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Cap 9 función de una variable real

funcion de una variable

Cap 9 función de una variable real

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Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
200
9
9.1 DEFINICIÓN
9.2 DOMINIO
9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE
CORRESPONDENCIAS
9.4 OPERACIONES
9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE
REAL.
9.6 CLASES DE FUNCIONES
Las funciones de variable real son de trascendental importancia para los cursos de
matemáticas universitarias y por tanto merece un capítulo aparte. El concepto de función ya
fue definido anteriormente, ahora lo haremos sobre subconjuntos de números reales.
Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
201
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina función de una variable real.
 Aplique la definición de función, para que dadas reglas de correspondencia, determinen si son funciones o no.
 Plantee restricciones de las operaciones con números reales, para obtener el máximo dominio de funciones de una
variable real dada su regla de correspondencia.
 Sume, reste, multiplique y divida funciones de una variable real.
 Obtenga rango de funciones de una variable real.
 Defina gráfico de funciones de una variable real.
 Defina función de una variable real creciente, decreciente, par, impar, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Y aplicarlos en
gráficas dadas para determinar sus características.
 Defina y caracterice la función lineal.
 Grafique funciones lineales.
 Determine e interprete pendiente de una recta.
 Obtenga la ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la recta; y dados dos puntos.
 Defina y caracterice a la función cuadrática.
 Grafique funciones cuadráticas.
 Defina y determine los ceros de una función.
 Obtenga la ecuación de una parábola.
 Defina y grafique función valor absoluto, función potencial.
 Defina función inversa y obtenga funciones inversas.
 Justifique la existencia de la función inversa.
 Construya funciones inversibles.
 Defina función compuesta y obtenga funciones compuestas.
9.1 DEFINICIÓN
Cuando en una función empleamos como
dominio a números reales, haciéndoles
corresponder un único número real, tenemos
una función de variable real. Es decir:
IRYIRXf ⊆⊆ :
Ejemplo 1
Sea f una función, tal que:
Observando la segunda componente de los
pares ordenados, nos hace pensar que es
el cuadrado de la primera componente.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ };9,3;4,2;1,1;9,3;4,2;1,1;0,0 −−−=f

3
2
1
0
1
2
−
−
IR
9
4
1
0
IRf
Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
202
Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por
comprensión. Para el ejemplo anterior, sería:
( ){ }IRxxyyxf ∈∧== 2
/,
O más simplemente, denotar su regla de correspondencia de la
siguiente forma: 2
)( xxf =
Las reglas de correspondencia, usualmente son expresiones
algebraicas en “x”, [ )(xfy = ].
Donde: “x” es la VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE, y
“y” la VARIABLE DEPENDIENTE.
Se dice, entonces que el valor de “y” depende del valor de “x” (o “y” es
función de “x”)
Ejemplo 2
Sea f , una función de variable real con regla de correspondencia 12)( −= xxf
En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones.
Pero, dada la regla de correspondencia de una función, sería importante
determinar para qué valores de “x”, se define o tiene sentido esta regla de
correspondencia, es decir determinar el dominio de la función.
9.2 DOMINIO
También llamado conjunto de partida.
Sea f una función tal que RYRXf ⊆⊆ : ,
entonces su DOMINIO es el conjunto X. Es
decir: XfDom =
Algunos valores de esta función
serían:
11)0(2)0( −=−=f
31)2(2)2( =−=f
IR IR

2
0

)2(3
)0(1
f
f
=
=−
f
Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
203
Dada la regla de correspondencia, un trabajo interesante es
DETERMINAR SU MAYOR POSIBLE DOMINIO. Es decir el conjunto X
Como las reglas de correspondencia de las funciones son
expresiones algebraicas, normalmente en la variable x ; entonces, para
obtener un valor de la variable dependiente “y” basta con reemplazar el
valor de la variable independiente “x”, luego se tendría que calcular (POR
AHORA) una operación aritmética de suma, resta, multiplicación o división,
para lo cual se deberá tener en cuenta lo siguiente:
RESTRICCIONES:
1. DIVISIÓN ENTRE CERO. No está definida
2. RAÍCES PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS. No se
define para números reales
Ejemplo 1
Hallar el máximo dominio posible para 2
)( xxf =
SOLUCIÓN :
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf =
Este mayor posible dominio nos permite definir el dominio de la
función a donde queramos, pero dentro de este intervalo, por ejemplo para
el caso anterior 0;)( 2
≥= xxxf
Ejemplo 2
Hallar el máximo dominio posible para 12)( −= xxf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf =
Ejemplo 3
Hallar el máximo dominio posible para
1
23
)(
−
−
=
x
x
xf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si 1=x se produciría una división
entre cero, por lo tanto Dom {}1−= IRf = ( ) ( )∞∪−∞ ,11,
Ejemplo 4
Hallar el máximo dominio posible para 4)( −= xxf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si 04 <−x no se puede calcular la
raíz cuadrada, entonces 404 ≥≡≥− xx , por lo tanto [ )∞= ,4fDom = { }4/ ≥∈ xIRx
Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
204
Ejemplo 5
Hallar el máximo dominio posible.
1
23
)(
+
−
=
x
x
xf
SOLUCIÓN:
Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que 0
1
23
≥
+
−
x
x
. Entonces
tenemos una desigualdad cuyo conjunto solución es:
Ejemplo 6
Hallar el máximo dominio posible para
1
23
4)(
+
−
+−=
x
x
xxf
SOLUCIÓN:
Ahora debemos resolver simultáneamente: 04 ≥−x ∧ 0
1
23
≥
+
−
x
x
Ejemplo 7
Hallar el máximo dominio posible para
32
1
)(
2
−−
+−
=
x
xx
xf
SOLUCIÓN:
De manera semejante al ejemplo anterior, al considerar simultáneamente que :
01 2
≥− x ∧ 032 ≠−−x
Tenemos:
41
////////////////////////////////
3
2−



××××××××××××
+


 +−


+
3
21
////////////////////////
−


 +−


+
POR TANTO
Dom ( ) 





∞∪−∞−= ,
3
2
1,f
POR LO TANTO
Dom [ )∞= ,4f
511−
+






×××××××
−+
( )
( )( ) 011
01
01
01
2
2
2
≤−+
≤−
−≤−−
≥−
xx
x
x
x
( )
1
32
5
32
32
032
−≠
≠−−
∧
∧
≠
≠−
≠−
≠−−
x
x
x
x
x
x
1. 2.
Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real
205
POR LO TANTO Dom ( ]1,1−=f
Ejemplo 8
Hallar el máximo dominio posible para
21
32
)(
−+
+−
=
x
xx
xf
SOLUCIÓN:
Debemos considerar simultáneamente que:
Entonces interceptando, tenemos:
Por lo tanto [ ) ( )∞∪= ,33,2fDom
Ejercicios Propuestos 9.1
1. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una función de variable real?
a) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧−== 2
1 d) ( ){ }01 ≥∧=−= xyx/y,xr
b) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧=−= 12 e) ( ){ }IRxyx/y,xr ∈∧=−= 12
c) ( ){ }11 ≥∧−== xxy/y,xr
2. Sea f una función de variable real tal que cbxaxxf ++= 2
)( .Si 1)1(;5)3(;2)0( −==−= fff ,
entonces el VALOR de )2(−f es:
a) 5 b) 6 c)–1 d)–4 e) 2
3. Sea f una función de variable real tal que: ( ) 32 −−= xxxf el MAYOR DOMINIO de f es el intervalo:
a) ( )31, b) [ ]31, c) ( ) [ )∞∪∞− ,31, d) [ ]C
,31 e) ( )C
3,1
4. El MÁXIMO DOMINIO posible de la función f , con regla de correspondencia ( )
13 +−
=
x
x
xf es el
intervalo:
a) [ )∞,0 b) [ ]24,− c) { }1−−IR d) ( )24,− e) [ ) ( ) ( ]211334 ,,, ∪−∪
5. Dada la función
( )
1628
4
2
−−−
+
=
xx
x
xf
, entonces el MÁXIMO DOMINIO posible de f es el intervalo:
a) ( ]4−∞− , b) ( ) ( )466 −−∪−∞− ,, c) [ )44,−
d) {-4} e) No existe ningún valor de x en el cual se defina la función f.
] [ [
3212
/////////////////////////
−−
××××××××
( ) ( )
341
21
021
22
21
0201
22
≠⇒≠+
≠+
≠−+∧
≥≥−
≥−≥
≥−∧≥+
/
xx
x
x
x
xx
xx

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Cap 9 función de una variable real

