SlideShare una empresa de Scribd logo

Distancia, punto medio y cónicas.pptx

O
omar521150

distancia, punto medio y cónicas

1 de 10
Descargar para leer sin conexión
DISTANCIA,
PUNTO MEDIO Y
CÓNICAS
OMAR PEREIRA
27025001
SECCIÓN: DL0412
Distancia entre dos puntos en el plano
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2),
definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud
del segmento que los separa. Y viene dada por la ecuación:
𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1
2
)
Ejemplo:
Dados los puntos 𝐴 = 0,4 y 𝐵 = −4,0 hallar las distancia de A a
B.
𝑑 𝐴, 𝐵 = (−4 − 0)2+(0 − 4)2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 16 + 16
𝑑 𝐴, 𝐵 = 32
𝑑 𝐴, 𝐵 = 5.65
En matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos.
𝑀 =
𝑥𝑎 + 𝑥𝑏
2
,
𝑦𝑎 + 𝑦𝑏
2
Punto medio o punto equidistante:
Ejemplo:
Dados los puntos 𝐴 = (−4,2) y 𝐵 = (0, −2), hallar el punto medio entre
A y B.
𝑀 =
−4 + 0
2
,
2 − 2
2
=
−4
2
,
0
2
= −2,0
𝒙𝒂 𝒙𝒃
𝒚𝒂
𝒚𝒃
𝒙𝒎
𝒚𝒎 𝑴
Secciones cónicas
Se denomina sección
cónica a todas las
curvas resultantes de
las diferentes
intersecciones entre un
cono y un plano; si
dicho plano no pasa
por el vértice, se
obtienen las cónicas
propiamente dichas
elipse, parábola,
hipérbola y
circunferencia.
Circulo es la
sección
producida por un
plano
perpendicular al
eje.
Elipse es la sección
producida en una
superficie cónica de
revolución por un plano
oblicuo al eje, que no
sea paralelo a la
generatriz y que forme
con el mismo un ángulo
mayor que el que
forman eje y generatriz.
Parábola es la
sección producida
en una superficie
cónica de
revolución por un
plano oblicuo al
eje, siendo paralelo
a la generatriz.
Hipérbola es la
sección producida en
una superficie cónica
de revolución por un
plano oblicuo al eje,
formando con él un
ángulo menor al que
forman eje y
generatriz, por lo que
incide en las dos hojas
de la superficie cónica.
Circunferencia
Se define como el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo 𝑪 = 𝒂, 𝒃 que
llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto se expresa de la
síguete forma 𝑷 = 𝒙, 𝒚 .
así que la circunferencia viene dada por
la ecuación.
(𝒙 − 𝒂)𝟐
+(𝒚 − 𝒃)𝟐
= 𝒓𝟐
llamada
ecuación ordinaria.
A su ves cuando el centro se encuentra
en el origen la ecuación toma la forma.
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒓𝟐
llamada ecuación
canónica.
En la siguiente figura se ve
graficada la circunferencia de
ecuación:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟐𝟓
Parábola
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco
y de la directriz.
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el
foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se
llama vértice 𝒗 = (𝒂, 𝒃) y la distancia del vértice al foco y del
vertice a la directriz es igual a “c”
.
Es así que la ecuación de la parábola con eje focal paralelo a “y”
es 𝒙 − 𝒂 𝟐
= 𝟒𝒄(𝒚 − 𝒃) y con eje focal paralelo a “x”
es 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒙 − 𝒂)
Si el vértice se encuentra en el origen la ecuación toma la forma
𝒙𝟐
= 𝟒𝒄𝒚 y 𝒚𝟐
= 𝟒𝒄𝒚 respectivamente.
En la siguiente figura se ve graficada una parábola de ecuación
𝑥2 = 4𝑦
Publicidad

Recomendados

plano numérico.PPTX
plano numérico.PPTXplano numérico.PPTX
plano numérico.PPTXeliezer232210
 
Plano Numérico o Plano Cartesiano
Plano Numérico o Plano CartesianoPlano Numérico o Plano Cartesiano
Plano Numérico o Plano CartesianoGenessisArteaga1
 
1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...
1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...
1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...danieladuran272005
 
