SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 27
Descargar para leer sin conexión
1
MAKALAH
PENCERMINAN (REFLEKSI)
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd
Disusun oleh :
Niamatus Saadah 1201125122
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2015
2
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
(i) Jika P  s maka Ms (P) = P.
Gambar 1
(ii) Jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP .
Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s
disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.
Gambar 2
Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan
itu suatu transformasi.
Penyelidikan:
Bukti:
(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.
(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.
Ambil sebarang .' VX 
 Kasus 1: Andaikan .' sX 
Maka 'XX  sebab ')( XXXMs 
 Kasus 2: Andaikan .' sX 
s
P = Ms(P)
s
P
P’
3
Dari sifat geometri ada VX  sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini
berarti bahwa Ms(X) = X’. Artinya setiap X’ memiliki prapeta.
Jadi Ms surjektif.
(3) Akan dibuktikan Ms injektif.
Andaikan BA  .
 Kasus 1: sA dan 𝐵 𝜖 𝑠.
Maka 𝐴′
= 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′
= 𝑀𝑠(𝐵) = 𝐵.
Jadi A′ ≠ 𝐵′.
 Kasus 2: sA dan 𝐵 ∉ 𝑠.
Maka 𝐴′
= 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′
= 𝑀𝑠(𝐵) dengan 𝐵′ ∉ 𝑠.
Jadi 𝐴′ ≠ 𝐵′.
 Kasus 3: 𝐴 ∉ 𝑠, 𝐵 ∉ 𝑠.
Andaikan 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) atau 𝐴′
= 𝐵′.
Jadi 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠 dan 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠. Ini berarti dari satu titik A’ ada dua garis
berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.
Jadi pengandaian bahwa jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) adalah tidak
benar sehingga pengandaian itu salah.
Jadi jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) ≠ 𝑀𝑠(𝐵).
Jadi 𝑀𝑠(𝐴) injektif.
Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.
Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:
Teorema 1
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka
apabila 𝐴′
= 𝑀(𝐴) dan 𝐵′
= 𝑀(𝐵), 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Jadi jarak setiap dua titik sama
dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang
dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M
adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:
4
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q
berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).
Gambar 3
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’.
Bukti:
Ambil Sebarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan A’B’ = AB.
 Kasus I
Jika A, B  s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.
Jadi AB = A’B’.
 Kasus II
Jika A  S, B  s, maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’.
Perhatikan CABABC '& .
AC = AC (berimpit).
𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐵′
(karena siku-siku).
BC = B’C (karena S sumbu simetri).
Jadi CABABC ' .
Diperoleh AB = A’B’.
s
A = A’
B’B C
s
P
P’
Q
Q’
5
C
A’
s
A
B’B
D
 Kasus III
Jika A, B ∉ S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’
(i) Perhatikan Δ𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐶𝐷.
DC = DC (berimpit)
𝑚∠ADC = 𝑚∠𝐴′
𝐷𝐶 (900
)
AD = A’D (karena s sumbu simetri)
Jadi Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐴′
𝐶𝐷 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).
Diperoleh AC = A’C dan 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′
𝐶𝐷.
(ii) Perhatikan Δ𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐵′𝐶.
AC = A’C (pembuktian (i))
𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 900
− 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 900
− 𝑚∠𝐴𝐶′𝐷 = 𝑚∠𝐴′
𝐶𝐷.
BC = B′
C(karena s sumbu simetri).
jadi Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴′
𝐵′
𝐶 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).
Diperoleh AB = A’B’.
Jadi AB = A’B’.
Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B)
maka AB = A’B’.
Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
6
SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan
pula Mg(B).
● ●
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).
Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1














yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien 𝑚1 =
4
3
.
Gradien yang tegak lurus AB, 𝑚2 = −
3
4
Titik tengah AB = )1,
2
1
(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(




Persamaan garis yang melalui )1,
2
1
( dengan 𝑚 = −
3
4
adalah
y – y1 = m (x – x1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
7
y – 1 = -
4
3
(x +
2
1
)
y = -
4
3
x -
8
3
+ 1
y = -
4
3
x +
8
5
8y + 6x – 5 = 0
6x + 8y – 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0
3. Diketahui: g =   -3x, yx
Ditanya:
a. A’=Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) = 




 





 
2
1
,
2
2
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )2,2(2,6 '' AA yx 
   1,8, '' AA yx
Jadi A’ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah
y=7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) = 




 





 
2
7
,
2
1
2
,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas   )7,1(14,6  CC yx
X
Y
A(2,1)
(-1,7)g
x=-3
8
   7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (-3, yp) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).
4. Diketahui g =   2y, yx
Ditanya:
a. Jika A =  2,3 , tentukan A’ = Mg(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =







 





 
2
2
,
2
3
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )2,3(4,6 '' AA yx 
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (6 − 3,4 − √2)
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (3,4 − √2)
   24,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3, 24  )
b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
9
Maka (2,2) = 




 





 
2
)4(
,
2
2
2
,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas   )4,2(4,4  DD yx
⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 4 − 2,4 + 4
⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 2,8
Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, 2) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   
   pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxx
x




4,,
,4,2
)
2
,
2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x, 4 - y).
5. Diketahui h =   xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus
dengan garis h adalah m1 = -1.
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah
)( 111 xxmyy 
1
32
)2(13



