1. КГУ Горно-металлургический колледж
Учебно-методическое пособие
«Рациональные уравнения»
г.Жезказган, 2015

2. Составитель:
Мишина Н.М., преподаватель математики КГУ «Горно-металлургический колледж»
Настоящий сборник создан как методическое пособие для студентов 1 -2 курсов по
математике. Учебный материал, включенный в сборник, охватывает один из самых крупных
разделов школьного курса математики «Рациональные уравнения».
Пособие призвано помочь учителям, работающим в старших классах для подготовки к
занятиям, а также может быть использован студентами 1-2 курсов для закрепления,
систематизации и расширения своих знаний по данному разделу школьного курса
математики. В сборник включены задачи различных уровней сложности.
В данном пособии рассматриваются практически большинство вопросов по данной
теме, рассматриваются основные положения теории, приводятся многочисленные примеры и
соответствующие задания с ответами.
К сожалению, охватить в одном сборнике все разнообразие задач по данной теме не
представляется возможным. Поэтому для подготовки к занятиям можно использовать задачи
из других источников.
Рассмотрено на заедании ПЦК естественно-математического цикла
Протокол № _________ «_______»______________2017 г.
Председатель ________________ Мишина Н.М.
Утверждено на заседании методического совета
Протокол № _________ «_______»______________2017 г.
Председатель ________________ Турегельдинова Р.К.

3. СОДЕРЖАНИЕ
1. Целые рациональные уравнения 3
1.1 Линейные уравнения 4
1.2 Методы решения квадратных уравнений 5
1.3 Уравнения высших степеней 7
упрощение и разложение на множители; 8
замена переменных; 10
решение симметрических и возвратных уравнений; 12
использование теоремы Безу; 15
метод неопределенных коэффициентов; 18
однородные уравнения; 20
графический метод решения. 22
1.4 Целые рациональные уравнения, содержащие знак модуля
23
1.5 Уравнения в целых числах 27
1.6 Рациональные уравнения с параметром 30
2. Дробно-рациональные уравнения
2.1 Равносильные переходы в дробно-рациональныхуравнениях
37
2.2 Замена в дробно-рациональныхуравнениях 38
2.3 Дробно-рациональные уравнения c модулем 39
2.4 Дробно-рациональные уравнения c параметром 40
3. Системы рациональных уравнений
3.1 Системы линейныхуравнений 41
3.2 Симметрические системы 47
3.3 Системы однородных уравнений 47
3.4 Системы уравнений с параметром 48
3.5 Графическое решение систем уравнений 49
4. Задачи на составление уравнений.
4.1 Задачи на проценты 51
4.2 Задачи на работу 54
4.3 Задачи на движение 56
4.4 Задачи на целочисленные значения 58
Список использованной литературы 59

4. Рациональные уравнения
Если обобщить известные нам способы решения рациональных уравнений, то мы
увидим, что в процессе решения сложного уравнения нам приходится шаг за шагом
заменять его более простым уравнением. В конце концов, мы получаем достаточно
простое уравнение и находим его корни.
В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество корней
последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения? Если все
преобразования были равносильными, т.е. каждое последующее уравнение было
равносильно предыдущему, то ответ на поставленный вопрос положителен, если же
равносильность хоть в каком то шаге нарушилась, то возможно вы потеряли корни
или получили посторонние.
Теоремы равносильности уравнений:
№
пп
Формулировка
Математическая
модель
1
Если какой-нибудь член уравнения перенести из
одной части уравнения в другую, с
противоположным знаком, то получится
уравнение равносильное данному.
f ( x ) = g ( x )
f ( x ) - g ( x )= 0
2
Если обе части уравнений возвести в одну и ту же
нечетную степень, то получится уравнение
равносильное данному.
f ( x ) = g ( x ) 
f 2n+1 ( x ) = g2n+1 ( x)
)
3
Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) умножить
на одно и то же выражение h ( x ), которое:
а) имеет смысл всюду в области допустимых
значений уравнения f ( x ) = g ( x );
б) нигде в этой области не обращается в 0, то
получится уравнение f ( x )h ( x )= g ( x)h (x ),
равносильное данному.









;0)(
);(
);()(
xh
hDОДЗ
xgxf
f (x) h(x) = g(x) h(x).
рациональные
уравнения
целые
рациональные
дробные
рациональные

5. 4
Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x )
неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после
возведения его обеих частей в одну и туже четную
степень получится уравнение равносильное
данному.









;0)(
;0)(
);()(
xg
xf
xgxf
f 2n(x) = g 2n(x).
5
Уравнение h (f ( x )) = h (g ( x )) равносильно
уравнению f (x) = g(x), если:
а) функция h ( t ) – монотонна;
б)ОДЗ исходного уравнения совпадает с ОДЗ
полученного уравнения.






;)(
));(())((
монотоннаяth
xghxfh
f (x) = g(x), ОДЗ!
Раздел 1. Целые рациональные уравнения
Функция вида P(x) = а0хn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1 x + an, где n — натуральное,
a0, a1,., an —некоторые действительные числа, называется целой рациональной
функцией.
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется
целым рациональным уравнением.
1.1. Линейные уравнения
Линейное уравнение имеет вид : ax = b.
Если а = 0 и b = 0, то любое значение переменной х является решением.
Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение решений не имеет.
Если а ≠ 0, то решением является значение
b
x
a
 .
целые
рациональные
уравнения
1. линейные
уравнения
ax+b=0
2. квадратные
уравнения
ax2
+ bx + c = 0
3. уравнения
высших
степеней

6. 1.2. Методы решения квадратного уравнения
1. Формула корней квадратного уравнения ( )0D
ax2 +bx+c=0
при b=2k
02
 gpxx
;
2
42
2,1
a
acbb
x


a
ackk
x


2
2,1 ;
42
2
,1 2
g
pp
x 


2. Теорема, обратная теореме Виета
ax2 +bx+c=0 02
 gpxx








.21
21
a
c
xx
a
b
xx
gxx
pxx


21
21
3. Приём «коэффициентов»:
Если а+b+с=0 (или a+b=c) Если b = а + с
то .,1 21
a
c
xx  то .,1 21
a
c
xx


Примеры.
1. 09134 2
 xx
Решение: Так как 4+9=13, то 11 x . Чтобы найти х2, воспользуемся формулой
.
4
1
2
4
9
2 
a
c
x
Ответ:
4
9
,1 21  xx
2. 0619841978 2
 xx
Решение Так как 6+1978=1+9=13, то 11 x . Чтобы найти х2, воспользуемся формулой
.
4
1
2
4
9
2 
a
c
x
1978
6
;1 21  xx
квадратные
уравнения
1. Формула
корней
2. Теорема,
обратная
теореме Виета
3.
Специальные
приемы
02
 cbxax

7. Задания
Уровень А Уровень В Уровень С
1 х2+15х-16=0; 07114 2
 xx 0619841978 2
 xx
1 и -16
4
7
,1 21

 xx
1978
6
;1 21  xx
2 х2+23х-24=0; 0189 2
 xx 0208137345 2
 xx
1 и -24
9
1
;1 
345
208
;1
3 2х2+х-3=0 -5х2+0,6+4,4х=0 016691988319 2
 xx
1 и -1,5 1 и -0,12
.
319
1669
;1 21  xx
4 -2х2+1,7х+0,3=0;
4
1
х2+3
4
3
х -4=0 0391448839 2
 xx
1 и -0,15 1 и -16
839
391
;1 
5 5х2+х-6=0
3
1
х2+2
3
2
х-3=0 0220112009 2
 xx
1 и -1,2 1 и -9 -1 и -2/2009
4. Приём «переброски»
Примеры
1. 05112 2
 xx . «Перебрасываем» 2, умножив 5 на 2, получим
010112
 xx . Корни последнего уравнения 10 и 1 делим на 2.
Тогда корни исходного уравнения 5 и 0,5.
2. 01870376 22
 xxxx
Корни 9 и (-2). Делим числа 9 и ( -2) на 6:
6
2
,
6
9
21  xx . Ответ
3
1
;
2
3

5. Особые случаи
1.








a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22
Пример: 06376 2
 xx . Ответ:
6
1
6 21
 xx
2.








a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22
Пример:








15
1
15
01522615
2
1
2
x
x
xx

8. 3.








a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22
Пример: 01728817 2
 xx








17
1
17
2
1
x
x
4.








