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I. – TRIGONOMETRÍA
By: Oscar Fabián Pulla Tenecota
DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION
DE OTRA
En función del coseno del ángulo doble:
FÓRMULAS BÁSICAS En función del seno: (Usadas para integrar)
sen 
c
a
cosec
sen


 
1 a
c
cosec
sen



1
cos sen  1 2
sen
cos



1
2
2
sen
cos 
2
1
2


cos 
b
a
sec
cos


 
1 a
b
sec
sen




1
1 2
tan
sen
sen




1 2 cos
cos



1
2
2
cos
cos 
2
1
2


tan
sen
cos



 
c
b
cotan
tan


 
1 b
c ctg
sen
sen




1 2
tan
cos
cos






1
1
2
2
tan
cos
cos
 
2
1
1



sen cos2 2  1 tan cotan   1 En función del coseno: RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
1 2 1
2
2  tan
cos
sec


sen cos  1 2
 sen sen cos cos sen       
 cos cos cos sen sen       
1
12
2
2
  cotan
sen
cosec

 sec
cos



1 cosec
cos




1
1 2
 tan
tan tan
tan tan
 
 
 
 

1 
 
 
sen sen
sen sen
tan
tan
 
 
 
 





1
2
1
2
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
tan
cos
cos




1 2
En función de la
tangente:
ctg
cos
cos




1 2
cos
tan




1
1 2
 ctg
ctg ctg
ctg ctg
 
 
 
 

 1 cos cos
cos cos
cotan
s 
 
   

 
 
2 2
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
SUMAS a PRODUCTOS
Ángulos complementarios:
Su suma vale /2 radianes (90)
ctg
tan



1
sec tan  1 2
sen sen sen cos 
   
 
 
2
2 2
sen sen cos sen 
   
 
 
2
2 2
REDUCCION AL 1er
CUADRANTE
sen (/2  ) = cos 
cos (/2  ) = sen 
tan (/2  ) = ctg 
cosec
tan
tan




1 2
sen
tan
tan




1 2 cos cos cos cos 
   
 
 
2
2 2
cos cos sen sen 
   
  
 
2
2 2
Ángulos suplementarios:
Su suma vale  radianes (180)
Ángulos que difieren
en /2 radianes:
En función de la tangente del ángulo mitad
(Usadas para integrar)
tan tan
sen( )
cos cos
 
 
 
 

PRODUCTOS a SUMAS
sen (  ) = sen 
cos (  ) =  cos 
tan (  ) =  tan 
sen (/2 + ) = cos 
cos (/2 + ) =  sen 
tan (/2 + ) =  ctg 
 
 
sen
tan /
tan /





2 2
1 22 sen
tan
tan
2
2
1 2



 


coscos
)(
tantan


sen
    sen sen cos cos        
1
2
Ángulos que se diferencian
 radianes:
Ángulos opuestos:
 
 
cos
tan /
tan /






1 2
1 2
2
2 cos
tan
tan
2





1
1
2
2
ctg ctg
sen( )
sen sen
 
 
 
 

    sen cos sen sen        
1
2
sen ( + ) =  sen 
cos ( + ) =  cos 
tan ( + ) = tan 
sen ( ) =  sen()
cos ( ) = cos 
tan ( ) =  tan 
 
 
tan
tan /
tan /





2 2
1 22


 2
tan1
tan2
2tan

 ctg ctg
sen( )
sen sen
 
 
 
 

    cos cos cos cos        
1
2
a
b
c

cotg cotg cotg cotg
cos cos
cos cos
tan
sen
sen
sen
sen
tan
tan
tan
Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
Ángulo doble Ángulo triple
TEOREMAS IMPORTANTES:
Ley de los senos:
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
sen sen cos2 2   sen sen sen3 3 4 3
   
cos cos sen2 2 2
    cos cos cos3 4 33
   
tan
tan
tan
2
2
1 2




tan
tan
tan
3
3
1 3 2




FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
arcsen arccos arccosx x x   1
2
2 
A
B
C
ac
b
R
cosB
a c b
ac

 2 2 2
2
a
A
b
B
c
C
R
sen sen sen
   2
Ley de los cosenos:
cos A
b c a
bc

 2 2 2
2
cosC
a b c
ab

 2 2 2
2
 Sh Sh Ch Sh Ch         Sh Sh Ch Sh Ch       
 Ch Ch Ch Sh h        S  Ch Ch Ch Sh Sh       
 Th
Th Th
Th Th
 
 
 
 

1
 Th
Th Th
Th Th
 
 
 
 

1
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
Sh Sh Ch2 2   Ch Sh Ch2 2 2
    Th
Sh Ch
Sh Ch
2
2
2 2
 
 


arccos arcsen arcsenx x x   1
2
2  Ley de las tangentes
 Sh Ch


2
1
2
1   Ch Ch


2
1
2
1  Th
Ch
Ch
 
2
1
1



arctan arcsen arctgx
x
x
x

 
1 22

 arcsen arcsen arcsenx y x y y x    1 12 2
a b
a b
A B
A B
A B
A B








sen sen
sen sen
tan
tan
2
2
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
    Sh Sh Ch Ch        
1
2
    Ch Ch Ch Ch        
1
2
 arcsen arcsen arcsenx y x y y x    1 12 2
   arccos arccos arccosx y xy x y    1 12 2
AREA DEL TRIÁNGULO
S ab C cb A ac B  
1
2
1
2
1
2
sen sen sen
    Sh Ch Sh Sh        
1
2
 Ch Sh Ch Sh     
n
n n
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
 ArgSh lnx x x  2
1  ArgCh lnx x x  2
1
   arccos arccos arccosx y xy x y    1 12 2
arctan arctanx y
x y
xy
 

1
arctan arctanx y
x y
xy
 

1
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las
fórmulas que dan las razones de un ángulo en función del coseno del
ángulo doble. Estas fórmulas ya se han tratado anteriormente.
(Fórmula de Herón)
   S p p a p b p c   
S pr
abc
R
p
R
  
4 2
p
a b c

 
2
A
B
C
ac
b
Rr
ArgTh lnx
x
x



1
2
1
1
ArgSh ArgCh ArgThx x
x
x
  

2
2
1
1
ArgCth lnx
x
x



1
2
1
1
ArgCh ArgSh ArgThx x
x
x
  
2
2
1
1
ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthx
x
x
x
x x





1 1
1
2 2
AREA DE UN CUADRILÁTERO
  
sen
A
2

 p b p c
bc
A
B
C
a
b
c S
AC BD

2
sen
B
A
D
C

RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
 sen x e ex x
  1
2i
i i
 cos x e ex x
  1
2
i i
 
cos
B
2

p p b
ac
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FÓRMULAS BÁSICAS
Sh seni ix x sen Shi ix x e x xxi
i cos sen
Ch cosix x cos Chix x e x xx
 i
icos sen
  
sen
C
2

 p b p a
ab
 
cos
C
2

p p c
ab
 
cos
A
2

p p c
bc
p
a b c

 
2
Sh
 

 
e e
2
Ch
 

 
e e
2
Sh Ch  
  e
Th
Sh
Ch



 
  




e e
e e
Ch Sh  
  
e
C Sh h2 2
1  
Th tani ix x tan Thi ix x arcsen ArgShi ix x
 sen sen Ch cos Shx y x y x y  i i arccos Arg Chi ix x 
 cos cos Ch sen Shx y x y x y  i i arctan ArgTh lni i ix x
x
x
 


1
2
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1
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Formulario de trigonometria