Presentación Plano Numérico.pptx
Presentación Plano Numérico.pptxPresentación Plano Numérico.pptx
Presentación Plano Numérico.pptxreynerrivero
 

Más contenido relacionado

Similar a Distancia, punto medio y cónicas.pptx

Plano Numerico Jose Colombo..pptx
Plano Numerico Jose Colombo..pptxPlano Numerico Jose Colombo..pptx
Plano Numerico Jose Colombo..pptxJsMguelCM
 
Plano Numerico Miguel Colombo.pdf
Plano Numerico Miguel Colombo.pdfPlano Numerico Miguel Colombo.pdf
Plano Numerico Miguel Colombo.pdfJsMguelCM
 
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfPLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfyannetthha
 
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdf
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdfPresentación_Plano Numerico_Alexis G.pdf
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdfAlexisGomez294953
 
PLANO NUMERICO, DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...
PLANO NUMERICO,  DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...PLANO NUMERICO,  DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...
PLANO NUMERICO, DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...adrianpined555
 
Fundamentos matemáticos: Grupo 3
Fundamentos matemáticos: Grupo 3Fundamentos matemáticos: Grupo 3
Fundamentos matemáticos: Grupo 3marlonpresentacion
 
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...Juan Chacón
 
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: Cónicas
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: CónicasMatemática 4° medio - Lugares geométricos: Cónicas
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: CónicasGreat Ayuda
 

Similar a Distancia, punto medio y cónicas.pptx (20)

Plano Numerico Jose Colombo..pptx
Plano Numerico Jose Colombo..pptxPlano Numerico Jose Colombo..pptx
Plano Numerico Jose Colombo..pptx
 
Plano Numerico Miguel Colombo.pdf
Plano Numerico Miguel Colombo.pdfPlano Numerico Miguel Colombo.pdf
Plano Numerico Miguel Colombo.pdf
 
Plano Númerico.pptx
Plano Númerico.pptxPlano Númerico.pptx
Plano Númerico.pptx
 
Plano Numerico
Plano NumericoPlano Numerico
Plano Numerico
 
Plano numerico
Plano numericoPlano numerico
Plano numerico
 
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdfPLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
PLANO NUMERICO MIRYELIS ARAQUE YANETH PORTILLO EDICTH MENCIAS DL0402-1.pdf
 
Plano numerico
Plano numericoPlano numerico
Plano numerico
 
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdf
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdfPresentación_Plano Numerico_Alexis G.pdf
Presentación_Plano Numerico_Alexis G.pdf
 
PLANO NUMERICO, DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...
PLANO NUMERICO,  DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...PLANO NUMERICO,  DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...
PLANO NUMERICO, DISTANCIA,PUNTO MEDIO, ECUACIONES, CIRCUNFERENCIA, PARABOLAS...
 
Fundamentos matemáticos: Grupo 3
Fundamentos matemáticos: Grupo 3Fundamentos matemáticos: Grupo 3
Fundamentos matemáticos: Grupo 3
 
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferenc...
 
PUNTO.pptx
PUNTO.pptxPUNTO.pptx
PUNTO.pptx
 
Plano numerico
Plano numericoPlano numerico
Plano numerico
 
Cónicas
CónicasCónicas
Cónicas
 
Conicas
ConicasConicas
Conicas
 
Plano numerico
Plano numericoPlano numerico
Plano numerico
 
Bloque
BloqueBloque
Bloque
 
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: Cónicas
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: CónicasMatemática 4° medio - Lugares geométricos: Cónicas
Matemática 4° medio - Lugares geométricos: Cónicas
 
Presentación1 elipse
Presentación1 elipsePresentación1 elipse
Presentación1 elipse
 
Plano numérico, unidad II
Plano numérico, unidad IIPlano numérico, unidad II
Plano numérico, unidad II
 

Último

Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable World
Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable WorldImpacto ambiental Green Illustrated Sustainable World
Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable WorldJohnCarvajal23
 
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxPRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxVíctor Hugo Ramírez
 
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptxVíctor Hugo Ramírez
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1DevinsideSolutions
 
Información a las familias aula matinal.pdf
Información a las familias aula matinal.pdfInformación a las familias aula matinal.pdf
Información a las familias aula matinal.pdfAlfaresbilingual
 