a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22
Пример:








10
1
10
0109910
2
1
2
x
x
xx
Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в
школьных учебниках математики. Овладение данными приёмами поможет учащимся
экономить время и эффективно решать уравнения, а потребность в быстром решении
обусловлена применением тестовой системы ЕНТ.
1.3 Уравнения высших степеней
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 , an ≠ 0
Мы будем рассматривать, в основном, частные виды уравнений третьей и
четвертой степени, т.е. те, в которых коэффициенты специально подобраны.
Существуют общие формулы решения уравнений третьей степени (в XVI в.
итальянские алгебраисты Ферро, Тарталья, Кардано (метод Кардано) и ученик
Кардано Феррари (метод Феррари) решили в радикалах уравнения третьей и
четвертой степеней. Более того, все уравнения данной степени n (n ≤ 4) можно
"обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов
уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.
Итальянец Паоло Руффини и норвежский математик Нильс Хенрик Абель в
начале XIX в доказали, что общее уравнение степени n при n ≥ 5 неразрешимо в
радикалах (Теорема Абеля – Руффини).
Итак, рассмотрим решения уравнений высших степеней следующих видов:

9. Упрощение и разложение на множители.
Некоторые уравнения можно решить, не применяя особо сложных методов. Эти
уравнения упрощают до квадратных или линейных, либо упрощают и раскладывают
на множители, приводя их к виду f(x)∙g(x) = 0. Далее пользуются правилом, что:
произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда равен нулю один из
его множителей, а другой при этом не теряет смысла.
Следовательно, решение уравнения f(x)∙g(x) = 0 сводится к решению
совокупности 




.0)(
,0)(
xg
xf
Рассмотрим этот метод на примерах:
1.      
22
3 2,1 6 5 0,7 5x x x x x      .
Решение: Преобразуем уравнение:
          
2
3 0,7 1 5 0,7 5 0 0,7 5 3 3 5 0x x x x x x x x x              
       
5,
0,7 5 2 2 0 0,7 5 1 0 0,7,
1.
x
x x x x x x x
x
 
            


Ответ: -5; -0,7; 1.
2. 4 3 2
3 12 4 0x x x x    .
Решение:
уравнения высших
степеней P(x)=0
уравнения третьей
степени
ax3+bx2+cx+d=0
уравнения четвертой
степени ax4+bx3+cx2
+dх+е=0
возвратные
ax4+bx3+cx2+kbx+k2a=0
симметрические
ax4+bx3+cx2+bx+a=0
однородные
u2(x)+u(x)v(x)+v2(x)=0

10.       4 3 2 3 2 2
3 12 4 0 3 12 4 0 3 1 4 3 1 0x x x x x x x x x x x x              
      2
0,
2,
3 1 4 0 3 1 2 2 0 1
,
3
2.
x
x
x x x x x x x
x
x

  

          
 


Ответ:-2;
1
3
 ; 0;2.
3. 3 2
2 7 7 2 0x x x    .
Решение: Преобразуем уравнение:
        3 2 3 2
2 2 7 7 0 2 1 7 1 0 2 1 1 7 1 0x x x x x x x x x x x                
     2 2
1 2 2 2 7 0 1 2 5 2 0x x x x x x x           
    
2,
1 2 2 0,5 0 1,
0,5.
x
x x x x
x
 
         

 
Ответ: -2; -1; -0,5.
4. 3
7 6 0x x  
Решение:    3 3 2
7 6 0 6 6 0 1 6 1 0x x x x x x x x             
           2
1 1 6 1 0 1 6 0 1 3 2 0x x x x x x x x x x                
3,
1,
2.
x
x
x
 
 


Ответ: -3; 1; 2.
Задания
Уровень А Уровень В
1       
2
0,4 2 2 5 2 2x x x x x           
22
50 0,16 1,5 2 3 5 2x x x x    
–0.4;2;3 0.4;1.5
2       2 2
2 3 4 3 12 4 9x x x x          2 2
2 5 3 3 2 1 6 9x x x x x x      
–4;-3;1.5 –3;-0.5
3 4 3 2
2 2 1 0x x x x     4 3
4 2 3 9 0x x x   
 1 5 /2  
4 4 3 2
4 7 7 7 4 0x x x x     4 3 2
9 3 14 2 4 0x x x x    
 3 5 / 2   1 7 /3  ;–2/3; 1
5 3 2
3 2 0x x x    3 2
2 1 0x x x   
–2;  1 5 / 2 0.5
6 3 2
5 5 3 0x x x    3 2
3 4 7 2 0x x x   

11. –3; 1 2  –1/3
Уровень С
8 2 3 4 5 6 7
1 0x x x x x x x        2 3 4 5 6 7
1 0x x x x x x x       
–1 1
9    2 2 2
3 1 3 2 9 20 30x x x x x x           2 2 2
1 6 3 4 120x x x x x x       
 3 25 4 30 / 2  ; 3 29 /2 –3;2;  1 19 2 145 / 2  
Замена переменных
Достаточно часто при решении уравнений высших степеней используется
метод замены переменных. Он заключается в том, что если уравнение имеет вид
P(Q(x)) = 0, где P и Q - многочлены, то замена y = Q(x) сводит его решение к
решению двух уравнений меньших степеней: P(y) = 0 и Q(x) = y. Метод замены
переменных применяется при решении различных уравнений, очень часто как
составная часть других методов.
ПРИМЕРЫ.
1. (x2 – 6x)2 – 2(x - 3)2 = 81.
Решение: Преобразуем исходное уравнение к виду(x2 – 6x)2 –2(x2 –6x+ 9)=81. Пусть x2
– 6x = t. Тогда исходное уравнение примет вид t2 – 2(t + 9) = 81. Отсюда t = -9 или t =
11. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности 




.116
,96
2
2
xx
xx
В
итоге x = 3, x = 3 - 20 или x = 3 + 20
2.    
22 2
2 3 7 2 3 10x x x x    
Решение: Пусть 2
2 3x x t  , получим уравнение 2 2,
7 10 0
5.
t
t t
t

     
Получим
совокупность двух уравнений:
2 2
2 2
2,
0,52 3 2, 2 3 2 0,
2 3 5, 2 3 5 0, 2,5,
1.
x
xx x x x
x x x x x
x
 
                 
 
Ответ: -2,5; -
2; 0,5; 1.
3.   2 2
3 1 3 3 3x x x x     .
Решение: Пусть 2
3 1x x t   , тогда 2
3 1 2 2x x t     , получим уравнение:

12.   2 3,
2 3 2 3 0
1.
t
t t t t
t
 
         
Получим совокупность двух уравнений:
2 2
2 2
0,3 1 3, 3 4 0,
3.3 1 1, 3 0,
xx x x x
xx x x x
        
          
Первое уравнение имеет отрицательный дискриминант и не имеет
действительных корней. Ответ: 0; 3.
4. (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.
Решение.(x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) =1680, т.е. (x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.
Обозначим x2 – 11x + 28= t, тогда t(t + 2)=1680, t2 + 2t – 1680=0, t1 = – 42; t2 = 40.
Поэтому x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0, нет решений.
x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.
Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.
5. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.
Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t
+ 1)4 = 16, т.е. t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,
т.е. 2t4+12t2 –14=0, или t4+6t2–7 = 0. Положим t2 = z , тогда z2+6z–7=0, z1=–7; z2 = 1.
С учётом t2 = z отбрасываем z1. Итак, z = 1,т.е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1.
Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = –3.
Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.
Задания
Уровень А Уровень В
1    2
6 16 63 10 10x x x x         1/2 1/3 2/3 3/2 1/3 0x x x x     
8 6   5 97 /12  5 73 /12;
2    2
10 24 5 3 15 0x x x x             
2 23 2
1 25 5 5 1x x x x x     
 9 21 /2 2; 1; 5  
3   2 2
10 21 12 32 60x x x x    
2 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 12x x x x      
2;9 -1
4 3 2
2 3 6 0x x x    3 2
4 11 30 0x x x   
2; 3  -3; 2; 5
5    2 2
6 7 3 7 4 1x x x        
2
6 5 3 2 1 35x x x   
–1.5;-5/6
 5 21 /6 
6    2
64 112 49 4 3 1 4,5x x x x        2
4 3 2 1 4 7 3 34x x x x    
–1.25;-0.5
 3 17 /4
7    
4 4
2 2 626x x       
4 4
1 3 82x x   
3 –2;0
8
   
