El documento describe las leyes de los senos y cosenos para triángulos. La ley de los senos establece que para cualquier triángulo, la razón entre el lado opuesto y el seno del ángulo opuesto es constante. La ley de los cosenos proporciona relaciones entre los lados de un triángulo y los cosenos de sus ángulos. El documento también presenta ejemplos de cómo aplicar estas leyes para resolver triángulos y calcular áreas.

1. Leyes de los senos y de los
cosenos

2. Notación
• Utilizaremos letras
mayúsculas como A, B y C,
para representar a los
ángulos de un triángulo, y
letras minúsculas a,b y c,
para representar los lados
opuestos correspondientes.
•
B
C
a
b
c
A

3. Ley de los senos
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,
entonces
a
Sen A
A
B
C
c
ab
A
B
C
c
a
b
=
b
Sen B
=
c
Sen C

4. A
B
C
c
ab
A
B
C
c
a
b
Una idea de la demostración:
h
Sea h la altura de cualquiera de los triángulos.
Sen A =
h
b
o bien, h = b Sen A,
así mismo, Sen B =
h
a
o bien, h = a Sen B.
.Entonces,
Entonces tenemos que,
a
Sen A
=
b
Sen B
¿Cómo continuar?
h

5. La ley de los senos también se puede
escribir en su forma
Recíproca:
Sen A
a
= Sen B
b
=
Sen C
c
.

6. Aplicaciones
Ejemplo 1(resolución de triángulos). Para el
triángulo de la figura, C=102.3 grados,
B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar
los ángulos y lados restantes.
C
A
Bc
ab

7. Solución:
El tercer ángulo del triángulo es
A = 180 - B - C = 49 grados.
a
Sen 49
=
b
Sen 28.7
=
c
Sen 102.3
Usando b = 27.4 se obtiene, a =
27.4
Sen 28.7
Sen 49 = 43.06 mts.
Y c =
27.4
Sen 28.7
= 55.75 mts.Sen 102.3
Por la ley de los senos tenemos que:
.

8. Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La idea
de la demostración de la ley de los senos sugiere
una fórmula para el área de triángulos oblicuos.
C
A
B
a
c
b
h
C
A
B
h
a
b
c
Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A.
De manera similar se obtienen las fórmulas:
Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

9. Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe
llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se
debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y
finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la
figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del
punto A. Calcule la distancia total del recorrido.
A
B
C
52
40
8 kms
D
Solución: Como las lineas BD y AC son
paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces
el otro ángulo del triángulo es
B = 180-52-40 = 88 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a
Sen 52
=
b
Sen 88 =
c
Sen 40
Pero b=8, entonces a =
8
Sen 88
(sen 52)
¿Cómo continuar?
N
S
EO
= 6.308 kms.

10. Ley de los cosenos
Forma estándar Forma alternativa
a2
= b2
+ c2
–2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2
+ c2
– a2
)
b2
= a2
+ c2
–2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2
+ c2
– b2
)
c2
= a2
+ b2
–2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2
+ b2
– c2
)
Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene
que
a2
= b2
+ c2.
Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley
de los cosenos.
En un triágulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen
las siguientes relaciones:

11. Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos
lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.
Solución.
B
B=19 mts.C
c=14 mts.
A
a=8 mts.
Por la ley de los cosenos tenemos que
Cos B = (1/2ac) (a2
+ c2
– b2
) = (1/2)(8)(14) (82
+ 142
– 192
) = -0.4508.
Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho,
B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros
Ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues
b
Sen B =
a
Sen A
, Sen A = a
Sen B
b
= 0.37582.
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.

12. La Fórmula de Herón
Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es:
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2
, donde s = (1/2)(a+b+c).
¿Por qué?
Por el ejemplo 3, sabemos que
Area = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2
c2
sen2
A)1/2
= ((1/4)b2
c2
(1-cos2
A))1/2
= ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2
.
Usando la ley de los cosenos se puede ver que
(1/2)bc(1+cos A) =
a+b+c
2
-a+b+c
2 = s(s-a)
(1/2)bc(1-cos A) =
a-b+c
2
a+b-c
2
= (s-b)(s-c).
Entonces podemos concluir que
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2

13. Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados
miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts.
Solución:
Usando la fórmula de Herón tenemos que
S=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84.
Entonces,
Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2
= (84(41)(31)(12))1/2
= 1131.89 mts.