  • 1. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 200 9 9.1 DEFINICIÓN 9.2 DOMINIO 9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIAS 9.4 OPERACIONES 9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL. 9.6 CLASES DE FUNCIONES Las funciones de variable real son de trascendental importancia para los cursos de matemáticas universitarias y por tanto merece un capítulo aparte. El concepto de función ya fue definido anteriormente, ahora lo haremos sobre subconjuntos de números reales.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 201 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina función de una variable real.  Aplique la definición de función, para que dadas reglas de correspondencia, determinen si son funciones o no.  Plantee restricciones de las operaciones con números reales, para obtener el máximo dominio de funciones de una variable real dada su regla de correspondencia.  Sume, reste, multiplique y divida funciones de una variable real.  Obtenga rango de funciones de una variable real.  Defina gráfico de funciones de una variable real.  Defina función de una variable real creciente, decreciente, par, impar, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Y aplicarlos en gráficas dadas para determinar sus características.  Defina y caracterice la función lineal.  Grafique funciones lineales.  Determine e interprete pendiente de una recta.  Obtenga la ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la recta; y dados dos puntos.  Defina y caracterice a la función cuadrática.  Grafique funciones cuadráticas.  Defina y determine los ceros de una función.  Obtenga la ecuación de una parábola.  Defina y grafique función valor absoluto, función potencial.  Defina función inversa y obtenga funciones inversas.  Justifique la existencia de la función inversa.  Construya funciones inversibles.  Defina función compuesta y obtenga funciones compuestas. 9.1 DEFINICIÓN Cuando en una función empleamos como dominio a números reales, haciéndoles corresponder un único número real, tenemos una función de variable real. Es decir: IRYIRXf ⊆⊆ : Ejemplo 1 Sea f una función, tal que: Observando la segunda componente de los pares ordenados, nos hace pensar que es el cuadrado de la primera componente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ };9,3;4,2;1,1;9,3;4,2;1,1;0,0 −−−=f  3 2 1 0 1 2 − − IR 9 4 1 0 IRf
  • 3. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 202 Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por comprensión. Para el ejemplo anterior, sería: ( ){ }IRxxyyxf ∈∧== 2 /, O más simplemente, denotar su regla de correspondencia de la siguiente forma: 2 )( xxf = Las reglas de correspondencia, usualmente son expresiones algebraicas en “x”, [ )(xfy = ]. Donde: “x” es la VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE, y “y” la VARIABLE DEPENDIENTE. Se dice, entonces que el valor de “y” depende del valor de “x” (o “y” es función de “x”) Ejemplo 2 Sea f , una función de variable real con regla de correspondencia 12)( −= xxf En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones. Pero, dada la regla de correspondencia de una función, sería importante determinar para qué valores de “x”, se define o tiene sentido esta regla de correspondencia, es decir determinar el dominio de la función. 9.2 DOMINIO También llamado conjunto de partida. Sea f una función tal que RYRXf ⊆⊆ : , entonces su DOMINIO es el conjunto X. Es decir: XfDom = Algunos valores de esta función serían: 11)0(2)0( −=−=f 31)2(2)2( =−=f IR IR  2 0  )2(3 )0(1 f f = =− f
  • 4. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 203 Dada la regla de correspondencia, un trabajo interesante es DETERMINAR SU MAYOR POSIBLE DOMINIO. Es decir el conjunto X Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones algebraicas, normalmente en la variable x ; entonces, para obtener un valor de la variable dependiente “y” basta con reemplazar el valor de la variable independiente “x”, luego se tendría que calcular (POR AHORA) una operación aritmética de suma, resta, multiplicación o división, para lo cual se deberá tener en cuenta lo siguiente: RESTRICCIONES: 1. DIVISIÓN ENTRE CERO. No está definida 2. RAÍCES PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS. No se define para números reales Ejemplo 1 Hallar el máximo dominio posible para 2 )( xxf = SOLUCIÓN : Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf = Este mayor posible dominio nos permite definir el dominio de la función a donde queramos, pero dentro de este intervalo, por ejemplo para el caso anterior 0;)( 2 ≥= xxxf Ejemplo 2 Hallar el máximo dominio posible para 12)( −= xxf SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom IRf = Ejemplo 3 Hallar el máximo dominio posible para 1 23 )( − − = x x xf SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si 1=x se produciría una división entre cero, por lo tanto Dom {}1−= IRf = ( ) ( )∞∪−∞ ,11, Ejemplo 4 Hallar el máximo dominio posible para 4)( −= xxf SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si 04 <−x no se puede calcular la raíz cuadrada, entonces 404 ≥≡≥− xx , por lo tanto [ )∞= ,4fDom = { }4/ ≥∈ xIRx
  • 5. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 204 Ejemplo 5 Hallar el máximo dominio posible. 1 23 )( + − = x x xf SOLUCIÓN: Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que 0 1 23 ≥ + − x x . Entonces tenemos una desigualdad cuyo conjunto solución es: Ejemplo 6 Hallar el máximo dominio posible para 1 23 4)( + − +−= x x xxf SOLUCIÓN: Ahora debemos resolver simultáneamente: 04 ≥−x ∧ 0 1 23 ≥ + − x x Ejemplo 7 Hallar el máximo dominio posible para 32 1 )( 2 −− +− = x xx xf SOLUCIÓN: De manera semejante al ejemplo anterior, al considerar simultáneamente que : 01 2 ≥− x ∧ 032 ≠−−x Tenemos: 41 //////////////////////////////// 3 2−    ×××××××××××× +    +−   + 3 21 //////////////////////// −    +−   + POR TANTO Dom ( )       ∞∪−∞−= , 3 2 1,f POR LO TANTO Dom [ )∞= ,4f 511− +       ××××××× −+ ( ) ( )( ) 011 01 01 01 2 2 2 ≤−+ ≤− −≤−− ≥− xx x x x ( ) 1 32 5 32 32 032 −≠ ≠−− ∧ ∧ ≠ ≠− ≠− ≠−− x x x x x x 1. 2.
  • 6. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 205 POR LO TANTO Dom ( ]1,1−=f Ejemplo 8 Hallar el máximo dominio posible para 21 32 )( −+ +− = x xx xf SOLUCIÓN: Debemos considerar simultáneamente que: Entonces interceptando, tenemos: Por lo tanto [ ) ( )∞∪= ,33,2fDom Ejercicios Propuestos 9.1 1. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una función de variable real? a) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧−== 2 1 d) ( ){ }01 ≥∧=−= xyx/y,xr b) ( ){ }IRxxy/y,xr ∈∧=−= 12 e) ( ){ }IRxyx/y,xr ∈∧=−= 12 c) ( ){ }11 ≥∧−== xxy/y,xr 2. Sea f una función de variable real tal que cbxaxxf ++= 2 )( .Si 1)1(;5)3(;2)0( −==−= fff , entonces el VALOR de )2(−f es: a) 5 b) 6 c)–1 d)–4 e) 2 3. Sea f una función de variable real tal que: ( ) 32 −−= xxxf el MAYOR DOMINIO de f es el intervalo: a) ( )31, b) [ ]31, c) ( ) [ )∞∪∞− ,31, d) [ ]C ,31 e) ( )C 3,1 4. El MÁXIMO DOMINIO posible de la función f , con regla de correspondencia ( ) 13 +− = x x xf es el intervalo: a) [ )∞,0 b) [ ]24,− c) { }1−−IR d) ( )24,− e) [ ) ( ) ( ]211334 ,,, ∪−∪ 5. Dada la función ( ) 1628 4 2 −−− + = xx x xf , entonces el MÁXIMO DOMINIO posible de f es el intervalo: a) ( ]4−∞− , b) ( ) ( )466 −−∪−∞− ,, c) [ )44,− d) {-4} e) No existe ningún valor de x en el cual se defina la función f. ] [ [ 3212 ///////////////////////// −− ×××××××× ( ) ( ) 341 21 021 22 21 0201 22 ≠⇒≠+ ≠+ ≠−+∧ ≥≥− ≥−≥ ≥−∧≥+ / xx x x x xx xx
  • 7. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 206 6. Sea f una función de variable tal que xx x xf −+− + = 926 3 )( , entonces el MAXIMO DOMINIO posible de f es el intervalo: a) [ ) ( ]3,,3 −∞−∪∞ b) ( )∞∞− , c)[ ]3,3− d) ( ]3,∞− e) ( )3,−∞−
  • 8. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 207 9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA Ya hemos mencionado que las reglas de correspondencias de las funciones pueden ser definidas para sólo cierto intervalo, subconjunto de su mayor dominio; entonces podemos definir funciones con reglas de correspondencias para diferentes intervalos. Ejemplo 1 Podemos considerar dos reglas de correspondencias 2 xy = ; 0≥x y 12 −= xy ; 0<x para definir la función     <− ≥ = 0;12 0; )( 2 xx xx xf Es decir, para calcular ( )2f como 02 > usamos 2 )( xxf = entonces 42)2( 2 ==f En cambio, para calcular )1(−f como 01<− usamos 12)( −= xxf entonces 31)1(2)1( −=−−=−f PREGUNTA: 0)0( =f ¿Si ó no? ¿Por qué? Ejemplo 2 Sea f una función de variable real con regla de correspondencia      ≥ −≥>− −<+ = 2; 12;1 1;23 )( 2 xx xx xx xf Representando a f sobre la recta numérica, tenemos: Entonces: Note que IRfDom = En la recta numérica al representar a f, tenemos: 0 12 2       − xx f 21 123 2 −            −   + xxxf 101)0( 2 =−=f 0)1(1)1( 2 =−−=−f 2)2( =f 24)4( ==f 42)2(3)2( −=+−=−f
  • 9. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 208 Ejemplo 3 Sea una función de variable real con regla de correspondencia 11 11 1;31 1; )( 2 <<−≡ ≥≥−≡     <− ≥ = x x xx xx xf Representando a f sobre la recta numérica, tenemos: 9.4 OPERACIONES Como las reglas de correspondencias de las funciones son expresiones algebraicas entonces para SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR funciones habrá que realizar las operaciones algebraicas de sus reglas de correspondencias en los respectivos intervalos. Ejemplo 1 Sean f y g funciones de variable real, tales que 1)( 2 −= xxf ; IRx ∈ y 232)( 2 +−= xxxg ; IRx ∈ . Hallar ))(( xgf + . SOLUCIÓN: Como tanto f y g están definidas con sólo una regla de correspondencia para todo R, para obtener ))(( xgf + bastaría con sumar su regla de correspondencia; es decir, ( ) ( ) ( )( ) 133 2321)()( 2 22 +−=+ +−+−=+ xxxgf xxxxgxf Note que para obtener )2()2( gf + se lo puede hacer empleando la regla de correspondencia de ( )( )xgf + es decir ( )( ) 71)2(3)2(32 2 =+−=+ gf . O también calculando )2(f y )2(g y luego sumarlos; es decir 7)4()3()2()2( =+=+ gf . En cambio, para obtener )3()2( −+ gf habrá que necesariamente calcular )2(f y )3(−g , y luego sumarlos; es decir, 32293)3()2( =+=−+ gf Para el caso de tener funciones que se definan con diferentes reglas de correspondencia para intervalos diferentes, se deberá proceder de acuerdo a lo mostrado en los siguientes ejemplos. 11 31 22 −           −     xxxf
  • 10. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 209 Ejemplo 2 Sean f y g funciones de variable real, tales que 1)( 2 −= xxf ; 0≥x 232)( 2 +−= xxxg ; 1<x SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los respectivos intervalos para operar las regla de correspondencias. PREGUNTA: existenogf =+ )2)(( ¿Sí o no? Y ¿POR QUÉ? Ejemplo 3 Sean f y g funciones de variable real, tales que: 1)( 2 −= xxf ; 0≥x y 232)( 2 +−= xxxg ; 2<x Hallar ))(.( xgf . SOLUCIÓN: Semejante al ejemplo anterior. Procedemos de igual forma. Por lo tanto ( ) ( )( ) 23322321)( 3422 −+−=+−−=+ xxxxxxxgf ; 20 <≤ x Note f NO ESTÁ DEFINIDA PARA 0<x y que g NO ESTÁ DEFINIDA para 1≥x . ENTONCES: ( ) ( ) 10;133 2321))(( 2 22 <≤+−= +−+−=+ xxx xxxxgf 0 //////////////////// 12     −x 1 //////////////////////////// 232 2    +− xx f g No está definida No está definida 0 //////////////////////////////// 12     −x 2 ////////////////////////////////////////////////// 232 2    +− xx f g
  • 11. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 210 Ejemplo 4 Sean f y g , funciones de variable real tales que     < ≥ + − = 0 0 ;13 ;1 )( 2 x x x x xf y 0 0 ;32 ;232 )( 2 ≥ <     + +− = x x x xx xg Hallar ))(( xgf + . SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los respectivos intervalos para operar las regla de correspondencias. Ejemplo 5 Sean f y g , funciones de variable real tales que     <+ ≥− = 0;12 0;1 )( 2 xx xx xf     ≥+ <+− = 2;3 2;232 )( 2 xx xxx xg Hallar ))(( xgf + SOLUCIÓN: 0 //////////////////////////// 32 //////////////////////////// 232 2    +    +− xxx f g 0 //////////////////////////// 1 //////////////////////////// 13 2     −   + xx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 /////////////////////////////////// 321 /////////////////////////////////////// 23213 22     ++−    +−++ xxxxxgf + ( )( ) 0 0 ;22 ;32 2 2 ≥ <     ++ + =+ x x xx x xgf Por lo tanto 0 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 1 /////////////////////////////////////// 12 2     −   + xx 2 ///////////////////////////// 3 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 232 2    +    +− xxx f g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 /////////////////////////////// 31 /////////////////////////////////////// 2321 /////////////////////////////////////// 23212 2222     ++−         +−+−    +−++ xxxxxxxxgf + Por lo tanto ( )( )       ≥++ <≤+− <+− =+ 2;2 20;133 0;32 2 2 2 xxx xxx xxx xgf
  • 12. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 211 Ejemplo 6 Sean f y g , funciones de variable real tales que ( )     −≥− −<+ = 1;1 1;12 xx xx xf ( )    >−− ≤+ = 0;1 0;1 xx xx xg Hallar ))(.( xgf SOLUCIÓN: En conclusión. Si YXf : y YXg : entonces: 1. ( ) YXgf :+ donde ( ) )()()( xgxfxgf +=+ 2. ( ) YXgf :− donde ( ) )()()( xgxfxgf −=− 3. ( ) YXgf :. donde ( ) )().()(. xgxfxgf = 4. YX g f * :      donde ( ) ( )xg xf x g f =      )( y 0)( ≠xg . Es decir { }0)(/* =−= xgxXX Ejercicios propuestos 9.2 1. Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01 /////////////////////// 11 /////////////////////////////////// 11 /////////////////////// 112 −    −−−       −+    ++ xxxxxx 01 ////////////////////////////////////////////////////////// 1 /////////////////////// 12 −    −    + xx 01 ///////////////////////// 1 //////////////////////////////////////////////////////// 1 −    −−   + xx f g gf ⋅ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )      >− ≤≤−− −<++ =⋅ 0;1 01;1 1;11 2 2 2 xx xx xxx xgf Por lo tanto
  • 13. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 212      > ≤≤− −<+ = 5 513 11 2 x;x x;x x;x )x(f      >− ≤≤ <− = 62 602 05 2 x;x x;x x;x )x(g Entonces la regla de correspondencia de )x)(gf()x(h += es: a)          >−+ ≤< ≤≤+ <≤−− −<− = 62 653 5032 0154 142 2 2 2 x;xx x;x x;xx x;x x;x )x(h b)          ≥−+ <≤ <<+ ≤<−− −≤− = 62 653 5032 0154 142 2 2 2 x;xx x;x x;xx x;x x;x )x(h c)      >−+ ≤≤−+ −<− = 52 5132 16 2 2 x;xx x;xx x;x )x(h d)       >−+ ≤≤+ <− = 6;2 60;32 0;6 )( 2 2 xxx xxx xx xh e) Elija esta opción si h(x) no existe 2. Sean f y g funciones de variable real , tales que: ( ) ( )    ≤− > =     ≤+ >− = 2;1 2;3 2;2 2;31 2 xx x xg xx xx xf Entonces ( )( )xgf − es: a) ( )( )       −<+− <≤−+− ≥−− =− 224 223 223 2 x;x x;xx x;x xgf b) ( )( )       −<+− ≤+− >−− =− 224 23 223 2 x;x x;xx x;x xgf c) ( )( )       −≤+− ≤<−+− >−− =− 224 223 223 2 x;x x;xx x;x xgf d) ( )( )       −≤+− <<−+− ≥−− =− 224 223 223 2 x;x x;xx x;x xgf e) ( )( )     ≤+− >−− =− 23 223 2 x;xx x;x xgf 3. Sean f y g funciones de una variable real, tales que x xf 1 1)( += y x xg 1 1)( −= , entonces el MAXIMO DOMINIO posible de la función ( )x g f      , es: a) {}1−IR b) IR c) { }1−−IR d) { }1,0−IR e) { }0−IR 9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Los pares ordenados pueden ser representados como puntos en el PLANO CARTESIANO. Ejemplo Ubicando los pares )4,2(− , )2,3( y )2,4( − tenemos:
  • 14. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 213 Rango )(xfy = Dada la regla de correspondencia de una función de variable real )(xfy = , o más formalmente dada IRYIRXf ⊆⊆ : tal que ( ){ }Xxxfyyxf ∈∧== )(/, ; podemos obtener una TABLA DE VALORES: También, a la variable independiente " x " se la llama ABCISA y a la variable dependiente " y " se la llama ORDENADA. Así que, ( )yx, serán las COORDENADAS de un punto El GRÁFICO de una función es el conjunto de puntos, representados en el plano cartesiano, correspondientes a los pares ordenados de la función. 9.5.1 UTILIDAD DEL GRAFICO Con el gráfico, podemos: 1. DETERMINAR EL RANGO DE UNA RELACIÓN. El rango será el intervalo que sea la proyección de la gráfica de la relación sobre el eje " y ".  )( )( )( 33 22 11 3 2 1 xfy xfy xfy y x x x x = = = ( )xfy =( )11, yx ( )22, yx ( )33, yx
  • 15. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 214 No es función 1y 2y 1x 2. DETERMINAR SI UN LUGAR GEOMÉTRICO ES FUNCIÓN O NO. Considere lo siguiente: PARA TODA FUNCIÓN, “CUALQUIER RECTA VERTICAL DEBERÁ CORTAR A SU GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO”. 3. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O NO Recuerde que: f ES INYECTIVA ≡ ( ) ( ) 2121 xxxfxf =⇒= fDomxx ∈∀ 21, O lo que es lo mismo: f ES INYECTIVA ≡ ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ fDomxx ∈∀ 21, Gráficamente, tendríamos que para una función inyectiva: “TODA RECTA HORIZONTAL DEBERÁ CORTAR A SU GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO” )(xfy = y
  • 16. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 215 1x 2x )(xfy = No es INYECTIVA Una función no inyectiva sería: 4. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA O NO Recuerde que una función f ES SOBREYECTIVA si y sólo sí rango f Y= para f : IRYIRX ⊆→⊆ Entonces al hallar el rango de la función, inmediatamente se podrá establecer si es sobreyectiva o nó. 5. DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES BIYECTIVA. Determinando si es inyectiva o nó y si es sobreyectiva o nó, entonces se podrá establecer si la función es biyectiva o nó Ejemplo 1 Considere una función de variable real, tal que IRxxxf ∈−= ;12)( . Trazar su gráfica. SOLUCIÓN Hallemos primero la TABLA DE VALORES calculando algunos pares ordenados empleando la regla de correspondencia dada: 53 32 11 10 31 52 73 − −− −− −− yx Representamos los pares ordenados como puntos en el plano cartesiano. Y Luego trazamos la gráfica, siguiendo estos puntos OBSERVACIONES: 1.La gráfica es una recta.
  • 17. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 216 Ejemplo 2 Considere una función de variable real, tal que IRxxxf ∈= ;)( 2 . Trazar su gráfica. 9.6 CLASES DE FUNCIONES 9.6.1 FUNCIÓN CRECIENTE Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Entonces f ES ESTRICTAMENTE CRECIENTE en I , si y sólo si Ixx ∈∀ 21, se cumple que ( ) ( )[ ]1212 xfxfxx >⇒> 93 42 11 00 11 42 93 − − − yx Conclusiones: 1. La gráfica es una parábola. 2. rg [ )∞= ,0f 3. f no es inyectiva. 4. Si IRIRf →: entonces f no es sobreyectiva. 5. Por tanto f no es biyectiva. GRÁFICATABLA DE VALORES PREGUNTA: ¿En que cambian las conclusiones si se define a la función : 1. + RRf : 2. RRf + : 3. ++ RRf : ?
  • 18. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 217 Por tanto la gráfica de una función estrictamente creciente podría tener el siguiente comportamiento: )( 2xf )( 1xf 1x )(xfy = 2x
  • 19. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 218 Ejemplos Cuando una función crece en ciertos intervalos y se mantiene constante en otros intervalos se dirá que la FUNCIÓN ES CRECIENTE. Entonces se cumplirá que: ( ) ( )[ ]121221, xfxfxxIxx ≥⇒>∈∀ Por ejemplo, una gráfica sería: 9.6.2 FUNCIÓN DECRECIENTE Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Entonces f ES ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en I , si y Esta función es estrictamente creciente en todo su dominio Esta otra función, en cambio no es creciente en todo su dominio, pero podríamos decir que es creciente en el intervalo [ )∞,0 2 xy = 12 −= xy
  • 20. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 219 sólo si Ixx ∈∀ 21, se cumple que ( ) ( )[ ]1212 xfxfxx <⇒> La gráfica de una función ESTRICTAMENTE DECRECIENTE sería: Defina FUNCIÓN DECRECIENTE. 9.6.3 MON0TONÍA Determinar la monotonía de una función, significará determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimientos. 9.6.4 FUNCIÓN PAR Sea YXf : una función de variable real. Entonces f ES PAR, si y sólo si Xx ∈∀ se cumple que )()( xfxf =− Para una función PAR su gráfica será simétrica al eje y : x y 1x 2x ( )1xf ( )2xf x y ( )xf − ( )xf x− x
  • 21. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 220 Ejemplo 1 La función con regla de correspondencia ( ) 2 xxf = es par, como lo podemos observar en su gráfica que ya fue presentada, además ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxxf −=⇒=−=− 22 Ejemplo 2 Sea la función con regla de correspondencia ( ) ( )22 4 1 1 − + = x x xf Entonces ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxf x x x x xf −=⇒ − + = −− +− =− 22 4 22 4 1 1 1 1 por tanto también es par 9.6.5 FUNCIÓN IMPAR Sea YXf : una función de variable real. Entonces f ES IMPAR, si y sólo si Xx ∈∀ se cumple que )()( xfxf −=− Para una función PAR su gráfica será simétrica al origen Ejemplo Sea la función con regla de correspondencia ( ) 3 xxf = Realicemos su gráfica punto a punto, para lo cual: Además ( ) ( ) )(33 xfxxxf −=−=−=− , por tanto es impar 82 11 00 11 82 − − yx
  • 22. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 221 )( 1xf 1x Ejercicio resuelto 1 Determine si la función con regla de correspondencia ( )2 1)( += xxf es par o impar Hallamos ( )[ ] ( ) )(11)( 22 xfxxxf ≠+−=+−=− por tanto no es par, ni impar. Ejercicio resuelto 2 Determine si la función con regla de correspondencia 23)( 4 +−= xxxg es par o impar. Hallamos ( ) 232)(3)( 44 ++=+−−−=− xxxxxg )(xg≠ por tanto no es par, ni impar. Ejercicio resuelto 3 Determine si la función con regla de correspondencia 43)( 24 ++= xxxh es par o impar Hallamos ( ) )(434)(3)( 2424 xhxxxxxh =++=+−+−=− ; por tanto es par. Ejercicio propuesto 9.3 1. Determine ¿cuál de las siguientes funciones es una FUNCIÓN PAR?: a) ( )    <− ≥− = 1;1 1;1 xx xx xf b) ( ) IRxxxxf ∈++= ;122 c) ( ) IRxxxf ∈= ;3 d) ( ) IRxxxf ∈+= ;22 e) ( ) IRx;xxf ∈−= 12 9.6.6 DESPLAZAMIENTOS 9.6.6.1 HORIZONTALES Suponga que f es una función de variable real, cuyo gráfico es Entonces al desplazarla horizontalmente, tenemos DERECHA IZQUIERDA
  • 23. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 222 9.7.6.2 VERTICALES Y al desplazarla verticalmente, tenemos: Ejemplo Sea 2 )( xxf = cuya gráfica es: f(x) 4 6 8 x f(x) 1x )( 1xf axf −)( 1 a ABAJO - a ARRIBA
  • 24. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 223 Entonces la gráfica de ( )2 2)( −= xxf es: La gráfica de ( )2 2)( += xxf es: La gráfica de 2)( 2 += xxf es: x f(x) -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8 x f(x) -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8 x f(x) -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8
  • 25. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 224 La gráfica de 2)( 2 −= xxf es: Finalmente, combinando los tipos de desplazamiento, la gráfica de ( ) 22)( 2 +−= xxf será: 9.6.6.3 OTRAS CONSIDERACIONES CAMBIO DE SIGNO Si una función f tiene por gráfica Entonces la gráfica de f− es: x f(x) -4 -2 0 2 4 -2 0 2 4 6 x f(x) x f(x) -6 -4 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 8
  • 26. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 225 Ejemplo La gráfica de la función 2 )( xxf −= sería: Por otro lado La gráfica de 2 2xy = sería x f(x) )(xf− x f(x) La parte positiva de la gráfica de f ( la que está arriba del eje x) se la hace negativa dibujandola simétricamente abajo del eje x. Y la parte negativa, la que está bajo el eje x, se la hace postiva dibujandola simétricamente encima del eje x. x f(x) La parábola es más cerrada 2 2xy = 2 xy =
  • 27. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 226 Ejercicio resuelto Considere las funciones f y g de IR en IR cuyas gráficas son: Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( ) ( )1 2 1 2 +−= xfxg b) ( ) ( )122 −−= xgxf c) ( ) ( )xgxg =− d) ( ) ( ) ( )220 ggf =−− e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son Verdaderas. Solución: Analicemos cada opción: a) Debemos llagar hasta el gráfico de g a partir del gráfico de f 1 2- 2 -1 ( )1+xf 2 1 2- 2 -1 ( )1 2 1 +xf 1 1 2- 2 -1 ( )1 2 1 +− xf
  • 28. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 227 Por tanto esta es la opción incorrecta Sin embargo analicemos las otras opciones. b) Hallemos la gráfica de f a partir de la gráfica de g 1 2- 2 -1 ( )1 2 1 2 +− xf 1 2 1 2- 2 -1 ( )1−xg 1
  • 29. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 228 Por tanto esta opción es correcta 1 2- 2 -1 ( )12 −xg 2 2- 2 -1 ( )12 −− xg -2 2- 2 -1 ( ) )(122 xfxg =−− 2
  • 30. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 229 c) Esta opción también es correcta, porque de acuerdo al gráfico de g se observa que es simétrica al eje y, por tanto g es una función par y se cumplirá que )()( xgxg =− . d) Para calcular )2()0( −− gf , del gráfico obtenemos 2)0( =f y 1)2( =−g y luego los restamos. Es decir: 1)1(2 =− . Ahora del gráfico de g , observamos que 1)2( =g ; por lo tanto esta opción también es correcta.
  • 31. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 230 Ejercicio Propuesto 9.4 1. Con respecto al gráfico de la función f . Una de las siguientes reglas de correspondencia tiene GRÁFICO asociado CORRECTO, Identifíquelo: -f(x)=g(x))a )x(f)x(g)b 1+= 1+f(x)=g(x))c 1-f(x)=g(x))d 1+-f(x)=g(x))e 9.6.7 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal tiene las siguientes características: 1. La regla de correspondencia en su expresión simplificada, es una ecuación lineal, de la forma: bmxy += . 2. “ m ” se la denomina PENDIENTE (medida de la inclinación) de la recta. “b ” es el intercepto de la recta con el eje “ y ”. -1 1 1 1 1 2 1 1
  • 32. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 231 3. El gráfico es una recta. Si “ m ” es positivo ( 0>m ) la recta es creciente. Ejemplo La gráfica de 12)( −= xxf es: 4. Si “ m ” es negativo ( 0<m ) la recta es decreciente. Ejemplo La gráfica de 13)( +−= xxf es: 0; >+= mbmxy 12 −= xy 0; <+= mbmxy 13 +−= xy
  • 33. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 232 5. Si 0=m , la ecuación de la recta queda de la forma by = . Su gráfica son RECTAS HORIZONTALES. Se la llama FUNCIÓN CONSTANTE. Ejemplo La gráfica de 1)( =xf es: Entonces la ecuación del eje “ x ” sería 0=y . Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, aunque no son funciones (¿POR QUÉ?), son las RECTAS VERTICALES Ejemplo La gráfica de 1−=x es: by = 1=y Note: 1)100( 1)5( 1)2( =− = = f f f ax = a
  • 34. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 233 Estas rectas tienen pendiente infinita. ¿POR QUÉ? La ecuación del eje “ y ” sería 0=x . 6. Si 0=b , tenemos a las rectas que contienen el origen Si 1=m y 0=b , tenemos a la FUNCIÓN IDENTIDAD. y x mxy = y x xy = 1−=x