4 4
2 2 64x x       
4 4
3 1 3 2 17x x   
2 0;1/3

13. 9 (х2+х+2)(х2+2х+2)=2х2
  2 2 2
2 3 1 2 5 1 9x x x x x    
–2; -1
 3 7 / 2  ; 2 2 / 2
Уровень С
10    2 2 2
4 2 3 3 4x x x x x          2 2 2
2 2 12 3 10 60x x x x x x      
 1 17 /2  ; 1 15 2 17 / 2   -1;3; 1 12 21 
11    
5 5
5 2 243x x       
5 5
1 1 32x x x   
2;5 0; 1
12  
55
6 1056x x        
5 5
1 3 242 1x x x    
2;4 –2;-1;0
13      2
2 8 3 12 4x x x x x       2 2 2
15 54 5 6x x x x x    
 15 129 / 2  ;–6;-4  10 50 222 20 50 / 2   
 10 50 222 20 50 / 2   
Решение симметрических и возвратных уравнений.
Уравнения вида:a0x2n+1 + a1x2n + … + anxn+1 +λanxn + λ3an-1xn+1 + … + a0λ2n+1 = 0.
a0x2n + a1x2n-1 + … + an-1xn+1 +anxn + λ an-1xn-1 + λ2an-2xn-2 + … + λna0 = 0, 00 а , где λ –
некоторое число, отличное от нуля, называются возвратными уравнениями. При λ =
1 данные уравнения являются симметрическими уравнениями. Симметрическое
уравнение легко определить по его внешнему виду, в нём равны коэффициенты,
находящиеся на одинаковых местах с концов многочлена.
Примеры.
1. х4 + х3 – 10х2 + х + 1 = 0.
Решение: Это симметрическое уравнение четвёртой степени, х = 0 не является
решением, делим обе части на х2 и получаем 2
2
1 1
10 0x x
x x
     . Вводим замену
1
y x
x
  , получаем у2 + у − 12 = 0, откуда, возвращаясь к замене, получим
1
4x
x
  
или
1
3x
x
  . Данные уравнения равносильны уравнениям х2 + 4х + 1 = 0 и х2 − 3х + 1
= 0. Ответ: 2 3  ;
3 5
2

.
2. х4 − 10х3 + 120х + 144 = 0.
Решение: Это - возвратное уравнение четвёртой степени, у которого λ = −12, так
как его можно переписать в виде х4 − 10х3 + 0х2 – 10∙(−12)х+ (−12)2 = 0. Разделив обе
части уравнения на х2 (так как х = 0 не является решением исходного уравнения) и
сгруппировав члены, получим уравнение, равносильное данному:
2
2
144 12
10 0x x
x x
 
    
 
. Положив
12
y x
x
  , получим у2 − 10у + 24 = 0, откуда,

14. возвращаясь к замене, получим
12
6x
x
  или
12
4x
x
  , т.е. х2 − 6х − 12 = 0 или
2
4 12 0x x   . Ответ: −2; 6; 3 21 .
3. 4х4 – 8х3 + 3х2 – 8х + 4 = 0.
Решение: Это симметрическое уравнение четвёртой степени, х = 0 не является
решением, делим обе части на х2 и получаем 2
2
8 4
4 8 3 0x x
x x
     . Вводим замену
1
y x
x
  , получаем 4у2 − 8у − 5 = 0, откуда, возвращаясь к замене, получим
1 1
2
x
x
  
или
1 5
2
x
x
  . Данные уравнения равносильны уравнениям 2х2 + х + 2 = 0 и 2х2 − 5х +
2 = 0. Ответ: 0,5; 2,5.
Рассмотрим возвратные уравнения степени n>4.
Уравнение 2х5 + 6х4 – 2х3 + 4х2 – 48х – 64 = 0 является возвратным (λ = −2), и
уравнение 4х6 + 5х5 – 3х4 + 10х3 – 9х2 + 45х + 108 = 0 является возвратным (λ = 3), а
уравнение х5 + 2х4 + 3х3 + 3х2 + 2х + 1 = 0 является симметрическим (λ = 1).
Возвратное уравнение нечётной степени всегда имеет корень х = −λ.
Следовательно, выделив в левой части возвратного уравнения нечётной степени
множитель х + λ, получаем, что данное уравнение эквивалентно совокупности,
состоящей из уравнения х = −λ и возвратного уравнения чётной степени.
4. х5 + 2х4 + 3х3 + 3х2 + 2х + 1 = 0.
Решение: Это симметрическое уравнение пятой степени, значит в его левой
части можно выделить множитель х + 1, получаем (х + 1)(х4 + х3 + 2х2 + х + 1) = 0.
Решим уравнение х4 + х3 + 2х2 + х + 1 = 0. Это симметрическое уравнение четвёртой
степени, х = 0 не является решением, делим обе части на х2 и получаем
2
2
1 1
2 0x x
x x
     . Группируем 2
2
1 1
2 0x x
x x
   
       
   
и вводим замену
1
y x
x
  ,
получаем у2 + у = 0, откуда у = −1 или у = 0. Уравнения
1
0x
x
  ,
1
1x
x
   решений
не имеют. Ответ: −1.
5. х6 + х5 + х4 + 6х3 + х2 + х + 1 = 0.
Решение: Это симметрическое уравнение шестой степени. Делим обе части на х3,
вводим замену
1
y x
x
  , и получаем у3 + у2 − 2у − 8 = 0. Последнее уравнение
представляем в виде (у − 2)(у2 + 3у + 4) = 0, откуда
1
2x
x
  . Ответ: 1.
6. х6 − 5х4 − 5х2 + 1 = 0.

15. Решение: Это симметрическое уравнение шестой степени. Делим обе части на х3,
вводим замену
1
y x
x
  , и получаем у3 − 8у = 0, откуда
1
0x
x
  , или
1
2 2x
x
   ,
или
1
2 2x
x
  . Ответ: 2 1  ; 2 1 .
7. 2х8 − 9х7 + 20х6 – 33х5 + 46х4 – 66х3 + 80х2 – 72х + 32 = 0
Решение. Это - возвратное уравнение восьмой степени, у которого λ = 2, так как
его можно переписать в виде
2х8 − 9х7 + 20х6 – 33х5 + 46х4 – 33∙2х3 + 20∙22х2 – 9∙23х + 2∙24 = 0.
Разделив обе части уравнения на х4 (так как х = 0 не является решением
исходного уравнения) и сгруппировав члены, получим уравнение, равносильное
данному: 2(х4 + 4
16
х
) – 9(х3 + 3
8
х
) + 20(х2 + 2
4
х
) – 33(х +
х
2
) + 46 = 0
Положим у = х +
х

= х +
х
2
. Тогда х2 + 2
4
х
= у2 – 4; х3 + 3
8
х
= у3 – 6у; х4 + 4
16
х
= у4 –
8у2 + 8, и последнее уравнение примет вид 2у4 – 9у3 + 4у2 + 21у −18 = 0.
Используя метод отыскания рационального корня, получим корни этого
уравнения: у1 = 1, у2 = 2, у3 = 3, у4 =
2
3
 . Таким образом, данное уравнение
равносильно совокупности, состоящей из четырёх уравнений:
х +
х
2
= 1, х +
х
2
= 2, х +
х
2
= 3, х +
х
2
=
2
3
 .
Решая эту совокупность, найдём корни исходного уравнения – числа 1 и 2.
Задания
Уровень В Уровень С
1 х4 – 2х3 – 13х2 – 2х + 1 = 0. 78х6 – 133х5 + 133х-78 = 0.
3 5
2
 
;
5 21
2
 1 ;
2/3;1.5;
2 х4 +2х3 – 6х2 + 2х + 1 = 0. 68х8 – 257х6 – 257х2 +68 = 0.
1; 2 3  0.5; 2 
3 16х4 +4х3 – 8х2 – 4х + 1 = 0. 5 4 3 2
2 3 5 5 3 2 0x x x x x     
0.5 ; 1 17 /8  –2;-1;-0.5;1
4 4х4 –10х3 +8х2 -5х + 1 = 0. 5 3 2
5 5 1 0x x x   
–2;6;3 21 1; 3 5 / 2 
5 х4 − 3х3 − 8х2 + 12х + 16 = 0. 5 4 3 2
4 6 15 15 6 4 0x x x x x     
−2; −1; 2; 4 –1;  101 1 38 2 101 /8    ;
 101 1 38 2 101 /8  

