1. กฎของเลขยกกำลัง
ก่อนที่เรำจะรู้จักฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอกำริทึมเรำต้องรู้จักกฎของเลขยกกำลังก่อนนะครับ;')
กรณีที่
a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ำกับ ศูนย์
m และ n เป็นจำนวเต็ม เท่ำนั้น (แต่ผลที่ได้ก็สำมำรถนำไปใช้กับกรณีทั่วๆไปได้)
ให้ am
= a x a x a x . . . x a ; คูณกัน m ตัว
an
= a x a x a x . . . x a ; คูณกัน n ตัว
1) กำรคูณของเลขยกกำลังที่มีฐำนเดียวกัน (a เหมือนกัน) ให้นำเลขชี้กำลังมำบวกกัน
เพรำะว่ำ am
x an
= (a x a x a x...x a) x (a x a x a x ... x a)
m ตัว n ตัว
= a x a x a x ... x a x a x a x a x ... x a
m + n ตัว
ดังนั้น am
x an
= am+n
เช่น a2
x a3
= (a x a)x(a x a x a)
= a x a x a x a x a , 5 ตัว
= a5
#
2) จำนวนใดๆ ยกกำลัง ศูนย์ มีค่ำเท่ำกับ 1
เพรำะว่ำ am
x a0
= am+0
= am

2. ดังนั้น a0
= 1
, จำนวนใดๆ เมื่อคูณด้วย 1 แล้วไม่ทำไให้ค่ำเปลี่ยนแปลงไป
am
x 1 = am
เช่น 80
= 1
1020
= 1
2,5000
= 1
เอะ แล้ว ก0
จะเท่ำกับ 1 หรือไม่?
3) กฎของ a-m
(เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ) โดยกฎกำรคูณเลขยกกำลังในข้อ 1)
เพรำะว่ำ am
x a-m
= am+(-m)
= am-m
= a0
= 1 , a0
= 1 กฏข้อ 2)
ดังนั้น a-m
=
1
am
, หำรทั้งสองข้ำงด้วย am
เช่น 19-2
=
1
192
5-4
=
1
54
4) กฏกำรหำรเลขยกกำลัง
กำหนดให้
am
an
=
a x a x a x ... x a
a x a x a x ... x a
,
m ตัว
n ตัว
= a x a x a x ... x a , m - n ตัว

3. ดังนั้น
am
an
= am - n
เช่น 1) กรณี m > n,
25
23
=
2 x 2 x 2 x 2 x 2
2 x 2 x 2
,
5 ตัว
2 ตัว
= 2 x 2 , เหลือ 5 - 3 = 2 ตัว
= 22
# 25-3
2) กรณี m < n,
32
36
=
3 x 3
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
,
2 ตัว
6 ตัว
=
1
3 x 3 x 3 x 3
, เหลือ 2 - 6 = -4
=
1
34
, กฏข้อ 3)
= 3-4
# 32-6
3) กรณี m = n
45
45
= 45-5
= 40
= 1
5) กฏกำรยกกำลังของเลขยกกำลัง
กำหนดให้ (am
)n
= am
x am
x am
x ... x am
, am
คูณกัน n ตัว
= am+m+m+...+m
, กฏข้อ 1) am
x an
= am+n
ดังนั้น (am
)n
= am x n
เช่น (53
)2
= 53 x 2
= 56
6) a1/m
เลขชี้กำลังเป็น เศษส่วน

4. พิจำรณำ a1/m
x a1/m
x a1/m
x ... x a1/m , m ตัว
จะได้ a1/m
x a1/m
x a1/m
x ... x a1/m
= a(1/m)+(1/m)+(1/m)+...+(1/m)
= (a1/m
)m
= a1
= a
ดังนั้น a1/m
= m
√a
เช่น 81/3
= 3
√8
= 2
สรุปกฏเกี่ยวกับเลขยกกำลังกละเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function)