  • 35. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 234 7. Dos puntos definen una recta. Conociendo dos puntos de la recta, se podrá encontrar su ecuación empleando la fórmula: ( )1 12 12 1 xx xx yy yy − − − =− Donde la pendiente es: 12 12 xx yy m − − = ó 21 21 xx yy m − − = es decir: recorrido elevación m = Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )1,01P y ( )7,22 −P Solución: Debemos emplear ( )1 12 12 1 xx xx yy yy − − − =− para lo cual 01 =x , 11 =y , 22 −=x , 72 =y Reemplazando, tenemos: ( ) 13 31 2 6 1 0 02 17 1 1 3 +−= −=− /− / =− − −− − =− xy xy xy xy Note que el orden en que se tomen los puntos 1P y 2P no importa. Recorrido 12 xx − Elevación 12 yy − ),( 22 yx ),( 11 yx DEDÚZCALA
  • 36. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 235 Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )1,2:1P y ( )1,2:2 −P Solución: Debemos emplear ( )1 12 12 1 xx xx yy yy − − − =− para lo cual 21 =x , 11 =y , 22 −=x , 12 =y Reemplazando, tenemos: ( ) 1 01 2 22 11 1 = =− − −− − =− y y xy Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos ( )2,1:1P y ( )2,1:2 −P Solución: Debemos emplear ( )1 12 12 1 xx xx yy yy − − − =− para lo cual 11 =x , 21 =y , 12 =x , 22 −=y Reemplazando, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 4 0 1 0 4 2 1 11 22 2 0 = −=− − − − =− − − −− =− x xy xy xy 1=y 1=x
  • 37. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 236 9.6.8 FUNCIÓN CUADRÁTICA Las características de una función cuadrática son: 1. La REGLA DE CORRESPONDENCIA, en su expresión simplificada, es una ecuación cuadrática de la forma: cbxaxxfy ++== 2 )( , donde 0,, ≠∧∈ aRcba Ejemplo 2 )( xxf = es una función cuadrática. Su gráfica ya fue realizada y habíamos determinado que es la siguiente: 2. La GRÁFICA es una parábola. 3. Si 0>a (positiva), la parábola es cóncava hacia arriba. 4. Si 0<a (negativa), la parábola es cóncava hacia abajo. 5. El VÉRTICE de la parábola se produce en a b x 2 −= , por lo tanto       −= a b fy 2 . (¿DEMUÉSTRELO?) 6. La parábola es simétrica a la recta a b x 2 −= . 7. Los interceptos de la parábola con el eje “ x ” (si fuese el caso), llamados también CEROS DE LA FUNCIÓN, se los encuentra resolviendo la ecuación 02 =++ cbxax (¿POR QUÉ?) 2 xy = y x 1x 2x
  • 38. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 237 243 2 ++−= xxy Ejemplo 1 Sea la función 12)( 2 +−= xxxf Entonces, para esta función 2=a , 1−=b , 1=c . De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la gráfica es una PARÁBOLA ABIERTA HACIA ARRIBA porque 0>a y lo será a partir de su VÉRTICE, cuyas coordenadas son: a b x 2 −= )2(2 1− −=x 4 1 =x 8 7 1 4 1 16 1 2 1 4 1 4 1 2 2 = +−      = +−      = y y y Esta función no tiene ceros. Otra manera de tratar a la función cuadrática es llevarla a la forma 0 2 0 )()( yxxaxf +−= . En este caso las coordenadas del vértice serían ),( 00 yxV . REALÍCELO PARA EL EJEMPLO ANTERIOR. Ejemplo 2 Sea la función 243)( 2 ++−= xxxf Como 03 <−=a entonces su gráfica es una parábola abierta hacia abajo a partir de su vértice: ⇒−= a b x 2 3 2 )3(2 4 =⇒ − −= xx por lo tanto 3 10 2 3 4 2 3 8 3 4 2 3 8 9 4 3 2 3 2 4 3 2 3 3 2 = += ++−= ++           / /−= +      +      −= y y y y y 4 1 8 7 y x 12 2 +−= xxy V
  • 39. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 238 Los interceptos con el eje “x” serían: 6 )2)(3(4164 2 4 0243 0243 2,1 2 2,1 2 2 −−± = −±− = =−− =++− x a acbb x xx xx 3,0 3 102 7,1 3 102 22 11 −=⇒ − = =⇒ + = xx xx Ejercicio propuesto 9.5 Graficar 1.- 24)( 2 ++−= xxxf 2.- 12)( 2 ++= xxxf 3.- xxxf −= 2 )( 9.6.9 GRÁFICOS DE FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA Para obtener la gráfica de una función de variable real que esté definida con más de una regla de correspondencia, se debería graficar cada regla de correspondencia en los respectivos intervalos donde estén definidas. Ejemplo Sea f , una función de variable real, con regla de correspondencia      <+ ≥ = 0;12 0; )( 2 xx xx xf Entonces su gráfica es: 1 12 += xy 2 xy = Note que: 0)0( =f 3)2( −=−f 4)2( =f
  • 40. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 239 9.6.10 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La regla de correspondencia es:    <− ≥ === 0; 0; )( xx xx xxfy Su Gráfico, sería: Las definiciones anteriores también serían aplicables a esta función. Ejemplo 1 Para obtener la gráfica de 11)( +−= xxf , se podría pensar en la gráfica de xy = desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba. Para obtener la regla de correspondencia de cada recta, debemos pensar en destruir el valor absoluto 11 +−= xy para lo cual: xy −= xy = 1 1 xy =2+−= xy 1 2+−= xy 1)1( +−= xy    <+− ≥ = 1;2 1; )( xx xx xf
  • 41. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 240 También se podrían presentar casos en que las funciones estén afectadas por valor absoluto. Suponga, que la gráfica de una función de variable real es la siguiente: Entonces, la gráfica de )(xfy = sería: Por lo tanto, la gráfica de f es la gráfica de f hecha positiva, es decir: ( )    <− ≥ = 0)()( 0)( )( xfcuandoxf xfcuandoxf xf Ejemplo 2 Para obtener la gráfica de 21 −+= xy , podemos pensar en la gráfica de xy = desplazada una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo y de allí hacerla positiva, obteniendo su valor absoluto. 1x 2x 1x 2x )(xfy = )(xfy −= )(xfy = )(xf
  • 42. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 241 Rxparaxxy ∈+−= 242 Los interceptos con el eje x : Es decir: y Analicemos los siguientes ejercicios: Ejercicio resuelto 1 Sea IRIRf →: una función tal que: ( )        ≤− <<− ≥+− = 0;4 20;4 2;242 x xx xxx xf , entonces el RANGO de f es el intervalo: a)[ )∞− ,4 b)[ ) [ )∞∪−− ,02,4 c)[ ) ( )∞∪− ,44,2 d) ( ] [ )∞∪− ,02,4 e)( ] [ )∞∪−− ,02,4 Solución: Debemos graficar cada regla de correspondencia en sus respectivos intervalos, es decir: 1. 242 +−= xxy tiene 1 12 21 = −= =+ x x x 3 21 2)1( −= =−− =+− x x x VÉRTICE a b x 2 −= 2=x 2 284 −= +−= y y 1. 2242 ≥+−= xparaxxy 2. 204 <<−= xparaxy 3. 04 ≤−= xparay CEROS: 59.022 41.322 2 224 2 )2(4164 024 22 11 2,1 2,1 2 =⇒−= =⇒+= ± = −± = =+− xx xx x x xx 021 210 =−+ −+= x x -3 1-1 ( )( ) 121 +−=−+−= xxy ( )( ) 121 −=−+= xxy( )( ) 321 −−=−+−= xxy 3+= xy
  • 43. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 242 Entonces la gráfica sería: Observando el gráfico, tenemos que [ ) [ )∞∪−−= ,02,4frg . Por lo tanto la opción “b” es correcta Ejercicio resuelto 2 Graficar IRxxxxf ∈−−= ;1)( Primero obtengamos su regla de correspondencia en forma explícita, para lo cual destruimos los valores absolutos, es decir: Entonces, su gráfica es: 4−= xy 242 +−= xxy 4−=y 1 1121 10 1)1()()1( = −=+−=++−= −−=−−−=−−−−= y yxyxxy xxyxxyxxy      < <≤+− ≥− = 0;1 10;12 1;1 )( x xx x xf 12 +−= xy 1=y 1−=y
  • 44. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 243 9.6.10.3 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES Función cúbica Función raíz cuadrada Entonces: 0; ≥= xxy 1+= xy 1+= xy Rxxy ∈= ;3
  • 45. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 244 xy −= xy −= ( )11 +−=−−= xxy
  • 46. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 245 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA Entonces: 1 1 + = x y 1 1 += x y x y 1 =
  • 47. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 246 Ejercicio resuelto Sea IRIR:f → una función con regla de correspondencia: ( )       ≥− <<−− −≤−− = 22 224 22 2 xx xx xx xf entonces una de las siguientes afirmaciones es CORRECTA, identifíquela: a) La función es biyectiva. b) La función es sobreyectiva. c) La función es inyectiva. d) La función es impar. e) La función es par SOLUCIÓN: Debemos graficar f para así determinar sus características. Note que xy −−= 2 debe ser considerado de la siguiente forma )2( +−= xy Entonces, de acuerdo al gráfico, f es una función par. Por lo tanto la opción “e” es correcta Ejercicios propuestos 9.6 1. Si f es una función de variable real tal que: ( )      ≥ ≤−− = -2<x;2-3x- 2x;3 2<x2-;12 )( 2 x xf entonces el RANGO de f es: a) ( )∞− ,1 b) ( )15,∞− c) ( ]15,∞− d) ( ]158,− e) [ )+∞,15 2. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia: ( )       ≥− <≤−− −< = 342 332 310 2 xx xx x xf entonces el RANGO de f, es el intervalo: a) ( )∞,10 b) [ )∞− ,7 c) ( )∞,7 d) ( )710, e) ( )∞− ,7 3. Sea RRf →: una función tal que       <+ ≤≤− > = 0;1 60;3 6;9 )( 2 xx xx x xf Entonces es VERDAD que: a) f es par b) 3)6(65)8(9)50( −=∧=−∧= fff c)f no es sobreyectiva d) f es inyectiva e) f es impar 4. Sea IRIRf →: , una función tal que: ( )    ≤++− >− = 0;42 0;2 )( 2 xx xx xf 2−= xy 42 −= xy ( )2+−= xy
  • 48. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 247 Para que 4)( >xf , se requiere que: a) 6>x b) 6<x c) 0>x d) 602 >∨<<− xx e) 2−>x 5. Sea f una función de variable real cuya regla de correspondencia es: ( ) ( )     ≥− <≤−− −<−+ = 33 313 132 2 2 xx xx xxx xf entonces su gráfica es: 6. Considerando la función f , con regla de correspondencia: ( )       ≥− <<−− −≤+ = 4;6 44;16 4;6 2 xx xx xx xf Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela. a) f es una función impar. b) El rango de f es el intervalo ( )4,−∞ . c) f es creciente en el intervalo ( )14,− . d) El dominio de f es el intervalo ( )+∞,0 . e) f es una función par. 7. Dada la función: ( )        ≥+ <≤−+ −<− = 5;5 55;5 5 5;5 2 xx x x xx xf entonces es VERDAD que: a) f es creciente en el intervalo ( ]0,∞− d) f es decreciente en el intervalo [ )∞,0 . b) f es una función par. e) f es una función impar. c) f no es función. 8. La regla de correspondencia de la función: IRIRf →: cuyo gráfico se muestra, tiene la forma : ( ) cbxaxxf ++= 2 c) (1, 4) (3, 0) d) (-1, -4) (3, 0) e) (3, 0) (-1, -4) (-1, -4) (3,0) a) (-1, -3) (3,0) b)
  • 49. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 248 Entonces el valor de b es: a) 4 b)1 c)2 d)-4 e)-1/2 9. Sea f una función de variable real, cuya gráfica es: Entonces su regla de correspondencia es: a) ( )        >− <≤−− <≤−+− −< = 2;4 20;2 02;2 2;2 2 xxx xx xx x xf b) ( )      >+ ≤≤−+− −<− = 2;4 22;2 2;2 2 xxx xx x xf c) ( )        >− ≤≤+− <≤−+ −< = 2;4 20;2 02;2 2;2 2 xxx xx xx x xf d) ( )        ≥− ≤<− ≤≤−+− −≤ = 2;4 20;2 02;2 2;2 2 xxx xx xx x xf e) ( )      >− ≤≤−+− −< = 2;4 22;2 2;2 2 xxx xx xx xf 10. Considere el gráfico de una función de variable real: Entonces su REGLA DE CORRESPONDENCIA es:
  • 50. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 249 a) ( ) ( )       >+ ≤<+− ≤− = 2,3 20,21 0, 2 xx xx xx xf c) ( ) ( )        >− ≤<+− ≤− = 2,1 20,212 0, 2 xx xx xx xf b) ( ) ( )       >− ≤<−− ≤− = 2,3 20,21 0, 2 xx xx xx xf d) ( ) ( )       >− ≤<−− ≤ = 2,3 20,122 0, 2 xx xx xx xf e) ( ) ( )       >− ≤<−− ≤ = 2,3 20,212 0, 2 xx xx xx xf 11. Realizar las gráficas de las funciones con reglas de correspondencias: a)       ∈≤≤+ + = 2>x;1 Rx;2x0;x 0<x;x )x(f 2 1 52 b) Rx;xx)x(f ∈−+−= 1212 c) ( ) 32 2 −−= x)x(f d) 462 −−= x)x(f 12. Si f es una función de variable real tal que:     +− ≥− = 3<x<1,xx 2-x,x )x(f 12 112 2 entonces el GRÁFICO de f es: a) b) c) d) e) Elija esta opción si ninguno es el gráfico. 13. Sean f(x)= x x x − ≥ − +    1 1 3 22 ; x - 2 ; 1< x < 3 y Rx; ∈ − = 2 xx )x(g GRAFICAR: ( ) ( ) ( ) ( )2-xg-d)xf-c)xgb)xf)a 31 2 4 2 2 -4 -2 2 -4 -2 2
  • 51. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 250 14. Uno de los siguientes gráficos corresponde a la función f tal que f(x)= [ ] Rx,x)x(g ∈+− 2 2 , sabiendo      = 0<x;1- 0=x;0 0>x; )x(g 1 a) b) c) d) e) Elija esta opción si ningún gráfico corresponde. 15. La gráfica de la función ( ) :es;11)( Rxxxxf ∈−−= a) b) c) d) e) Seleccione esta opción si ninguna de las anteriores es el gráfico. 16. Considere el siguiente gráfico para una función g de variable real: Entonces el GRÁFICO DE f , tal que ( ) ( )121 −−= xgxf ,es: 1 3 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1 1 -1 1
  • 52. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 251 a) b) c) d) e) 17. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f de variable real ?       ≤ ≥ +− = 1<x1-;x 1x;1-x -1<x;)x( )x(f 3 2 2 a) f es creciente en el intervalo (-1,1) b) f es impar en el intervalo (-1,1) c) f es par en el intervalo (1,+∞) d) f es decreciente en el intervalo (-2,-1) e) f es creciente en el intervalo (1,+∞) 18. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ( )       >+− ≤ −< = 1;44 1; 1;1 2 xxx xx x xf . Entonces es FALSO, que: a) [ )∞= ,0frg d) f es creciente en el intervalo [ )∞,2 . b) f no es una función par. e) f no es una función impar. c) f es decreciente en el intervalo [ ]1,0 . 19. Sea f una función de una variable real, con regla de correspondencia: ( ) ( ) ( )        >− ≤≤−++− −<++ = 22 2222 8 1 222 2 2 xx xx xx xf entonces el RANGO de la función es el intervalo: a) ( ]2−∞− , b) [ )∞,0 c) [ )∞− ,2 d) ( )∞∞− , e) [ )∞,2 20. Sea x∈R y x ≤ 4 ; 24)( +−= xxf , entonces es FALSO que:
  • 53. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 252 a) Si la función es impar, entonces la función no es par b) El vértice de la parábola está en (4,2) c) La función es decreciente d) La función es par e) El Rango de la función es [ )+∞,2 21. La GRÁFICA de la función f, con regla de correspondencia ( )         −≤−−− <+−+ ≥− = 2;22 2 1 2;22 2;22 2 xxx xx xx xf es: a) b) c) d) e) 22. Si se define la función f con regla de correspondencia xxxf 2 )( = ; x∈R, entonces, una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela. a) f es una función PAR b) Para x=-2, el valor de la función es 8 c) 3 )( xxf = d) En el intervalo (0,+∞), f es estrictamente creciente e) El rango de f es (0,+∞) 9.6.11 FUNCIÓN INVERSA Ya hemos mencionado que una función es inversible si y sólo si es biyectiva. Con conjuntos finitos, determinar inversas es muy sencillo. Para hallar la función inversa 1− f de una función biyectiva f , bastaba con tomar el camino de regreso; entonces, obteníamos el rango de f como dominio 1− f y al dominio f como rango de 1− f . En los pares ordenados, la primera componente pasa a ser la segunda componente y la segunda componente pasa a ser la primera componente.
  • 54. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 253 Para lograr esto, con una función de variable real f con regla de correspondencia dada, deberíamos realizar lo siguiente: 1. Si tenemos )(xfy = deberíamos hacer ( )yfx = . [Cambiar “x” por “y” y “y” por “x”] 2. Despejar “ y ”. Entonces la regla de correspondencia de la inversa ( )xfy 1− = , sería la ecuación obtenida Ejemplo 1 Sea 12)( += xxf , hallar 1− f SOLUCIÓN: En 12 += xy , cambiando “x” por “y” y “y” por “x”, tenemos 12 += yx Despejando “y”, 2 1 2 2 1 12 12 −= − = −= += x y x y xy yx entonces 2 1 2 1 )(1 −=− xxf Ocurre algo interesante cuando trazamos tanto la gráfica de f como de su inversa 1− f en un mismo plano cartesiano. A saber: Los gráficos de f y 1− f son simétricos a la recta xy = . 12)( +== xxfy 2 1 2 1 )(1 −== − xxfy xy =
  • 55. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 254 No olvide que ( ) ff = −− 11 Ejemplo 2 Sea 2 )( xxf = ; 0≥x hallar 1− f y graficarlas en un mismo plano. SOLUCIÓN: Como tenemos 2 xy = , entonces 2 yx = . Donde 0≥y Por lo tanto xf =−1 Ejemplo 3 Sea 2 )( xxf = ; 0<x , hallar 1− f y graficarlas en un mismo plano. SOLUCIÓN: Como tenemos 2 xy = , entonces 2 yx = donde 0<y . Por lo tanto xf −=−1 Ejemplo 4 xy += 2 xy = 2 xy = xy −=
  • 56. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 255 Para 2);42( −≥+−= xxy tenemos: 0;2 2 1 2;2 2 1 2;42 2;42 2);42( 1 ≤−−= −≥−−= −≥−−= −≥−−= −≥+−= − xxf yxy yxy yyx yyx Note que 2−≥y cuando 0≤x 0;2 2 1 2 ≤−= xxy 2;42 −≥+−= xxy 2;42 −<−= xxy 2;42 −≥−−= xxy Sea 0;2 2 1 )( 2 ≤−= xxxf . Hallar 1− f y graficarlas en un mismo plano. SOLUCIÓN: 2;42 42 42 42 0;2 2 1 1 2 2 2 −≥+−= += += −= ≤−= − xxf xy xy yx yyx Ejemplo 5 Sea     −≥+− −<− = 2;)42( 2;4 )( 2 xx xx xf . Hallar 1− f y graficarla SOLUCIÓN: Encontramos la inversa para cada una de las reglas de correspondencia de f . Observe que, la gráfica de f es: Primero: Segundo: Para 2;42 −<−= xxy tenemos: 0;4 2;4 2;4 2;4 2;4 1 2 2 2 >+−= −<+±= −<=+ −<=+ −<−= − xxf yxy yyx yyx yyx Note que 2−<y cuando 0>x Por tanto:     ≤−− >+− =− 0;2 2 1 0;4 1 xx xx f 1− f 0;2 2 1 ≤−−= xxy 0;4 >+−= xxy
  • 57. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 256 Ejercicios Propuestos 9.7 1. Si f es una función cuyo dominio es el intervalo [5,+∞), y su regla de correspondencia es 55)( −−= xxf . Entonces, el dominio de )(1 xf − , es: a) [ )+∞,5 b) [ ]0,5− c) [ ]0,5− d) [ )+∞− ,5 e) [ ) ( )∞∪− +5,5,5 2. La función inversa de la función de variable real 22)( −−= xxf siendo x ≥ 2, es: ( ) 1x;422)(1-fe)2x;42)(1-fd) -2x;22)2()(-1fc)-1x;22)2()(-1fb)-2x;222)(-1f) ≥++=≥−= ≥++=≥−−=≥+−= xxxxx xxxxxxa 3. Sea )(1 xf − la regla de correspondencia de una función que es inversa de otra función de variable real f y que está definida así:     − ≥ =− 2<x;2 2x; 2)( 3 1 x x xf entonces el valor de la suma )4()2( −−− ff es igual: a) 1 b) -1 c) 3 d ) -3 e) 2 4. Si f es una función invertible, tal que:     ≥+− = 4<x;6)-2(x 4x;1582 )( xx xf Entonces el dominio de )x(f 1− es: a) R b) [ )c1-,4− c) [ ]C1-,4− d) ( )+∞− ,2 e) ( )1-,−∞ 5. Sea f una función de una variable real, que tiene una función inversa cuya regla de correspondencia es: ( ) 3 1 ;13121 −≥−+=− xxxf , entonces la regla de correspondencia de f , es: a) ( ) ( ) 3 1 ; 3 1 6 21 −≥− + = x x xf b) ( ) ( ) 1; 3 1 6 21 −≥− + = x x xf c) ( ) ( ) 3 1 ; 12 1 3 21 −≥− − = x x xf d) ( ) ( ) 3 1 ; 3 1 3 21 −≥+ + = x x xf e) ( ) ( ) 1; 3 1 12 21 −≥− + = x x xf 9.6.12 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES El concepto de componer funciones ya lo hemos mencionado, sin embargo recuerde que para obtener fg  , empezando con “ x ” como dominio de f obtenemos su rango )(xfy = , y luego este rango lo hacemos dominio de g para obtener ))(( xfgy = . Lo cual esquemáticamente, sería: f g x )(xfy = [ ])(xfgy = ( ) [ ])()( xfgxfg =
  • 58. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 257 Algo similar se haría para el caso de obtener gf  Si f y g son funciones de variable real, se trabajaría con las reglas de correspondencia. Ejemplo 1 Sean IRxxxf ∈−= ;12)( y IRxxxxg ∈+−= ;23)( 2 . Hallar ( ) )(xgf  SOLUCIÓN: Por definición ( ) [ ])()( xgfxgf = ( f evaluada en g ) Ejemplo 2 Para el ejemplo anterior obtener fg  SOLUCIÓN: Por definición ( ) [ ])()( xfgxfg = ( g evaluada en f), entonces: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 61412)( 3231212)( 212)144(3)( 212123)( 2)()(3)( 2 2 2 2 2 +−= +−+−= ++−+−= +−−−= +−= xxxfg xxxxfg xxxxfg xxxfg xfxfxfg      Analicemos ahora los siguientes ejercicios resueltos: Ejercicio resuelto 1 Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son: fg x )(xgy = [ ])(xgfy = ( ) [ ])()( xgfxgf = fg x 23 2 +−= xxy [ ])(xgfy = ( ) [ ])()( xgfxgf = 12 −x ( ) [ ] ( ) ( ) 326)( 1)23(2)( 1)(2)( 2 2 +−= −+−= −= xxxgf xxxgf xgxgf   
  • 59. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 258 12 += x)x(f , IRx ∈ x)x(g −= 2 , IRx ∈ Entonces es VERDAD que: a) El rango de gf  es el intervalo [ )∞,0 b) El rango de fg  es el intervalo ( ]1,∞− c) ))(fgf( 1 =0 d) ( ) =)(gfg 1 2 e) ( ) )(gg 11−  =0 SOLUCIÓN: Analizando una a una las opciones: a) Obtengamos primero ( ) [ ])()( xgfxgf = ( ) ( ) 12 12 2 2 +−= +−= xy xy . Entonces [ )∞= ,1)( gfrg  (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es falsa. b) Obtengamos ahora ( ) [ ])()( xfgxfg = ( )12 2 +−= xy 1 12 2 2 +−= −−= xy xy .Entonces ( ]1,)( −∞=fgrg  (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es correcta. c) Caculemos ( ) [ ][ ] 1)0())2(()1()1( ==== fgffgffgf  . Por tanto esta opción es falsa d) Calculemos ( ) [ ][ ] 0)2())1(()1()1( ==== gfggfggfg  . Por tanto esta opción es falsa. e) Al calcular ( )( ) 111 =− gg  por que ( )( ) ( )( ) xxgg xxgg = = − −   1 1 . Por tanto esta opción es falsa. Veamos Si xxg yx xxg −= −= −= − 2)( 2 2)( 1 entonces ( )( ) [ ] ( )( ) ( )( ) xxgg xxgg xggxgg = −−= = − − −− 1 1 11 )2(2 )(    y también ( )( ) ( )( ) xxgg xxgg = −−= − −   1 1 )2(2 Ejercicio resuelto 2 Si    >+ ≤− = 1;1 1;2 )( xx xx xf y IRxxxg ∈= ;)( Entonces la composición (g o f)(x) está dada por la regla de correspondencia: a)    ≤− = 1>x;1+x 1x;2 ))(( x xgof c)    ≥ − = 1x;1+x 1<x;2 ))(( x xgof b) ( )    ≤−− = 1>x;1+x 1x;2 ))(( x xgof d)    ≤+− = 1>x;1-x- 1x;x2 ))(( xgof e) 0>x;1+x 0x;2 ))((    ≤− = x xgof SOLUCIÓN: Aplicando la definición ( ) [ ])()( xfgxfg = tenemos ( ) )()( xfxfg = .
  • 60. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 259 Con la gráfica de f nos podemos ayudar. Ejercicios Propuestos 9.8 1. Sean f y g dos funciones de variable real tal que:     ≤ >+ = 2; 2;1 )( xx xx xf        ≥− <<− −≤+ = 4;1 42;2 2;1 )( xx xx xx xg Entonces es FALSO que: a) ( ) 3)2( =−+ gf b) ( ) 1)1(/ =gf c) ( ) 1)2( =−gf  d) 16 3 )4( )2()2( = −+− g gf e) ( ) 4)2( =fg  2. Si f y g son dos funciones de IR en IR tales que: 1)( += xxf y 3)( xxg = . Entonces, una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( )( ) 3 13       += xxgfg  b) ( )( ) 20 =fgf  c) ( )( ) 10 =gfg  d) ( )( ) 13 += xxfgf  e) ( )( ) 3+= xxfff  xy −= 2 1+= xy
  • 61. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 260 Misceláneos 1. Sea f una función de variable real, tal que xx xx xf 2 2 )( 2 − −+ = , entonces el MAYOR DOMINIO de la función es: a) IR b) ( ) ( )∞∪−∞ ,20, c) ( )C 2,0 d) ( )∞,0 e) { }2,0−IR 2. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) Una función f es par, si y sólo si [ ])()( xfxfx −=∀ . b) Una función f es impar, si y sólo si [ ])()( xfxfx −=−∀ . c) Siempre se cumple que [ ]axaaxx <<−⇒<∀ . d) Una función es estrictamente decreciente, si y sólo si 21, xx∀ [ 21 xx > )()( 21 xfxf <⇒ ]. e) Una función es estrictamente creciente, si y sólo si 21, xx∀ [ 21 xx > )()( 21 xfxf <⇒ ]. 3. Dadas las funciones de variable real f y g cuyas reglas de correspondencia son    >− ≤− = 4;82 4;4 )( xx xx xf y xxg =)( entonces ( )( )xfg + es: a) ( )( )    >− ≤ =+ 4;83 4;4 xx x xfg b) ( )( )    >− ≤ =+ 4;8 4;4 xx x xfg c) ( )( )      <− ≤≤ >− =+ 0;24 40;4 4;83 xx x xx xfg d) ( )( )      <− ≤≤ > =+ 0;2 40;4 4;3 xx x xx xfg e) ( )( )      >− ≤≤ <− =+ 4;24 40;4 0;83 xx x xx xfg 4. Sean f y g funciones de variable real, tales que    ≥+ <− = 1;2 1;12 )( 2 xxx xx xf y     ≤− >− = 1;23 1;1 )( xx xx xg , entonces ( )( )1gf  es: a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 1− 5. Sea IRIRf : una función, tal que     <− ≥− = 4;28 4;4 )( xx xx xf , entonces es FALSO que: a) La función no es par. b) La función no es impar. c) La función es decreciente en el intervalo ( ]0,∞− . d) La función es sobreyectiva. e) La función no tiene inversa. 6. Sea IRIRf →: , tal que     >−− ≤− = 2;2 2;2 )( xx xx xf , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA DE SU INVERSA es: a)     >− ≤− =− 2;2 2;2 )( 2 2 1 xx xx xf b)     <− ≥− =− 0;2 0;2 )( 2 2 1 xx xx xf c)     ≤− >− =− 0;2 0;2 )( 2 2 1 xx xx xf d)     <+ ≥− =− 0;2 0;2 )( 2 2 1 xx xx xf e)     <− ≥− =− 0;2 0;2 )( 2 2 1 xx xx xf
  • 62. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 261 7. Sean f y g funciones de variable real, tales que: 23 23)( xxxf += y 22)( −= xxg Entonces ))(( xfg  es: a) 226))(( 23 −+= xxxfg  b) 246))(( 23 −+= xxxfg  c) ( )23 222)32(3))(( −+−= xxxfg  d) 2223 22 −++ xxx e) 22 23 ))(( 23 − + = x xx xfg  8. Sean f y g funciones de variable real tales que: 22)( −−= xxxf y 9)( 2 −= xxg Entonces el MAYOR DOMINIO posible de la función g f es el intervalo: a) [ ]2, 3 2 b) [ ] [ )∞∪ ,32,3 2 c) [ ) ( )∞∪ ,22,2 3 d) [ )∞,3 2 e) [ ) ( )∞∪ ,33,3 2 9. Sea f una función de variable real, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) Si f es sobreyectiva entonces f es impar. b) Si f es biyectiva entonces f es decreciente. c) Si f es par entonces f no es inyectiva. d) Si f es impar entonces f es creciente. e) Si f es estrictamente creciente entonces f es sobreyectiva 10. Sean f y g funciones de variable real tales que:     ≥ <+ = 1; 1;13 )( 2 xx xx xf y       ≥ <≤+ < = 5;2 52;3 2;5 )( 2 xx xx x xg Entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función ( ) )(xgf + es: a) ( )         ≥ <≤++ <≤+ <+ =+ 5;3 52;3 21;5 1;63 )( 2 2 2 xx xxx xx xx xgf b) ( )         ≥ <<++ ≤≤+ <+ =+ 5;3 52;3 21;5 1;63 )( 2 2 2 xx xxx xx xx xgf c) ( )         > ≤≤++ <≤+ <+ =+ 5;3 52;3 21;5 1;63 )( 2 2 2 xx xxx xx xx xgf d) ( )        ≥ <≤+ <≤ <+ =+ 5;2 52;3 21; 1;63 )( 2 2 xx xx xx xx xgf e) ( )         ≥ <≤++ <≤+ <+ =+ 5;2 52;3 21;5 1;63 )( 4 2 2 xx xxx xx xx xgf 11. Sea f una función de variable real tal que: ( ) 342 −+−= xxxf . Para que 0)( >xf entonces “ x ” debe pertenecer al intervalo: a) ( )0,2− b) ( ) ( )∞∪−−∞ ,01, c) ( )3,1 d) ( ) ( )∞∪−∞ ,31, e) ( )3,4− 12. Sea f una función de variable real tal que         >− ≤<+− ≤≤−+ −< = 2;4 20;1 02;2 2;3 )( 2 2 1 xxx xx xx x xf Entonces en RANGO de f es el intervalo: a) [ ]3,4− b)[ )∞− ,4 c)( )∞− ,4 d) ( )3,4− e)[ )∞,0
  • 63. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 262 13. Sea IRIRf : tal que        <+− <≤+− ≥−− = 0;1 10;1 1;1 )( 2 xx xx xx xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de su inversa es: a)        >− ≤<− ≤+ =− 1;1 10;1 0;1 )( 2 1 xx xx xx xf b)     >+ ≤− =− 0;12 0;1 )( 2 1 xx xx xf c)     <+ ≥ =− 1;13 1;4 )( 2 1 xx xx xf d)        <− <<− ≥+ =− 1;1 10;1 0;1 )( 2 1 xx xx xx xf e)     <− ≥− =− 1;1 1;1 )(1 xx xx xf 14. Sean f y g funciones de variable real tales que: 13)( 2 += xxf y xxxg −= 3 2)( Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) f es impar pero g es par b) ( ) 1)2( −=gf  c) ( )fg  no existe d) f es inyectiva o g es impar e) Si f es par entonces g no es impar 15. El MAYOR DOMINIO posible de una función f , con regla de correspondencia 2 1 2 )( 2 −−+ − − = xx x x xf , es el intervalo: a)[ )C 2,1 b)[ )2,1 c)( ]1,−∞− d) [ )∞,2 e) ( ] [ )∞∪−∞− ,21, 16. Considere una función de variable real, tal que: 3 5 1 − +− = y x . Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) El dominio de la función es el intervalo ( ) ( )∞−∪−∞− ,33, b) La función es inyectiva en su dominio natural c) La función intercepta al eje "x" en 5 14− d) La función es decreciente en su dominio natural e) La función intercepta al eje "y" en 3 14 17. Sean f y g funciones de variable real tal que    < ≥− = 1;3 1;2 )( xx xx xf ∧ ( )( )     ≤− > =+ 0; 0; 2 2 xx xx xgf Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función g es: a)        <− <≤− ≥+− = 0;4 10;3 1;2 )( 2 2 xx xxx xxx xg b)     ≤ >−− = 0;4 0;2 )( 2 xx xxx xg c)          <− <≤− ≥+−− = 0;4 10;3 1;1 22 )( 2 2 xx xxx x xx xg d) xxxg += 2 )(
  • 64. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 263 e)            ≤− <<− ≥+− = 0;2 10; 2 3 2 1;1 22 )( 2 2 xx xx x x xx xg 18. Considere las funciones f y g tales que Rxxxf ∈−= ;2)( 3 10 y ( ) Rxxxg ∈−= ;3 2 . Entonces el RANGO de la función gf + es el intervalo: a)[ )∞− ,3 b) [ )∞,3 c) ( ]3,−∞− d)[ ]3,3− e)R 19. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) La función ( ) 1 3 1 − − = x y es inyectiva. b) La función 32 −= xy es par c) La función 3−−−= xy es decreciente en su dominio natural d) La función 3 xy = es creciente para todos los reales e) La función xy 4−= es impar 20. Sea f una función de variable real tal que 2;12)( −≥−+= xxxf , entonces la FUNCIÓN INVERSA es: a) ( ) 1;21)( 21 ≥−+=− xxxf b) ( ) 2;21)( 21 −≥++=− xxxf c) ( ) 1;21)( 21 −≥−−=− xxxf d) ( ) 1;21)( 21 −≥−+=− xxxf e) i f no tiene inversa 21. Sea f una función de variable real tal que 24 13 )( + − = x x xf entonces es FALSO que: a) x x x x f 6 52 2 1 − =      + − b)f no es par c)f no es impar d)f está definida para 2 1−=x e) ( ) 0 3 1 =f 22. Sea f una función de variable real tal que 31)( −+−−= xxf . Entonces una de las siguientes proposiciones correcta, identifíquela: a) La gráfica de f se dibuja en el primer cuadrante y segundo cuadrante. b) El rango de f es el intervalo ( )3,−∞ c) El rango de f es el intervalo ( ]3,−∞− d) f es una función impar e) f es una función par 23. Sea la recta con ecuación 253 =− yx . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA es: a) La pendiente de la recta es 3 5− b) La recta intercepta al eje y en 2 c) La recta es paralela a la recta 5 21 5 3 += xy d) El punto ( )5 2,0 pertenece a la recta. e) La recta es decreciente. 24. Sea xxxf 2)( 21 −=− ; 1≤x , la regla de correspondencia de la función inversa de una función f . Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es: a) 11)( ++= xxf ; 1−≥x b) 11)( +−−= xxf ; 1≥x c) 11)( −+= xxf ; 1−≥x d) 11)( −−= xxf ; 1≥x
  • 65. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 264 e) 11)( ++−= xxf ; 1−≥x 25. Sean f y g funciones de variable real tal que: xxf += 3)( y 9 1 )( 2 − = x xg Entonces el MÁXIMO DOMINIO posible de ))(( xgf + es el intervalo: a) φ b) ( )3,3− c) [ ]3,3− d) ( )C 3,3− e) [ ]C 3,3− 26. Sea IRIRf →: una función tal que 12)( 2 −−= xxxf . Entonces su GRÁFICA es: b) 27. Sea IRIRg →: una función tal que 43)( −−= xxg . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela. a) ( ) 43 −=g b) El rango de g es el intervalo [ )+∞− ,4 c) g es decreciente en el intervalo ( ]3,−∞− d) g es creciente en el intervalo ( )+∞,0 e) ( ) 10 −=g y 3)2( −=g 28. Sean IRIRf →: y IRIRg →: , funciones tales que: 32)( 3 −= xxf y ( )36 134)( −= xxxg Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de ))(( xgf  es: a) 326))(( 23 −−= xxxgf  b) 33))(( 23 −−= xxxgf  c) 14))(( −= xxgf  d) 323))(( 3 −−= xxgf  e) 312))(( 3 +−= xxgf  x f(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 x f(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 -5 0 x f(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 x f(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 -5 0 x f(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 a) b) c) d) e)
  • 66. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 265 29. Sea la función 32 1 3 12 )( −− − − + = xx x xf , entonces su máximo DOMINIO posible es el intervalo: a)( )C5,1− b)[ ]C5,1− c) ( )5,∞− d) ( )+∞,1 e) ( ]C5,1 30. Considerando la función de variable real ( )     <− ≥− = 22 22 )( 2 xx xx xg , es FALSO que: a) g es inyectiva. b) 3 )0( )3()1( = − g gg c) g es creciente para 2≥x . d) g tiene inversa. e) g no es impar. 31. Sean las funciones      <− <≤+ ≥+ = 0; 10;13 1;12 )( 2 xx xx xx xf , y    <− ≥ = 0;2 0;1 )( xx x xg , entonces es VERDAD que: a)El rango de g es ( )2,−−∞ . b) g tiene inversa. c) 3)1)(( =gf  . d) [ ] )1)(()2()1( fggf =− . e) g es decreciente en el intervalo )0,(−∞ . 32. Sean las funciones      > ≤≤−+ −< = 5; 55;1 5;3 )( xx xx x xf y      < ≥ = 0; 0;2 )( xx x xg , entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCIA de ))(( xgf − es: a)        >− ≤≤− <≤− −<− =− 5;2 50;1 05;1 5;3 ))(( xx xx x xx xgf d)        >− ≤≤− <≤− −<+ =− 5;2 50;1 05;2 5;3 ))(( xx xx x xx xgf b)        >− ≤≤− <≤− −<+ =− 5;2 50;1 05;1 5;3 ))(( xx xx x xx xgf e)        >− ≤<− ≤<− −<− =− 5;2 50;1 05;1 5;3 ))(( xx xx x xx xgf c)      <− ≤≤+ ≥ =− 0; 20;12 2;5 ))(( xxx xx x xgf 33. Sean f y g funciones de variable real, tales que 12)( −+= xxxf y 2 2)( xxg −= , entonces la regla de correspondencia para gf  es: a) 122))(( 2 −+−= xxxgf  b) 2 1))(( xxxgf −+= c) 12))(( 2 ++−= xxxgf  d) ( )2 122))(( −+−= xxxgf  e) 322))(( 22 +−−= xxxgf  34. Sea g una función de variable real, tal que:
  • 67. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 266 Entonces el GRÁFICO de )2(2)( −+−= xgxf es: a) b) c) d) e) 35. Con respecto a la función de variable real       <− ≥− = 3;3 3;)3( )( 2 xx xx xf , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a)       <+ ≥+− =− 0;3 0;3 )(1 xx xx xf d)       <+ ≥+ =− 0;3 0;3 )(1 xx xx xf b)       ≥+− <+ =− 0;3 0;3 )(1 xx xx xf e) f no tiene inversa. c)       <+ ≥+− =− 0;3 0;3 )(1 xx xx xf
  • 68. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 267 36. Con respecto a la gráfica x y 3 4 +−= , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) La función tiene asíntota horizontal en 0=y . b) La función tiene asíntota vertical en 4−=x . c) La función es creciente para 0>x . d) La función corta al eje y en -4. e) La función es decreciente para )0,(−∞∈x . 37. Sea f una función de variable real tal que 42)( 2 +−= xaxxf . El VALOR que debe tener " a " de tal manera que [ ]∞= , 3 2fRango , es: a) 3 10 b) 10 3 − c) 10 3 d) 3 2 − e) 4 38. Sea f una función de variable real, tal que 5 1 )( + +−= x xxf . Entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es: a) Φ b)[ )+∞,5 c) { }0 d) ( )0,−∞ e) ( ]0,5− 39. Sea f una función de variable real, tal que 24)( −+−= xxf . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) El par ordenado ( )2,4 − pertenece a f . b) El mayor dominio posible de f es el intervalo ( ]4,−∞− . c) El rango de f es el intervalo [ )∞− ,2 . d) El mayor dominio posible de f es el intervalo ( ]4,∞− . e) f es decreciente en su dominio. 40. Sea f una función de variable real, tal que        −<+− <≤−+ ≥ = 2;3 22;1 2; )( 2 xx xx xx xf Entonces es VERDAD que: a) f es par b) )2()2()0( −=+ fff c) IRfrg = d) f es inyectiva. e) f es biyectiva. 41. Sean f , g y h funciones de variable real, tales que: 3 )( xxf = , 2)( 2 −= xxg , xxh =)( Entonces es FALSO que: a) )( fg es una función impar. b) fh  es una función impar. c) f es creciente en todo IR . d) gf + no es par ni impar. e) gh  es par. 42. Sea f una función de variable real tal que ( ) x xx xf 12 )( +− = , entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es el intervalo: a) ( ]2,0 b) [ ) [ )∞∪− ,20,1 c) ( ) [ )∞∪∞− ,20, d) ( )0,∞− e)[ )∞,2 43. Sean f y g funciones de variable real tales que     < ≥− = 2;2 2;13 )( xx xx xf y     <− ≥ = 0; 0; )( 2 2 xx xx xg Entonces es VERDAD que: a) ( )( ) 32 =− gf b)Dom ( ) + = Rxf c) ( )=      0 g f no está definida d) ( )( ) 11. =gf e) ( ) ( )xf∉5,2 44. Sea la función de variable real       ≥ ≤<+ ≤+ = 2;5 20;1 0;1 )( 2 x xx xx xf , entonces su RANGO es el intervalo: a) [ ]5,0 b) [ ]5,1− c)[ )∞,0 d) [ ]5,1 e) ( )∞∞− ,
  • 69. Moisés Villena Muñoz Función de una Variable Real 268 45. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 32)( +−−= xxf . Entonces es FALSO que: a) El punto (2,3) pertenece a la gráfica de f. b) La función f es decreciente c) La gráfica de f corta al eje x en x=11. d) La gráfica de f no corta al eje y. e) f es creciente. 46. Dadas las siguientes funciones de variable real, determine cuál de ellas corresponde a una FUNCIÓN PAR. a) ( )2 1)( += xxk b) 23)( 4 +−= xxxg c) 6)( 2 +−= xxxj d) 43)( 24 ++= xxxh e) 22)( 3 −+= xxxf 47. El MAYOR DOMINIO posible de la función f de variable real, con regla de correspondencia 3 2032 )( 2 + −− −= x xx xf , es el intervalo: a) ( ] [ ]4,3, 2 5 −∪−∞− b) ( ) ( )∞∪∞− ,33, c) ( ) [ )4,3, 2 5 −∪−∞− d) ( ) [ ]4,3, 2 5 −∪−∞− e) ( ) ( )4,3, 2 5 −∪−∞− 48. Sea f una función de variable real tal que: ( )         −+ + += 5 62 1)( 24 2 ax x axf . Si IRa ∈ entonces el VALOR de       +12 af es: a) 1 2 + a b) 1 2 − a c) 1 1 2 + + a a d) 1−a e) 1 2 −a 49. Sean f y g funciones de variable real tales que: xxxf 22)( −+= y xxg −=)( . Entonces el DOMINIO de la función fg  es el intervalo: a) [ )∞− ,2 b) [ )∞,2 c) [ )∞− , 3 1 d) [ ]3 1,0 e) ( )1, 3 1− 50. Sea f una función de variable real, tal que x xx xf )3)(4( )( +− = , entonces el MAYOR POSIBLE DOMINIO que tiene la función, es: a) ( )4,3− b) ( )4,∞ c) ( ) ( ]4,00,3 ∪− d)[ ) ( ]4,00,3 ∪− e) ( ]C 4,3− 51. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 2)( −−= xxf , entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. a) { }2/ <= xxDomf b) [ )+∞= ,0rgf c) f es decreciente en su dominio d) f no es inyectiva en su dominio e) f es par 52. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 34)( 2 −+−= xxxf . Entonces el RANGO de f es el intervalo: a)( ]1,∞− b)[ ]1,0 c)( )∞,1 d)[ )∞,0 e)( ]0,∞− 53. El MAXIMO DOMINIO posible de una función de variable real con regla de correspondencia 1 2 1 )( 2 − − +− = x xx xf es el intervalo: a) ( )1,1− b) ( ] [ )2,11, ∪−∞− c) ( ] [ ]2,11, ∪−∞− d) ( )∞,2 e)[ )2,1