16. 6 3х4 – 7х3 + 2х -3 = 0. 5 4 3 2
2 3 3 2 1 0x x x x x     
 1; 7 13 /6  –1
Использование теоремы Безу для решения уравнений высших степеней
Теорема о рациональных корнях многочлена:
Если несократимая дробь p/q является корнем многочлена P(x) = anxn + an-1xn-1 +
… + a1x + a0, an ≠ 0 с целыми коэффициентами, то ее числитель p является
делителем свободного члена a0 , а знаменатель q - делителем старшего
коэффициента an .
С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с
целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов".
ПРИМЕРЫ
1. x3 + 3x2 +x – 2 = 0
Старший коэффициент уравнения равен 1, "кандидатами" на корни будут делители
числа –2. Их всего четыре: 1, −1, 2 и −2. Проверка показывает, что корнем является
только одно из этих чисел: x0 = –2. Если один корень найден, можно понизить
степень уравнения. Согласно теореме Безу
Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x – c равен P(c), т. е. P(x) = (x−c) ∙
Q(x) + P(c).
Из теоремы непосредственно следует, что:
Если c - корень многочлена P(x), то многочлен делится на x – c , т. е. P(x) = ( x−c) ∙
Q(x), где Q(x) - многочлен степени, на 1 меньшей, чем P(x).
Продолжая наш пример, вынесем из многочлена P(x) = x3 + 3x2 +x – 2
множитель x – x0 = x + 2. Чтобы найти частное Q(x), можно выполнить деление
"уголком" или применить схему Горнера. Но есть и более простой способ. Он станет
понятен из примера:
P(x) = x3 + 3x2 +x – 2 = (x3 + 2x2) + (x2 + 2x) – (x + 2) = (x + 2) ∙ (x2 + x – 1). Теперь
остается решить квадратное уравнение x2 +x – 1 = 0. Его корни:
2
51
2,1

x
2.
3 2
4 6 0x x x    .
Решение: Нетрудно заметить, что среди делителей свободного члена:
1; 2; 3; 6    одним из корней уравнения является -1:
3 2
( 1) 4( 1) 1 6 0, 1 4 1 6 0, 0 0            . Значит левая часть - многочлен делится,
по теореме Безу, на x +1.
Применим схему Горнера или выполним деление в «столбик».

17. Как видим, рациональным будет применение схемы Горнера для деления
многочленов.
Корень 1 -4 1 6 _ х3-4х2+х+6 х+1
-1 1 -5 6 0 х3 +х2 х 2-5х+6
_ -5 х2+х+6
-5 х2-5х
_ 6х+6
6х+6
0
и получим       2
1 5 6 0 1 3 2 0x x x x x x         
1,
2,
3.
x
x
x
 
 


Ответ: -1; 2; 3.
3. x3 + 2x2 – x – 2 = 0
Решение: Корни отыскиваем среди чисел ±1, ±2. Подстановкой убеждаемся, что
х=1 является корнем. Делим на (х − 1),
Корень 1 2 -1 -2
1 1 3 2 0
получаем уравнение (х−1)(х2+3х+2) = 0, равносильное уравнению
(х−1)(х+1)(х+2) = 0. Ответ: ±1, −2.
4. x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0
Решение: Корни отыскиваем среди чисел ±1, ±2, ±7. Подстановкой убеждаемся, что
х=2 является корнем. Делим на (х−2),
Корень 1 -6 15 -14
2 1 -4 7 0
получаем уравнение (х−2)(х2−4х+7)=0;уравнению (х2−4х+7)=0 корней не имеет.
Ответ: 2.
5. 6x4 – x3 – 7x2 + x + 1 = 0
Решение: Корни отыскиваем среди чисел
1 1 1
1, , ,
2 3 6
    . Проверяем, и убеждаемся,
что х=1 − корень. Делим на (х−1),
Корень 6 -1 -7 1 1
1 6 5 -2 -1 0
получаем уравнение (х−1)(6х3+5х2−2х−1)=0. Решаем уравнение 6х3+5х2−2х−1=0
аналогично исходному. Корнем является х=0,5. Получаем уравнение
(х−0,5)(6х2+8х+2)=0, решаем его. Ответ
1 1
1, ,
2 3
  .

18. 6. 2x4 + 7x3 – 12x2 – 38x + 21 = 0.
Решение: Корни отыскиваем среди чисел
1 3 7 21
1, 3, 7, 21, , , ,
2 2 2 2
        .
Проверяем, и убеждаемся, что х=−3 − корень. Делим на (х+3) по схеме Горнера
Корень 2 7 -12 -38 21
-3 2 1 -15 7 0
получаем уравнение (х+3)(2х3+х2−15х+7) = 0. Уравнение 2х3+х2−15х+7 = 0 решаем
аналогично исходному. Корнем является х=0,5. Получаем уравнение
(х−0,5)(2х2+2х−14)=0. Корнями уравнения 2х2+2х−14=0 являются числа
1 29
2
 
.
Ответ: −3; 0,5; 1 29
2
 
.
Задания
Уровень А Уровень В Уровень С
1 х3 − 3х + 2 = 0 4 3 2
2 9 3 9 5 0x x x x     3 2
30 89 82 24 0x x x   
1; −2 –5;0.5 –1.5;-0.8;-2/3
2 4х3 − 9х2 − х +6 = 0 4 3 2
6 5 14 14 3 0x x x x    
−0,75; 1; 2 –1.5;-1/3; 1 5 / 2
3 х4 + 2х3 − 6х2 − 7х + 10 = 0 3 2
6 11 6 0x x x   
−2; 1; 1 21
2
  –3;-2;-1
4 4 3 2
6 6 5 12 0x x x x     3 2
6 35 26 5 0x x x    3
7 2 5 0x x  
3;4; –5; -0.5;-1/3
 5; 5 13 /2 
5 4 3 2
9 29 39 18 0x x x x     3 2
30 31 10 1 0x x x    3
2 5 2 0x x  
–3;-2;-1 0.2;1/3;0.5 2; 1/ 2; 1 1/ 2;  
Метод неопределенных коэффициентов.
Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не
оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с
целыми коэффициентами.
ПРИМЕРЫ
1. x4 – 2x2 – 8x – 3 = 0
Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с
неизвестными (неопределенными) коэффициентами:
x4 – 2x2 – 8x – 3 = (x2 + ax + b)∙(x2 + px + q)

19. Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:
x4 – 2x2 – 8x – 3 = x4 + (a + p)x3 + (b + ap + q)x2 + (aq + bp)x + bq
Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях,
получим систему уравнений











.3
,8
,2
,0
bq
bpaq
qapb
pa
Попытка решить эту систему в общем
виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если
они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно
считать, что b ≥ q, тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь
два варианта: b = 3,q = -1 и b = 1, q = -3. Подставляя эти пары значений в остальные
уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: x4 – 2x2 – 8x – 3
= (x2 + 2x + 3)∙(x2 - 2x - 1). Этот способ решения называется методом
неопределенных коэффициентов.
Решая далее исходное уравнение, получим
2
2
1 2,2 3 0,
2 1 0; 1 2.
хх х
х х х
     
 
     
Ответ: 21õ .
2. x4 - 4x3 - 10x2 + 37x – 14 = 0.
Решение: Рассуждая аналогично, получим
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x – 14 = (x2 + ax + b)∙(x2 + px + q)
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x – 14 = x4 + (a + p)x3 + (b + ap + q)x2 + (aq + bp)x + bq
4,
10,
37,
14.
a p
b ap q
aq bp
bq
  
    

 
  
последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь
четыре варианта: b = 14,q = -1; b = 7, q = -2; b = 2,q = -7 и b = 1, q = -14. Подставляя
эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что третья из них дает
искомое разложение:
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x – 14 = (x2 – 5x + 2)∙(x2 + x – 7), следовательно, исходное
уравнение равносильно совокупности

20. 2
2
5 17
,
2
5 17
,
5 2 0, 2
7 0; 1 29
,
2
1 29
.
2
х
х
х х
х х
х
х
 


 
   

    


  