  • 1. I. – TRIGONOMETRÍA By: Oscar Fabián Pulla Tenecota DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION DE OTRA En función del coseno del ángulo doble: FÓRMULAS BÁSICAS En función del seno: (Usadas para integrar) sen  c a cosec sen     1 a c cosec sen    1 cos sen  1 2 sen cos    1 2 2 sen cos  2 1 2   cos  b a sec cos     1 a b sec sen     1 1 2 tan sen sen     1 2 cos cos    1 2 2 cos cos  2 1 2   tan sen cos      c b cotan tan     1 b c ctg sen sen     1 2 tan cos cos       1 1 2 2 tan cos cos   2 1 1    sen cos2 2  1 tan cotan   1 En función del coseno: RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA 1 2 1 2 2  tan cos sec   sen cos  1 2  sen sen cos cos sen         cos cos cos sen sen        1 12 2 2   cotan sen cosec   sec cos    1 cosec cos     1 1 2  tan tan tan tan tan          1      sen sen sen sen tan tan              1 2 1 2 LINEAS TRIGONOMÉTRICAS tan cos cos     1 2 En función de la tangente: ctg cos cos     1 2 cos tan     1 1 2  ctg ctg ctg ctg ctg           1 cos cos cos cos cotan s             2 2 TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA (Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos) SUMAS a PRODUCTOS Ángulos complementarios: Su suma vale /2 radianes (90) ctg tan    1 sec tan  1 2 sen sen sen cos          2 2 2 sen sen cos sen          2 2 2 REDUCCION AL 1er CUADRANTE sen (/2  ) = cos  cos (/2  ) = sen  tan (/2  ) = ctg  cosec tan tan     1 2 sen tan tan     1 2 cos cos cos cos          2 2 2 cos cos sen sen           2 2 2 Ángulos suplementarios: Su suma vale  radianes (180) Ángulos que difieren en /2 radianes: En función de la tangente del ángulo mitad (Usadas para integrar) tan tan sen( ) cos cos          PRODUCTOS a SUMAS sen (  ) = sen  cos (  ) =  cos  tan (  ) =  tan  sen (/2 + ) = cos  cos (/2 + ) =  sen  tan (/2 + ) =  ctg      sen tan / tan /      2 2 1 22 sen tan tan 2 2 1 2        coscos )( tantan   sen     sen sen cos cos         1 2 Ángulos que se diferencian  radianes: Ángulos opuestos:     cos tan / tan /       1 2 1 2 2 2 cos tan tan 2      1 1 2 2 ctg ctg sen( ) sen sen              sen cos sen sen         1 2 sen ( + ) =  sen  cos ( + ) =  cos  tan ( + ) = tan  sen ( ) =  sen() cos ( ) = cos  tan ( ) =  tan      tan tan / tan /      2 2 1 22    2 tan1 tan2 2tan   ctg ctg sen( ) sen sen              cos cos cos cos         1 2 a b c  cotg cotg cotg cotg cos cos cos cos tan sen sen sen sen tan tan tan Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
  • 2. FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO Ángulo doble Ángulo triple TEOREMAS IMPORTANTES: Ley de los senos: FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA sen sen cos2 2   sen sen sen3 3 4 3     cos cos sen2 2 2     cos cos cos3 4 33     tan tan tan 2 2 1 2     tan tan tan 3 3 1 3 2     FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS arcsen arccos arccosx x x   1 2 2  A B C ac b R cosB a c b ac   2 2 2 2 a A b B c C R sen sen sen    2 Ley de los cosenos: cos A b c a bc   2 2 2 2 cosC a b c ab   2 2 2 2  Sh Sh Ch Sh Ch         Sh Sh Ch Sh Ch         Ch Ch Ch Sh h        S  Ch Ch Ch Sh Sh         Th Th Th Th Th          1  Th Th Th Th Th          1 FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD Sh Sh Ch2 2   Ch Sh Ch2 2 2     Th Sh Ch Sh Ch 2 2 2 2       arccos arcsen arcsenx x x   1 2 2  Ley de las tangentes  Sh Ch   2 1 2 1   Ch Ch   2 1 2 1  Th Ch Ch   2 1 1    arctan arcsen arctgx x x x    1 22   arcsen arcsen arcsenx y x y y x    1 12 2 a b a b A B A B A B A B         sen sen sen sen tan tan 2 2 TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS     Sh Sh Ch Ch         1 2     Ch Ch Ch Ch         1 2  arcsen arcsen arcsenx y x y y x    1 12 2    arccos arccos arccosx y xy x y    1 12 2 AREA DEL TRIÁNGULO S ab C cb A ac B   1 2 1 2 1 2 sen sen sen     Sh Ch Sh Sh         1 2  Ch Sh Ch Sh      n n n FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS  ArgSh lnx x x  2 1  ArgCh lnx x x  2 1    arccos arccos arccosx y xy x y    1 12 2 arctan arctanx y x y xy    1 arctan arctanx y x y xy    1 FÓRMULAS DE BRIGGS Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las fórmulas que dan las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas fórmulas ya se han tratado anteriormente. (Fórmula de Herón)    S p p a p b p c    S pr abc R p R    4 2 p a b c    2 A B C ac b Rr ArgTh lnx x x    1 2 1 1 ArgSh ArgCh ArgThx x x x     2 2 1 1 ArgCth lnx x x    1 2 1 1 ArgCh ArgSh ArgThx x x x    2 2 1 1 ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthx x x x x x      1 1 1 2 2 AREA DE UN CUADRILÁTERO    sen A 2   p b p c bc A B C a b c S AC BD  2 sen B A D C  RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS  sen x e ex x   1 2i i i  cos x e ex x   1 2 i i   cos B 2  p p b ac II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS FÓRMULAS BÁSICAS Sh seni ix x sen Shi ix x e x xxi i cos sen Ch cosix x cos Chix x e x xx  i icos sen    sen C 2   p b p a ab   cos C 2  p p c ab   cos A 2  p p c bc p a b c    2 Sh      e e 2 Ch      e e 2 Sh Ch     e Th Sh Ch             e e e e Ch Sh      e C Sh h2 2 1   Th tani ix x tan Thi ix x arcsen ArgShi ix x  sen sen Ch cos Shx y x y x y  i i arccos Arg Chi ix x   cos cos Ch sen Shx y x y x y  i i arctan ArgTh lni i ix x x x     1 2 1 1