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 yaitu dengan cara y = x,
disubtitusikan ke persamaan 𝑦 = −𝑥 − 1. Diperoleh :
10
𝑥 = −𝑥 − 1
⟺ 2𝑥 = −1
⟺ 𝑥 = −
1
2
substitusikan x = -
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y = -
2
1
.
Jadi titik tengah 'AA (-
2
1
,-
2
1
).
Jelas (-
2
1
,-
2
1
) titik tengah 'AA , maka





 





 







2
3
,
2
2
2
,
22
1
,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )3,2(1,1 '' AA yx 
   2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah
m= -1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan
m = -1 adalah
)( 11 xxmyy 
2
53
)3(15



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x
disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh
𝑥 = −𝑥 + 2
⟺ 2𝑥 = 2
⟺ 𝑥 = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
11
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
  




 





 

2
5
,
2
)3(
2
,
2
1,1 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas   )5,3(2,2  BB yx
   3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy

 )(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
6. Diketahui k =   0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
b. Jika B’ = (-3,5), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx  0
Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =
1 adalah
)( 11 xxmyy 
12
5
32
)2(13



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan
𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 5, diperoleh :
-x = x – 5
⟺ 2𝑥 = 5
⟺ 𝑥 =
5
2
substitusikan x =
2
5
ke persamaan y = -x
diperoleh y = -
2
5
.
Jadi titik potongnya (
2
5
, -
2
5
)
Karena (
2
5
, -
2
5
) titik tengah 'AA , maka





 





 







2
3
,
2
2
2
,
22
5
,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )3,2(5,5 '' AA yx 
   2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis
tersebut adalah m = 1.
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
8
53
)3(15
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan
𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 8, diperoleh.
13
−𝑥 = 𝑥 + 8
⟺ 2𝑥 = −8
⟺ 𝑥 = −4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
  




 





 

2
5
,
2
)3(
2
,
2
4,4 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas   )5,3(8,8  BB yx
   3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1
adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy

 )(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
7. Diketahui g =   1yx, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
14
Jawab:
a. Dipunyai g =   1yx, yx , dari x + y = 1  y = 1 – x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g
adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
xy
xy
xxmyy



)0(10
)( 11
Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥}
Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑥 ke
dalam persamaan 𝑦 = 1 − 𝑥 sehingga diperoleh
1 − 𝑥 = 𝑥
⟺ 2𝑥 = 1
⟺ 𝑥 =
1
2
substitusikan x =
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y =
2
1
.
Jadi titik potongnya (
2
1
,
2
1
)
Karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka





 





 






2
0
,
2
0
2
,
22
1
,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas   ),(1,1 '0'0 yx
   1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
15
1
12
)1(12
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥 + 1}
Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 =
1 − 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, diperoleh
1 − 𝑥 = 𝑥 + 1
⟺ 2𝑥 = 0
⟺ 𝑥 = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
  




 





 

2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 '''' BBoooo yxyyxx
Jelas   )2,1(2.0 '' oo yx 
   0,1, ' oo yx
Jadi A’ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =   1yx, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,(  xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1  xxxyx
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
16
8. Diketahui g =   013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k =   013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0
 3a +3 +1 = 0
 3a = - 4
 a = -
3
4
Jadi nilai a = -
3
4
.
10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk
semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat
tersebut dapat diperluas secara umum?
Selesaian:
Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y)  V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
17
T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)
   2
12
2
1221P yyxxP 
   
   
   
   2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP




Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1 + k, y1 +l)
T(P2) = P2’ = (x2 + k, y2 + l)
   2
12
2
1221P yyxxP 
   
   
   
   2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)''P
)()()()(''P
''''''P
yyxxP
lylykxkxP
lylykxkxP
yyxxP




Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.
11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai
T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Selesaian:
Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
18
Jelas    22
pqpq yyxxPQ 
Menurut definisi  1,2)(  pp yxPT dan  1,2)(  qq yxQT
Jelas
   22
4 pqpq yyxx 
Diperoleh )()( QTPT ≠ PQ
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.
12. Diketahui garis g dan titik A, A’, B, dan C seperti terlihat pada gambar di
bawah ini.
a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B’=Mg(B) dan
C’=Mg(C)’
b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.
Selesaian:
a. Gambar
   22
)1()1(22)()(  pqpq yyxxQTPT
B
A
A’
C
g
B
A
A’
C
g
B’
C’
19
b. Bukti:
Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari
𝐶𝐶′̅̅̅̅̅, 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅, dan 𝐵𝐵′̅̅̅̅̅. Sehingga B’ = Mg(B), A’ = Mg(A), C’ = Mg(C).
Jadi, lukisan di atas benar.
13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang
didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P’
= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan
membuktikan:
a. T(P) = P apabila P(x,y) ∈ g.
b. Apabila P(x,y) ∉ g maka g adalah sumbu ruas garis PP′̅̅̅̅.
Selesaian :
a. Dipunyai P(x,y) ∈ g
Maka T(P) = P’ = (y,x).
Karena (x,y) ∈ g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga
T(P) = P’ = (y,x) = (x,y).
Karena T(P) = P untuk P ∈ g maka T merupakan refleksi garis pada g.
b. Dipunyai P(x,y) ∉ g
(i) Akan dibuktikan PP′̅̅̅̅ ⊥ g.
Jelas mg = 1.
Karena P(x,y) ∉ g maka T(P) = P’ = (y,x).
m 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑥−𝑦
𝑦−𝑥
=
𝑥−𝑦
−(𝑥−𝑦)
= −1
Diperoleh mg = 1 = −
1
−1
= −
1
𝑚 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅̅
.
Jadi g ⊥ 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
(ii) Akan dibuktikan PO = P’O, jika O adalah titik persekutuan antara
𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan g.
Misalkan Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
𝑄 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
= (
𝑥 + 𝑦
2
,
𝑦 + 𝑥
2
)
g
P(x,y)
P’(y,x)
O
20
Jelas
𝑥+𝑦
2
=
𝑦+𝑥
2
.
Maka 𝑥 𝑄 = 𝑦 𝑄, sehingga 𝑄 ∈ g.
Jadi Q = O.
Karena Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan Q = O, maka PO = P’O.
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas
garis 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,
tentukan:
a. A jika Mh(A) = (-2,3)
b. Mh(P) untuk P=(x,y)
Selesaian:
c. h melewati (0,0) dengan m = -1.
Persamaan garis h :
y-y1 = m(x-x1)
 y – 0 = -1(x – 0)
 y = -x
 x + y = 0.
Jelas 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ ⊥ ℎ melalui (-2,3) dengan gradien m = 1
Persamaan garis 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ :
y-y1 = m(x-x1)
 y – 3 = 1(x + 2)
 y – 3 = x + 2
 y = x + 5.
Perpotongan garis h dan 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅
h : y = -x; 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y = x + 5
diperoleh y = y
 -x = x + 5
 2x = -5
 x = −
5
2
.
21
y = -x = - (−
5
2
) =
5
2
.
Diperoleh titik tengah 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (xp,yp) = (−
5
2
,
5
2
).
Jelas (xp,yp) = (
𝑥+𝑥′
2
,
𝑦+𝑦′
2
)
 (−
5
2
,
5
2
) = (
𝑥−2
2
,
𝑦+3
2
)
Diperoleh x – 2 = -5  x = -3, dan y + 3 = 5  y = 2.
Jadi A = (-3,2).
b.
garis PP’ ⊥ h berarti m = 1 dan
melalui (a,b).
Persamaan garis PP’: y – y1 = m(x – x1)
 y – b = 1(x – a)
 y = x – a + b.
Perpotongan garis h dan PP’
y = y  -x = x –a + b  2x = a – b  x =
𝑎−𝑏
2
y = -x = −
𝑎−𝑏
2
.
Titik tengah PP’ = (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
)
Jelas (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
) = (
𝑥+𝑥′
2
,
𝑦+𝑦′
2
)
 (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
) = (
𝑎+𝑥′
2
,
𝑏+𝑦′
2
)
Diperoleh x’ = -b dan y’ = -a.
Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P’=(-b,-a)=(-y,-x).
P (a,b)
a
b
h
22
15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap
titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis
orthogonal dari P ke g.
a. Apakah T suatu transformasi?
b. Apakah T suatu isometri?
c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A),
B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:
Jawab:
a. Ditunjukkan T suatu transformasi
i. Ditunjukkan T surjektif
Ambil sebarang titik P’V
Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’
Jika P’ ∉ 𝑔, maka ∃𝑥 ∈ 𝑉 sehingga 𝑔 jadi sumbu ruas 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅
Ini berarti Ms(P)=P’
Jadi  P’V memiliki prapeta
Jadi T surjektif
ii. Ditunjukkan T injektif
Ambil sebarang titik P,QV dengan P≠Q
𝑃 ≠ 𝑄 {
𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′
, 𝑇(𝑄) = 𝑄′ ≠ 𝑃 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)
𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′
≠ 𝑄, 𝑇(𝑄) = 𝑄 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)
Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan
ruas garis orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P
ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan
Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
23
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis
orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu
titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan P≠Q
Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
b. Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q g
Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P
Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Q’
Jelas PQ≠P’Q’=PQ’
Jadi T bukan Isometri
c. T isometri jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
Jadi AB = A’B’ jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
16. Andaikan h =   3xy, yx , Apabila A = (4,3)
Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A).
Selesaian:
Jelas gradient dari garis 𝑦 = 3𝑥 adalah 𝑚 = 3. Gradient garis yang tegak
lurus garis tersebut adalah 𝑚 = −
1
3
Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = −
1
3
adalah
P
24
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
⟺ 𝑦 − 3 = −
1
3
(𝑥 − 4)
⟺ 𝑦 − 3 = −
1
3
𝑥 +
4
3
⟺ 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
Perpotongan garis h dan 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
dapat dicari dengan mensubtitusikan
𝑦 = 3𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
, diperoleh
3𝑥 = −
1
3
𝑥 +
13
3
⟺
10
3
𝑥 =
13
3
⟺ 𝑥 =
1,3
3
⟺ 𝑦 = 3𝑥
= 1,3
Diperoleh titik terjadi 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (
1,3
3
; 1,3)
Jelas (
1,3
3
; 1,3) = (
𝑥 𝐴+𝑥 𝐴′
2
,
𝑦 𝐴+𝑦 𝐴′
2
)
⟺ (
1,3
3
; 1,3) = (
4 + 𝑥 𝐴′
2
,
3 + 𝑦 𝐴′
2
)
⟺ (
2,6
3
; 2,6) = (4 + 𝑥 𝐴′, 3 + 𝑦 𝐴′)
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (
2,6
3
−
12
3
; 2,6 − 3)
⟺ (−
9,4
3
; −0,4)
Jdi koordinat 𝐴′
= (−
9,4
3
; −0,4).
17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T
suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.
Penyelesaian:
Karena Isometri, maka |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|
25
 √(𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵)2 = √(𝑥 𝑐 − 𝑥 𝐷)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷)2
 √(1 − 4)2 + (−1 − 0)2 = √(−4 + 2)2 + (1 − 𝑘)2
 √(−3)2 + (−1)2 = √(−2)2 + (1 − 𝑘)2
 9+1 = 4+ (1-k)2
 (1-k)2
= 10 – 4
 (1-k)2
= 6
 1-k = √6
 k = 1 + √6.
19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.
Ada g =   1yx, yx .
a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .
b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B
c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!
Jawab:
a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus
garis tersebut adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
1
21
)1(12
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan
persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 1, diperoleh
𝑥 + 𝑥 + 1 = 1
⟺ 2𝑥 = 0
⟺ 𝑥 = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'AA (0,1).
26
Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka
  




 





 

2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 ''' AAAAAA yxyyxx
  )2,1(2,0 '' AA yx 
   0,1, '' AA yx
Jadi A’ = (-1,0)
b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan
m=1 adalah
6
42
)2(14
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.
𝑦 = 𝑦
⟺ 1 − 𝑥 = 𝑥 + 6
⟺ 2𝑥 = 1 − 5
⟺ 𝑥 = −2
substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 3.
Jadi titik tengah BC (-2,3).
Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka
  




 





 

2
4
,
2
2
2
,
2
3,2 CCCBCB yxyyxx
  )4,2(6,4 CC yx 
   2,2, CC yx
Jadi A’ = (-2,2)
27
c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah
21
21 )(
PPxy
PxmPy


Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (Q1,Q2) = 




 
2
,
2
'22'11 PPPP
 
   2211'2'1
'22'1121
2,2,
),(2,2
QPQPPP
PPPPQQ


Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ =  2211 2,2 QPQP  .

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Bab ix ruas garis berarah
Bab ix ruas garis berarahBab ix ruas garis berarah
Bab ix ruas garis berarahNia Matus
 
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi KesebangunanRangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi KesebangunanNia Matus
 
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARPEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARNailul Hasibuan
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupKabhi Na Kehna
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoYadi Pura
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
Modul 2   keterbagian bilangan bulatModul 2   keterbagian bilangan bulat
Modul 2 keterbagian bilangan bulatAcika Karunila
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)Ig Fandy Jayanto
 
Order dari Elemen Grup
Order dari Elemen GrupOrder dari Elemen Grup
Order dari Elemen Grupwahyuhenky
 
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Arvina Frida Karela
 
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobil
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobilKelipatan persekutuan terkecil KPK teobil
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobilNailul Hasibuan
 

La actualidad más candente (20)

Bab ix ruas garis berarah
Bab ix ruas garis berarahBab ix ruas garis berarah
Bab ix ruas garis berarah
 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklik
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi KesebangunanRangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
 
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARPEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrup
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
 
deret kuasa
deret kuasaderet kuasa
deret kuasa
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Modul 3 kongruensi
Modul 3   kongruensiModul 3   kongruensi
Modul 3 kongruensi
 
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
Modul 2   keterbagian bilangan bulatModul 2   keterbagian bilangan bulat
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
 
Ring
RingRing
Ring
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
 
Order dari Elemen Grup
Order dari Elemen GrupOrder dari Elemen Grup
Order dari Elemen Grup
 
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
 
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobil
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobilKelipatan persekutuan terkecil KPK teobil
Kelipatan persekutuan terkecil KPK teobil
 
Koset Suatu Grup
Koset Suatu GrupKoset Suatu Grup
Koset Suatu Grup
 

Similar a BAB 2 Pencerminan (Refleksi)

Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1taofikzikri
 
Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1taofikzikri
 
Persamaan pencerminan
Persamaan pencerminan Persamaan pencerminan
Persamaan pencerminan taofikzikri
 
Persamaan pencerminan pada gari1
Persamaan pencerminan pada gari1Persamaan pencerminan pada gari1
Persamaan pencerminan pada gari1taofikzikri
 
Persamaan garis lurus
Persamaan garis lurusPersamaan garis lurus
Persamaan garis lurusTesa Hilmiani
 
Pencerminan kelompok 1
Pencerminan kelompok 1Pencerminan kelompok 1
Pencerminan kelompok 1Atik29121991
 
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garisRifky Ocen
 
Pencerminan
PencerminanPencerminan
PencerminanVen Dot
 
Pencerminann
PencerminannPencerminann
Pencerminannfici_yuri
 
Rangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri TransformasiRangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri TransformasiIndah Wijayanti
 
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxdokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxputriardian1
 
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxdokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxputriardian1
 
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptx
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptxPERSAMAAN GARIS LURUS.pptx
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptxfury alfiani
 
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.pptsilviariani7
 
Persiapan pas mat das xi 2019.doc
Persiapan pas mat das xi 2019.docPersiapan pas mat das xi 2019.doc
Persiapan pas mat das xi 2019.docDafid Kurniawan
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometriDian Fery Irawan
 

Similar a BAB 2 Pencerminan (Refleksi) (20)

Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1
 
Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1Ringkasan pencerminan1
Ringkasan pencerminan1
 
2.pencerminan
2.pencerminan2.pencerminan
2.pencerminan
 
Persamaan pencerminan
Persamaan pencerminan Persamaan pencerminan
Persamaan pencerminan
 
Persamaan pencerminan pada gari1
Persamaan pencerminan pada gari1Persamaan pencerminan pada gari1
Persamaan pencerminan pada gari1
 
Persamaan garis lurus
Persamaan garis lurusPersamaan garis lurus
Persamaan garis lurus
 
Pencerminan
Pencerminan Pencerminan
Pencerminan
 
Pencerminan kelompok 1
Pencerminan kelompok 1Pencerminan kelompok 1
Pencerminan kelompok 1
 
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis
252182500 ulangan-harian-matematika-wajib-kelas-xi-ipa-hubungan-antar-garis
 
Pencerminan
PencerminanPencerminan
Pencerminan
 
Pencerminann
PencerminannPencerminann
Pencerminann
 
Rangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri TransformasiRangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri Transformasi
 
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxdokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
 
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docxdokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
dokumen.tips_makalah-persamaan-garis-lurus.docx
 
Transformasi
TransformasiTransformasi
Transformasi
 
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptx
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptxPERSAMAAN GARIS LURUS.pptx
PERSAMAAN GARIS LURUS.pptx
 
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt
3_PERSAMAAN_GARIS_LURUS.ppt
 
Persiapan pas mat das xi 2019.doc
Persiapan pas mat das xi 2019.docPersiapan pas mat das xi 2019.doc
Persiapan pas mat das xi 2019.doc
 
Transformasi
TransformasiTransformasi
Transformasi
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri
 

Último

K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfbayuputra151203
 
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas XPowerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas Xyova9dspensa
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfSMP Hang Kasturi, Batam
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKTaufik241763
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daWijaya Kusumah
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekahellenchanel31
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSeminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSABDA
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridDonyAndriSetiawan
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxRestiana8
 
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfkeutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfatsira1
 

Último (20)

K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas XPowerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
 
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptxELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptxDEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
DEFINISI DAN KONTEKS MANAJEMEN ISU DAN KRISIS.pptx
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSeminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfkeutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
 

BAB 2 Pencerminan (Refleksi)