Ответ:
5 17 1 29
;
2 2
х х
  
  .
3. x4 – 22x2 – 5x + 2 = 0
Решение: x4 – 22x2 – 5x + 2 = (x2 + ax + b)∙(x2 + px + q)
x4 – 22x2 – 5x + 2 = x4 + (a + p)x3 + (b + ap + q)x2 + (aq + bp)x + bq











.2
,5
,22
,0
bq
bpaq
qapb
pa
Имеем для рассмотрения два варианта: b = 2,q = 1 и b = -1, q = -
2. Первая из них даёт искомое разложение: x4 – 22x2 – 5x + 2 = (x2 + 5x + 2)∙(x2 – 5x +
1). Далее переходим к совокупности и решаем её.
2
2
5 17
,
2
5 17
,
5 2 0, 2
5 1 0; 5 21
,
2
5 21
.
2
х
х
х х
х х
х
х
  


  
   

   


 


Ответ: 5 17 5 21
;
2 2
х х
  
  .
Задания
Уровень В Уровень С
1 х4-4х3-10х2+37х-14=0 x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = 0
2
291
;
2
175  –5; –1; 1; 3
2 х4 – 8х +63 = 0 4 2
2 12 8 0x x x   
корней нет 1 3
3 4 3 2
2 3 4 1 0x x x x     4 3 2
3 14 19 8 1 0x x x x    
 3 5 / 2  ; 1 2 / 2  3 5 / 2   5 13 /2  ;
4 4 2
3 4 3 0x x x   
 1 13 /2

21. Однородные уравнения
Уравнение называется однородным, если каждое его слагаемое имеет одну и ту
же степень. Так второго порядка однородности относительно выражений f(x) и g(x)
будет уравнение вида af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) = 0. Решается оно путём деления
обеих частей уравнения на g2(x), с предварительной проверкой того, являются ли
корни уравнения g(x) = 0 решением исходного уравнения, и последующей заменой
y
xg
xf

)(
)(
.
ПРИМЕРЫ.
1. (х2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0.
Так как х = 0 не является решением данного уравнения, то можно разделить обе
его части на х2, получим 015
4
8
4 222







 
х
хх
х
хх
. Введя замену y
х
хх

 42
и перейдя к квадратному уравнению у2 + 8у +15 = 0, получим










.3
4
;5
4
2
2
x
xx
x
xx
.
Откуда получаем 532,1 x , 23 x .
2. (х2 - х + 1)4 – 6х2(х2 - х + 1)2 + 5х4 =0.
Решение: Учитывая, что х = 0 не является решением, получим
22 2 2 2
2 2
( 1) ( 1)
6 5 0
х х х х
х х
      
     
   
, откуда, выполнив замену
2 2
2
( 1)х х
у
х
 
 ,
получим у2 − 6у + 5 = 0. Решаем последнее уравнение, возвращаемся к замене и
получаем
2 2
2
( 1)
1
х х
х
 
 или
2 2
2
( 1)
5
х х
х
 
 , откуда переходим к решению
совокупности
2
2
2
2
1 0,
2 1 0,
(1 5) 1 0,
(1 5) 1 0.
х
х х
х х
х х
  

  
    

    
Ответ: 1; 1 5 2 2 5
2
  
; 1 5 2 2 5
2
  
.
3. 2(х2 + х + 1)2 – 7(х − 1)2 = 13(х3 − 1).
Решение: Учитывая, что х = 1 решением не является, т.к. 18 ≠ 0, то делим обе
части уравнения на (х−1)2 и получаем уравнение
22 2
1 1
2 13 7 0
1 1
х х х х
х х
      
     
    
.

22. Введя замену
2
1
1
x x
y
x
 


и решая квадратное уравнение, получим
2
1 1
1 2
х х
х
 
 

или
2
1
7
1
x x
x
 


. Ответ: −1; −0,5; 2; 4.
4. (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2.
Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится
уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U
и V: U = (x - 1)2, V = (x + 1)2. Уравнение примет вид однородного уравненияU2 + 9V2
= 10UV.Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится
уравнением относительно неизвестного W: W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.
Решим вспомогательное уравнение W2-10W+9 = 0. Его корни W1=1, W2=9.
Осталось решить уравнения (x -1)2/(x+1)2 =1 и (x -1)2/(x +1)2 =9.
Из первого уравнения следует, что либо (x -1)/(x + 1)=1, либо (x -1)/(x + 1)=-1.
Из второго получаем, что либо (x - 1)/(x + 1) = 3, либо (x -1)/(x +1)=-3. Решая
получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а
из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
5. 3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Решим уравнение как однородное. Разделим обе части уравнения на (x2 – x
+ 1): 3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.
Пусть (x + 1)/(x2 – x + 1)=t, тогда 3–5t – 2t2 =0, т.е. t1=–3; t2=0,5.Следовательно:
(x + 1)/(x2 – x + 1) = 0,5 = 1/2; 2x + 2 = x2 – x +1; x2 – 3x – 1 = 0;
2
133
2,1

х
(x + 1)/(x2 – x + 1)=–3;x+1=–3x2+3x–3; 3x2–2x+4=0; D = 4–48<0, нет решений.
Ответ:
2
133
2,1

х
Задания
Уровень В Уровень С
1      
2 22 3
2 1 7 1 13 1 0x x x x          8 4 6 2 4
2 1 4 3 0x x x x x     
–1;-0.5;2;4
 3 5 / 2 
2      
22 3 2
7 4 4 6 8 2 4 0x x x x x           
4 22 2 2 4
1 6 1 5 0x x x x x x      

23. –10;1
 5 1 2 2 5 / 2  
3 (х2 − х)4 − 5(х2 − х)2х2 + 6х4 = 0. (х2 + х + 1)2 = х2(3х2 + х + 1).
0; 1 2 ; 1 3 . 2
7 ;
1 5
2

4 (2х - 1)2 + (2х - 1)(х + 2) – 2(х + 2)2 = 0. (3х2 + 7х − 2)2 + 5х2(3х2 + 7х − 2) −
24х4 = 0.
−0,75; 3. 7 137
22
 
Графический метод решения
Уравнения решаются не только аналитически, но и графически. Рассмотрим
графический способ решения на примере. Решить уравнение х5 + х − 2 = 0. Решим его
графически, для этого преобразуем уравнение к виду х5 = 2 − х, и построим графики
функций у = х5 и у = 2 − х.
Очевидно, что графики имеют только одну точку пересечения, абсцисса которой
приблизительно равна 1. Выполнив проверку, убеждаемся, что х = 1 является
единственным корнем исходного уравнения.
1.4 Целые рациональные уравнения, содержащие знак модуля.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод
интервалов. Напомним, что | f (x) | =[
f (x), если f (х) ≥ 0
– f (x), если f (x) < 0
.
Рассмотрим различные виды уравнений, содержащих знак модуля.
1. Уравнения вида | f(x)| = b, b R
При b<0 решений нет, при b=0 имеем f(x)=0, при b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно
совокупности двух уравнений

24. 2. Уравнение вида f(| x| )=g(x),
где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения. Уравнение равносильно
совокупности систем: и
3. Уравнение вида | f(x)| =g(x)
Уравнение равносильно совокупности систем: и
4. Уравнение вида | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| =g(x)
Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в
которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят
область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции
сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к
совокупности систем, не содержащих знак модуля.
Примеры
1.|3x - 1| = |2x + 3|.
В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3,
либо 3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4,
а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х1 =4, х2 =-2 / 5.
2. |x| = |3 - 2x| - x - 1.
Решение. Выражение x обращается в нуль при x=0, а выражение 3-2x— при x =3/2.
Точки 0 и 3/2 разбивают числовую ось на промежутки (-∞;0),[0;3/2], (3/2; ∞).
1) При -∞ < x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x > 0.Поэтому на этом промежутке |x|=-x, |3 - 2x| = 3 -
2x и уравнение принимает вид -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это
значение x не лежит на (-∞; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет.
2) При 0 < x <3/ 2 имеем x > 0, 3 - 2x< 0, поэтому|x| = x, |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение
принимает вид x =3 - 2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x
принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения.
3) Наконец, на промежутке (3 / 2; +∞) имеем x > 0, 3 - 2x <0, а потому |x| = x, |3 - 2x| = -(3 -
2x) и уравнение принимает вид x = -(3 -2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке
нет корней заданного уравнения. Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь
один корень, а именно x= 0,5.
В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.
3. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.
Решение. Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в
точках 8/5, -3, 5/6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в

25. ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-∞;-3), (5/6; 8/5],(8/5; +∞)
уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5/6] оно обращается в тождество 8 -
5x = 3+x+5- 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5/6]. Ответ: [-3; 5/ 6].
Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под
знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки
знакопостоянства позволяет решить уравнение.
4. |2x - 3 - |x + 2|| = 8x + 12.
Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2.
1) Если x<-2, то (x+ 2)<0 и потому |x +2|= -(x + 2). Значит, на промежутке (-∞; - 2)
заданное уравнение принимает вид |2x-3 + (x+2)| = 8x+12, т.е. |3x-1|=8x+12. Но при x
< -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому |3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x +
12,имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-∞; - 2),
то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.
2) Пусть теперь x> - 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение
|2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12.Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5
и x≥ 5. В первом случае | x - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение
-(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2<-7 / 9 < 5, то -7 / 9 является
корнем заданного уравнения. Если же x≥5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает
вид x - 5 = 8x + 12.Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку
оно не лежит на луче [5; +∞), оно не является корнем заданного уравнения. Итак,
решение имеет вид x= -7/9. Ответ: x = -7 / 9.
5.|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем
на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из
полученных интервалов:
-2/3 0 0,5
1) если x < – 2/3, то 1– 2x > 0, 3x+2<0, x<0 и уравнение переписывается так:
1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î(–∞; – 2/3).
2) если – 2 /3< x < 0, то 1–2x >0, 3x +2>0, x < 0 и поэтому имеем:
1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 5> 0, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.
3) если 0 <x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x =2; x = 1 [0; 0,5).

26. 4) если 0,5> x, то – 1+2x+3x+2+x=5, 6x=4, x =2/3∈(0,5;∞). Ответ:x1=– 1; x2 = 2 / 3.
6. | x | + | x – 1 | = 1.
Решение. x – 1= 0, x =1; х=0 получаем интервалы:
0 1
1) x ∈(-∞; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0  (-∞; 0).
2) x∈ [0;1), тогда x –x+1= 1; 1=1—тождество, значит, x—любое число из [0; 1).
3) x ∈[1; ∞), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 ∈[1; ∞). Ответ: x ∈[0; 1].
7. Решить систему
Из второго уравнения выразим | у+1| и подставим в первое уравнение.
Получим систему:
Ответ: (4; 2), (4; -4)

27. Существует интересный метод графического решения уравнений, содержащих поз знаком модуля
простейшие функции. Под
Задания
Уровень А Уровень В Уровень С
1
-1;0;1
2 5 5
10 2 2x x x   
1/2 4
5
3 2 3 2 3x x x      4 3 2 4
2 3 1 1x x x x x     
-1 2;4 –2; 1
4 3 2 3
3 1 3 1x x x x     2 2
2 3 2 5x x x x     
–2;0;1 –2;0;1/2;4/3
5 2 2
8 5 5x x x    2 2
4 3 4 3x x x x    
0;1,25;4    ;0.75 1;3 U
6 2 1 1 2x x x      3 3
4 1 1x x x    5 5
10 2 2x x x   
–2;0;2; 2 ; 0;0.5 - 4
5 ;0;0.4

28. 1.5 Уравнения в целых числах
Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения с целыми
коэффициентами или системы таких уравнений, у которых разыскиваются целые или
рациональные решения. Особенности их решения:
1) они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными
коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые, т. е. число уравнений в
них меньше числа неизвестных;
2) решения требуется найти только целые, часто натуральные.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно
выделить следующие методы: способ перебора вариантов, метод остатков, алгоритм
Евклида, цепные дроби, метод разложения на множители, решение уравнений в
целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной, метод остатков,
метод бесконечного спуска.
Способ перебора вариантов.
Задача: Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по
8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в
аквариуме животных?
Решение: Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у
всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или
отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и
у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы
выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает,
что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.
Ответ: (3; 3)
Метод остатков
Покажем на примере решения линейного уравнения в целых числах
0152127  yx .Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде
всего, выделим целую часть неправильной дроби
52
127
;
52
23
2
52
127
 . Правильную
дробь
52
23
заменим равной ей дробью
23
52
1
.Тогда получим
23
52
1
2
52
127
 . Проделаем такие
же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
23
52
. Теперь

29. исходная дробь примет вид:
6
23
1
2
1
2
52
127


.Повторяя те же рассуждения для дроби
6
23
получим
5
6
1
3
1
2
1
2
52
127


 .Выделяя целую часть неправильной дроби
5
6
, придем к
окончательному результату:
5
1
1
1
3
1
2
1
2
52
127




.Мы получили выражение, которое
называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой
цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь
в простую и вычтем ее из исходной дроби
52
127
:
9
22
9
4
2
4
1
2
1
2
1
1
2
1
2 



 ,
952
1
952
11441143
9
22
52
127




 .
Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда
0122529127  . Из сопоставления полученного равенства с уравнением
0152127  yx следует, что 9x , 22y будет решением этого уравнения и
согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях tx 529  ,
ty 12722   ,2,1,0 t .
В общем случае для нахождения решения уравнения 0 cybxa надо
разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепную дробь, отбросить ее
последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены
выше.
Разложение на множители
1. 2х2-3ху-2у2=7
Решение. Разложим левую часть на множители 2х2+ху-4ху-2у2=х(2х+у)-
2у(2х+у)=(2х+у)(х-2у). Тогда уравнение имеет вид (2х+у)(х-2у)=7. Так как х и у
целые числа, то данное уравнение равносильно совокупности систем уравнений

30. 
































12
72
12
72
72
12
72
12
ух
ух
ух
ух
ух
ух
ух
ух
, решим

































1
3
6,2
8,1
1
3
6,2
8,1
у
х
у
х
у
х
у
х
.
Из полученных ответов выбираем только целые (-3;-1),(3;1).
2. у2-2у-2х(у-1)-8х2+6=0.
Решение. Выделим полный квадрат (у-1)2-2х(у-1)-8х2=-5.
Сделаем замену t=y-1, t2-2xt-8x2=-5. Разложим t2-4xt+2xt-8x2=-5, t(t-4x)+2x(t-
4x)=-5, (t-4x)(t+2x)=-5. Перейдем в совокупности систем

































52
14
12
54
52
14
12
54
xt
хt
xt
хt
xt
xt
xt
xt

































3
1
1
1
3
1
1
1
t
х
t
х
t
x
t
x
Получим соответствующие значения у=t+1.
Ответ:
 )4;1(),2;1(),2;1(),0;1( 
Решение уравнений в целых числах
как квадратных относительно какой-либо переменной.
Задача: Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0.
Решение: Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х
5х²+(8у-2)х+5у²+2у+2=0,
х1,2= (1 –4у ±√(1 – 4у) ²-5(5у²+2у+2))/5 =(1 –4у ±√-9(у+1)²)/5.Данное уравнение имеет
решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у+1) = 0, отсюда у = -1. Если
у = -1, то х =1.Ответ: (1; -1)
Задания
Уровень А Уровень В Уровень С
1 2 2
3x y  2 2
5 4 11x xy y   2 2 2 2
2 5 0x y y x   
   2; 1 , 2; 1   m    2; 1 , 2; 9   m  2; 1 ,   2; 1 m
2 2 2
2 2x x y   2 2
3 2 3x xy y   2 2 2 2
5 4 2 11 0x y y x   
   3; 1 , 1; 1      1; 2 , 1;0    1; 3 ,   1; 3 m

31. 3  2 2
2 2 1 3 4x x x y y      2 2
9 3 2 11x xy y    2 2
2 1 0x xy x y y     
 3;1 , 1; 1 ,   1;1 ;  1; 4  
4 2 2 2 2
2 6 12 0x y y x    2
2 5 2 3 0xy x x y     2 2
2 2 3 2 7 0x xy x y y     
 2; 2 ,   2; 2 m    1;0 , 3;6    6;1 , 3; 2 ,      2;1 , 5; 2
5 2
1 0y xy x    2
5 2 5 0x xy x y     2 2
2 3 5 2 5 0x xy x y    
   1; 1 , 1;0 ,      5;2 , 5;3  17; 11 ,
     21;29 , 3;29 , 1; 11   
 1;2
6 2
3 3 6 3xy x x y    2 2 2 2
2 6 12 0x y y x    2 2
15 11 14 2 5 3 0x xy x y y     
 3;1    2; 2 , 2; 2   m        10; 23 , 3; 9 , 3; 5 , 0;3 ,     
       2;5 , 5;13 , 5;17 , 12;31
1.6 Рациональные уравнения с параметром
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми
значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами.
Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е.
одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных
значений параметров).
Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как
уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ¹ 0 является x = (c - b) / a. Если
a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями
данного уравнения являются все действительные числа. Если же b  c, при этом a = 0,
то данное уравнение корней не имеет.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не
приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров
следующие объекты:
функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y-переменные; k-параметр,k  0);
линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);
линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры);
уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a 0);
квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x- переменная; a, b и c —параметры, a 0).
Решить уравнение с параметрами означает следующее:
исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их
при разных значениях параметров.

32. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения
параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим
образом: уравнение при таких- то значениях параметров имеет корни …, при таких-
то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров
уравнение корней не имеет.
ПРИМЕРЫ
1. Решим уравнение px=6 с неизвестным x и параметром p.
Если p 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень
уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0× x = 0 для
любого x. Ответ: при p 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0
уравнение корней не имеет.
2. Решить уравнение ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: x = 1 / a.
Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a 0, то x = 1 / a.
3. Решить уравнение (a2 - 1)x = a + 1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно
рассмотреть такие случаи:
a = 1; тогда уравнение принимает вид 0x = 2 и не имеет решений;
a = - 1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.
a  ± 1; имеем x = 1 / (a - 1).
Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрамиявляетсязапись ответа. Особенно
это относится к тем примерам,где решение как бы “ветвится” в зависимостиот значений параметра.
В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень
важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. В только что разобранном примере запись
ответа практически повторяет решение.
Ответ: Если a = - 1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a ± 1, то x = 1 /
(a - 1).
3.При каких a уравнение ax2 - x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать
исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше
второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев
случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если
же a 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12a
принимает значение, равное нулю, при a = 1 / 12.

33. Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.
4.При каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное
уравнение вообще не имеет решений. Если a 2, то данное уравнение — квадратное,
и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако
дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a
= 2 не подходит, то
Ответ: a = 5.
Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже
решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё “коварство”,
особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров,
где параметр “расставляет ловушки”.
5.При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет
условию. При a 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если
его дискриминант 16 - 4a2 - 12a — положительный. Отсюда получаем - 4 < a < 1.
Однако в полученный промежуток (- 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже
проверили, неприемлемо. Ответ: - 4 < a < 0 или 0 < a < 1.
6. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 имеет более одного корня?
Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = - 3. При a = 0 уравнение
имеет единственное решение. Любопытно, что при a = - 3 решением уравнения
служит любое действительное число. При a = - 3 решением уравнения служит любое
действительное число. При a - 3 и a 0, разделив обе части данного уравнения на a +
3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a)
положителен при a > - 1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из
промежутка (- 1 / 3; +∞ ) надо исключить точку a = 0, а в ответ не забыть включить a =
- 3. Ответ: a = - 3 или - 1 / 3 < a < 0, или a > 0.
7. При каких значениях a уравнение (x2 - ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное
решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно
приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x - 3 должно
привлечь внимание. И “тонкий момент” заключается в том, что квадратное уравнение
системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен
равняться - 3. Имеем D = a2 - 4, отсюда D = 0, если a = ± 2; x = - 3 — корень

34. уравнения x2 - ax + 1 = 0 при a = - 10 / 3, причём при таком значении a второй корень
квадратного уравнения отличен от - 3. Ответ: a = ± 2 или a = - 10 / 3.
8. Решить уравнение с параметром (a2 - 9)x = a2 + 2a - 3.
Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем
уравнение в виде: (a - 3)(a + 3)x = (a + 3)(a - 1).
Если a = - 3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x∈ R, т.е.
решением уравнения является любое действительное число. Если a  - 3, то
уравнение принимает вид: (a - 3)x = a - 1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения
не имеет. При a - 3 имеем x = (a - 1) / (a - 3). Уравнение имеет единственное
решение (например, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= - 2 и т.д.)
Ответ: a = - 3, x∈ R ; a = 3, нет решений ; a  ± 3, x = (a - 1) / (a - 3).
Утверждения о расположении корней квадратного трехчлена
Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а M – какое-нибудь
действительное число, D=b2 -4ас
Утверждение 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были
меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M),
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или
Утверждение 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был
меньше, чем число M, а другой больше, чем число M (т.е. точка M лежала бы
между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
или
Утверждение 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше,

35. чем число M (т.е. лежали на числовой оси правее, чем точка M), необходимо и
достаточно выполнение условий:
или
Утверждение 4. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше,
чем число M, но меньше, чем число N (M<N), т.е. лежали в интервале между M и
N, необходимо и достаточно:
Утверждение 5. Для того чтобы только больший корень квадратного трехчлена
лежал в интервале [M,N] (M < N), необходимо и достаточно:
или
при этом меньший корень лежит вне отрезка [M, N]).
Утверждение 6. Для того чтобы только меньший корень квадратного
трехчлена лежал в интервале [M, N], необходимо и достаточно:

36. или
(при этом больший корень лежит вне отрезка [M, N]).
Утверждение 7. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был
меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), т.е. отрезок [M, N] целиком
лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
или
Задания
1. При каких значениях а все корни уравнения
2 2
6 2 2 9 0x ax a a     удовлетворяют
неравенству 3x  ?    1 11/9;U
2. Найти наибольшее значение а , при котором оба корня уравнения
2
3 4 0x x a  
принадлежат интервалу  2/3;2 .  4
3. При каких значениях параметра a одиниз корней уравнения    2 2 2
1 1 5 0a a x a x a     
больше 3, а второй – меньше 3?
3 3 3 3
;
2 2
    
  
 
4. Решить 1 0x x a   при 0a   1 1 4 / 2x a    ;
при 0 1/4a     1,2 31 1 4 / 2, 1 1 4 / 2x a x a        ; при 1/4a   1 1 4 / 2x a   
2. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1 Равносильныепереходы в дробно-рациональныхуравнениях
Дробь равна 0






0)(
0)(
0
)(
)(
xQ
xP
xQ
xP

37.  Дробь равна нулю тогда и только тогда,когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не
равен нулю.
Применение основного свойства пропорции Дробь равна 1









0)(
0)(
)()()()(
)(
)(
)(
)(
xF
xQ
xRxQxFxP
xF
xR
xQ
xP
Универсальный алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
• Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
• Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
• Решить получившееся целое уравнение;
• Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
• Выполнить проверку и записать ответ.
ПРИМЕРЫ
1.
• Решение:
• ОДЗ:
Знаменатель при данных значениях
х не обращается в нуль,
следовательно 0 и 0,5–корни
уравнения.
0 +2 = 2 – не равно нулю
0,5+2=2,5
Ответ :0;0,5
2.
• Решение
• ОДЗ:
Исходное уравнение не
.1
3
4
2
1






x
x
x
x
.1
3
4
2
1






x
x
x
x
01
3
4
2
1






x
x
x
x
0
)3)(2(
)3)(2()2)(4()3)(1(



xx
xxxxxx
0
)3)(2(
)3)(2()2)(4()3)(1(



xx
xxxxxx
3
03


x
x
2
02


x
x






0)(
)()(
1
)(
)(
xQ
xQxP
xQ
xP
0
2
4
2 2




x
x
    0
2
422
2
2



x
xx
0
2
442
2
2



x
xx
5,0
2
1
0120
0)12(
02 2




x
xилиx
xx
xx
0
2
2
2
2



x
xx
2
02
2
2


x
x

38. имеет корней, так как
числитель равносильного
уравнения не имеет
корней.
Ответ: нет корней.
3.
x = -8 Ответ: -8.
2.2 Замена вдробно-рациональныхуравнениях
4.
2
2
9 3
5x x
x x
 
    
 
Решение. О.Д.З. уравнения: 0.x 
Введем замену:
3
;x y
x
 
тогда
2
2
2
3 9
6,x x
x x
 
    
  откуда
2 2
2
9
6.x y
x
  
С учетом замены получим уравнение:
2
5 6 0,y y   которое имеет два корня: 2y 
и 3.y  Возвращаясь к исходной переменной, получим совокупность двух уравнений:
3
2;
3
3.
x
x
x
x