5. จำกกำรศึกษำในเรื่องเลขยกกำลัง ซึ่งท้ำยที่สุดเรำได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐำนเป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้
กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
แต่ได้มีนักคณิตศำสตร์ได้สังเกตเห็นว่ำ ถ้ำเลขยกกำลังมีฐำนเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด
ๆ ดังนี้
ถ้ำกำหนดให้ a = 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
ax = 1x = 1
ข้อสังเกต
 ไม่ว่ำ x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ
ก็ตำม 1x ก็ยังคงเท่ำกับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่ำสนใจ เนื่องจำก เรำทรำบว่ำมันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
 เรำยังไม่ทรำบนะว่ำ เลขยกกำลังที่มีฐำนเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใ
ด ๆ
แสดงว่ำเรำจะต้องสนใจศึกษำเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่ำวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพ
เนนเชียลดังนี้
ข้อกำหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }
ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศำสตร์บำงเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x
) =
kax เมื่อ k เป็นค่ำคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษำตอนปลำยนี้
จะถือว่ำฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่ำนั้น
ข้อสังเกต จำกข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
 f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจำก 1x =
1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สนใจ ฐำน (a) ที่เป็น 1
 f(x) = 1x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจำก f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
 จำกเงื่อนไขที่ว่ำ y = ax, a > 0, a ¹ 1 ทำให้เรำทรำบได้เลยว่ำฐำน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ 0 < a <
1 กับ a > 1
 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐำน (a) ดังนี้
ชนิดที่ 1 y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2 y = ax, a > 1

6. การแก้สมการเอ็กโปเนนเชียล
การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทาให้ฐานเท่ากัน คือทาให้ ap(x)
= aq(x)
แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2. ทาให้กาลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ ap(x)
= bq(x)
แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.ทาให้เป็นเลขจานวนเดียวยกกาลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทาเป็น (abc)u
= 1 แล้วสรุปว่า u = 0
การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล
กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กาลังต่างกัน
1. เมื่อa > 1
จะได้ว่ำ
อสมกำรของเลขชี้กำลังจะคล้อยตำมอสมกำรของเลขยกกำลัง
เช่น ax
>
ay
จะได้ว่ำ x > y
ax
<
ay
จะได้ว่ำ x < y
2. เมื่อ0 < a
< 1
จะได้ว่ำ
อสมกำรของเลขชี้กำลังจะตรงข้ำมกับอสมกำรของเลขชี้กำลัง
เช่น ax
>
ay
จะได้ว่ำ x < y
ax
<
ay
จะได้ว่ำ x > y
กลุ่มที่ 2 ฐำนต่ำงกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน
1. ถ้ำอสมกำรของเลขยกกำลังคล้อยตำมอสมกำรของเลขฐำนจะได้ว่ำเลขชี้กำลัง < 0
เช่น a < b , ax
< bx
จะได้ว่ำ x > 0
a > b , ax
> bx
จะได้ว่ำ x > 0

7. 2. ถ้ำอสมกำรของเลขยกกำลังตรงข้ำมกับอสมกำรของเลขฐำนจะได้ว่ำเลขชี้กำลัง < 0
เช่น a > b , ax
< bx
จะได้ว่ำ x < 0
a < b , ax
> bx
จะได้ว่ำ x < 0
y = loga x มีควำมหมำยว่ำ x = ay
ถ้ำ a = 10 เรียกว่ำ ลอกำริทึมสำมัญ เขียนแทนด้วย log x
ถ้ำ a = e ป 2.71828 เรียกว่ำ ลอกำริทึมธรรมชำติ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ln x ( คือ loge x )
โดเมนของฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นเซตของจำนวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นเซตของจำนวนจริง
สมบัติที่สำคัญ
1.
2.
loga x
loga xy
=
=
loga y ก็ต่อเมื่อ x = y
loga x + loga y
3.
4.
loga(x/y)
loga xy
=
=
loga x + loga y
yloga x + loga
5. logaa = 1
6. loga1 = 0
7. ln 1 = log 1 = 0
8. ln e = 1, log 10 =1
9. eln x
= x , 10log x
= x
10. ln ex
= x , log 10x
= x
13. ax
= ex ln a
กำรหำค่ำ log x เขียน x = A ด 10n
เมื่อ 1 < A < 10 หำค่ำของ log A จำกตำรำง แล้วจะได้
log x = n + log A
กำรหำค่ำ x เมื่อทรำบค่ำ log x เช่น log x = 7.8341 ค่ำ x ทำได้โดยกำรใช้เครื่องคิดเลขและกำรเปิดตำรำง
1. เขียน log x = n + B เมื่อ 0 < B < 1 และ n เป็นจำนวนเต็ม
2. หำค่ำ y เมื่อ log y = B จำกตำรำงแอนติลอกำริทึมหรือตำรำงลอกำริทึม (โดยดูย้อนกลับ) ได้ค่ำ y
แล้วจะได้ x = y ด 10n

