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INTERACCIÓN CON EL ABSORBENTE COMO EL MECANISMO DE RADIACIÓN (WHEELER Y FEYNMAN)<br />Falla del concepto de acción a dista...
Resumen wheeler feynman
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  1. 1. INTERACCIÓN CON EL ABSORBENTE COMO EL MECANISMO DE RADIACIÓN (WHEELER Y FEYNMAN)<br />Falla del concepto de acción a distancia al tomar en cuenta el mecanismo de radiación<br />En 1845, Gauss describió el concepto de acción a distancia propagada con una velocidad finita. En los 100 años siguientes, el uso de este concepto en el estudio de la naturaleza ha ido perdiendo credibilidad.<br />La dificultad no reside en la relación de la idea de acción propagada a distancia con las ecuaciones del electromagnetismo. Aunque este problema permaneció sin resolver por Gauss y sus sucesores, la formulación desarrollada por Schwarzschild y Fokker demostró que la concepción de Gauss es matemáticamente autoconsistente, de acuerdo con la experiencia en electrostática y corrientes, y en completa armonía con las ecuaciones de Maxwell.<br />Para encontrar el verdadero obstáculo para la aceptación de la acción a distancia para el análisis de fuerzas, tenemos que remontarnos a un fenómeno tal como la emisión y propagación de la energía. Ninguna rama de la física, como la física de radiaciones, ha favorecido a la evolución de los conceptos presentes de campo o ha puesto más dificultades a la idea de acción a distancia.<br />Las dificultades se resumen en dos: obtener un cálculo satisfactorio para el campo generado en un punto remoto por una carga acelerada y entender el origen de la fuerza experimentada por la carga misma como resultado de su movimiento.<br />Una carga acelerada genera un campo dado, de acuerdo a la formulación de Schwarzschild y Fokker, la mitad por la solución retardada de las ecuaciones de Maxwell y la otra mitad por la solución avanzada. De la presencia del campo avanzado en la expresión para el vector eléctrico, se deduce que un cuerpo de prueba distante experimentará una fuerza premonitoria mucho antes que la fuente misma haya comenzado a moverse. Para llegar a esta conclusión tan opuesta a la experiencia se debe abandonar la simetría en el tiempo de la ley elemental de la fuerza.<br />La experiencia indica que una carga acelerada sufre una fuerza amortiguadora la cual es simultánea con el momento de la aceleración. Sin embargo, la teoría de acción a distancia predice que una carga acelerada en el espacio libre de carga no experimentará ninguna fuerza eléctrica.<br />El problema de causalidad<br />El primer problema al cual uno tiene que hacer frente si quiere construir una teoría simétrica en el tiempo es el problema de causalidad. Las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de onda para ondas electromagnéticas tienen, en general, dos posibles soluciones: una solución retardada y una avanzada. Esto significa que si tenemos un emisor electromagnético, el cual genera una onda en el tiempo t0 = 0 y en el punto x0 = 0, luego la onda de la primera solución llegará al punto x1 en el tiempo t1 = x1/c después de la emisión, mientras que la segunda llegará al mismo lugar en el instante t2 = x1/c antes de la emisión. Esta segunda onda parece no tener significado físico y es a menudo descartada en la interpretación de ondas electromagnéticas.<br />Feynman y Wheeler resuelven esta dificultad de un modo sencillo. Consideremos todos los emisores que están presentes en nuestro universo, luego si todos ellos generan ondas electromagnéticas de una manera simétrica, el campo resultante es:<br />Luego, si consideramos que en nuestro universo se mantiene la relación:<br />Podemos añadir libremente la última cantidad a la solución del campo total de las ecuaciones de Maxwell (siendo ésta una solución a la ecuación de Maxwell homogénea) y obtenemos:<br />De esta manera, el modelo sólo ve el efecto del campo retardado, y la causalidad se mantiene. La presencia de este campo libre está relacionada con el fenómeno de la absorción de todas las partículas del universo de la radiación emitida por cada partícula por sí sola.