 

  

2
2
2 3 0;
3 3 0.
x x
x x
   
 
  
Первое уравнение совокупности имеет два корня : 1x   и 3.x 
Дискриминант второго уравнения совокупности 21D  , следовательно, корни
уравнения
3±√21
2
.Ответ: {-1; 3;
3±√21
2
}.
5.
6
352
2
32
13
22



 хх
х
хх
х
3
1
189
3
65
72
22






xxxxx
x
0
3
1
)3)(6(
3
)1)(6(
72







xxxxx
x
0
)3)(1)(6(
24112



xxx
xx





0)3)(1)(6(
024112
xxx
xx






















3
1
6
3
8
x
x
x
x
x
0
)3)(2(
62384233 222



xx
xxxxxxxxx
0
)3)(2(
532



xx
xx
0209 D
0532
 xx

39. Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x  0:
13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,обозначим 2x + 3 /x = t.
Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е. 13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.6t2 – 39t +
33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0, t1 = 1; t2 = 5,5.Следовательно: 2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 =
0; D = 1 – 24 < 0 нет решений .
2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.
6 .
81х2
(9+x)2+х2=40
Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 , a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab. Получаем:
(x – 9x / (9 + x))2 + 2x× 9x / (9 + x) = 40, или (x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.
Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два
уравнения: (x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ± √19,
(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, нет решений .
Ответ: x1,2 = 1 ± √19.
2.3 Дробно-рациональные уравнения c модулем
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего
применяются следующие методы:
1) раскрытие модуля по определению:
2) метод разбиения на промежутки;
3) возведение обеих частей уравнения в квадрат.
6. Раскроем модуль по определению ОДЗ: х ≠ -1







),(
,0
),(
)(
xf
xf
xf
1
1
4
3 

 x
x
если f (x) >0
если f (x) =0
если f (x) <0

40. Ответ: -5:3.
7. ОДЗ: х ≠ 0
Для решения этого уравнения воспользуемся методом разбиения на промежутки.
Нанесем на числовую прямую значения х, при которых |х| =0 и |х+1| =0.
Числовая прямая при этом разобьется на промежутки:(-∞; -1], (-1; 0) (0;+ ∞).
Решим заданное уравнение на каждом из этих промежутков.
Ответ:
8. ОДЗ: х ≠ 0
Если , то уравнение решений не имеет, т.к. при любых значениях х.
Если , то обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части уравнения

























1
1
4
3
1
1
1
4
3
1
x
x
x
x
x
x




























0
1
5
1
0
1
6
1
2
2
x
xx
x
x
xx
x









































1
5
0
1
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x







5
3
x
x
x
x
x
1
11







































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
0
1
2
01
1
1






































0
1
0
0
13
01
0
1
1
2
2
2
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x





















































0
2
51
0
0
2
53
01
0
2
51
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















2
51
2
53
x
x
.
2
53
,
2
51 
x
x
3
2 
0
3

x
02 x
0
3

x
Х
-1 0

41. в квадрат.
х = 3 Ответ: +3.
9. ОДЗ: х ≠  3
Пользуясь определением раскроем сначала «внутренний» модуль, а затем решим
совокупность двух полученных систем.
или
1)
х – любое число из [0;3)
2) x >3
х – любое число из (3; +∞)
1) x<-3
x=0 0 (-∞; -3)
2) -3<x<0
x=0, 0  (-3;0)
Ответ: [0;3)  (3;+ ∞).
2.4 Решение дробно-рациональных уравнений с параметром
10.
x
x
3
2  





2
2 9
)2(
0
x
x
x








0
9)2(
0
2
22
x
xx
x








0
)32)(32(
0
2
22
x
xxxx
x

















0
0
032
032
2
2
x
x
xx
xx





















0
0
1
3
x
x
x
x
xx
x




3
1
9
3
2










xx
x
x
3
1
9
3
0
2 









xx
x
x
3
1
9
3
0
2
30  x
xx
x




3
1
9
3
2
xx 

 3
1
3
1
3
1
9
3
2




xx
x
3
1
3
1


 xx
xx
x





3
1
9
3
2
0
3
1
3
1



 xx
0
9
33
2



x
xx





3
0
x
x
xx
x




3
1
9
3
2
0
3
1
3
1



 xx
0
9
33
2



x
xx





3
0
x
x
xaxa
a
)2(
52
2
3





Х
0 3-3
Х
-3 0 3
Х
-3 0 3

42.  если а ≠ -3, а ≠ -2, то выясним, при каких значениях а х=0
, . если а = -3, то нет решения. при а = -3, а = -2, нет
решений. Ответ: при а ≠ -3, а ≠ -2,
11.
если , то выясним при каких m x=1
, нет решений
если m = 1, то х - любое число, х ≠ 1  если m = -1, m=0, то нет решений.
Ответ: при ,при m = 1, то х - любое число кроме 1,
при m = -1, m=0 нет решений.
12.
x² -2x(a+1)+(a2+2a-3)=0 D1=(a+1)2-(a2+2a-3)
D1= a2 +2a+1-a2-2a+3=4 x 1= a+3 x2= a-1 выясним, при каких а каждый из
корней принимает значение 2 x1= a+3=2 x2= a-1=2 а= -1





0)2(
5)2(2)3(
ax
axa








2
0
12)3(
a
x
aax
3
12



a
a
x
0
3
12



a
a
2
1
a
3
12



a
a
x
2
1
a
2
1
a
)1(
11



xm
m
m
m





0)1(
)1()1()1(2
xm
mxxm








1
0
1122
x
m
mxmxm








0
1
)1)(2()1( 2
m
x
mmmx
0,1  mm 1
2



m
m
x
1
1
2



m
m
0
1
1

m
0,1  mm 1
2



m
m
x
2
12
1
2





x
ax
a
x





0)2)(1(
)1)(12()2)(2(
xa
aaxxx








2
1
1224 22
x
a
axaaaxx








2
1
0)32()1(2 22
x
a
aaaxx








2
0
5423
a
x
axax

43. а=3 х =6 Ответ: при а= -1 нет решений,при а≠-1, a≠3 – два решения: x1= a+3
x 2= a-1,при a = 3 – одно решение: х =6.
13. Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра а.
Для решения этой задачи целесообразно использовать графический метод.
; D(y): x ≠ 1
При a  -1 нет решений При -1<a  1 один корень. При a > 1 два
корня
14.Сколько корней имеет уравнение .
; y=x2+a D(y): x ≠  1
a
x
x



1
1
1
1



x
x
y














1,
1
1
1,
1
1
x
x
x
x
x
x
y













1,
1
2
1
1,
1
2
1
x
x
x
x
y
ax
x
x


 2
1
1
1
1



x
x
y 












0,
1
2
1
01,1
1,1
x
x
x
x
y
0
-
1
1
Y
X

44. При a ≥ 0 - один корень. При -1<a < 0 - два корня
При a = -1 и a  -2 - три корня. При -2 <a < -1 – четыре корня
Задания
Уровень А Уровень В Уровень С
1   
  
2
2
3 1 6 2 5 8 4
9 1 3 1 2
x x x x
x x x
   

      
2
1 1 1
2 121x x x
 
   
3
3
1 13
41
x
x



-4 –3;1 –3; -1/3
2
 
2 2
2 2
4 9 6 15
3 102 3
x x x
x xx
  

 
     
24 15
2
4 2 3 1x x x x
 
   
 
4
4
1
2
1
x
x



1; 5 –2;0; 2 66 /2  1 3 3 2 3  
3
 
2 2
2 2
4 6 5 4
16 36 2 11 12
x x x
x x x
  

  
     
6 8
1
1 2 1 4x x x x
 
   
 
5
5
1
0,088
1
x
x



4 –3;0;  3 73 / 2   30 3598 60 3598 1278 /76  
4
  
1 2 5 2
0
2 2 3 3
x
x x x x

  
    2 2
2 1
1 1 12
x x
x x x x
 
     
2
2
2
1
1
x
x
x
 

-4  5 21 / 2 ;  7 45 / 2
 2 1 2 2 1 / 2  
5
2
3 2 3
0
1 3 4 4
x x x
x x x x

  
   
2
2 2
10 13 3
6 13 8 13
x x x
x x x x
 

     
2
2
2
9
7
3
x
x
x
 

-0,5;3 1;13  1 13 / 2
Y
X0
-
1
1
-
1