O documento apresenta o Teorema de Pitágoras, incluindo sua decomposição, aplicações e extensão ao espaço em três dimensões. Explica como decompor um triângulo retângulo pela altura da hipotenusa em dois triângulos semelhantes e aplicar proporções. Demonstra também como usar o teorema para calcular lados desconhecidos e identificar ternos pitagóricos. Por fim, estende o teorema à diagonal de um paralelopipedo e cubo.

1. TEOREMADE
PITÁGORAS
MATEMÁTICA
8º ANO
GEOMETRIA
E MEDIDA
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2. GEOMETRIA E MEDIDA
ÍNDICE
 Decomposição de um
triângulo retângulo pela
altura referente à
hipotenusa
 Teorema de Pitágoras
 Recíproco do Teorema de
Pitágoras
 Teorema de Pitágoras no
espaço
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TEOREMA DE PITÁGORAS
MATEMÁTICA
8º ANO
RESUMO | Luis Carrilho

3. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Quando se divide um triângulo retângulo pela altura referente à hipotenusa, obtêm-se dois
triângulos semelhantes entre si e com o triângulo original
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A B
C
D

4. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Quando se divide um triângulo retângulo pela altura referente à hipotenusa, obtêm-se dois
triângulos semelhantes entre si e com o triângulo original
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A B
C
D

5. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Quando se divide um triângulo retângulo pela altura referente à hipotenusa, obtêm-se dois
triângulos semelhantes entre si e com o triângulo original
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A B
C
D
A
C
D B
C
D
𝑨𝑩𝑪 ~ 𝑨𝑪𝑫 ~[𝑩𝑪𝑫]

6. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Se os triângulos obtidos são semelhantes, então os lados são diretamente proporcionais e
podemos aplicar a regra de três simples (ou uma proporção) para descobrir valores em falta.
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A B
C
D
8
10
4 𝑥
𝐴𝐵 = 10
𝐴𝐶 = 8
𝐶𝐷 = 4
𝐵𝐶 = 𝑥
A
C
D B
C
D
8
44 𝑥

7. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Se os triângulos obtidos são semelhantes, então os lados são diretamente proporcionais e
podemos aplicar a regra de três simples (ou uma proporção) para descobrir valores em falta.
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A B
C
D
8
10
4 𝑥
𝐴𝐵 = 10
𝐴𝐶 = 8
𝐶𝐷 = 4
𝐵𝐶 = 𝑥
A
C
D B
C
D
8
44 𝑥
Em primeiro lugar devemos verificar quais os
lados correspondentes. Uma estratégia é
fazer 1traço no cateto menor, 2 traços no
cateto maior e 3 traços na hipotenusa de
cada triângulo.

8. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Se os triângulos obtidos são semelhantes, então os lados são diretamente proporcionais e
podemos aplicar a regra de três simples (ou uma proporção) para descobrir valores em falta.
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A B
C
D
8
10
4 𝑥
𝐴𝐵 = 10
𝐴𝐶 = 8
𝐶𝐷 = 4
𝐵𝐶 = 𝑥
A
C
D B
C
D
8
44 𝑥
Neste caso, a relação entre os lados do
triângulo maior e o triângulo médio é:
𝐵𝐶
𝐶𝐷
=
𝐴𝐶
𝐴𝐷
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶

9. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Se os triângulos obtidos são semelhantes, então os lados são diretamente proporcionais e
podemos aplicar a regra de três simples (ou uma proporção) para descobrir valores em falta.
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A B
C
D
8
10
4 𝑥
𝐴𝐵 = 10
𝐴𝐶 = 8
𝐶𝐷 = 4
𝐵𝐶 = 𝑥
A
C
D B
C
D
8
44 𝑥
Então:
𝑥
4
=
8
𝐴𝐷
=
10
8

10. Decomposiçãode um
triângulo retângulo pelaalturareferente à hipotenusa
Se os triângulos obtidos são semelhantes, então os lados são diretamente proporcionais e
podemos aplicar a regra de três simples (ou uma proporção) para descobrir valores em falta.
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A B
C
D
8
10
4 𝑥
𝐴𝐵 = 10
𝐴𝐶 = 8
𝐶𝐷 = 4
𝐵𝐶 = 𝑥
A
C
D B
C
D
8
44 𝑥
Então:
𝒙
𝟒
=
𝟏𝟎
𝟖
OU
𝑥 =
4 × 10
8
=
40
8
= 5
𝒙 ---------- 𝟒
𝟏𝟎 --------- 𝟖

11. Teorema de Pitágoras
 Relação entre os lados de um triângulo retângulo
 Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos (teorema de pitágoras)
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Cateto
Hipotenusa (lado maior e que se opõe ao ângulo reto)
Cateto
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𝒉 𝟐 = 𝒄 𝟐 + 𝒄 𝟐

12. Teorema de Pitágoras
 Descobrir o valor do comprimento da hipotenusa
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𝒉 𝟐
= 𝒄 𝟐
+ 𝒄 𝟐
4
7
𝑥
𝑥2 = 72 + 42 ⇔
⇔ 𝑥2 = 49 + 16 ⇔
⇔ 𝑥2
= 65 ⇔
⇔ 𝑥 = ± 65
Neste caso, o valor exato do comprimento da
hipotenusa é 65

