223
2
222
yxyx
yx
xyyx
xyyxx
++
+
÷
−
+−
se obtiene:
a) ( )yxy − b) 2 c)
yx −
2
d)
y
2
e)
( )yxy −
2

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