8. ฟังก์ชันลอกำริทึม Logarithmic Function
จำกฟังก์ชันลอกำริทึม มีควำมหมำยเหมือนกับ ดังนั้นกรำฟของ
จึงมีได้ 2 ลักษณะ คือ
1.กรำฟฟังก์ชัน
2.กรำฟฟังก์ชัน
เนื่องจำก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน
1-1 จำก R ไปทั่วถึง R+
ทำให้เรำทรำบได้เลยว่ำ อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และยังเป็นฟังก์ชัน 1-1
จำก R+ ไปทั่วถึง R
ถ้ำเรำเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน y เป็น x ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
จะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ
จุดกำเนิดของฟังก์ชันลอกำริทึม

9. เนื่องจำก นักคณิตศำสตร์ทั่วไป ไม่นิยม ให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด ๆ อยู่ในรูป
ตัวแปรต้น (x) = กลุ่มของตัวแปรตำม (y) แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป
ตัวแปรตำม (y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่ำ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีเงื่อนไข
ตัวแปรตำม (y) = aตัวแปรต้น (x) ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีเงื่อนไข
ตัวแปรต้น (x) = aตัวแปรตำม (y) เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม
ดังนั้น นักคณิตศำสตร์จึงอยำกจะเปลี่ยนเงื่อนไข ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกำหนดให้เขียน ใหม่เป็น แบบดื้อ ๆ เลย
ข้อตกลง
1. ถูกอ่ำนออกเสียงว่ำ “ลอกำริทึมเอกซ์ฐำนเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐำนเอ”
2.
ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสำมำรถเขียนใหม่ได้เป็น
3. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่ำ ฟังก์ชันลอกำริทึม
ข้อกำหนด
ฟังก์ชันลอกำริทึม คือ
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
กรำฟของฟังก์ชันลอกำริทึม

10. จำกที่เรำทรำบอยู่แล้วว่ำฟังก์ชันลอกำริทึม กับ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน
แสดงว่ำ กรำฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมำตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง
ดังนั้น จึงได้กรำฟของฟังก์ชันลอกำริทึมทั้ง 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐำน
ดังตำรำงต่อไปนี้
กับ กับ
นิยำมของลอกำริทึม
นิยำมฟังก์ชันลอกำริทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป
Exponential :
Log :
นิยำมฟังก์ชันลอกำริทึมคือ
จึงสรุปได้ว่ำ ตัวเลขหลัง ต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ฐำนของ ต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1

11. ค่ำของ คือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้
อ่ำนว่ำ “ลอกำริทึมเอกซ์ฐำนเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐำนเอ” " loga"
เนื่องจำก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น
จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย
คุณสมบัติของลอกำริทึม
คุณสมบัติ 7 ประกำรของลอกำริทึม มีดังนี้
1. สมบัติกำรบวก
Example จงรวมพจน์ของ
2. สมบัติกำรลบ
Example จงรวมพจน์ของ
3. สมบัติของเลขลอกำริทึม ที่เท่ำกับเลขฐำน
Example จงหำค่ำของ
** กำรนิยำมในลอกำริทึม จะไม่นิยำมให้เป็นจำนวนลบ **
4. สมบัติของลอกำริทึม 1

12. * เหตุที่เป็นเช่นนี้ได้เพรำะหำกว่ำเรำเขียนกลับจำกรูปลอกำริทึม
จะได้เลขยกกำลังเป็น แต่ a เป็น - หรือ 0 ไม่ได้
5. สมบัติเลขยกกำลังของลอกำริทึม
* คุณสมบัตินี้บอกให้เรำนำเลขชี้กำลังของลอกำริทึมมำไว้ด้ำนหน้ำ เพื่อนำมำ
คูณกับเลขลอกำริทึม *
Example
6. คุณสมบัติฐำนลอกำริทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้
Example
7. คุณสมบัติกำรเปลี่ยนฐำนของลอกำริทึม
*คุณสมบัติกำรเปลี่ยนฐำนได้นี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญสำหรับกำรแก้ปัญหำสมกำรลอกำริทึม
คุณสมบัตินี้บอกว่ำ
หำกเรำไม่พอใจฐำนลอกำริทึมที่โจทย์กำหนดมำ
เรำสำมำรถเปลี่ยนฐำนลอกำริทึมใหม่ได้ตำมต้องกำร แต่ต้องมำกว่ำ 0
และไม่เท่ำกับ 1 ซึ่งมักเปลี่ยนเป็นฐำน 10
*ลอกำริทึมฐำน 10
เป็นลอกำริทึมที่พบบ่อยและมักจะไม่นิยมเขียนเลขฐำนกำกับไว้โดยตกลงว่ำเมื่อ