<br />El problema de la auto interacción y amortiguamiento<br />Consideremos una particular cargada que se mueve de una manera no uniforme (por ejemplo, oscilando de modo que x(t) = x0cos(ωt), se conoce que de esta manera la partícula irradia, y por lo tanto pierde energía. Si expresamos este resultado en términos de la ecuación de Newton, necesitaremos considerar un término de amortiguamiento, que tome en cuenta esta pérdida de energía. La primera solución a este problema se debe principalmente a Lorentz y más tarde a Dirac. Lorentz interpretó esta pérdida como debida a la auto-interacción retardada de dicha partícula con su propio campo. Tal interpretación, sin embargo, no es completamente satisfactoria ya que genera divergencias en la teoría y necesita algunas asunciones sobre la estructura de la distribución de carga de la partícula. Dirac generalizó la fórmula dada por Lorentz para el factor de amortiguamiento para hacerlo relativísticamente invariante. Al mismo tiempo, también sugirió una interpretación diferente del factor de amortiguamiento como debido a los campos libres generados por la partícula en su propia posición.<br />La principal dificultad de esta formulación es la ausencia de justificación física para la presencia de tales campos.<br />Por tal motivo, la teoría del absorbedor fue formulada para corregir este punto. Usando la teoría del absorbedor, si asumimos que cada partícula no interactúa consigo misma y evaluando el campo generado por la partícula j en su propia posición (el punto xj), obtenemos:<br />Resulta claro que si ahora añadimos los campos libres:<br />Obtenemos:<br />Y entonces:<br />Esta interpretación evita el problema de auto-energía divergente para una partícula dando una interpretación física razonable de la ecuación de Dirac.<br />Las cuatro derivaciones del modelo del absorbedor<br />Todas las derivaciones se basan en estas 4 asunciones:<br />Una carga puntual acelerada en el espacio libre de carga no radia energía electromagnética.<br />Los campos que actúan sobre una partícula dada son producidos sólo por otras partículas.<br />Estos campos están representados por las soluciones retardada y acelerada de Liénard-Wicchart de las ecuaciones de Maxwell. Esta ley de la fuerza es simétrica con respecto al pasado y al futuro.<br />Muchas partículas están presentes en cantidad suficiente para absorber completamente la radiación desde una fuente.<br />Una partícula cargada (la fuente) es acelerada por alguna fuerza. La fuente emite ondas retardadas (aquí ignoramos las ondas avanzadas). La emisión retardada provoca que una partícula en la frontera (el absorbedor) se acelere. La aceleración del absorbedor crea luego ondas retardadas y aceleradas que se propagan hacia fuera. La onda avanzada alcanza la fuente al mismo tiempo que la aceleración original ocurre, de esta forma proveyendo la esperada fuerza de auto-interacción. Esta descripción puede ser modificada para tomar en cuenta el efecto de un gran número de partículas absorbedoras en las fronteras.<br />Después de sumir un aceleración primaria (a=Ue-iωt), la ecuación estándar es:<br />F=23e2c3dadt<br />Esta derivación sólo acepta movimiento no-relativista de los electrones. Adicionalmente, se asume que el absorbedor está lejos de la fuente, una simplificación que permite usar la forma estándar del campo E en campo lejano:<br />eUrc2senU.r<br />La segunda derivación permite la presencia de partículas absorbedoras en la vecindad de la fuente. De aquí se deducen nuevos resultados. Una partícula que es acelerada emite un campo de radiación que está compuesto en partes iguales por el campo avanzado y el campo retardado. Tal radiación acelera las partículas absorbedoras, las cuales a su vez emiten campos iguales al campo retardado menos el campo avanzado de la fuente. Esto produce el campo de radiación apropiado requerido por Dirac para explicar el efecto de amortiguamiento. De esta forma interactúan los campos emitidos por el absorbedor y el campo de la fuente. Todos las demás ondas avanzadas se cancelan una con la otra mediante interferencia destructiva.