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdf
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdfPlanificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdf
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdf
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdfPresentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdf
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdfJohnCarvajal23
 
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdf
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdfPROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdf
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdfLozanogalex
 
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...Jose Ignacio Rivas Flores
 
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptx
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptxc2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptx
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptxMartín Ramírez
 
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"elizabethauquilla123
 
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdf
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdfBermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdf
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdfSabinaBermeo
 
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docx
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docxEJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docx
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docxnelsontobontrujillo
 
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxLicenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxgeomaster9
 
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdf
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdfCasco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdf
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdfAngelaCasco1
 
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptx
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptxherramientas manuales grado cuarto primaria.pptx
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptxnelsontobontrujillo
 
Proceso de matricula articulacioncimm.pdf
Proceso de matricula articulacioncimm.pdfProceso de matricula articulacioncimm.pdf
Proceso de matricula articulacioncimm.pdfJorgecego
 
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalus
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalustema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalus
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalusjosemariahermoso
 
Calendario Escolar 2023 - 2024 Venezuela
Calendario Escolar 2023 - 2024 VenezuelaCalendario Escolar 2023 - 2024 Venezuela
Calendario Escolar 2023 - 2024 VenezuelaDiegoVzquez68
 

Último (20)

Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable World
Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable WorldImpacto ambiental Green Illustrated Sustainable World
Impacto ambiental Green Illustrated Sustainable World
 
PPT : Sabiduría para vivir con rectitud
PPT  : Sabiduría para vivir con rectitudPPT  : Sabiduría para vivir con rectitud
PPT : Sabiduría para vivir con rectitud
 
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxPRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
 
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
 
Información a las familias aula matinal.pdf
Información a las familias aula matinal.pdfInformación a las familias aula matinal.pdf
Información a las familias aula matinal.pdf
 
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdf
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdfPlanificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdf
Planificacion Curricular en la Escuela Ccesa007.pdf
 
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdf
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdfPresentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdf
Presentacion cuidado del medio ambiente collage scrapbook verde y blanco.pdf
 
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdf
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdfPROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdf
PROGRAMA DE ESTUDIO 2022 FASE 2 PREESCOLAR.pdf
 
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...
¿Transiciones o transformaciones? Una mirada “otra” necesaria para el sistema...
 
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptx
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptxc2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptx
c2.hu2.p3.p7.Participación en la comunidad.pptx
 
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
Tarea 1. Ensayo sobre "La sociedad de la ignorancia"
 
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdf
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdfBermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdf
Bermeo_Sabina_y_Hernández_Josué_Tarea_2.pdf
 
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docx
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docxEJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docx
EJERCICIO TOMÁS Y LA ENERGÍA ELÉCTRICA.docx
 
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptxLicenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
Licenciatura en Pedagogia Presentacion.pptx
 
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdf
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdfCasco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdf
Casco_Angela_Práctica_Infopedagogía4.pdf
 
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptx
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptxherramientas manuales grado cuarto primaria.pptx
herramientas manuales grado cuarto primaria.pptx
 
Proceso de matricula articulacioncimm.pdf
Proceso de matricula articulacioncimm.pdfProceso de matricula articulacioncimm.pdf
Proceso de matricula articulacioncimm.pdf
 
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalus
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalustema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalus
tema 4 al Ándalus 2023 2024 . Tema 4 (I) Al Andalus
 
Calendario Escolar 2023 - 2024 Venezuela
Calendario Escolar 2023 - 2024 VenezuelaCalendario Escolar 2023 - 2024 Venezuela
Calendario Escolar 2023 - 2024 Venezuela
 

