R
¿Qué figuras tienen
la forma de círculo y
circunferencia?
Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan
de un mismo punto fijo; el cual repres...
ACTIVIDAD
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
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Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro
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Punto de tang...
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a
la recta tange...
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la
biseca (divide en dos segmentos congruentes).
ON : radio
DN : Diámetro...
P
Q
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MQPMPQR =⇒⊥
Actividad
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
 
mBDmACCD//AB:Si =⇒
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
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congruentes
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro
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...
R
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Distancia entre
los centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r
d = R + rd = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
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R
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d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d: Dis...
05.-CIRCUNFERENCIAS
SECANTES
Tienen dos puntos comunes
5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
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( R – r ) < d < ( R + r )( R – ...
5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios
son perpendiculares en el punto de intersección.
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06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
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1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
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2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CDAB = CD
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B
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3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
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TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenu...
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lado...
α
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
α = mABα = mAB
ACTIVIDAD
β
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCDmAB +
=β
θ
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
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=θ
ACTIVIDAD
δ
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
=δ
ε
A
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2
mABC
=ε
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
α
A
B
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6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la s...
θ
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medida...
β
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
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  1. 1. R
  2. 2. ¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?
  3. 3. Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia P QT S R R R O: Centro OP=OQ=OT=OS=…:Radio CIRCUNFERENCIA Actividad
  4. 4. ACTIVIDAD
  5. 5. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita Diámetro AB( ) Centro T Punto de tangencia Q P Radio Arco BQ Cuerda PQ interactúa
  6. 6. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia Recta Tangente Radio 1.-Recta Tangente ACTIVIDAD
  7. 7. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). ON : radio DN : Diámetro EF : Cuerda ACTIVIDAD
  8. 8. P Q M N R MQPMPQR =⇒⊥ Actividad
  9. 9. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B C D   mBDmACCD//AB:Si =⇒
  10. 10. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro mCDmABCDAB:Si =⇒=
  11. 11. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro T punto de tangencia ET=TF
  12. 12. R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + rd > R + r R r
  13. 13. d = R + rd = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)
  14. 14. d R d = R - rd = R - r 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d: Distancia entre los centros R r Punto de tangencia
  15. 15. 05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES Tienen dos puntos comunes
  16. 16. 5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r ( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)
  17. 17. 5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2 Distancia entre los centros (d) r R
  18. 18. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
  19. 19. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PBAP = PB A B P R R α α ACTIVIDAD
  20. 20. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CDAB = CD A B C D R R r r
  21. 21. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB = CDAB = CD A B C DR R r r
  22. 22. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2ra + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio
  23. 23. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + da + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito
  24. 24. α 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r r α = mABα = mAB ACTIVIDAD
  25. 25. β A C B D 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos 2 mCDmAB + =β
  26. 26. θ A B C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. 2 mAB =θ ACTIVIDAD
  27. 27. δ 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C 2 mAB =δ
  28. 28. ε A BC 2 mABC =ε 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
  29. 29. α A B C O 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. α + mAB = 180°α + mAB = 180° 2 mAB-mACB =α
  30. 30. θ A B C O c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. 2 mBC-mAB =θ
  31. 31. β A B C O D b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. 2 mCD-mAB =β

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