<br />La tercera y cuarta derivación toman en cuenta el movimiento relativista de las partículas cargadas y la absorción completa del universo, respectivamente. Wheeler y Feyman concluyen con lo siguiente: “Hemos mostrado que los campos mitad avanzados y mitad retardados de la acción a distancia conducen a una explicación satisfactoria del mecanismo de reacción radiativa para una descripción de la acción de una partícula con otra en la cual la no evidencia de los campos avanzados es aparente”.<br /> CONSERVACIÓN DEL ESPÍN ISOTÓPICO E INVARIANZA DE GAUGE ISOTÓPICA (YANG Y MILLS)<br />Chen Ning Yang y Robert L. Mills, en el año 1956, se preocuparon de algunos problemas relacionados con la interacción débil. En la práctica, fueron ellos los que dieron el primer paso teórico de esta teoría al considerar la simetría del espín isotópico estableciendo que las interacciones fuertes de la materia permanecen invariantes (o casi) cuando se intercambian protones por neutrones. El problema de suponer al neutrón y al protón exactamente iguales (lo que contradice la realidad) trajo al mismo tiempo problemas con las aplicaciones prácticas. Hasta la formulación del modelo estándar el problema de las teorías gauge consistía en que, si bien sencillas, elegantes y consistentes desde el punto de vista matemático, presentaban una fuerte limitación al tratar de describir interacciones que no respetasen la simetría especular ("simetría de espejo"), característica de las fuerzas que diferencian la derecha de la izquierda. En este caso, se requieren mediadores con masa (partículas que «median» la interacción entre otras dos) y las teorías basadas en simetrías gauge sólo admitían, hasta entonces, mediadores de masa nula. El electromagnetismo, la primera teoría de gauge, no sufre esta limitación porque las interacciones electromagnéticas, de largo alcance, están mediadas por fotones que no tienen masa. La fuerza débil, que distingue derecha de izquierda (se dice que viola la conservación de la paridad), es de muy corto alcance y requiere, por lo tanto, mediadores con mucha masa. Esta fuerza es la responsable, por ejemplo, del decaimiento beta en los núcleos atómicos. El principio gauge, en consecuencia, no sirve como generador de una teoría para estas interacciones, al menos en su forma original.<br />Yang y Nills sugirieron que el principio de invariancia local de fase o invariancia de gauge local no eran compatibles con una teoría de campos local, es decir, que obedeciera los principios relativistas de causalidad. Es decir cuando, como es común, el lagrangiano de un campo tiene alguna simetría interna dada por un grupo de transformaciones de gauge, debería ser posible escoger en cada punto del espacio una transformación de gauge diferente, sin que eso hiciese que las ecuaciones de la teoría fueran alteradas. Así Yang y Mills buscaron la teoría más general de lagrangiano para un campo con invariancia de gauge local.<br />De hecho la electrodinámica cuántica era ya una teoría con invariancia de gauge local, donde el grupo de gauge era precisamente el grupo de Lie U(1). El resultado del trabajo de Yang y Mills fue una generalización del lagrangiano de la electrodinámica cuántica, donde ahora el grupo de gauge era un grupo no conmutativo. Los gluones de la cromodinámica cuántica vienen descritos por un campo de Yang-Millis sobre el grupo de Lie no-conmutativo SU(3) asociado a la simetría de color.<br />Formulación matemática <br />Para construir un campo de Yang-Mills cuyo grupo de gauge de dimensión m, necesitamos un campo multicomponente (cuyas componentes suelen ser espinores de Dirac). Todas las componentes del campo están definidas sobre un espacio-tiempo :<br />Bajo una transformación de gauge local el campo se transformaría de acuerdo con:<br />Donde:<br /> es el elemento del grupo de gauge asignado al punto .<br />denota una matriz dada por una representación unitaria del grupo de gauge .<br />, son m funciones definidas sobre el espacio-tiempo que parametrizan la transformación local de gauge (diferentes elecciones de esas funciones representan diferentes transformaciones de gauge).<br />, es una base del álgebra de Lie asociada al grupo de gauge .<br />

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