Distancia, punto medio y cónicas.pptx

  • 1. DISTANCIA, PUNTO MEDIO Y CÓNICAS OMAR PEREIRA 27025001 SECCIÓN: DL0412
  • 2. Distancia entre dos puntos en el plano Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Y viene dada por la ecuación: 𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1 2 ) Ejemplo: Dados los puntos 𝐴 = 0,4 y 𝐵 = −4,0 hallar las distancia de A a B. 𝑑 𝐴, 𝐵 = (−4 − 0)2+(0 − 4)2 𝑑 𝐴, 𝐵 = 16 + 16 𝑑 𝐴, 𝐵 = 32 𝑑 𝐴, 𝐵 = 5.65
  • 3. En matemáticas, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. 𝑀 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 2 , 𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 2 Punto medio o punto equidistante: Ejemplo: Dados los puntos 𝐴 = (−4,2) y 𝐵 = (0, −2), hallar el punto medio entre A y B. 𝑀 = −4 + 0 2 , 2 − 2 2 = −4 2 , 0 2 = −2,0 𝒙𝒂 𝒙𝒃 𝒚𝒂 𝒚𝒃 𝒙𝒎 𝒚𝒎 𝑴
  • 4. Secciones cónicas Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Circulo es la sección producida por un plano perpendicular al eje. Elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. Parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. Hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
  • 5. Circunferencia Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo 𝑪 = 𝒂, 𝒃 que llamamos centro. Por lo tanto, cada punto se expresa de la síguete forma 𝑷 = 𝒙, 𝒚 . así que la circunferencia viene dada por la ecuación. (𝒙 − 𝒂)𝟐 +(𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 llamada ecuación ordinaria. A su ves cuando el centro se encuentra en el origen la ecuación toma la forma. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 llamada ecuación canónica. En la siguiente figura se ve graficada la circunferencia de ecuación: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
  • 6. Parábola Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola. El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice 𝒗 = (𝒂, 𝒃) y la distancia del vértice al foco y del vertice a la directriz es igual a “c” . Es así que la ecuación de la parábola con eje focal paralelo a “y” es 𝒙 − 𝒂 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒚 − 𝒃) y con eje focal paralelo a “x” es 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒙 − 𝒂) Si el vértice se encuentra en el origen la ecuación toma la forma 𝒙𝟐 = 𝟒𝒄𝒚 y 𝒚𝟐 = 𝟒𝒄𝒚 respectivamente. En la siguiente figura se ve graficada una parábola de ecuación 𝑥2 = 4𝑦
  • 7. Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la elipse Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: a, a', b y b'. Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje mayor: Es el segmento 𝑎𝑎′ de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor: Es el segmento 𝑏𝑏′ de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Y a su vez la ecuación de la elipse es: 𝑥 − 𝑥0 2 𝑎2 + 𝑦 − 𝑦0 2 𝑏2 = 1 En la siguiente figura se ve graficada una elipse cuya ecuación es: 𝒙−𝟏 𝟐 𝟖𝟏 + 𝒚−𝟏 𝟐 𝟏𝟔 = 𝟏
  • 8. Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. Elementos de la hipérbola 1)Focos: son los puntos fijos F Y F'. 2)Eje focal: principal o real: es la recta que pasa por los focos. 3)Eje imaginario: es la recta perpendicular al eje focal. 4)Centro: es el punto de intersección de los ejes. 5)Vértices: los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 6)Eje mayor: es el segmento 𝐴𝐴′de longitud 2a. 7)Eje menor: es el segmento 𝐵𝐵′de longitud 2b. Los puntos b y b' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 8)Asíntotas: son las rectas de ecuaciones:𝑦 = − 𝑏 𝑎 𝑥 y 𝑦 = 𝑏 𝑎 𝑥 9)Relación entre los semiejes: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Así que las ecuaciones de la hipérbola son: 𝑥2 𝑎 − 𝑦2 𝑏 = 1centrada en el origen con eje real horizontal. 𝑦2 𝑏 − 𝑥2 𝑎 = 1 centrada en el origen con eje real vertical. 𝑥−ℎ 2 𝑎 − 𝑥−𝑘 2 𝑏 = 1 no centrada en el origen con eje real horizontal. 𝑦−𝑘 2 𝑏 − 𝑥−ℎ 2 𝑎 = 1 no centrada en el origen con eje real vertical.
  • 9. Ejemplo: en la siguiente figura esta graficada una hipérbola cuya ecuación es. 𝑥2 − 𝑦2 = 1 𝑎 = 1,𝑏 = 1,𝑐 = 1.41 Nótese que la ecuación es muy similar a la circunferencia de 𝑟 = 1 cambiando solo el signo (-)
  • 10. Ejercicio sugerido Realiza la ecuación de la circunferencia de radio 4, cuyo centro se encuentra en el punto (2,3) y grafica en el plano.