  • 1. 1 MAKALAH PENCERMINAN (REFLEKSI) Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd Disusun oleh : Niamatus Saadah 1201125122 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA 2015
  • 2. 2 PENCERMINAN Definisi: Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: (i) Jika P  s maka Ms (P) = P. Gambar 1 (ii) Jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin. Gambar 2 Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi. Penyelidikan: Bukti: (1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V. (2) Akan dibuktikan Ms surjektif. Ambil sebarang .' VX   Kasus 1: Andaikan .' sX  Maka 'XX  sebab ')( XXXMs   Kasus 2: Andaikan .' sX  s P = Ms(P) s P P’
  • 3. 3 Dari sifat geometri ada VX  sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini berarti bahwa Ms(X) = X’. Artinya setiap X’ memiliki prapeta. Jadi Ms surjektif. (3) Akan dibuktikan Ms injektif. Andaikan BA  .  Kasus 1: sA dan 𝐵 𝜖 𝑠. Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) = 𝐵. Jadi A′ ≠ 𝐵′.  Kasus 2: sA dan 𝐵 ∉ 𝑠. Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) dengan 𝐵′ ∉ 𝑠. Jadi 𝐴′ ≠ 𝐵′.  Kasus 3: 𝐴 ∉ 𝑠, 𝐵 ∉ 𝑠. Andaikan 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) atau 𝐴′ = 𝐵′. Jadi 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠 dan 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠. Ini berarti dari satu titik A’ ada dua garis berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin. Jadi pengandaian bahwa jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) adalah tidak benar sehingga pengandaian itu salah. Jadi jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) ≠ 𝑀𝑠(𝐵). Jadi 𝑀𝑠(𝐴) injektif. Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi. Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema: Teorema 1 Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka apabila 𝐴′ = 𝑀(𝐴) dan 𝐵′ = 𝑀(𝐵), 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Jadi jarak setiap dua titik sama dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:
  • 4. 4 Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q). Gambar 3 Teorema: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. Jadi jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’. Bukti: Ambil Sebarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan A’B’ = AB.  Kasus I Jika A, B  s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. Jadi AB = A’B’.  Kasus II Jika A  S, B  s, maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan AB = A’B’. Perhatikan CABABC '& . AC = AC (berimpit). 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐵′ (karena siku-siku). BC = B’C (karena S sumbu simetri). Jadi CABABC ' . Diperoleh AB = A’B’. s A = A’ B’B C s P P’ Q Q’
  • 5. 5 C A’ s A B’B D  Kasus III Jika A, B ∉ S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan AB = A’B’ (i) Perhatikan Δ𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐶𝐷. DC = DC (berimpit) 𝑚∠ADC = 𝑚∠𝐴′ 𝐷𝐶 (900 ) AD = A’D (karena s sumbu simetri) Jadi Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐴′ 𝐶𝐷 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠). Diperoleh AC = A’C dan 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′ 𝐶𝐷. (ii) Perhatikan Δ𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐵′𝐶. AC = A’C (pembuktian (i)) 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶′𝐷 = 𝑚∠𝐴′ 𝐶𝐷. BC = B′ C(karena s sumbu simetri). jadi Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴′ 𝐵′ 𝐶 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠). Diperoleh AB = A’B’. Jadi AB = A’B’. Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’. Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
  • 6. 6 SOAL LATIHAN 1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B). ● ● A B Mg(A) = B dan Mg(B) = A 2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1) Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B. Jawab : Persamaan garis AB 0534 4493 )1(4)3(3 12 1 31 3 12 1 12 1               yx xy xy xy xx xx yy yy Gradien 𝑚1 = 4 3 . Gradien yang tegak lurus AB, 𝑚2 = − 3 4 Titik tengah AB = )1, 2 1 ( 2 )2,1( 2 )1,2()3,1(     Persamaan garis yang melalui )1, 2 1 ( dengan 𝑚 = − 3 4 adalah y – y1 = m (x – x1) X Y A(1,3) B(-2,1) X Y A(1,3) B(-2,1)
  • 7. 7 y – 1 = - 4 3 (x + 2 1 ) y = - 4 3 x - 8 3 + 1 y = - 4 3 x + 8 5 8y + 6x – 5 = 0 6x + 8y – 5 = 0 Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0 3. Diketahui: g =   -3x, yx Ditanya: a. A’=Mg(A), bila A(2,1). b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . . Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,1) =               2 1 , 2 2 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,2(2,6 '' AA yx     1,8, '' AA yx Jadi A’ = (-8,1) b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y=7. D(-3,7) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,7) =               2 7 , 2 1 2 , 2 '' CCCCCC yxyyxx Jelas   )7,1(14,6  CC yx X Y A(2,1) (-1,7)g x=-3
  • 8. 8    7,5, CC yx Jadi C = (-5,7) c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (-3, yp) =        2 , 2 '' pppp yyxx      pppp ppppp yxyx yyxxy ,6, ),(2,6 ' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y). 4. Diketahui g =   2y, yx Ditanya: a. Jika A =  2,3 , tentukan A’ = Mg(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P) Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3. Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA , Maka (3,2) =                 2 2 , 2 3 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,3(4,6 '' AA yx  ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (6 − 3,4 − √2) ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (3,4 − √2)    24,3, '' AA yx Jadi A’ = (3, 24  ) b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
  • 9. 9 Maka (2,2) =               2 )4( , 2 2 2 , 2 '' DDDDDD yxyyxx Jelas   )4,2(4,4  DD yx ⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 4 − 2,4 + 4 ⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 2,8 Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8). c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, 2) =        2 , 2 '' pppp yyxx          pppp ppppp pppp p yxyx yyxxx yyxx x     4,, ,4,2 ) 2 , 2 (2, '' '' Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x, 4 - y). 5. Diketahui h =   xy, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P) Jawab: a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus dengan garis h adalah m1 = -1. Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah )( 111 xxmyy  1 32 )2(13    xy xy xy Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 yaitu dengan cara y = x, disubtitusikan ke persamaan 𝑦 = −𝑥 − 1. Diperoleh :