13. Teorema de Pitágoras
 Descobrir o valor do comprimento de um dos catetos
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𝒉 𝟐
= 𝒄 𝟐
+ 𝒄 𝟐
4
52
𝑥
( 52)2
= 𝑥2
+ 42
⇔
⇔ 52 = 𝑥2
+ 16 ⇔
⇔ 52 − 16 = 𝑥2
⇔
⇔ 36 = 𝑥2
⇔
⇔ ± 36 = 𝑥 ⇔
⇔ 6 = 𝑥
Neste caso, o valor do comprimento do cateto
desconhecido é 6

14. Teorema de Pitágoras
 Descobrir o valor do comprimento dos catetos quando têm o
mesmo comprimento
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𝒉 𝟐
= 𝒄 𝟐
+ 𝒄 𝟐
𝑥
𝑥
6
62
= 𝑥2
+ 𝑥2
⇔
⇔ 36 = 2𝑥2 ⇔
⇔
36
2
= 𝑥2
⇔
⇔ 18 = 𝑥2
⇔
⇔ ± 18 = 𝑥
Neste caso, o valor do comprimento de cada
cateto é 18

15. Recíproco doTeorema de Pitágoras
 Terno pitagórico
 (a,b,c) diz-se um terno pitagórico se, e só se, o quadrado do maior número for igual à
soma dos quadrados dos outros dois.
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TEOREMA DE PITÁGORAS
Por exemplo:
(3,4,5) é terno pitagórico?
52
= 32
+ 42
⇔
⇔ 25 = 9 + 16 ⇔
⇔ 25 = 25

16. Recíproco doTeorema de Pitágoras
 Terno pitagórico
 (a,b,c) diz-se um terno pitagórico se, e só se, o quadrado do maior número for igual à
soma dos quadrados dos outros dois.
 Quando tal acontece, significa que é possível construir um triângulo retângulo com esses
valores, sendo o maior número a hipotenusa, e outros dois os catetos.
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Por exemplo:
(3,4,5) é terno pitagórico?
52
= 32
+ 42
⇔
⇔ 25 = 9 + 16 ⇔
⇔ 25 = 25
Verifica-se que (3,4,5) é terno pitagórico, então é possível
construir um triângulo retângulo com essas medidas
5
3
4

17. Recíproco doTeorema de Pitágoras
Quando (a,b,c) não é um terno pitagórico, isso significa que com esses valores só é possível
construir triângulos acutângulos ou obtusângulos
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Por exemplo:
Como se classifica o triângulo quanto aos ângulos
que é possível construir com lados de comprimento
3, 4 e 6?
62
= 32
+ 42
⇔
⇔ 36 = 9 + 16 ⇔
⇔ 36 = 25 (Falso, pois 36 > 25)
36 é maior que 25, então (3,4,6) não é um terno
pitagórico. Com estes valores é possível construir
um triângulo obtusângulo
 Quando o quadrado do maior número é maior
que a soma dos quadrados dos outros dois,
é possível construir um triângulo obtusângulo
com esses valores
 Quando o quadrado do maior número é
menor que a soma dos quadrados dos
outros dois, é possível construir um triângulo
acutângulo com esses valores
Por exemplo:
Como se classifica o triângulo quanto aos ângulos
que é possível construir com lados de comprimento
4, 5, e 6?
62
= 42
+ 52
⇔
⇔ 36 = 16 + 25 ⇔
⇔ 36 = 41 (Falso, pois 36 < 41)
36 é menor que 41, então (4,5,6) não é um terno
pitagórico. Com estes valores é possível construir
um triângulo acutângulo

18. Recíproco doTeorema de Pitágoras
 Síntese
Considerando (𝒂, 𝒃, 𝒄) em que 𝒂 é medida do lado maior de um triângulo, 𝒃 e 𝒄 medidas dos
outros dois lados, então:
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𝒂, 𝒃 e 𝒄 são medidas
dos lados de um
triângulo retângulo
 Se 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
 Se 𝒂 𝟐
> 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
 Se 𝒂 𝟐
< 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
𝒂, 𝒃 e 𝒄 são medidas
dos lados de um
triângulo obtusângulo
𝒂, 𝒃 e 𝒄 são medidas
dos lados de um
triângulo acutângulo
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏 𝑐
𝑎
𝑏 𝑐

19. Teorema de Pitágoras no espaço
 Diagonal espacial
 Maior comprimento do interior de um poliedro
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𝑫 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
 Num paralelopípedo  Num cubo
𝑫 𝟐
= 𝟑𝒂 𝟐
a
D
c
b
D
a

20. GEOMETRIA E MEDIDA
O QUE FOI ESTUDADO:
 Decomposição de um
triângulo retângulo pela
altura referente à
hipotenusa
 Teorema de Pitágoras
 Recíproco do Teorema de
Pitágoras
 Teorema de Pitágoras no
espaço
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