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Geometría

            Trigonometría en el plano




Geometría                               Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
Contenidos



           Ángulos orientados y sistemas de medición de angulos.

           Razones trigonometricas básicas y reciprocas en el triangulo
            rectángulo.

           Razones trigonometricas de ángulos notables.

           La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones
            trigonometricas.

           Identidades trigonometricas.




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Objetivos


               Reconocer ángulos positivos y negativos.

               Reconocer las razones trigonométricas y sus reciprocas.

               Calcular razones trigonométricas de ángulos notables.

               Reconocer y demostrar identidades trigonométricas.

               Resolver ecuaciones trigonométricas.




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                                                                                         3
       La palabra trigonometría proviene del griego y significa
            etimológicamente medida de los triángulos (tri = triángulos; gono
            = ángulo; metría = medición).

           Esta tiene por objeto la resolución de triángulos rectilíneos y
            esféricos por métodos algebraicos, y por consiguiente, con mayor
            aproximación que las que ofrecen las construcciones geométricas
            o gráficas. La dificultad de medir los arcos y ángulos y operar con
            ellos en los cálculos necesarios, se salva utilizando ciertas
            relaciones entre magnitudes rectilíneas, estas relaciones son
            denominadas razones trigonométricas.

           El desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra en
            la resolución de problemas, tanto prácticos como teóricos, que
            involucren triángulos en la que uno de sus ángulos sea recto (
            90°).


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DEFINICIÓN 1:


           Equivalencia entre el grado y el radián: es conveniente conocer la
            equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del
            ángulo en cuestión, para ello partimos del valor de la
            circunferencia expresada en función de ambas unidades.




    C = 360°             360° = 2 radián
                                2
                        1 
    C = 2
                                     
                               360 180
                                        radián




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     De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de
            un radián medido en grados:



                                          180
                             1 radián          57,3
                                           




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Ejemplos:


           Expresa en radian o grados según corresponda:


      1) 150
      2)  540

      3)
             
             8
                rad

                7
        4)
                 4
                   rad

      5)     3, 6 rad
      5)      6,5 rad


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EJEMPLO 1            EJEMPLO 3


            360 150           180        x
             2
                                      
                                             8
                      x                  
            360 x  2 150
                                180     x
                                       
               2 150                 8
                 360                  180   
            x

               300                       8
                                x
            x
                360                   45 
                                          2
                                x
               5
                                 x  22, 5 
                6
            x
                                x  22, 5 




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DEFINICIÓN 2:




           Dado un triangulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, donde
            y AC y BC son los catetos correspondientes y
               AB es la hipotenusa, dados estos elementos podemos obtener
            las siguientes relaciones entre los lados del triángulo y sus
            ángulos agudos; estas relaciones se denominan razones
            trigonométricas.




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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
                              RECTANGULO


               Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas


           En cualquier ABC rectángulo en C, como el de la figura
            tenemos:



                                                      c
                                                                    a


                                                          b




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c
                                                                              a


                                                                    b




            Sen( )                           C  tg ( ) 
                       cateto opuesto a                        cateto adyacente b
                                                                              
                         hipotenusa     c                       cateto opuesto a

            Cos( )                           Sec( ) 
                       cateto adyacente b                     hipotenusa     c
                                                                          
                          hipotenusa       c               cateto adyacente b

            tan( )                           C  Sec( ) 
                        cateto opuesto a                          hipotenusa    c
                                                                             
                      cateto adyacente b                        cateto opuesto a


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                                                                                                     11
Ejercicio:

           Determine las razones trigonométricas para el ángulo â




                   Sen( )                     Cotg (  ) 
                             b                                c
                             c                                b
                   Cos( )                     Sec(  ) 
                              a                             c
                              c                            a

                   tan( )                     CoSec( ) 
                             b                                    a
                             a                                    b



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     Del triángulo anterior se puede mostrar que ambos ángulos
            son complementarios, ya que trabajamos en un triángulo
            rectángulo.

           Se tiene que:


            Sen( )        Cos (  )        Sen( )  Cos (  ) 
                        a                a                             a
                        c                c                             c
            Cos ( )       Sen(  )         Cos ( )  Sen(  ) 
                        b                b                             b
                        c                c                             c
            tg ( )       Cotg (  )        tg ( )  Cotg (  ) 
                      a                 a                             a
                      b                 b                             b
            Sec ( )       Co sec(  )       Sec ( )  Co sec(  ) 
                        c                  c                             c
                        b                  b                             b
            Co sec( )        Sec (  )      Co sec( )  Sec (  ) 
                         c                 c                             c
                         a                 a                             a

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Ejercicio 1:


           Dado el siguiente triángulo rectángulo en C, demostrar las
            igualdades anteriores.




