1.
© Julio Anguiano Cristóbal
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.
Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler
Ley de Newton de la gravitación universal. Bases de la Gravitación Universal. Conceptos de masa
inercial y masa gravitatoria.
Campo y potencial gravitatorios. Energía potencial gravitatoria de una masa puntual.
Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales.
Ley de Gauss para el campo gravitatorio. Aplicaciones del teorema de Gauss
Campo gravitatorio terrestre. Variación de g con la altura. Energía potencial gravitatoria terrestre
Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape.
Energía mecánica de un satélite en órbita. Velocidad de escape
Trabajo sobre un satélite: a) para situarlo en una órbita de altura h y, b) para sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre.
Problemas propuestos de Interacción Gravitatoria
Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios:
Modelo geocéntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una
esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a través de los polos Norte y Sur de la Tierra
y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrógrado del planeta Marte no
se comprendía con este modelo y fue el problema durante 2000 años. Hiparco (150 a.C.) propuso
un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (círculo que se suponía descrito por un planeta alrededor de un centro que se movía en el deferente) alrededor de una curva deferente (círculo que se suponía descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100
a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epiciclos -deferente- que se utilizó hasta el siglo XVI.
Modelo heliocéntrico: Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló un modelo más sencillo para
entender el Universo. Esto se debió a que con la obtención de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocéntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Copérnico se plantea que las dificultades tenían su origen en la teoría y propone el modelo
heliocéntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tiene como objetivo eliminar
las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Copérnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros
planetas, hace que el nuevo sistema sea prácticamente inercial y, por tanto, más sencillo en su
descripción.
En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) publicó las leyes del movimiento planetario. Kepler
analizó las observaciones astronómicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y publicó en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocéntrico pero considerando órbitas elípticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una
descripción cinemática del movimiento planetario, pero no nos informan por qué los planetas se
mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se publicó diez años después de las dos primeras.
Leyes de Kepler:
1)
Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la elipse.
2)
La línea que conecta un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3)
Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos
de los semiejes mayores de la elipse de sus órbitas.
En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relación con Kepler, verificó con ayuda de un telescopio que los satélites de Júpiter cumplían leyes análogas a las de Kepler, respecto de éste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptación definitiva del Sistema Copernicano.
Ley de Newton de la gravitación universal.Las leyes de Kepler proporcionan una descripción de cómo se mueven los planetas, pero no explican por qué se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue
capaz de encontrar una expresión que describe la fuerza a la que están sometidos los planetas en

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sus órbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de Gravitación Universal que fue
publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural".
Enunciado de la ley de gravitación universal: “la interacción gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al producto de las
masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”:
⇒ ur = r
F = −G Mm ur = −G Mm r
r
r2
r3
M
F
ur
F
m
El vector de posición tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extremo en el
centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva
y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra.
Bases de la Gravitación Universal:
1ª) Los planetas describen órbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atractiva, ya
que si fuese repulsiva la órbita no sería cerrada.
2ª) Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es
constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo
que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central.
Demostración: sea A el área barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del
tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea
constante
dr
r
A=(r·dr)/2
1
r × dr
2
dA = 1 r × dr = 1 r × v = 1 L = cte.
dt
dt
2
2
2m
dA =
Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angular sea
constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central:
dL = r × F = M
ext
dt
L = cte. ⇒ M = 0
⇒
r
Fext
La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que actúa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos.
Otro aspecto, muy importante, es determinar la relación de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determinó, realizando una serie de cálculos matemáticos basados el análisis de las órbitas elípticas, que para que las órbitas elípticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra.
Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza está asociada con la “cantidad de materia” o masa gravitatoria, en
cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determinó la constante de proporcionalidad, que se conoce
con el nombre de constante de gravitación universal y que no depende del medio.
3ª) Para comprobar la 3ª ley de Kepler, vamos a consideremos órbitas circulares, en las cuales se
ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria

3.
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2
m v = G Mm
r
r2
⇒
 v2 = G M

r




2
 v2 = 2π r2 


T
v = GM
r
2
⇒
( )
2
T 2 = 4π r 3
GM
Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria:
 F = −F21
La masa inercial se obtiene de  12
 m1a1 = −m2a 2
a
m1
=− 2
m2
a1
⇒
Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las demás.
La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso Fpeso = −mg ur y la aceleración de la gravedad
de la ley de gravitación universal g = G
MT
≈ 9,8 m , lo que nos indica que g0 es independiente de
R2
s2
T
la masa m del cuerpo que cae.
Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la
misma aceleración. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales.
Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravitatoria en la superficie de la Tierra (peso) sería igual
Fpeso = mi g = G
M T mg
2
( RT )
⇒
g =G
mg
( R T ) mi
MT
2
Si la relación entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleración g0 será
diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son indistinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria.
La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y
RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae:
Fpeso = mg = G
MT m
R2
T
⇒
MT =
g R2
T
G
Campo y potencial gravitatorios.Se llama Campo Gravitatorio a la situación física por la cual al colocar una masa en dicho
campo ésta experimenta una interacción o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravitatorio un
campo vectorial de fuerzas.
Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interacción
gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada posición dada por la
ley de gravitación universal. Es decir, que la interacción entre las masas, m y M, va a depender de
sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio podemos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M.
En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad N·kg-1=m·s-2 :
g = lim F = −G M ur
m→0 m
r2
g
M
ur g
La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud
vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la dirección y sentido hacia el centro de masas de la masa M.

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posición de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto,
la circulación del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial
y final y la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Decimos entonces que en
cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gravitatorio.
Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto
del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravitatorio o campo
gravitatorio g ⋅ dr = −dU
Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo
f
∫
∫
C = g ⋅ dr = 0
∫
C=
i
g ⋅ dr = −
f
i
G
f

M
M
M 
M 
ur ⋅ dr = −  −G  = −  −G −  −G   = − ( Uf − Ui ) = −∆U
2

i
r
rf 
ri  

r

M
La Representación gráfica un campo gravitatorio se hace mediante las líneas de fuerza. Una línea de fuerza se dibuja de tal forma que en cada punto la dirección del campo es tangente a la línea que pasa a través del punto. Por convenio, las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que su
densidad es proporcional a la intensidad del campo.
El campo gravitatorio, alrededor de una masa M, tiene las líneas de fuerza radiales y dirigidas
hacia la masa M y las superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo gravitatorio,
debido a una masa M, tienen simetría esférica.
Energía potencial gravitatoria de una masa puntual:
Si colocamos una masa, m, en un punto del espacio donde existe un campo gravitatorio, la
fuerza que experimenta es el producto del valor de la masa m, que es escalar, por el vector intensidad del campo gravitatorio en ese punto: F = mg . La fuerza tiene la dirección y sentido de la intensidad del campo gravitatorio en ese punto. Al ser el campo gravitatorio conservativo, la fuerza
gravitatoria, es una fuerza conservativa. Por lo que en cada punto de un campo vectorial de fuerzas gravitatorias, podemos definir un potencial escalar, asociado a dicha fuerza, llamado energía
potencial gravitatoria.
Deducción:
∫
=
∫
f
∫
f
Wpor =
Wpor
Wpor =
i
f
i
i
Fg ⋅ dr
f



−G Mm ur ⋅ dr = −  −G Mm  = −  −G Mm −  −G Mm   = −∆Ep(g ) = −m∆U
2

i

r 
rf
ri  
r


Fg ⋅ dr = −∆Ep(g ) = − Wsobre
La energía potencial gravitatoria Ep(g ) = −G Mm = mU , es una propiedad del sistema de
r
dos partículas y no de una de ellas. No hay forma de dividir esta energía y saber cuanto le corresponde a una partícula y cuanto a la otra. Sin embargo, si una de las masas es muy superior a la
otra (M>>m) se habla de la energía potencial de la menor m.
Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales:
Si tenemos una distribución de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el
potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Superposición: El
campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la
suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El po-

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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tencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potenciales gravitatorios debidos a cada una de las masas
n
g = g1 + g 2 + ... =
∑
i =1
n
U = U1 + U2 + ... =


 
M2
M1
g i =  −G 2 ur1  +  −G 2 ur2  + ... =

 

r1
r2

 

∑U
i =1
i
M 
M  

=  −G 1  +  −G 2  + .... =
r1  
r2 

n

∑  −G r
n
Mi
i
i =1
2

uri 


∑  −G r
i =1
Mi 

i 
La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposición, que nos dice que la fuerza total sobre una partícula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre
ella por todas las demás partículas consideradas al mismo tiempo; la energía potencial para un
sistema de partículas será la suma de las energías potenciales de cada par de partículas:
n
∑g
F = m ( g1 + g 2 + ...) = m
= mg
i
i =1
n
∑U
Ep = m ( U1 + U2 + ...) = m
i
= mU
i =1
Ley de Gauss para el campo gravitatorio.La ley del físico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (superficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie.
Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a través de
una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravitatorio por el
vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al área y cuya dirección es normal al plano
del área). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad
del campo, del valor del área de la superficie y del ángulo entre los vectores respectivos (o de las
orientaciones relativas).
g
S
+
dS
dS
-
Expresiones del flujo a través de una superficie plana, S, y a través de una superficie irregular,
que la dividimos en diferenciales de superficie dS:
Φ = g ⋅ S = g ⋅ S ⋅ cos θ
n
Φ = g1 ⋅ dS1 + ... = lim
n→∞
∑ g ⋅ dS = ∫∫ g ⋅ dS
i
i
i =1
El flujo del campo gravitatorio, a través de una superficie, nos mide la cantidad de líneas del
campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a través de una superficie Gausiana esférica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M será:
n
Φ = lim
n→∞
∑ g ⋅ dS = ∫∫ g ⋅ dS
i
i
i =1
(
)

M

Φ = g ⋅ S =  −G 2 ur  ⋅ 4πR 2ur = −4πGM

R

Demostración infinitesimal:

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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
M 
dΦ = g ⋅ dS =  −G 2 ur  ⋅ ( rdθr sen θdφ·ur ) = −GM sen θdθdφ

r

Φ=
∫∫
g ⋅ dS = −GM
∫
π
0
sen θdθ
∫
2π
0
dφ = − GM [ − cos θ]0 [φ]0 = −4πGM
π
z
2π
dr
r·d θ
r
θ
y
x
Ø
r·senθ ·dØ
Enunciado de la ley de Gauss: “El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada
es igual a Φ = −4πGM , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribución de masas cuya
suma es Mtotal.”
En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a través de ella, puede ser cero o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo número de líneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo
que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la
superficie cerrada, menos líneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay
fuentes del campo que son las masas.
Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gravitatorio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de tamaños mucho más pequeños que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaños de las masas no se
pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en un punto del campo, es más sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el
campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro
de masas.
M
R
u
r
r
dS
Esfera imaginaria de radio r
En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el
centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss
Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr 2ur = −4πGM
g = − GM ur
r2
El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia desde su centro de masas.
b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esférica, de radio R, en un punto de su interior y a
una distancia r de su centro de masas.

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M
g
R
R
r
0
lineal
r
r
1/r²
Esfera imaginaria
de radio r
Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de masas de
M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a
través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss
Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr 2ur = −4πGm
g i = −G m ur
r2
Si la esfera es homogénea su densidad permanece constante:
ρ=
4
3
M =
πR 3
4
3
m
πr3
⇒
3
m = M r3
R
3
M r3
g i = −G m ur = −G R ur = −G Mr ur
r2
r2
R3
El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia desde su centro de masas.
Si se considera la Tierra homogénea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su
centro de la Tierra. La velocidad con la que llega será calculada de la siguiente forma, si vi=0;
ri=RT; rf=0
W = ∆Ec = −∆Ep
W=
∫
f
i
mg i ⋅ dr =
W = ∆E c =
vf = G
∫
f
i
−mG
MT r
R3
T
f
1
MT 
ur ⋅ dr = −  mG 3 r 2 
R T i
2



 1 M m
1
1 M m
mv 2 − 0 = − 0 − G T3 R 2  = G T3 R 2
f
T
T
2
2
RT
RT

 2


MT m
RT
Campo gravitatorio terrestre. Satélites.El movimiento de los satélites viene regido por el campo gravitatorio terrestre. Para analizarlo, vamos a estudiar el campo gravitatorio terrestre considerando cómo varía éste con la altura,
cómo varía la energía potencial gravitatoria y posteriormente analizaremos el movimiento de los
satélites artificiales.
Campo gravitatorio terrestre; variación de g con la altura:
A mayor altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio terrestre
disminuye. Sean MT y RT la masa y el radio de la Tierra. Si aplicamos el teorema de Gauss para el
cálculo del campo gravitatorio a una distancia r>RT del centro de masas de la Tierra y exterior a
ella, es decir, r=RT+h, siendo h la distancia desde la superficie terrestre o altura:
Φ = g ⋅ S = g ⋅ 4πr2ur = −4πGMT
g = −G
MT
r
2
ur = −G
MT
( R T + h )2
ur
Energía potencial gravitatoria terrestre: La energía potencial gravitatoria de una masa, m, en el
campo gravitatorio terrestre disminuye con la altura h.

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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Wpor =
Ep(g )
∫
f
F ⋅ dr =
∫
f
−G
MT m
r2
M m
MT m
= − G T = −G
r
RT + h
i
i
f

M m
M m 
M m 

ur ⋅ dr = −  −G T  = −  −G T −  −G T   = −∆Ep(g )
r i
rf
ri  



Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape.Cuando un satélite está girando alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular está
sintiendo la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es atractiva y perpendicular al desplazamiento, por tanto, la fuerza gravitatoria no realiza trabajo sobre el satélite y éste no varía
su energía cinética.
Al no variar la energía cinética del satélite no cambia el módulo de su velocidad. Sin embargo, el satélite está sometido a una fuerza, la gravitatoria, y ha de experimentar una aceleración
que se invierte en cambiar la dirección de la velocidad.
Velocidad orbital:
Wpor = ∆Ec =
Fg = −G
a n = −G
vorb
MT m
r2
MT
∫
f
i
F ⋅ dr = 0
⇒
v = cte
⇒
at = 0 =
dv
u
dt t
ur = ma = m ( a t + a n ) = ma n = Fn = Fcentrípeta
ur = −
v2
orb
ur
r
r2
M
MT
= G T = G
r
RT + h
Existe una relación entre velocidad orbital, altura y periodo. Un satélite a una altura ha de
tener una velocidad orbital única y un periodo fijo.
vorb = ω ⋅ r = 2π ⋅ r = 2π ⋅ ( R T + h )
T
T
2π ( R T + h )
T=
v orb
Energía mecánica de un satélite en órbita: Un satélite, de masa m, girando alrededor de la Tierra, a una distancia r del centro de masas de la Tierra, es decir, a una altura h sobre la superficie
tiene una energía mecánica total que es la suma de la energía cinética y de la energía potencial
gravitatoria: Emecánica = Ecinética + Epotencial(gravitatoria)
M m
M
M m
M m
MT m
Em = 1 mv2 − G T = 1 mG T − G T = − 1 G T = − 1 G
orb
2
r
2
r
r
2
r
2 (R T + h)
La energía mecánica total es la suma de la energía cinética, que es siempre positiva, y de
la energía potencial gravitatoria, que es negativa. La energía potencial gravitatoria es el doble, en
valor absoluto, que la energía cinética por lo que la energía mecánica total del satélite en órbita es
negativa.
Newton, haciendo los cálculos necesarios, demostró:
1º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese cero, la órbita no sería una elipse (órbita cerrada) sino una parábola. Por tanto, el satélite se escaparía del campo gravitatorio terrestre. Esto ocurre cuando la energía cinética, en valor absoluto, es igual que la energía potencial gravitatoria.
2º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese mayor que cero, la órbita sería una
hipérbola. Es decir, si la energía cinética del satélite en órbita fuese mayor, en valor absoluto,
que la energía potencial gravitatoria la energía del satélite sería positiva y se escaparía del
campo gravitatorio.
Velocidad de escape:

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INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra hemos de conseguir que la
energía mecánica total sea cero. Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra
se calcula de la siguiente forma:
M m
Em = 0 = 1 mv2 − G T
esc
2
RT
v2 = 2G
esc
MT
R2
= 2g T = 2g R T
RT
RT
vescape = 2g R T
Es independiente de la masa del satélite, aunque el empuje requerido para acelerarlo, que
será el producto de la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha velocidad, y obtener
esa velocidad sí depende de la masa. En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido a
que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el sentido de giro de la Tierra, es decir, en
sentido Oeste-Este ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería menor. Y, si el lanzamiento
se hace cerca del Ecuador mayor será esa velocidad relativa.
Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la
Tierra, entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape
de la acción del campo gravitatorio terrestre sería:
MT m
Em = 0 = 1 mv2 − G
esc
2
(R T + h)
v2 = 2G
esc
MT m
= 2g
(R T + h)
vescape = 2g
R2
T
(R T + h)
R2
T
(R T + h)
Trabajo sobre un satélite:
Para colocar un satélite, en una órbita determinada, el trabajo que tienen que realizar los
motores sobre el satélite, es decir, en contra de las fuerzas del campo gravitatorio, se invierte en
incrementar su energía mecánica total:
Wneto =
∫
f
i
Fneta ⋅ dr =
f
f
f
∫i (Fg + Fmotor ) ⋅ dr =∫i Fg ⋅ dr + ∫i Fm ⋅ dr = −∆Ep(g ) + Wmotor
Wneto = ∆Ec = −∆Ep(g ) + Wmotor
(
Wmotor = ∆Ec + ∆Ep(g ) = Ec + Ep(g )
)f − ( Ec + Ep(g ) )i
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde la superficie de la Tierra para situarlo en una órbita de altura h:
(
Wmotor = Ec + Ep(g )
)f − ( Ec + Ep(g ) )i
1
MT m  
M m
MT m
M m
1
Wmotor =  mv2 − G
− −G T  = − G
+G T >0
orb
RT 
RT
2
2 (R T + h)
(R T + h)  

 
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde una órbita de altura hi para situarlo
en otra órbita superior de altura hf:
(
Wmotor = Ec + Ep(g )
)f − ( Ec + Ep(g ) )i
1
MT m   1
MT m 
2
Wmotor =  mv 2 − G
 −  mvorb − G
orb
( R T + h ) f  2
( R T + h ) i
2

 1
MT m   1
MT m 
Wmotor =  − G
 − − G

R T + h ) f  2 ( R T + h ) i
 2 (

10.
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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© Julio Anguiano Cristóbal
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en la superficie de la Tierra para
sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre:
En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la velocidad de escape
(
Wmotor = Ec + Ep(g )
)f − ( Ec + Ep(g ) )i
M m 
M m
1
1
2
2
Wmotor =  mvesc − G T  −  0 − G T  = mvesc
R T f 
R T i 2
2

M m
M m

Wmotor = ( 0 )f −  0 − G T  = G T = g ºR T m
R T i
RT

El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en una órbita a una altura h para
sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre:
En una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velocidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape
(
Wmotor = Ec + Ep(g )
)f − ( Ec + Ep(g ) )i
1
MT m   1
MT m 
1
1
2
2
2
2
Wmotor =  mvesc − G
 −  mv orb − G
 = mvesc − mvorb
2
( R T + h ) f  2
( R T + h ) i 2
2
2
1
MT m 
MT m
1
1 g ºR T m
Wmotor = ( 0 )f −  mv2 − G
=+ G
=
orb
2 (R T + h) 2 (R T + h)
( R T + h ) i
2


11.
© Julio Anguiano Cristóbal
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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Problemas de Interacción Gravitatoria.- G=6,67·10-11 Nm2kg-2; RT= 6,37·106 m; g0=9,80 ms-2.
1) Dos partículas, de masa m, están fijas en los puntos (a; 0) y (-a; 0). Calcular: a) campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función de la ordenada
del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0; b)
al pasar por el origen. [a) gy=-(2Gmy)/(a2+y2)1,5; b) v=[4Gm((a2+b2)½-a)/(a(a2+b2)½)]½]
2) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0; 0). Calcular: a) punto del eje OY en el
que habría que colocar otra masa puntual de 6 kg para que una partícula libre, de 2 kg, se encuentre en reposo en el punto (0;2) m; b) energía potencial gravitatoria de la partícula libre. [a)
(0;2+(3)½) m ; b) - 9,96·10-10 J]
3) Calcula: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad;
b) el potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6.370 km de distancia de la Tierra. [a)
2.638 km; b) U=-31,3 MJ/kg]
4) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad
de 1.000 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará; b) repetir el cálculo despreciando la
variación de g con la altura y comparar el resultado con el del apartado anterior. [a) 51.274,7 m ;
b) 51.020,4 m]
5) Calcula: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie
terrestre hasta una altura igual al radio de la Tierra; b) velocidad con que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura. [a) W=+6,26·108 J; b) 7.912 m/s]
6) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) la velocidad orbital del satélite; b) la aceleración del mismo. [a) 3.957 m/s=14.243 km/h; b) 0,61 m/s2]
7) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcula: a) la velocidad del satélite; b) el radio de la órbita. [a) 11.071 km/h; b) 42.167 km ó 36.000 km de altura]
8) Calcula la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una altura de 2.000 km sobre dicha superficie. [a) 40.286 km/h; b) 35.145 km/h]
9) Un objeto que pesa 686 N en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie de un planeta cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) peso
del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída desde una altura de 20 m sobre la superficie del planeta. [a) 1376 N; b) 1,4 s]
10) Calcula el campo gravitatorio en el interior de la Tierra. Posteriormente, determina la velocidad con la que llegaría un objeto que se deja caer desde la superficie de la Tierra, a través de un
agujero a lo largo de un diámetro, al centro de la Tierra. v2 = GMT m ( R T )
−1
11) Se desea situar un satélite artificial, de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el
plano del ecuador y con un radio igual al doble del radio terrestre. Calcule: a) la energía que hay
que comunicar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que
aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.[a) 2,40
GJ; 5,64 km/s; b) 8 GJ]
12) Se desea situar un satélite artificial, de 100 kg de masa, en una órbita circular situada en el
plano del ecuador y con un radio igual a 2,5·RT. Calcule: a) la energía que hay que comunicar al
satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite
en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. [a) 5 GJ; 5 km/s; b) 1,25
GJ]
13) Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese
punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?. b) Si cae a la Tierra, haga un análisis energético del proceso de caída. Con qué velocidad llega a la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa
velocidad de la trayectoria seguida. Razone las respuestas.
14) A una altura de 500 km giran dos satélites de masa 1000 kg, cada uno, describiendo la misma órbita circular, pero en sentido contrario, con lo que chocarán. Si la colisión es totalmente inelástica calcula: a) la energía mecánica inmediatamente después de la colisión; b) la velocidad con
la que llegan al suelo si despreciamos el rozamiento con la atmósfera terrestre. Datos: g0=9,8 m·s2; R =6,37·106 m. [a) -1,16·1011J; b) 3014 m/s]
T

12.
© Julio Anguiano Cristóbal
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
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15) Un satélite, de 1000 kg, está girando alrededor de la Tierra en una órbita circular a una altura
de 350 km. a) ¿Cuál es la energía mecánica del satélite?. b) ¿Cuál es la energía que se ha gastado
para colocarlo en dicha órbita?. Datos: G=6,67·10-11N·m2·kg-2; g0=9,8 m·s-2; RT=6370 km. [a) 2,96·1010J; b) 3,28·1010J]
16) Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se deja caer libremente. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la velocidad del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre. b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo
lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?.
Datos: G, RT y MT.

13.
© Julio Anguiano Cristóbal
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Interacción electrostática. Ley de Coulomb
Campo y Potencial electrostáticos. Líneas del campo y superficies equipotenciales.
Energía potencial electrostática. Ley de Gauss para el campo electrostático.
Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos. Polarización.
Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica
Condensadores. Energía almacenada en un condensador cargado. Asociación de condensadores:
serie y paralelo
Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático.
Campo magnético: origen y efectos
Origen del campo magnético. Campo magnético producido por una carga eléctrica.
Efectos del campo magnético. Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo.
Efectos del campo magnético sobre una espira rectangular.
Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento. Ejemplos de movimiento de partículas
cargadas en un campo magnético. Dipolos magnéticos
Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento
relativo
Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica
Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movimiento
Ley de Ampère. Aplicaciones de la ley de Ampère
Comparación entre los campos electrostáticos y magnético estacionario
Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère
Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday. Ley de Faraday-Henry de la inducción electromagnética
Enunciado de la ley de Lenz. Autoinducción e inducción mutua. Transformadores
Autoinducción. Energía almacenada en una bobina
Inducción mutua. El Transformador. Detectores de metales
Problemas propuestos de electromagnetismo
Interacción electrostática. Ley de Coulomb.son:
El origen de la interacción eléctrica son las cargas eléctricas. Los aspectos más importantes
1)
Existen dos tipos de interacción, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de
cargas eléctricas, positivas y negativas.
2)
La interacción atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interacción repulsiva entre las cargas del mismo tipo.
3)
Las cargas eléctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantificación de
la carga eléctrica, se ha observado en la naturaleza, que son múltiplos de la carga elemental
que es la carga del electrón, de valor -1,6·10-19 C. La conservación de la carga es un principio a considerar, ya que la carga eléctrica se puede mover a través de un objeto, pasar de un
objeto a otro pero no se destruye.
Charles Augusto Coulomb (1736-1806) realizó una serie de experimentos para determinar la
interacción entre dos cargas puntuales y llegó a la siguiente expresión, conocida como ley de
Coulomb: “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo o en movimiento relativo muy lento, es directamente proporcional al producto del valor de sus cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y su dirección es a lo largo de la línea
que une las dos cargas. La interacción depende siempre del medio”.
Fe = K e
Qq
r
2
ur = K e
Qq
r
3
r
u =
 r


K e =


r
r
1 = 1
4πε 4πε εr
1
, siendo
4πε
ε = ε εr un parámetro (llamado permitividad) que depende de las propiedades eléctricas del medio,
su valor es igual al producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio.
Las propiedades eléctricas del medio que se expresan por la constante K e =

14.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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© Julio Anguiano Cristóbal
Campo y Potencial electrostáticos.-
Concepto de campo electrostático creado por una carga puntual Q: Existe un campo electrostático en una región del espacio si al colocar una carga eléctrica ésta experimenta una fuerza eléctrica. La intensidad del campo electrostático creado por la carga puntual Q, en reposo, en un
punto del espacio es una magnitud vectorial definida
E = lim
q →0
F
Q
= K e 2 ur
q
r
La intensidad del campo electrostático creado por una carga Q, en un punto del espacio, depende del vector de posición de dicho punto. Por tanto, el campo electrostático es un campo conservativo ya que la Circulación del campo electrostático no depende de la trayectoria elegida sino
de los puntos inicial y final. Es decir, la Circulación del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Y decimos que en cada punto del campo electrostático podemos definir
un potencial electrostático.
f

Q
Q
Q

u ⋅ dr =  −K e  = −  K e − K e  = −∆Ve
2 r
r i
rf
ri 
i
i
r


E ⋅ dr = −dVe
f

C = E ⋅ dr = −∆Ve ⇒ 
i
C = E ⋅ dr = 0

C=
∫
f
E ⋅ dr =
∫
f
Ke
Q
∫
∫
Concepto de potencial electrostático debido a una carga puntual Q: V = K e
Q
r
Líneas del campo y superficies equipotenciales:
+
-
Energía potencial electrostática:
Si colocamos una carga eléctrica, q, en un punto del espacio, en el que existe un campo
electrostático, experimenta una fuerza eléctrica que viene dada por Fe = qE . Al ser el campo eléctrico conservativo, la fuerza eléctrica también es conservativa.
Por tanto, podemos definir en cada punto del campo eléctrico en el que coloquemos una carga q una magnitud escalar llamada energía potencial del campo electrostático asociada a la carga.
Si el campo electrostático está creado por una carga Q:
Wpor =
Wpor =
∫
f
∫
f
i
i
Ep(e) = K e
Ke
Qq
r2
f
Qq 
Qq 
 Qq

ur ⋅ dr =  −K e
= − K e
− Ke
= −∆Ep(e)
r i
rf
ri 




Fe ⋅ dr = −∆Ep(e)
Fe ⋅ dr = −dEp( e )

⇒
C = Fe ⋅ dr = 0

∫
Qq
r
La variación de energía potencial electrostática al cambiar de posición la carga q es igual al
producto del valor de la carga q por la variación del potencial electrostático entre esos dos puntos:
Wpor = −∆Ep(e) = −q∆Ve
Campo y potencial electrostáticos de una distribución de cargas puntuales: Si tenemos una
distribución de cargas puntuales (Q1, Q2, Q3, ..., Qn), para calcular el campo eléctrico en un punto
del espacio aplicamos el Principio de Superposición:

15.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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© Julio Anguiano Cristóbal
“El campo electrostático, producido por un conjunto discreto de cargas puntuales, en un punto
del campo, es la suma vectorial de los campos electrostáticos debidos a cada una de las cargas
E = E1 + E2 + ... = K e
Q1
2
r1
Q2
ur1 + K e
2
r2
n
ur2 + ... =
∑K
i =1
e
Qi
ri2
uri
Y, el potencial electrostático en el mismo punto es la suma de los potenciales debidos a cada una
de las cargas
Ve = V1 + V2 + ... = K e
Q
Q1
+ K e 2 + ... =
r1
r2
n
∑K
i =1
e
Qi
ri
Ley de Gauss para el campo electrostático: La ley de Gauss para el campo electrostático relaciona los campos electrostáticos, en la superficie Gausiana que es una hipotética superficie cerrada, y las cargas encerradas por dicha superficie. Por otra parte, la ley de Gauss relaciona el flujo
total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) con la carga
neta, qneta, que está dentro de dicha superficie.
El enunciado de la ley de Gauss nos dice: “El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) es igual a la carga neta, qneta, que está en el interior de dicha
q
superficie dividido por la permitividad del vacío Φ = neta .”
ε
El flujo total de las líneas del campo eléctrico, a través de una superficie Gaussiana, nos
mide la cantidad de líneas del campo que pasan a través de dicha esa superficie. El flujo puede
ser cero, positivo o negativo.
x
Si el flujo es cero, quiere decir que entran en la superficie Gaussiana el mismo número de
líneas del campo que salen. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es cero (o no
hay cargas o la suma de las positivas y negativas es cero).
x
Si el flujo es positivo, o mayor que cero, quiere decir que salen de la superficie Gausiana
más líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es mayor que cero o positiva.
x
Si el flujo es negativo, quiere decir que salen menos líneas del campo que entran. Es decir,
que en el interior de la superficie Gaussiana la qneta es menor que cero o negativa.
Determinación del flujo total a través de una superficie Gausiana:
n
Φ = lim
n→∞
∑ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS
i
i
i =1
z
dr
r·d θ
θ
r
y
x
Ø
r·senθ ·dØ
 Q

Q
dΦ = E ⋅ dS = 
u ⋅ rdθr sen θdφ·ur ) =
sen θdθdφ
 4πε r2 r  (

4πε


2π
π
Q
Q
Q
Q
2
π
sen θdθ
dφ =
4π =
Φ=
[ − cos θ]0 [φ]0π =
ε
4πε 0
4πε
4πε
0
∫
∫
Ejemplos de aplicación de la ley de Gauss:
a) Calcula el campo electrostático producido por la superficie de un conductor metálico plano cargado positivamente y uniformemente por toda la superficie, con una determinada densidad superficial de carga, σ = q , que es la relación entre exceso de la carga total sobre la superficie y la suS
perficie del plano. Consideramos, como superficie Gausiana, un cilindro de bases superficiales, S,

16.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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cuyo punto medio está en la superficie plana del conductor, y el flujo total por las dos bases (superficies) del cilindro será
+
+
S
S
+
S
+
Φ total = E ⋅ S + E ⋅ S = 2 E S =
q superficie σ S
=
ε
ε
E = σ
2ε
El campo es independiente de la distancia al plano y es por tanto uniforme.
b) Calcula el campo eléctrico producido por dos superficies planas, iguales y paralelas, que están
uniformemente cargadas, una positivamente y la otra negativamente: en la zona comprendida entre las dos
σ =Q/S
V1
V2
E>0
E=0
σ
S
S
+Q
E=0
-Q
1
2
d
consideramos la superficie Gausiana en forma de cilindro, de bases S, en la zona entre los dos
planos paralelos en la que los campos electrostáticos (el de la positiva y el de la negativa) tienen la
misma dirección y sentido, luego el flujo a través de la zona media del cilindro será la suma de
flujo de la positiva y de la negativa:
Φ total = E + S + E − S = 2 E S =
q1 q 2 σ S σ S 2σ S
+
=
+
=
ε
ε
ε
ε
ε
E = σ
ε
La dirección del campo E va desde placa positiva a la negativa.
E ⋅ dr = −dV
E ⋅ d = −∆V = − ( V− − V+ ) = V+ − V−
c) Campo electrostático debido a una distribución de carga esférica, Q, de radio a:
- Para un punto exterior (r>a): Φ total = E ⋅ S = E ⋅ 4πr2ur =
Q
ε
⇒
E=
Q
4πε r2
ur
- Para un punto interior (r<a) hay dos casos:
1º.- Si toda la carga está en la superficie de la esfera cargada entonces el flujo a través de una superficie imaginaria es cero, ya que no hay cargas en el interior, y el campo será cero en el interior
de la esfera Φ=0, luego E=0.
2º.- Si la esfera está uniformemente cargada, en el interior y en el exterior:

17.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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ρ=
Q
4
3
πa 3
=
q
4
3
πr3
⇒
q=Q
Φ total = E ⋅ S = E ⋅ 4πr2ur =
q
ε
r3
a3
q

E = 4πε r2 ur

⇒
3
Q r3
Qr

a
ur =
ur
E =
4πε r2
4πε a 3

E
a
r
r
a
r
Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos.Conductores: Se llaman conductores a aquellos materiales que contienen partículas cargadas y
se pueden mover libremente a través de ellos o en su interior. Son ejemplo de conductores los metales, las disoluciones electrolíticas (con iones) y los gases ionizados. En la presencia de un campo
eléctrico las partículas cargadas, y que se pueden mover libremente, lo hacen de tal forma que las
partículas cargadas positivamente van en el mismo sentido de las líneas del campo y las cargadas
negativamente lo hacen en sentido contrario de las líneas del campo.
En el caso de un conductor metálico las únicas partículas cargadas que se pueden mover libremente son los electrones.
+
+
- E=0 +
+
++
En presencia de un campo eléctrico, los electrones se acumulan sobre la superficie del conductor, hasta que el campo eléctrico que ellas producen dentro del conductor, cancela completamente
el campo eléctrico externo en el interior del conductor. Por tanto, en un conductor situado dentro
de un campo eléctrico y el cual está en equilibrio electrostático, es decir, sin movimiento de cargas
el campo eléctrico dentro es cero. Y el campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio
es normal a la superficie.
Dieléctricos: Los dieléctricos son materiales que no son conductores de la electricidad por no tener electrones que se puedan mover libremente a través de ellos ni dejar que estos pasen por su
interior. Son ejemplos de estos materiales la goma, el caucho, los plásticos y en general todos los
compuestos cuyos átomos estén unidos por enlaces covalentes, es decir, en los que los átomos
que están unidos están compartiendo los electrones exclusivamente entre ellos.
Polarización: Los dieléctricos, al estar constituidos por electrones, pertenecientes a los átomos,
se alteran ante la presencia de un campo eléctrico.
E
-
+
p=q·d
Así, en los átomos aislados el centro de masas de los electrones (la carga negativa) coincide
con el centro de masas de las positivas que es el centro del núcleo. Ahora bien, si colocamos unos
átomos dentro de un campo eléctrico, el movimiento de los electrones se verá perturbado desplazando el centro de masas de los electrones (la carga negativa) hacia el origen del campo eléctrico y
el centro de masas de las cargas positivas en el sentido del campo. Éste fenómeno se llama polarización y se mide con la magnitud física, de carácter vectorial, llamada momento dipolar.

18.
© Julio Anguiano Cristóbal
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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El momento dipolar es el producto de la magnitud de la carga desplazada por el desplazamiento, siendo el sentido del vector de la carga negativa a la positiva p = q ⋅ d . Las moléculas
también pueden adquirir un momento dipolar eléctrico inducido por un campo eléctrico externo.
O
-
p
H
+
+
H
p
p
total
Al no coincidir el centro de masas de las cargas positivas y de las negativas se les llama dipolos.
Por lo que si un dieléctrico se coloca en el interior de un campo eléctrico sus átomos o moléculas
llegarán a ser dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléctrico externo aplicado.
Muchas moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente y se llaman polares, así el
HCl tiene un momento dipolar de 3,43·10-30 C·m. En ausencia de un campo eléctrico externo, las
moléculas polares están orientadas al azar y no se observa momento dipolar en el conjunto. Sin
embargo, si se aplica un campo eléctrico los dipolos tienden a orientarse de tal forma que el polo
negativo se orienta hacia el origen del campo y el positivo en su mismo sentido.
Por tanto, un material dieléctrico en la presencia de un campo eléctrico se polariza. Y se define la polarización del material como el momento dipolar del medio por unidad de volumen. Si p
es el módulo del momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y hay n átomos o moléculas
por unidad de volumen, la polarización P será:
C 
 moléculas
P = n⋅p 
⋅ Cm ≡ 2 
3
m
m 

σ = P ⋅ un
La componente de la polarización de un dieléctrico en la dirección de la normal a la superficie del
cuerpo es igual a la carga por unidad de área sobre la superficie del cuerpo polarizado. Luego la polarización coincide con la densidad superficial de carga inducida por la polarización.
En general, el vector polarización de un dieléctrico depende de tres factores: a) del campo
eléctrico aplicado; b) del tipo de material de que esté constituido el dieléctrico especificado por la
susceptibilidad eléctrica; c) del medio físico en el que se encuentre, especificado por la permitividad. Siendo P = ε χe E .
Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica:
Si colocamos un dieléctrico dentro de un campo eléctrico producido por dos placas metálicas uniformemente cargadas, dentro del dieléctrico se crea una polarización con una carga superficial
que contrarresta al campo eléctrico externo:
E
+Q
libres
+
+
+
- εr
+
cargas
σp
σ
libre
-Q
-
+
+
+
σp
polarización
−σlibre
d
-P
σ neta = σ
libre
∆ V=E·d
Por la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico entre las placas metálicas será:
- sin el dieléctrico: Φ t = 2E S =
2Qlibre 2σlibre S
=
ε
ε
- con el dieléctrico σneta = σlibre + σpolarización
⇒
E =
σlibre
ε
izquierda: σneta = σlibre − P
⇒
derecha: σneta = −σlibre + P

19.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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© Julio Anguiano Cristóbal
E=
σneta σlibre − P
=
ε
ε
σlibre = P + ε E = ε χe E + ε E = ε ( χe + 1) E = ε εr E = εE = D
E=
σlibre σlibre
=
ε
ε εr
La magnitud D, llamada desplazamiento eléctrico, depende solamente de las cargas libres
que crean el campo. Su dirección y sentido es el mismo que el del campo eléctrico E.
El desplazamiento eléctrico D, al depender sólo de las cargas libres es más operativo, ya que
no hay forma directa de controlar la carga de polarización. Así, el desplazamiento eléctrico con dieléctrico y el desplazamiento eléctrico sin dieléctrico son iguales D=D0, pero el campo eléctrico depende del dieléctrico:
D = D = σlibre
ε E = ε ε r E = εE
E = εr E
E >E
El campo eléctrico depende de la constante dieléctrica εr , que varía desde 1 (para el vacío)
hasta 310 (titanato de estroncio), siendo para el agua a 25ºC igual a 78,5.
La diferencia de potencial entre dos puntos del campo también varía con el medio:
( V+ − V− ) = E ⋅ d = ε r E ⋅ d


( V+ − V− ) = E ⋅ d

⇒
( V+ − V− )
= εr ( V+ − V− )
⇒
εr =
( V+ − V− )
( V+ − V− )
>1
Condensadores.-
Concepto de capacidad de un conductor: “Se define la capacidad de un conductor como la
relación entre su carga y el potencial C=Q/V siendo la unidad 1 faradio (1 F=1C/1V)”.
Consideremos una esfera conductora, de radio R, que contiene una carga Qlibre y rodeada del
vacío, en primer lugar, y de un dieléctrico εr, posteriormente. La relación entre la carga Qlibre y el
potencial eléctrico, en cada caso, en la superficie de la esfera conductora es constante e independiente de la carga Qlibre.
Qlibre 

C = V 




Qlibre 
V =


4πε R 

⇒
C = 4πε R;
Qlibre 

C = V





V = Qlibre 

4πε εr R 


⇒
C = 4πε ε r R = 4πεR
El razonamiento anterior es válido para todos los conductores cargados de distinta geometría.
Concepto de condensador: Un condensador, o capacitor, está constituido por dos conductores
aislados entre sí. Cuando un condensador se carga sus platos o conductores tienen igual carga
pero opuesta. Cuando un conductor no está aislado su capacidad se afecta por la presencia de
otros conductores que modifican su potencial.
Sea el condensador formado por dos conductores planos paralelos cargados con +Q y con Q. La capacidad del sistema que se llama capacitor o condensador depende de si hay entre los
conductores un dieléctrico:
C =
Qlibre σlibre ⋅ S
S
=
=ε
∆V
E ⋅d
d
Qlibre σlibre ⋅ S
S
=
= ε εr = ε C
∆V
E⋅d
d
C>C
C=
Por tanto, si se introduce un dieléctrico en un condensador observamos que: a) disminuye el
campo eléctrico en su interior (E<E0); b) disminuye la diferencia de potencial entre las placas
(V<V0), y c) aumenta la capacidad del condensador (C>C0).

20.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Energía almacenada en un condensador cargado: Cargar un conductor requiere gastar energía
debido a que hay que vencer la repulsión entre las cargas y, por tanto, hay que hacer un trabajo
sobre el sistema. Éste trabajo se manifiesta en el incremento de la energía potencial del conductor. Supongamos que, en un instante dado, una carga q’ se ha transferido desde un plato a otro.
La diferencia de potencial V’ entre los platos en ese instante será q’/C. Si un incremento extra de
carga dq’ se transfiere entonces el incremento de trabajo necesario será
Wsobre = ∆Ep(e)


q'
dW = V ' dq ' = dq '
C

⇒
Wsobre =
∫
Q
0
q'
Q2 1
dq ' = 1
= CV 2 = 1 QV
C
2 C
2
2
Densidad de energía: es la energía potencial por unidad de volumen entre los platos del condensador. Si consideramos un condensador de platos planos y paralelos de superficie S y siendo d la
distancia entre los platos:
U=
Ep(e)
S⋅d
=
1 CV 2
2
S⋅d
=
1
2
ε εr
S
d
V2
S⋅d
=
1
V2 1
ε ε r 2 = ε ε r E2
2
2
d
Asociación de condensadores: serie y paralelo.- Los condensadores en un circuito se pueden
combinar de distintas formas, las más sencillas son en serie y en paralelo. Ahora vamos a calcular
el condensador equivalente a una combinación determinada, es decir, la capacidad de un único
condensador que tenga la misma capacidad que la combinación dada de condensadores.
Serie: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en serie a una
batería, que mantiene una diferencia de potencial V que cruza los terminales de la combinación
en serie. Esto produce las diferencias de potenciales V1 y V2 en los condensadores C1 y C2. Al estar
en serie la carga de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la diferencia de
potencial entre los extremos de cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos
ha de tener la misma carga de cualquiera de ellos y la diferencia de potencial entre sus extremos
ha de ser igual a la suma de las diferencias de potencial de cada uno
∆Vtotal = ∆V1 + ∆V2
Qtotal
Q
Q
Q
=
+
=
Ctotal C1 C2 Ceq
1 + 1 = 1
C1 C2 Ceq
Paralelo: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en paralelo
a una batería. Los terminales de la batería están conectados a los platos de los dos condensadores. Como la batería mantiene una diferencia de potencial V entre los terminales, aplica la misma
diferencia de potencial V a cada condensador. Al estar en paralelo la diferencia de potencial entre
los extremos de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la carga sobre cada
uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de los dos
y la diferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la de cada uno.
Qtotal = Q1 + Q2
Ceq ∆V = C1∆V + C2 ∆V
Ceq = C1 + C2
Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático.-
Característica de la fuerza
Gravitatoria
Electrostática
Fuentes de la fuerza
La masa
Las cargas eléctricas (+ y -)
Tipo de fuerza
Central, conservativa y atractiva
Central, conservativa y atractiva y repulsiva
Relación entre fuerzafuentes
Directamente proporcional al producto de las Directamente proporcional al producto de las
masas
cargas
Relación entre fuerzadistancia
Inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia
Inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia

21.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Intensidad de la fuerza
G=6,67·10-11 Nm2kg-2
Kvacío=9·109 Nm2C-2
Influencia del medio en la
fuerza
No influye
Inversamente proporcional a la constante dieléctrica
Campo magnético: origen y efectos.-
La palabra magnetismo procede de una ciudad de Asia Menor llamada Magnesia donde se
observaron, por primera vez, los fenómenos magnéticos. Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, tales como el imán o magnetita (Fe3O4), tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro.
La propiedad se manifiesta, en su estado natural, por el hierro, cobalto, manganeso y por
muchos compuestos de estos metales. Esta propiedad no está relacionada con la fuerza gravitatoria ya que no la presentan todos los cuerpos y parece estar concentrada en determinados lugares
del mineral. Tampoco está relacionada con la interacción electrostática, ya que no son atraídos,
por estos minerales ni trozos de corcho ni de papel.
Las regiones del cuerpo donde el magnetismo parece estar concentrado son llamadas polos
magnéticos. Un cuerpo magnetizado se llama un imán. La Tierra es un enorme imán. Por ejemplo,
se observa que si una varilla imanada se deja girar libremente, en algún lugar de la superficie de
la Tierra, siempre se orienta y de la misma forma hacia los polos geográficos, llamados Norte y
Sur. Éste experimento también sugiere que hay dos tipos de polos magnéticos, que se designan
con las letras N y S.
Si dos varillas imanadas se ponen cerca, los polos de igual nombre se repelen hasta enfrentarse los de distinto nombre. De tal forma que: “La interacción entre polos magnéticos iguales
es repulsiva y entre polos magnéticos distintos es atractiva”.
Podríamos medir la intensidad de un polo magnético definiendo una masa magnética o una
carga magnética, e investigando la dependencia de la interacción magnética con la distancia entre
los polos. Sin embargo los físicos desconocían la naturaleza del magnetismo.
Por otra parte, una dificultad fundamental apareció cuando se quisieron hacer las medidas
de intensidad, y es que experimentalmente ha sido imposible aislar un polo magnético o aislar un
tipo de partícula que tenga un sólo tipo de magnetismo (N ó S), como sí ha ocurrido con las cargas
eléctricas.
Origen del campo magnético:
Los hechos experimentales que demostraban la conexión entre la electricidad y el magnetismo (electromagnetismo) son:
1)
En 1820, el danés C. Oersted descubrió que una corriente eléctrica, al pasar por un hilo
conductor, producía un campo magnético a su alrededor. De tal forma que al pasar la corriente eléctrica por el hilo que tiene cerca unos imanes perpendiculares al hilo los orienta
dependiendo del sentido de la intensidad de corriente. Sin embargo, Oersted no determinó
ninguna ley cuantitativa del descubrimiento ni dio una explicación correcta del fenómeno.
Pero las noticias de su descubrimiento llegaron a Francia donde Biort y Savart interpretaron
éste fenómeno.
2)
En el mismo año, de 1820, y a las pocas semanas de que Oersted publicara su descubrimiento, Andre Marie Ampère (1775-1836) presentó los resultados de una serie de experimentos en los que se ponía de manifiesto la interacción magnética entre hilos conductores
por los que pasan distintas corrientes eléctricas.
La experiencia, ha demostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento relativo a un observador. Por esta razón, las interacciones eléctricas y magnéticas se deben considerar siempre bajo el nombre más general de interacción electromagnética.
Podemos decir que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas o las cargas
eléctricas en movimiento relativo.
Como veremos a lo largo del tema, las interacciones eléctricas y magnéticas están muy relacionadas, siendo sólo dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, sus cargas
eléctricas.
Consideremos dos circuitos eléctricos, 1 y 2, con intensidades I1 y I2, siendo F12 y F21 las
fuerzas respectivas de uno sobre otro. La F12 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 1 debido
al 2. La F21 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 2 debido al 1:

22.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Circuito 1
I2
F
21
dl2
r 21
dl 1
I1
F12
Circuito 2
r
r1
2
O
La ecuación obtenida nos expresa la fuerza que un circuito, denominados 1 y 2, ejerce sobre
otro por los que están pasando intensidades de corriente eléctrica I1 y I2, respectivamente. Siendo
F21 la fuerza que ejerce sobre el circuito 2 el circuito 1 y F12 la fuerza que ejerce sobre el circuito 1
el circuito 2:
F12 = −F21
Km =
La constante µ = 4π10−7
N
A2

F12 = K mI1I2

⇒

F21 = K m I2I1


µ
= 10−7
4π
∫ dl × ∫
1
1
∫
2
dl2 ×
dl2 × r12
r12
2
∫
3
dl1 × r21
r21
1
3
N
A2
se le llama permeabilidad magnética del vacío.
La ecuación de interacción entre corrientes, obtenida por Ampère, es análoga a la de la ley
de Coulomb de la interacción electrostática. La explicación de los hechos experimentales anteriores se debió a Biot y Savart que dijeron:
1)
Una corriente eléctrica al pasar por un circuito crea en el espacio que lo rodea un campo
magnético de la misma forma que un imán.
2)
Un campo magnético interacciona con una corriente eléctrica.
El valor del campo magnético lo dedujeron de las ecuaciones obtenidas por Ampère sobre
las fuerzas entre corrientes. Por tanto, de las ecuaciones anteriores, se pueden separar los términos correspondientes al circuito 1 y al circuito 2:

F12 = I1



F21 = I2


∫ dl × K I ∫
1
∫
2
1
m 2
dl2 × K m I1
dl2 × r12
2
∫
r12
3
dl1 × r21
1
r21
3
=I1
∫ dl × B
= I2
1
1
∫
2
12
dl2 × B21
Siendo B21 el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 1 en el circuito 2, y B12 el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 2 en el circuito
1.
Por tanto, el campo magnético, en un punto, producido por una espira por la que pasa una
intensidad de corriente, viene dado por la ley de Biot y Savart:

23.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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
B12 = K mI2



B21 = K m I1


∫
∫
dl2 × r12
2
3
r12
dl1 × r21
1
r21
3
⇒
⇒
dB12 =
dB21 =
dl × r
µ
I2 2 312
4π
r12
dl × r
µ
I1 1 321
4π
r21
Algunos campos magnéticos: en la superficie de la Tierra es de 10-4 T, en el espacio interestelar es de 10-2 T, un electroimán 1,5 T y en la superficie de una estrella de neutrones 108 T.
Campo magnético producido por una carga eléctrica:
El campo magnético producido por una carga eléctrica q, que se mueve respecto de un
punto O, con una velocidad v, viene dado por:
B=
µ
v × ur
v×r µ
q 3 =
q
2
4π
4π
r
r
Es decir, una carga eléctrica en movimiento relativo al observador produce un campo
magnético añadido a su campo eléctrico.
La unidad de campo magnético B se denomina tesla (T), en honor de Nikola Tesla: 1T=1
N/(1A·1m). Un tesla corresponde al campo magnético que produce una fuerza de un newton sobre
una carga de un culombio moviéndose a una velocidad perpendicular al campo de un metro por
segundo.
E
Campos E y B
r
q+
v
B
En un punto determinado, el vector campo magnético es perpendicular al vector velocidad
de la carga y al vector posición del punto respecto de la carga.
Para cargas que se mueven con una velocidad muy inferior a la velocidad de la luz (v<<c):
E=
B=
q
4πε r2
ur
µ
v × ur
q
q
q
=µ v×
ur = µ ε v ×
ur = µ ε v × E
4π
r2
4πr2
4πε r2
Por tanto, aunque una carga en reposo produce sólo un campo eléctrico, “una carga en
movimiento relativo al observador, produce un campo eléctrico y un campo magnético”. Estando los dos campos relacionados por la ecuación anterior.
Los campos eléctricos y magnéticos son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, la carga eléctrica. Es más apropiado usar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento.
Otra propiedad interesante es la siguiente: “dos observadores en movimiento relativo miden
diferentes velocidades de la carga eléctrica en movimiento y por tanto también miden diferentes
campos magnéticos”.
En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo de la
carga y del observador.
Efectos del campo magnético:
Los efectos del campo magnético son las fuerzas magnéticas.
Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo conductor debido a un campo magnético producido por otro hilo conductor:

24.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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∫
F = I dl × B
 m

dFm = Idl × B

dB =
µ
dl × u
I1 1 2 r
4π
r
I1
I
B
dl
B
dF=I·dl·B
B
Los efectos del campo magnético sobre una espira rectangular son los siguientes:
Analizamos el dibujo con la espira rectangular cuyo plano no está colocado perpendicularmente al campo magnético B
1)
Sobre cada lado del rectángulo aparece una fuerza magnética de valor dFm = Idl × B
2)
Sobre los lados superior e inferior, las fuerzas son iguales pero de sentido contrario.
3)
Sobre los lados izquierdo y derecho, las fuerzas también son iguales, pero si la espira está
girada, formando un ángulo, respecto al campo magnético B, aparece un par de fuerzas.
4)
El par de fuerzas, aplicado sobre la espira, genera un momento sobre la espira cuyo efecto
es girar la espira hasta que esté perpendicular al campo magnético B. Lo que haría es que el
vector superficie de la espira estuviese paralelo al campo magnético B hasta que el momento
del par de fuerzas sea cero.
F
F
F
I
B
B
I
B
B
S
B
F
I
espira rectangular
I
S
B
F
θ
Norte
Sur
Galvanómetro
F
espira vista desde arriba
El momento del par de fuerzas es:
(
)
M = I r × ( dl × B ) = IS × B = m × B
∫
dM = r × dF = r × Idl × B
Siendo S la superficie de la espira y m el momento magnético de la espira. El par de fuerzas
tiende a orientar el momento magnético de la espira m paralelamente al campo magnético B.

25.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento:
“La fuerza ejercida por un campo magnético B, sobre una carga eléctrica, en movimiento,
es proporcional a la carga eléctrica y a la componente de la velocidad de la carga en una dirección
perpendicular a la dirección del campo magnético”.
Fm = qv × B
La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano que forman los vectores velocidad y campo magnético. Si la velocidad es paralela a la dirección del campo magnético la fuerza
magnética es cero.
Consideremos que la partícula se mueve en una región donde existen los campos eléctrico y magnético la fuerza total, denominada fuerza de Lorentz, será:
(
Ft = Fe + Fm = qE + qv × B = q E + v × B
)
Conclusiones:
1)
La fuerza magnética siempre es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo físico
sobre la carga q: Fm ⊥ v
⇒
∫
W=
2
1
Fm ⋅ dr =
∫
2
1
Fm ⋅ vdt = 0 = ∆Ec .
2)
Como no se aplica trabajo sobre la carga, no varía su energía cinética, y no se altera el módulo de su velocidad.
3)
La fuerza magnética está definida para cada punto del espacio, por donde pasa la carga, y el
efecto físico sobre ella será que le produce una aceleración centrípeta y no tangencial:

dv

v2


= 0 ⇒ a t = 0  ⇒ Fm = ma = m ( a n + a t ) = ma n = m
un
∆Ec = 0 ⇒ v = cte ⇒
dt
R




4)
El resultado sobre la carga es que ésta va a describir una trayectoria curvilínea sin cambiar
el módulo de su velocidad.
Ahora bien, si la partícula cargada se estuviera moviendo perpendicularmente a un
campo magnético uniforme, es decir, con la misma intensidad y dirección en todos los puntos,
entonces la fuerza es perpendicular a la velocidad y su efecto es cambiar la dirección de la velocidad sin cambiar su magnitud y el resultado es un movimiento circular uniforme.
Fm = qv × B = −qB × v 



⇒
Fm = ma n = m ( ω × v ) 





−qB × v = m ( ω × v ) 

⇒
−qB = mω



ω=−
q
B
m

v ⊥ B


v2
 Fm = q v B = m R

R = mv
qB


hacia dentro
q positiva
······
.
hacia nosotros
q negativa
········
B está dirigido hacia arriba
Éste fenómeno, viendo la dirección de giro de la carga al entrar en un campo magnético,
tiene aplicación para determinar si una partícula está cargada positiva o negativamente.
Si la partícula cargada se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendicular al
campo magnético, podemos separar la velocidad en dos componentes paralelo y perpendicular al
campo. La componente paralela permanece constante y la componente perpendicular cambia continuamente en la dirección pero no en magnitud.

26.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético:
Espectrómetro de masas (espectrógrafo de masas):
Se utiliza para separar iones por su masa distinta, como pueden ser los isótopos de un elemento químico. Se aceleran los iones haciéndolos pasar por unas rendijas metálicas, una positiva
y otra negativa, que tienen una diferencia de potencial, lo que contribuye a la variación de su
energía cinética. Posteriormente, los iones se encuentran un campo magnético uniforme, que es
perpendicular a su trayectoria, lo que hace que describan una semicircunferencia, en un sentido
o en otro dependiendo de la carga, hasta chocar con una placa fotográfica.
Al pasar las placas metálicas el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual al incremento de la energía cinética de los iones:
Wpor = ∆Ec =
1
mv2 = q∆V
2
⇒
v=
2q∆V
m
Al entrar en el campo magnético la fuerza magnética es igual a la fuerza centrípeta, ya que
los iones giran describiendo una circunferencia:
v⊥B
2
Fm = q v B = m v
R
q
2q∆V
v = BR =
m
m
2 ∆V
q
=
m ( BR )2
Como se obtiene la relación q/m en función de B, ∆V y R. Esta técnica se puede aplicar a
electrones, protones y otras partículas cargadas, átomos o moléculas. Si medimos la carga independientemente, podemos obtener la masa de la partícula.
El experimento con el espectrómetro de masas se usa también para obtener la variación del
momento con la velocidad de una partícula que se mueve con diferentes velocidades. Se ha encontrado que, considerando que q permanece constante, p varía con la velocidad no de la forma p=mv
sino como se expresa mediante la teoría de la relatividad:
p
R = mv =
qB qB
p = qBR
p = mv propia =
mv relativa
v
1− (c)
2
Por tanto, la carga eléctrica es invariante, es la misma para todos los observadores en movimiento relativo uniforme, pero el momento de la partícula varía en total acuerdo con las predicciones de la teoría de la relatividad.
Experimento de Thomson:
Este experimento, realizado por J. J. Thomson en 1897, sirvió para descubrir la naturaleza
de los rayos catódicos. Llegó a la conclusión de que eran partículas cargadas negativamente y determinó la relación qe/m. Hoy se aplican en los tubos de TV y en los osciloscopios.
Se hacen pasar los rayos catódicos entre dos placas de longitud a, una positiva y la otra negativa. Entre las placas existe un campo eléctrico E y los electrones se desvían de su trayectoria,
formando un ángulo θ, hasta que impactan en la pantalla, a una distancia L de las placas.
Y
+++++++++
V0
a
d
L
--
E
---------------

27.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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 Fe = q E = m a 
x



⇒


q
a =

y
E

m


2


 x 
q
y = 1

E
= v xt 

2m v x 
d qEa



1
⇒
⇒ =
L mv2
= at2 
qEa 
 dy 

2

=
tan θ =  dx 


 x =a mv2 

Si aplicamos también un campo magnético B, dirigido hacia el interior del papel, la fuerza
magnética Fm que experimenta el electrón es hacia abajo. Que es en sentido contrario a la fuerza
eléctrica Fe que experimenta el electrón. Si conseguimos que las dos fuerzas sean iguales Fm=Fe,
la fuerza neta es cero y los rayos catódicos no se desvían de su trayectoria. De esta forma, calculamos la velocidad inicial v0 de las partículas cargadas que constituyen los rayos v0=E/B. Si sustituimos este valor en la ecuación anterior podemos determinar la relación q/m para las distintas
experiencias
q E = q v B 



⇒
E
v =



B
 d qEa

 L = mv 2





dv2
dE 
q
 m = LEa = LB2a 


Ciclotrón:
El ciclotrón es un aparato que sirve para acelerar partículas cargadas.
Desde el punto de vista electrostático se pueden acelerar partículas cargadas haciendo que
pasen por una zona en la que exista una diferencia de potencial alta, pero para conseguir que una
partícula cargada tenga una alta energía cinética (alta velocidad) se necesitan diferencias de potencial muy altas.
Hemos visto que una partícula cargada en un campo magnético sigue un camino circular. El
ciclotrón se dice que es un acelerador cíclico, es decir, que acelera cíclicamente o cada cierto
tiempo, a una carga eléctrica que pasa muchas veces a través de una diferencia de potencial relativamente pequeña.
El ciclotrón consiste en una cavidad cilíndrica dividida en dos mitades (llamadas Dees por la
forma) y situadas en un campo magnético uniforme paralelo a sus ejes. Las dos Dees están eléctricamente aisladas una de la otra.
En el centro de la cavidad cilíndrica entre las dos Dees, en la que está hecho el vacío, se coloca la fuente de iones. Se aplica entre las Dees una diferencia de potencial alternativa del orden
de 10 kV.
Dipolos magnéticos:
Cuando una partícula cargada se mueve en una órbita cerrada, como un electrón en un
átomo, produce un campo magnético en el que las líneas de fuerza dan vueltas con la órbita. Las
líneas de fuerza siguen a la partícula en su movimiento, si la partícula se mueve muy rápidamente el campo magnético es el promedio estadístico del campo producido en cada instante. Siendo el
cálculo bastante complejo.
V
B
Si la partícula se mueve con movimiento circular uniforme, la velocidad de la partícula es
v = ωr , siendo ω la velocidad angular que es perpendicular al radio r.
Por tanto, el campo magnético en el centro es igual a B =
µ qv
.
4π r 2
El momento angular de la partícula es L = r × p = rmv . Y, el campo magnético en O en
función de L es igual a

28.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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µ qv


B = 4π 2

r


 L = r × p = rmv 


⇒
µ qL
4π mr3
B=
Una partícula cargada describiendo una pequeña órbita, como un electrón atómico, constituye un dipolo magnético. Se define el momento magnético de la partícula cargada en una órbita
cerrada y el campo magnético
M=
q
L
2m
⇒
B=
µ 2M
4π r 3
Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento relativo:
Considera dos cargas q y q’, en movimiento relativo y con velocidades relativas v y v’ respecto de un observador O. La fuerza eléctrica producida por q’ sobre q y medida por O es qE. El campo magnético producido por q’ es del orden de magnitud de v’E/c2 y la magnitud de la fuerza sobre q es del orden de
1


B = µ ε v '× E = c2 v '× E





vv ' 
 v 'E  vv '
F = qvB = qv
= 2 qE = 2 Fe
 2 
 m

c
 c  c


Fm vv '
≈ 2
Fe
c
⇒
Si las velocidades de las cargas son pequeñas, en comparación con la velocidad de la luz, la
fuerza magnética es muy inferior a la fuerza eléctrica. Sin embargo, si las cargas tienen una velocidad del orden de 106 m/s, que es la velocidad de los electrones en los átomos, entonces la relación Fm/Fe es del orden de 10-4.
Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica:
Queremos calcular el campo magnético producido por el hilo conductor, por el que pasa una
corriente eléctrica de intensidad I, en un punto P que está a una distancia R desde el punto O que
es el más cercano del hilo.
Consideremos un hilo conductor recto de longitud infinita, en el eje Y, con la intensidad de
corriente dirigida hacia el eje positivo. Sea un diferencial del hilo, dl, a una distancia l, sobre OY,
del punto O, y que se encuentra a una distancia r del punto P. Se forma un triángulo rectángulo
de cateto, sobre el eje OY, de longitud l, el cateto sobre el eje OX, de longitud R, y la hipotenusa de
longitud r. Siendo θ el ángulo formado por el sentido de la corriente y el vector de posición desde
dl hasta el punto P. El campo magnético, dB, producido por dl en P vendrá dado por la ley de
Biot-Savart
cos θ


R


l = −R sen θ

sen θ = r






⇒

R
R
tan(180 − θ) = − tan θ =
dl =
dθ 
2





l
(sen θ ) 


µ dl × ur
I
dB =
2
4π
r


B = µ I ∞ dl × ur = µ I

4π −∞ r 2
4π

∫



µ
I
⇒B=
∞ sen θ
4π

dl 
2
−∞ r

∫
∫
π
0
senθ
R
2
(sen θ )2
R
(sen θ )
2
dθ =
µI
4πR
∫
π
0
senθdθ =
µI
2πR
Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en
movimiento:
Supongamos un conductor de sección S , en el que hay n partículas cargadas por unidad de
volumen, cada una con una carga q. Si les aplicamos un campo eléctrico se mueven, en la misma
dirección, con una velocidad v . Las cargas que en el tiempo ∆t pasan a través de una sección
son las que están dentro del volumen limitado por Sv∆t .
La carga ∆Q = qnSv∆t y la corriente I serán:

29.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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© Julio Anguiano Cristóbal
(
)

qn Sv∆t
I = ∆Q =
= qnSv

∆t
∆t

I

 j = S = qnv

B=
µ
4π
B=
r
2
=
µ
4π
∫
qv × ur
( )
Idl = jS dl = jdV = nqvdV
µ qv × ur
4π r 2
∫
Idl × ur
⇒
r
2
ndV
Ley de Ampère.-
Considera una corriente rectilínea infinita de intensidad I. El campo magnético en un punto
P a una distancia r desde la corriente es perpendicular a OP.
I
B
r
B=
µI
u
2πR t
C = fmm =
∫
B ⋅ dl =
µI
2πR = µ I
2πR
La circulación magnética es proporcional a la corriente eléctrica I, y es independiente del
radio de la trayectoria cerrada. Por tanto, si dibujamos diversos círculos alrededor de la corriente
I, la circulación magnética, alrededor de todos ellos, es la misma y es igual a µ I .
Haciendo un análisis más elaborado, se obtiene que la ecuación anterior es válida para
cualquier forma de la corriente, y no necesariamente la rectilínea. Si tenemos varias corrientes I1,
I2, I3,... unidas por una línea cerrada, cada corriente contribuye a la circulación del campo magnético a lo largo de la línea cerrada.
Por lo que se establece la ley de Ampère: “La circulación del campo magnético (fuerza
magnetomotriz) a lo largo de una línea cerrada, que enlaza las corrientes I1, I2, ..., es igual al producto de la permeabilidad magnética del vacío por la intensidad neta que pasa por el interior de la
trayectoria cerrada”.
∫ B ⋅ dl = µ I = µ (I
1
+ I2 + I3 + ...)
En el tema de electrostática usamos la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico
causado por una distribución de cargas. Sin embargo, para distribuciones complejas utilizamos la
ley de Gauss. La situación en el estudio del magnetismo es similar. Podemos calcular el campo
magnético causado por una distribución de corriente con la ley de Biot y Savart (equivalente magnética a la ley de Coulomb), pero en casos complicados utilizaremos la ley de Ampère. Las dos leyes son uniones entre una distribución de corriente y el campo magnético que ella genera.
Para calcular la intensidad neta, consideramos que una corriente es positiva si pasa a
través de la trayectoria cerrada, L, en el sentido indicado por el dedo pulgar de la mano derecha,
al tener la mano derecha cerrada y los dedos restantes indicando la dirección del camino cerrado
L.
+I
I
+I
B
L
L
r
dl
-I
+I

30.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Aplicaciones de la ley de Ampère:
1º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r>a:
∫
L
B ⋅ dl = B
B=
∫
dl = BL = B2πr = µ I
L
µI
2πr
2º) Campo magnético producido, a una distancia r, por una corriente rectilínea a lo largo de un cilindro circular, de radio a, si la distancia r<a.
Tenemos dos posibilidades. Si la corriente se realiza a lo largo de la superficie del cilindro, como
puede ocurrir si el conductor es un cilindro rodeado de metal, la corriente a través de L’ es cero y
la ley de Ampère da B2πr = 0 ó B=0 (r<a).
La otra posibilidad es que la corriente esté uniformemente distribuida a través de la sección que
cruza el conductor, la corriente por unidad de área es constante, luego la corriente a través de L’
es
I'
 I
 πa 2 = πr2


2
2
I ' = I πr = I r

a2
πa 2

∫
L
B ⋅ dl = B
B=
∫
L
dl = BL ' = B2πr = µ I '
µ I'
µ Ir
=
2πr 2πa 2
3º) Campo magnético en el centro de un solenoide muy largo: Consideremos un solenoide que tiene n vueltas por unidad de longitud llevando una corriente I. Si las vueltas están muy próximas
en el espacio y el solenoide es muy largo, el campo magnético está enteramente confinado en su
interior, como se confirma experimentalmente.
Si aplicamos la ley de Ampère a un camino correspondiente a un rectángulo que tiene la base inferior dentro del solenoide, y paralela al campo, y la base superior fuera del solenoide. Al calcular la circulación del campo magnético en el rectángulo, la contribución de los lados que hacen
de altura a la circulación del campo es cero porque son perpendiculares al campo, la contribución
de la base superior también es cero por no existir campo. Por tanto, sólo contribuye la base interior del solenoide. Siendo N vueltas por L longitud: n=N/L
∫
PQRS
B ⋅ dl =
∫
Q
P
B ⋅ dl = Bx = µ nxI
B = µ nI
S
R
........................
P
Q
B
*****************
Comparación entre los campos electrostático y magnético estacionario:
Los campos magnéticos difieren de los campos eléctricos en algunos aspectos:
1)
Los campos magnéticos son producidos por cargas eléctricas en movimiento relativo al observador, tales como una corriente eléctrica, y los campos electrostáticos por cargas en reposo relativo.
2)
Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas, es decir, no comienzan en algún
punto y terminan en otro, sino que están curvadas alrededor de las cargas en movimiento o
de la corriente eléctrica. Esto se debe a que no se han encontrado los polos magnéticos o
“masas magnéticas”.

31.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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3)
Si consideramos una superficie cerrada en el interior de un campo magnético, el flujo magnético entrante es igual al saliente. Por lo que decimos que el flujo del campo magnético a
través de una superficie cerrada es siempre cero. El flujo del campo electrostático a través
de una superficie cerrada no es cero, es igual a la relación entre la carga neta en su interior
y la permitividad del vacío.
4)
El campo magnético no es conservativo ya que la circulación del campo magnético a lo largo
de una trayectoria cerrada no es cero. El campo electrostático sí es conservativo.
5)
Como el campo magnético no es conservativo no podemos asociar, en cada punto del espacio de un campo magnético, una energía potencial magnética asociada a una carga en movimiento, ni a masa magnética o a carga magnética.
Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère.-
Considera dos conductores rectilíneos y paralelos, con corrientes rectilíneas de intensidades
I y I’, que van en el mismo sentido:
I
I'
F'
F
B'
B
R
La fuerza que ejerce un conductor rectilíneo sobre el otro será F’ y F. El hilo conductor que lleva la
corriente I atrae a la I' con una fuerza por unidad de longitud f:
µI
µ II 'L '

F ' = I ' dl '× B = I ' dl ' 2πR ( −ur ) = 2πR ( −ur )


F ' µ II ' µ 2II '

f = L ' = 2πR = 4π R

µ I'
µ II 'L

F = I dl × B ' = I dl 2πR ur = 2πR ur


F µ II ' µ 2II '

f = L = 2πR = 4π R

∫
∫
∫
∫
Por tanto, obtenemos que: “dos hilos con corrientes paralelas en la misma dirección se
atraen mutuamente con una fuerza inversamente proporcional a su separación como resultado de
su interacción magnética; si las corrientes paralelas están en dirección opuesta, se repelen mutuamente”.
Definición de ampere: “Un ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 m uno de otro, en el vacío, producirá entre estos conductores
una fuerza igual a 2·10-7N por metro de longitud”.
Por tanto, el culombio se define como la cantidad de carga que fluye cruzando la sección
transversal de un conductor en un segundo cuando la corriente es de un amperio.
A continuación vamos a estudiar las leyes del campo electromagnético considerando campos
que varían con el tiempo y veremos que un campo magnético variante con el tiempo requiere la
presencia de un campo eléctrico (ley de Faraday-Henry) y un campo eléctrico variante con el tiempo requiere un campo magnético (ley de Ampère-Maxwell).
Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday.-
El fenómeno de la inducción electromagnética fue descubierto simultáneamente en 1831,
por M. Faraday y por Henry. La inducción electromagnética es el principio por el que funcionan
los generadores eléctricos, el transformador y muchos otros aparatos de uso diario.
Supongamos un conductor eléctrico que forma un camino cerrado o circuito, denominado
malla, de superficie S, y lo colocamos en una región donde existe un campo magnético B. Si el flu-

32.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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jo magnético a través de la malla varía con el tiempo, se observa una corriente en el conductor
mientras el flujo está variando. El flujo magnético tiene de unidad Weber (Wb)
Φ m = B ⋅ S = B S cos θ
La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico actuando
sobre las cargas libres en el conductor. Este campo eléctrico produce una fuerza electromotriz a lo
largo del circuito, que se llama fuerza electromotriz (fem) inducida.
Hechos experimentales:
1)
Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galvanómetro, se coloca próximo a un imán que se está moviendo, el galvanómetro demuestra que se
produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.
2)
Si un hilo metálico constituyendo una malla o circuito cerrado, conectado a un galvanómetro, se mueve próximo a un imán que está en reposo, el galvanómetro demuestra que se
produce una corriente en la malla, que se llama corriente inducida.
3)
Si colocamos dos circuitos cerrados próximos, uno conectado a un galvanómetro que indica
que no pasa corriente y el otro, conectado a una batería mediante un interruptor cerrado,
por el que sí está pasando una corriente. Al abrir el interruptor se cierra la corriente y se
observa una fem inducida en el primero que no se observaba cuando había una corriente
estacionaria.
4)
Mientras mayor sea la variación del flujo magnético, con respecto del tiempo, a través del
circuito cerrado mayor es la fem inducida.
El cambio, con respecto del tiempo, en el flujo magnético puede ser debido al cambio del
campo magnético o al movimiento del circuito con respecto del campo magnético o a la deformación relativa del circuito con respecto del campo magnético. La dirección en la cual actúa la fem
inducida depende de si el flujo magnético a través del circuito se incrementa o disminuye.
La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia de un campo eléctrico actuando
sobre las cargas libres del conductor. Este campo eléctrico produce una fem a lo largo del circuito,
que se llama fem inducida. La medida de esta fem inducida nos demuestra que depende de la velocidad con la que varíe el flujo magnético. A mayor velocidad de cambio del flujo magnético mayor es la fem inducida.
El signo de la fem inducida es siempre opuesto al de la variación del flujo magnético.
B (decrece)
B (aumenta)
ε
ε
ε=−
(
dΦ m
d
=−
B S cos θ
dt
dt
)
Ley de Faraday-Heny de la inducción electromagnética: “En un circuito cerrado, o malla,
situado en un campo magnético, se produce una fem inducida si varía el flujo magnético a través
del circuito, siendo el valor de la fem la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito”. Si variamos el flujo magnético a través de un carrete o bobina de N vueltas, aparece una fem
en cada vuelta, y estas fem se suman
ε = −N
dΦ m
dt
La fem implica la existencia de un campo eléctrico no conservativo
ε=
∫
L
E '⋅ dl = −
dΦ m
d
=−
dt
dt
∫∫ B ⋅ dS
L
La ecuación anterior es válida para una línea arbitraria cerrada L aunque no coincida con
un conductor eléctrico. Es decir, “Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que la circulación del campo eléctrico a lo largo de un camino cerra-

33.
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INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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do arbitrario es igual al negativo de la rapidez de cambio del flujo magnético a través de la superficie envuelta por el camino.
En 1834, justo tres años después de la promulgación de la ley de inducción, Heinrich F.
Lenz publicó la regla, conocida como ley de Lenz, para determinar la dirección de una corriente
inducida en un circuito cerrado o malla.
Demostró que las corrientes inducidas se mueven en un sentido tal que tiende a oponerse a
cualquier cambio en el flujo magnético presente. Es decir, si aumenta el flujo los electrones se
moverán para disminuirlo y si disminuye el flujo los electrones se moverán para aumentarlo.
Enunciado de la ley de Lenz: “Una corriente inducida en una malla aparecerá en una dirección
tal que se opone al cambio que la produzca”.
El signo menos que aparece en la ley de Faraday nos expresa la oposición. La ley de Lenz se
refiere a corrientes inducidas y no a fem inducidas, lo que significa que sólo la podemos aplicar directamente a conductores cerrados, formando una malla.
Interpretaciones de la ley de Lenz:
1)
Si acercamos un imán, por su polo N (Norte), a una malla o circuito eléctrico cerrado, le
produce a esta una corriente inducida. La corriente inducida en la malla, lo hace de tal forma que se opone al acercamiento del imán, creando un polo N próximo al del imán.
2)
Si alejamos un imán, por su polo N, a una malla, le produce una la corriente inducida. La
corriente inducida se opondrá creando un polo S sobre la cara de la malla próxima al polo N
del imán.
3)
Si acercamos o alejamos un imán hacia una malla siempre experimentaremos una fuerza de
resistencia y tendremos que realizar un trabajo. Aplicando el principio de conservación de la
energía, este trabajo debe ser exactamente igual a la energía térmica que aparece en el enrollamiento, ya que estas son las dos energías que aparecen en el sistema aislado (ignorando
la energía radiada desde el circuito como onda electromagnética).
Autoinducción e inducción mutua. Transformadores.-
Descripción del fenómeno autoinducción: Consideremos un circuito llevando una corriente
eléctrica I. De acuerdo con la ley de Ampère la corriente produce un campo magnético que, en cada punto, es proporcional a I.
B
I
Por tanto, el flujo magnético a través del circuito debido a su propio campo magnético, llamado el autoflujo es proporcional a la intensidad de corriente I. Si la corriente I cambiase con el
tiempo, el autoflujo a través del circuito también cambiaría y, de acuerdo con la ley de la inducción electromagnética, una fem es inducida en el circuito. Este caso especial de inducción electromagnética se llama autoinducción.
Φm =
∫∫ B ⋅ dS
∫ B ⋅ dl = µ I
Φ autoflujo = LI
El coeficiente L depende de la forma geométrica del conductor y se llama inductancia del
circuito. La inductancia es una magnitud eléctrica que sirve para caracterizar los circuitos
según su aptitud para engendrar corrientes inducidas. La unidad de inductancia es el henry
(H), siendo 1 henry=1 weber/1 ampere.
Inductor: En el tema anterior analizamos que un capacitor o condensador es una estructura que
podemos utilizar para producir un campo eléctrico conocido en una determinada zona del espacio. Simétricamente, podemos definir un inductor como una estructura que podemos usar para

34.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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producir un campo magnético conocido en una región. Consideramos como prototipo de un
inductor la porción central de un solenoide muy largo, en el que se especifica su campo magnético asociado.
Si se establece una corriente i en los enrollamientos o N vueltas de un inductor hay un
Flujo Magnético Φ debido a la corriente a través de las vueltas, y se dice que las vueltas están
vinculadas o unidas por este flujo compartido.
La inductancia del inductor es igual a L =
to NΦ se llama el flujo enlazado.
NΦ
, siendo N el número de vueltas. El produci
.................................................. i
. .
B
×××××××××××××××× ××××××××××
Autoinducción:
Si dos carretes, que podemos llamar inductores, están muy próximos, una corriente i en
uno de ellos crea un flujo magnético a través del segundo. Sabemos que si cambiamos este flujo,
porque cambiemos la corriente, aparece una fem inducida en el segundo carrete, de acuerdo con
la ley de Faraday.
Además, aparece una fem inducida en un carrete si cambiamos la corriente en el
mismo carrete. Este proceso se llama autoinducción y la fem que aparecen se llama
autoinducida.
NΦ = Li
εL = −
d ( NΦ )
dt
= −L
di
dt
El signo menos nos indica que la fem se opone al cambio en la corriente. Si la corriente
se incrementa (dI/dt>0) la fem autoinducida se opone a la corriente. Si la corriente decrece
(dI/dt<0) la fem autoinducida actúa en la misma dirección que la corriente. Por tanto, la fuerza
electromotriz autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la corriente.
V
B
V
I
I
I
I (aumenta)
I (disminuye)
En un circuito de corriente alterna la fem autoinducida actúa en la dirección que se opone al cambio en la intensidad de la corriente y hace que la intensidad vaya retrasada respecto a la
fem.
ε + ε L = 0

εm


cos ( ωt ) dt
di

 ⇒ di =
L
εm cos ( ωt ) − L dt = 0 


εm
εm
π

I=
cos ( ωt ) dt =
sen ( ωt ) = Im cos  ωt − 
L
Lω
2

∫
fem
i
0
T/2
π
t
T

35.
INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
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Energía almacenada en una bobina: Consideremos una bobina conectada a un generador de corriente alterna. Se ha de cumplir
Potencia suministrada = Potencia consumida
εi = -εL i + i2R = Li
di 2
+i R
dt
La potencia almacenada en la bobina es igual a -εL i = Li
di
y lo hace en forma de campo magnétidt
co:
di
 dUB
= Li

dt
 dt
dUB = Lidi

⇒
UB =
1 2
LI
2
Inducción mutua:
Consideremos dos carretes próximos, una corriente estacionaria i en un carrete crea un
flujo magnético en el otro carrete. Si cambia la intensidad i con el tiempo, aparece una fem, dada
por la ley de Faraday, en el segundo carrete; este proceso se llama inducción. Se le conoce como
inducción mutua para sugerir la interacción mutua de los dos carretes y distinguirlo de la autoinducción en el que sólo hay un carrete. Por tanto, podemos decir que “Es la producción de una
fem en un circuito por la variación de la intensidad de corriente que circula por otro”.
Inducción Mutua
Φ
I
1
1
Φ2
1
2
1
I
2
2
Consideremos dos circuitos, 1 y 2, que están próximos. Cuando una corriente circula por el
circuito 1, i1, se genera un campo magnético proporcional a la intensidad y a su alrededor. Como
consecuencia, a través del circuito 2, hay un flujo magnético que es proporcional también a la intensidad.
El flujo magnético que pasa por el circuito 2 debido a la intensidad de corriente que pasa
por el 1: N2Φ 21 = M21i1
Siendo M21 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 2 por unidad de corriente en el 1. Similarmente, si una corriente eléctrica circula por el circuito 2, I2, se
produce un campo magnético a su alrededor. Por lo que habrá un flujo magnético a través del circuito 1 que será proporcional a la intensidad del 2.
El flujo magnético que pasa por el circuito 1 debido a la intensidad de corriente que pasa
por el 2: N1Φ12 = M12i2
Siendo M12 un coeficiente que representa el flujo magnético a través del circuito 1 por unidad de corriente en el 2. Los dos coeficientes, M21 y M12, dependen exclusivamente de las formas
geométricas de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas. Se demuestra, matemáticamente, que los dos coeficientes son iguales y se llaman la inductancia mutua de los dos circuitos y se
mide en Henry (Wb/A).
εM2
Si la intensidad i1 por el circuito 1 es variable aparece una fem inducida sobre el circuito 2:
di
= −M 1
dt
1: εM1
Si por el circuito 2 la intensidad, i2, es variable aparece una fem inducida sobre el circuito
di
= −M 2
dt
El fenómeno de la inducción mutua nos indica que hay un cambio de energía entre dos circuitos cuando sus corrientes varían con el tiempo. Decimos que los circuitos están acoplados