13. เขียนลอกำริทึมที่ไม่มีฐำนแสดงว่ำเป็นลอกำริทึมฐำน 10 เรียกว่ำ “ ลอกำริทึมสำมัญ ”
สูตรของลอกำริทึม
เงื่อนไข : ฐำนล็อก คือ มำกกว่ำ 0 , ไม่เท่ำกับ 1 หลังล็อก คือ มำกกว่ำ 0
1. ก็ต่อเมื่อ โดย และ และ
2. และ เมื่อ
3.
4.
5.
6. โดยทั่วไปนิยมเปลี่ยนเป็นฐำน 10
7.
8.
9.
10.

14. กรำฟของฟังก์ชันลอกำริทึม
ลอกำริทึมจำกฐำนต่ำงๆ : สีแดง คือ ฐำนe, สีเขียว คือ ฐำน 10 และสีม่วง คือ ฐำน 1.7
แต่ละขีดช่วงบนแกนคือ 1 หน่วย โปรดสังเกตว่ำลอกำริทึมของทุกฐำนจะผ่ำนจุด (1, 0)
(ที่เป็นเช่นนี้ ก็เพรำะจำนวนใดๆ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เมื่อยกกำลัง 0 มีค่ำเท่ำกับ 1)
ลอกำริทึม เป็นกำรดำเนินกำรทำงคณิตศำสตร์ ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของ
ฟังก์ชันเอกโปเนนเชียล (ใช้ค่ำคงตัว หรือ "ฐำน" เป็นเลขยกกำลัง) ลอกำริทึมของจำนวน x
ที่มีฐำน b คือจำนวน n นั่นคือ x = bn เขียนได้เป็น
ตัวอย่ำงเช่น
เพรำะว่ำ

15. หำกเป็นจำนวนเต็มบวก, คือ ผลลัพธ์ของตัวประกอบ ตัว เท่ำกับ
อย่ำงไรก็ตำม อย่ำงน้อย หำก เป็นบวก นิยำมนี้อำจขยำยไปยังจำนวนจริง ใดๆ
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันลอกำริทึมอำจนิยำมได้สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ สำหรับฐำนบวก
อื่นๆ แต่ละฐำน นอกเหนือจำก 1 ในที่นี้ คือ ฟังก์ชันลอกำริทึม 1 ฟังก์ชัน
และฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล 1 ฟังก์ชัน โดยมันเป็นฟังก์ชันผกผัน
ลอกำริทึมนั้นสำมำรถลดกำรดำเนินกำรคูณเป็นกำรบวก กำรหำรเป็นกำรลบ
ยกกำลังเป็นกำรคูณ และกำรถอดรำกเป็นกำรหำร
ดังนั้นลอกำริทึมจึงมีประโยชน์สำหรับกำรดำเนินกำรกับตัวเลขจำนวนมำกให้ง่ำย
ขึ้นและถ้ำมีกำรใช้อย่ำงแพร่หลำยก่อนมีกำรใช้คอมพิวเตอร์
โดยเฉพำะกำรคำนวณในด้ำนดำรำศำสตร์ , วิศวกรรมศำสตร์ , กำรเดินเรือ และกำรทำแผนที่
โดยมีคุณสมบัติทำงคณิตศำสตร์ที่สำคัญ และยังคงใช้ในหลำยรูปแบบ
ฟังก์ชันเพิ่ม

16. กรำฟของฟังก์ชัน จะผ่ำนจุด (1,0) เสมอ เพรำะ
ถ้ำ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จำก ไปทั่วถึง
โดยอำศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่ำ
ก็ต่อเมื่อ
จำกฟังก์ชันลอกำริทึม จะได้
โดเมนของฟังก์ชัน
เรนจ์ของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันลด

17. กรำฟของฟังก์ชัน จะผ่ำนจุด (1,0) เสมอ เพรำะ
ถ้ำ เป็นฟังก์ชันลด
ฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จำก ไปทั่วถึง
โดยอำศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่ำ
ก็ต่อเมื่อ
จำกฟังก์ชันลอกำริทึม จะได้
โดเมนของฟังก์ชัน
เรนจ์ของฟังก์ชัน