                            B


                                
                                          6
                        3




                                                   
                                                            A
                            C




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EJERCICIO 2:


           En el siguiente triángulo ABC, rectángulo en C,
            determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones
            es verdadera


                                                                   1
            B                                            sin  
                                                                   2
                                                 i

                                                                      3
                                                 ii  cos  
                
                           8
        4                                                            2
                                                 iii     tg    3 3
                                                                            2 3
                                                 iv  c  sec  
                                   
                                            A

                                                                             3
            C




Geometría                                                      Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
                                                                                            15
     Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son
            inversas de otras en la relación del triangulo rectángulo y sus
            ángulos agudos, ahora demostraremos y veremos la
            reciprocidad de las razones trigonométricas:
           Dado el siguiente triangulo rectángulo en C se cumple
            siempre que:




Geometría                                                   Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
1
            1) Sen( ) 
                          C  sec( )
                              1
            2) Cos ( ) 
                           S ec( )
                             1
            3) tg ( ) 
                         C  tg ( )
Geometría                               Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
Por demostrar (1)


           1) El seno y la cosecante son funciones recíprocas



                    Sen ( )           C o  Sec ( ) 
                                 BC                        AB
                                 AB                        BC




Geometría                                                       Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
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Trigonometría

  • 1. Geometría Trigonometría en el plano Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
  • 2. Contenidos  Ángulos orientados y sistemas de medición de angulos.  Razones trigonometricas básicas y reciprocas en el triangulo rectángulo.  Razones trigonometricas de ángulos notables.  La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones trigonometricas.  Identidades trigonometricas. Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
  • 3. Objetivos  Reconocer ángulos positivos y negativos.  Reconocer las razones trigonométricas y sus reciprocas.  Calcular razones trigonométricas de ángulos notables.  Reconocer y demostrar identidades trigonométricas.  Resolver ecuaciones trigonométricas. Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 3
  • 4. La palabra trigonometría proviene del griego y significa etimológicamente medida de los triángulos (tri = triángulos; gono = ángulo; metría = medición).  Esta tiene por objeto la resolución de triángulos rectilíneos y esféricos por métodos algebraicos, y por consiguiente, con mayor aproximación que las que ofrecen las construcciones geométricas o gráficas. La dificultad de medir los arcos y ángulos y operar con ellos en los cálculos necesarios, se salva utilizando ciertas relaciones entre magnitudes rectilíneas, estas relaciones son denominadas razones trigonométricas.  El desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra en la resolución de problemas, tanto prácticos como teóricos, que involucren triángulos en la que uno de sus ángulos sea recto ( 90°). Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 4
  • 5. DEFINICIÓN 1:  Equivalencia entre el grado y el radián: es conveniente conocer la equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del ángulo en cuestión, para ello partimos del valor de la circunferencia expresada en función de ambas unidades. C = 360° 360° = 2 radián 2 1  C = 2  360 180  radián Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 5
  • 6. De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de un radián medido en grados: 180 1 radián   57,3  Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 6
  • 7. Ejemplos:  Expresa en radian o grados según corresponda: 1) 150 2)  540 3)  8 rad 7 4) 4  rad 5) 3, 6 rad 5)  6,5 rad Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 7
  • 8. EJEMPLO 1 EJEMPLO 3 360 150 180  x 2   8 x   360 x  2 150 180     x  2 150 8 360 180    x 300 8 x x 360 45  2 x 5  x  22, 5  6 x x  22, 5  Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 8
  • 9. DEFINICIÓN 2:  Dado un triangulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, donde y AC y BC son los catetos correspondientes y AB es la hipotenusa, dados estos elementos podemos obtener las siguientes relaciones entre los lados del triángulo y sus ángulos agudos; estas relaciones se denominan razones trigonométricas. Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 9
  • 10. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTANGULO  Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas  En cualquier ABC rectángulo en C, como el de la figura tenemos: c a b Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 10
  • 11. c a b Sen( )  C  tg ( )  cateto opuesto a cateto adyacente b   hipotenusa c cateto opuesto a Cos( )  Sec( )  cateto adyacente b hipotenusa c   hipotenusa c cateto adyacente b tan( )  C  Sec( )  cateto opuesto a hipotenusa c   cateto adyacente b cateto opuesto a Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 11
  • 12. Ejercicio:  Determine las razones trigonométricas para el ángulo â Sen( )  Cotg (  )  b c c b Cos( )  Sec(  )  a c c a tan( )  CoSec( )  b a a b Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 12
  • 13. Del triángulo anterior se puede mostrar que ambos ángulos son complementarios, ya que trabajamos en un triángulo rectángulo.  Se tiene que: Sen( )  Cos (  )   Sen( )  Cos (  )  a a a c c c Cos ( )  Sen(  )   Cos ( )  Sen(  )  b b b c c c tg ( )  Cotg (  )   tg ( )  Cotg (  )  a a a b b b Sec ( )  Co sec(  )   Sec ( )  Co sec(  )  c c c b b b Co sec( )  Sec (  )   Co sec( )  Sec (  )  c c c a a a Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 13
  • 14. Ejercicio 1:  Dado el siguiente triángulo rectángulo en C, demostrar las igualdades anteriores. B  6 3  A C Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 14
  • 15. EJERCICIO 2:  En el siguiente triángulo ABC, rectángulo en C, determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones es verdadera 1 B sin   2 i 3 ii  cos    8 4 2 iii  tg    3 3 2 3 iv  c  sec    A 3 C Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo 15
  • 16. Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son inversas de otras en la relación del triangulo rectángulo y sus ángulos agudos, ahora demostraremos y veremos la reciprocidad de las razones trigonométricas:  Dado el siguiente triangulo rectángulo en C se cumple siempre que: Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
  • 17. 1 1) Sen( )  C  sec( ) 1 2) Cos ( )  S ec( ) 1 3) tg ( )  C  tg ( ) Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
  • 18. Por demostrar (1)  1) El seno y la cosecante son funciones recíprocas Sen ( )  C o  Sec ( )  BC AB AB BC Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo
  • 19. Geometría Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo