Raíces y exponentes

3. Un signo negativo que precede directamente a una
expresión que está elevada a una potencia tiene el
efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces,
2
x− significa ( )x x− ∗
y no ( ) ( )x x− −
Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos
que se expusieron en la Unidad 1, cuando 0x ≠
( )
2
x− siempre será una cantidad positiva mientras que
2
x− siempre será una cantidad negativa.
OBJETIVOS

4. 3
5 5 5 5= ∗ ∗1.) 125= (3 factores)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
2 2 2 2 2 2− = − − − − −2.) 32= −
(5 factores)
20
1 1 1 1 ... 1= ∗ ∗ ∗ ∗3.) 1= (20 factores)
2
3 3 3
4 4 4
− − −    
= ÷  ÷ ÷
    
4.)
9
16
= (2 factores)

5. 1.) Para evaluar
2
x− si 3x = , se calcula:
2
3 3x = ∗ 9=
y luego se tiene 2
9x− = −
2.) Para evaluar
2
x− si 3x = − , se calcula:
( ) ( )2
3 3x = − − 9=
y luego se tiene
2
9x− = −

7. • Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la
misma base, su resultado es la misma base
elevada a una potencia igual a la suma de las
potencias de los factores.
• En otra palabras, para multiplicar expresiones
exponenciales de la misma base, se conserva la
base común y se suman los exponentes.
( )( )m n m n
a a a +
=
OBJETIVOS

8. 3 5 3 5
x x x +
∗ = 8
x=1.)
2.)
2 4 2 4
3 3 3 +
× =
6
3=
3.)
( ) ( ) ( )
2 5 2 5
3 3 3a a a
+
∗ = ( )
7
3a=

9. • Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier
número natural m:
• Si a es cualquier número distinto de cero, entonces:
1m
m
a
a
−
=
0
1a =
OBJETIVOS

10. 3
3
1
2
2
−
=1.)
1
2 2 2
=
∗ ∗
1
8
=
4
4
1
x
x
−
=2.)
1
x x x x
=
g g g
0
3 1=3.)
3
3
1 1
1x
x
−
=4.)
3
= x

11. 3
3
1 1
1
1 x
x
= ÷
3
1
1
x
= g
3
x=
Para entender mejor está última expresión, es
conveniente recordar que para dividir dos números
basta con multiplicar al dividendo por el inverso del
divisor, de modo que

12. 2
3
2
3
1
1
x
y x
y
−
−
=5.)
Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar
2 3
2
3
1 1 1
1 x yx
y
= ÷
3
2
1
1
y
x
=
3
2
y
x
=
( ) ( )
3
0 0 3
1
3 3
y
x x y
−
=6.)
( ) 3
1
1 y
= 3
1
y
=

13. • Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la
misma base, su cociente es la misma base elevada
a una potencia igual a la diferencia entre la
potencia del dividendo y la del divisor.
• Es decir, para dividir expresiones exponenciales
de la misma base, se conserva la base común y se
resta al exponente del dividendo el exponente
del divisor.
m
m n
n
a
a
a
−
=
OBJETIVOS

14. 7
7 4
4
x
x
x
−
=1.)
3
x=
2 7 2 7
5 5 5 −
÷ =2.)
5
5−
= 5
1
5
=
3 4 3 ( 4)
a a a− − − − −
÷ =3.)
3 4
a− +
=
1
a=
a=

15. • Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra
potencia, el resultado es un término de la misma base con
un exponente igual al producto de las dos potencias.
• Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base
a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos
exponentes.
( )
nm m n
a a= g
OBJETIVOS

16. ( )
23 3 2
2 2=1.) g 6
2= 64=
( ) ( ) ( )3 3 33
x x −−
=2.)
9
x−
= 9
1
x
=
( ) ( )( )6 2 62
5 5
− − −−
=3.)
12
5=
244,140,625=

17. • Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a
una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor
elevado a la potencia dada.
• Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a
una potencia, el resultado es el mismo cociente pero
con el dividendo y el divisor elevados a la potencia
dada.
( )
m m m
ab a b=
m m
m
a a
b b
 
= ÷
 
OBJETIVOS

18. 1.) Para elevar el producto 3xy
a la cuarta potencia, es decir para obtener ( )
4
3xy
se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores
y se tiene
( )
4 4 4 4
3 3xy x y= g g 4 4
81x y=
2.) Para elevar el cociente
2
5
al cuadrado, es decir para obtener
2
2
5
 
 ÷
 
se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y
queda 2 2
2
2 2
5 5
 
= ÷
 
4
25
=

19. 3.) Para elevar el cociente al cubo,
es decir para obtener ,
se elevan al cubo el dividendo y el divisor para obtener
y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos,
se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda
2
3
a
b
3
2
3
a
b
 
 ÷
 
( )
( )
33
3
22
3 3
aa
b b
 
= ÷
 
( )
( )
3 3 3
3 3 3
2 2
33
a a
bb
=
3
3
8
27
a
b
=

20. La raíz cuadrada principal o positiva de un número
positivo n, que se escribe , es el número positivo
que al multiplicarse por sí mismo da como resultado
n.
Si en lugar de buscar un número que al multiplicarse
por sí mismo dé como resultado n, se busca un
número que elevado a la tercera, cuarta o quinta
potencia dé como resultado n, se dice que dicho
número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta
de n, y así sucesivamente.
n

21. En la notación de radicales lo anterior se escribe como ,
etcétera.
En otras palabras,
significa que
significa que
y, en general,
significa que
3 54
, ,n n n
x n= 2
n x=3
y n=
3
n y=
m
a b=
m
b a=

22. • Al símbolo que sirve para indicar una raíz,
se le llama signo radical.
• El número o expresión dentro del signo radical es el
radicando y al número que sirve para indicar la raíz se le
llama índice.
m
n
Signo radical
radicando
índice
OBJETIVOS

23. 1.) En la expresión 3
8
el radicando es 8 y el índice es 3.
3
8 3= significa que 3
8 2=
.
2.) En la expresión 4
81
el radicando es 81 y el índice es 4.
4
3 81= significa que
4
3 81=
3.) En la expresión 49
el radicando es 49 y el índice, que en este caso no
se escribe, es 2.
49 7= significa que
2
49 7=