  • 10. 10 𝑥 = −𝑥 − 1 ⟺ 2𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = − 1 2 substitusikan x = - 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = - 2 1 . Jadi titik tengah 'AA (- 2 1 ,- 2 1 ). Jelas (- 2 1 ,- 2 1 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 1 , 2 1 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(1,1 '' AA yx     2,3, '' AA yx Jadi A’ = (-3,2) b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah m= -1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah )( 11 xxmyy  2 53 )3(15    xy xy xy Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh 𝑥 = −𝑥 + 2 ⟺ 2𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1.
  • 11. 11 Jadi titik tengah 'BB (1,1). Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 1,1 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(2,2  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (5,-3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 6. Diketahui k =   0yx, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A). b. Jika B’ = (-3,5), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P) Jawab: a. Dicari gradien garis k xyyx  0 Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah )( 11 xxmyy 
  • 12. 12 5 32 )2(13    xy xy xy Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 5, diperoleh : -x = x – 5 ⟺ 2𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = 5 2 substitusikan x = 2 5 ke persamaan y = -x diperoleh y = - 2 5 . Jadi titik potongnya ( 2 5 , - 2 5 ) Karena ( 2 5 , - 2 5 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 5 , 2 5 '''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(5,5 '' AA yx     2,3, '' AA yx Jadi A’ = (3,-2) b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis tersebut adalah m = 1. Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 8 53 )3(15 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 8, diperoleh.
  • 13. 13 −𝑥 = 𝑥 + 8 ⟺ 2𝑥 = −8 ⟺ 𝑥 = −4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4. Jadi titik potongnya (-4,4). Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 4,4 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(8,8  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (-5, 3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 7. Diketahui g =   1yx, yx Ditanya: a. Mg(0) b. Mg(A) dengan A(1,2). c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
  • 14. 14 Jawab: a. Dipunyai g =   1yx, yx , dari x + y = 1  y = 1 – x. Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah xy xy xxmyy    )0(10 )( 11 Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥} Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 1 − 𝑥 sehingga diperoleh 1 − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 1 2 substitusikan x = 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 2 1 . Jadi titik potongnya ( 2 1 , 2 1 ) Karena ( 2 1 , 2 1 ) titik tengah 'OO , maka                     2 0 , 2 0 2 , 22 1 , 2 1 '0'0'00'00 yxyyxx Jelas   ),(1,1 '0'0 yx    1,1, '0'0 yx Jadi Mg(O) = (1,1) b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
  • 15. 15 1 12 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥 + 1} Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 1 − 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, diperoleh 1 − 𝑥 = 𝑥 + 1 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1. Jadi titik potongnya (0,1). Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 '''' BBoooo yxyyxx Jelas   )2,1(2.0 '' oo yx     0,1, ' oo yx Jadi A’ = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =   1yx, yx Karena Mg(P) = P, maka P )1,(  xxP Diperoleh x + y = 1 01)1(1  xxxyx Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1).
  • 16. 16 8. Diketahui g =   013y-x, yx , dan A (2,k). Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0, Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g. Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1 Jadi nilai k = 1. 9. Diketahui k =   013-ax, yyx , B = (3,-1) Tentukan a apabila Mk(B) = B! Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0  3a +3 +1 = 0  3a = - 4  a = - 3 4 Jadi nilai a = - 3 4 . 10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum? Selesaian: Dipunyai T(P) = (x-5, y+3) P = (x, y)  V Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri? Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
  • 17. 17 T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )3355''P )3()3()5()5(''P ''''''P yyxxP yyxxP yyxxP yyxxP     Diperoleh P1‘P2’ = P1P2. karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Apa syarat tersebut dapat diperluas? Jawab: Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1 + k, y1 +l) T(P2) = P2’ = (x2 + k, y2 + l)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )''P )()()()(''P ''''''P yyxxP lylykxkxP lylykxkxP yyxxP     Diperoleh P1‘P2’ = P1P2. Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum. 11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri? Selesaian: Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
  • 18. 18 Jelas    22 pqpq yyxxPQ  Menurut definisi  1,2)(  pp yxPT dan  1,2)(  qq yxQT Jelas    22 4 pqpq yyxx  Diperoleh )()( QTPT ≠ PQ Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak Jadi T bukan isometri. 12. Diketahui garis g dan titik A, A’, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini. a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B’=Mg(B) dan C’=Mg(C)’ b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar. Selesaian: a. Gambar    22 )1()1(22)()(  pqpq yyxxQTPT B A A’ C g B A A’ C g B’ C’
  • 19. 19 b. Bukti: Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari 𝐶𝐶′̅̅̅̅̅, 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅, dan 𝐵𝐵′̅̅̅̅̅. Sehingga B’ = Mg(B), A’ = Mg(A), C’ = Mg(C). Jadi, lukisan di atas benar. 13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P’ = (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan membuktikan: a. T(P) = P apabila P(x,y) ∈ g. b. Apabila P(x,y) ∉ g maka g adalah sumbu ruas garis PP′̅̅̅̅. Selesaian : a. Dipunyai P(x,y) ∈ g Maka T(P) = P’ = (y,x). Karena (x,y) ∈ g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga T(P) = P’ = (y,x) = (x,y). Karena T(P) = P untuk P ∈ g maka T merupakan refleksi garis pada g. b. Dipunyai P(x,y) ∉ g (i) Akan dibuktikan PP′̅̅̅̅ ⊥ g. Jelas mg = 1. Karena P(x,y) ∉ g maka T(P) = P’ = (y,x). m 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 𝑥−𝑦 𝑦−𝑥 = 𝑥−𝑦 −(𝑥−𝑦) = −1 Diperoleh mg = 1 = − 1 −1 = − 1 𝑚 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅̅ . Jadi g ⊥ 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. (ii) Akan dibuktikan PO = P’O, jika O adalah titik persekutuan antara 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan g. Misalkan Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. 𝑄 = ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) = ( 𝑥 + 𝑦 2 , 𝑦 + 𝑥 2 ) g P(x,y) P’(y,x) O
  • 20. 20 Jelas 𝑥+𝑦 2 = 𝑦+𝑥 2 . Maka 𝑥 𝑄 = 𝑦 𝑄, sehingga 𝑄 ∈ g. Jadi Q = O. Karena Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan Q = O, maka PO = P’O. Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas garis 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. 14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1, tentukan: a. A jika Mh(A) = (-2,3) b. Mh(P) untuk P=(x,y) Selesaian: c. h melewati (0,0) dengan m = -1. Persamaan garis h : y-y1 = m(x-x1)  y – 0 = -1(x – 0)  y = -x  x + y = 0. Jelas 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ ⊥ ℎ melalui (-2,3) dengan gradien m = 1 Persamaan garis 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y-y1 = m(x-x1)  y – 3 = 1(x + 2)  y – 3 = x + 2  y = x + 5. Perpotongan garis h dan 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ h : y = -x; 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y = x + 5 diperoleh y = y  -x = x + 5  2x = -5  x = − 5 2 .
  • 21. 21 y = -x = - (− 5 2 ) = 5 2 . Diperoleh titik tengah 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (xp,yp) = (− 5 2 , 5 2 ). Jelas (xp,yp) = ( 𝑥+𝑥′ 2 , 𝑦+𝑦′ 2 )  (− 5 2 , 5 2 ) = ( 𝑥−2 2 , 𝑦+3 2 ) Diperoleh x – 2 = -5  x = -3, dan y + 3 = 5  y = 2. Jadi A = (-3,2). b. garis PP’ ⊥ h berarti m = 1 dan melalui (a,b). Persamaan garis PP’: y – y1 = m(x – x1)  y – b = 1(x – a)  y = x – a + b. Perpotongan garis h dan PP’ y = y  -x = x –a + b  2x = a – b  x = 𝑎−𝑏 2 y = -x = − 𝑎−𝑏 2 . Titik tengah PP’ = ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) Jelas ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) = ( 𝑥+𝑥′ 2 , 𝑦+𝑦′ 2 )  ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) = ( 𝑎+𝑥′ 2 , 𝑏+𝑦′ 2 ) Diperoleh x’ = -b dan y’ = -a. Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P’=(-b,-a)=(-y,-x). P (a,b) a b h
  • 22. 22 15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut: Jika Pg maka T(P) = P Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P ke g. a. Apakah T suatu transformasi? b. Apakah T suatu isometri? c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?: Jawab: a. Ditunjukkan T suatu transformasi i. Ditunjukkan T surjektif Ambil sebarang titik P’V Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’ Jika P’ ∉ 𝑔, maka ∃𝑥 ∈ 𝑉 sehingga 𝑔 jadi sumbu ruas 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ Ini berarti Ms(P)=P’ Jadi  P’V memiliki prapeta Jadi T surjektif ii. Ditunjukkan T injektif Ambil sebarang titik P,QV dengan P≠Q 𝑃 ≠ 𝑄 { 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′ , 𝑇(𝑄) = 𝑄′ ≠ 𝑃 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄) 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′ ≠ 𝑄, 𝑇(𝑄) = 𝑄 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄) Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q) Andaikan T(P)=T(Q) Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
  • 23. 23 Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik . Jadi P = Q Kontradiksi dengan P≠Q Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q) Jadi T injektif Dapat disimpulkan T suatu transformasi b. Ditunjukkan T suatu isometri Pilih Pg dan Q g Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari Q ke Q’ Jelas PQ≠P’Q’=PQ’ Jadi T bukan Isometri c. T isometri jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g Jadi AB = A’B’ jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g 16. Andaikan h =   3xy, yx , Apabila A = (4,3) Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A). Selesaian: Jelas gradient dari garis 𝑦 = 3𝑥 adalah 𝑚 = 3. Gradient garis yang tegak lurus garis tersebut adalah 𝑚 = − 1 3 Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = − 1 3 adalah P
  • 24. 24 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⟺ 𝑦 − 3 = − 1 3 (𝑥 − 4) ⟺ 𝑦 − 3 = − 1 3 𝑥 + 4 3 ⟺ 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 Perpotongan garis h dan 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 3𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 , diperoleh 3𝑥 = − 1 3 𝑥 + 13 3 ⟺ 10 3 𝑥 = 13 3 ⟺ 𝑥 = 1,3 3 ⟺ 𝑦 = 3𝑥 = 1,3 Diperoleh titik terjadi 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = ( 1,3 3 ; 1,3) Jelas ( 1,3 3 ; 1,3) = ( 𝑥 𝐴+𝑥 𝐴′ 2 , 𝑦 𝐴+𝑦 𝐴′ 2 ) ⟺ ( 1,3 3 ; 1,3) = ( 4 + 𝑥 𝐴′ 2 , 3 + 𝑦 𝐴′ 2 ) ⟺ ( 2,6 3 ; 2,6) = (4 + 𝑥 𝐴′, 3 + 𝑦 𝐴′) ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = ( 2,6 3 − 12 3 ; 2,6 − 3) ⟺ (− 9,4 3 ; −0,4) Jdi koordinat 𝐴′ = (− 9,4 3 ; −0,4). 17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k. Penyelesaian: Karena Isometri, maka |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|
  • 25. 25  √(𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵)2 = √(𝑥 𝑐 − 𝑥 𝐷)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷)2  √(1 − 4)2 + (−1 − 0)2 = √(−4 + 2)2 + (1 − 𝑘)2  √(−3)2 + (−1)2 = √(−2)2 + (1 − 𝑘)2  9+1 = 4+ (1-k)2  (1-k)2 = 10 – 4  (1-k)2 = 6  1-k = √6  k = 1 + √6. 19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y. Ada g =   1yx, yx . a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . . b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)! Jawab: a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus garis tersebut adalah m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 1 21 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 1, diperoleh 𝑥 + 𝑥 + 1 = 1 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1 diperoleh y = 1. Jadi titik tengah 'AA (0,1).
  • 26. 26 Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 ''' AAAAAA yxyyxx   )2,1(2,0 '' AA yx     0,1, '' AA yx Jadi A’ = (-1,0) b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1 Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan m=1 adalah 6 42 )2(14 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi. 𝑦 = 𝑦 ⟺ 1 − 𝑥 = 𝑥 + 6 ⟺ 2𝑥 = 1 − 5 ⟺ 𝑥 = −2 substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 3. Jadi titik tengah BC (-2,3). Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka                  2 4 , 2 2 2 , 2 3,2 CCCBCB yxyyxx   )4,2(6,4 CC yx     2,2, CC yx Jadi A’ = (-2,2)
  • 27. 27 c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah 21 21 )( PPxy PxmPy   Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (Q1,Q2) =        2 , 2 '22'11 PPPP      2211'2'1 '22'1121 2,2, ),(2,2 QPQPPP PPPPQQ   Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ =  2211 2,2 QPQP  .