3) MECÁNICA CUÁNTICA
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3.1) Experimento de la doble
rendija
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1
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pantalla
La radiación de e-
s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón ...
Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se ...
Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el ...
3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
x
p
2

≥∆∆ px
x∆
...
3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la informaci...
e-
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Ψ
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: densidad de probabilidad …: densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partículaIndica la ...
Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
1
2
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dxψ ∃ de...
Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
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La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad ...
Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
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Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
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3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
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  1. 1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA
  2. 2.  F.CLASICA : Determinista Y X y Vo t=0 t=1 g {1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista e- 1 2 {1925} , W Heisenberg Mecánica Matricial : [ ] estados {1926} E Schroedinger  Mecánica ondulatoria {1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld ),( ),( ),( ),(: tr trEE txEE txyyO Ψ      = = =
  3. 3. 3.1) Experimento de la doble rendija e- D 1 2 D’ pantalla La radiación de e- s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
  4. 4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia. e- 2 e- 2 1 1 α) β) X’ 2 1Ψ 2 2Ψ 2 1Ψ 2 2Ψ+ Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se determina con los , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento. 2 Ψ X’ Y’ Y’
  5. 5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así: Ψe= Ψ1+ Ψ2 De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia, 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 cos : e desfasaje entre φ φ −Ψ = Ψ + Ψ = Ψ + Ψ + Ψ Ψ Ψ ∧ Ψ En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.
  6. 6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) x p 2  ≥∆∆ px x∆ p∆ : incertidumbre de la posición : incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo. ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO 2 E t∆ ∆ ≥  E∆ t∆ : incertidumbre de la energía : incertidumbre del tiempo
  7. 7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema. r P T 2 2 ( ) ( ) 2 : RES r r t v a r r t continua d r da Ley F m r dt = → → = → = → rr r 2 2 2 2 2 " : " ( , ) ( , ) { } 1 M c OEM E B E E x t E x t E sen kx wt E deOEM E E v c x v t φ − → = − + ∂ ∂ = → = ∂ ∂ ur uur
  8. 8. e- e- Ψ X = = { } ( , ) ( , ) ( ) ( ) x t x t x x x PSI v CF ψ ψ ψ ψ = = → M Valores asociados Probabilidad H Ψ=E Ψ Ec. de Schroedinger La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.
  9. 9. |Ψ|2 : densidad de probabilidad …: densidad de probabilidad … Indica la probabilidad de encontrar a la partículaIndica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo.en cierto volumen y en cierto tiempo. |Ψ|2 dv :… en el V=dv |Ψ(x)|2 dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx a b x P v [ ] ∫ Ψ=→ ← b a xab dxPbax Xx 2 )(,:""
  10. 10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la condición de normalidad de Ψ, 1 2 =∫ ∞ ∞− dxψ ∃ de la partícula en X! Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF> { }∫ ∞ ∞− = dxCFCF 2 ψ Ψ: Describe al sistema Ψ  Interpretar
  11. 11. Ejemplo: Problema de la partícula en una caja x m v L La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v. Estado Cinemático: v Sistema restringido: x Discretizar < 0,L>
  12. 12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos, Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,… Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es, { }( )x Asen kxψ ≡ Donde se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,λ π2 =k , 0, ; 1, 2,3 ,... 2 , 2 2 n n n n kx n x L kL n n n k L L nv n L π λ ν π π π λ = = = → ≡ = = = = 2 ( ) ; 1,2,3,...n n x Asen x n π ψ λ   ≡ =   
  13. 13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por { } 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 8 1 2 2 2 2 2 2 8 ( ) , nn kn n n k n kn n n h p h E mv m m m h L n h h E n n E E m L m x ASen nx L mL λ λ π ψ = = = =           ÷   =   = = = =   =     Principio de incertidumbre ΨΨ 0 L Ψn Ψn2 =| Ψn |2 0 0L LL/2 L/2 L/3 L/3 2L/3 2L/3 En (E1) 9 4 1 n 3 2 1 v=cte
  14. 14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo, 1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios H: Hamiltoneano operador de energía. E: energía del estado estacionario. 2. Ec de Schroedinger F. clásica Física Cuántica { } { } { } { }{ } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) .......................( ) ( , ) 1 ( , ) ..........................( ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) x t A x Cos wt x t x t x v t x t A Cos wt A x t w Cos wt x v x t w p x t x t x v ψ ψ α ψ ψ β ψ ψ ψ ψ ψ = ∂ ∂ = ∂ ∂  ∂ = −  ∂  ∂ − = − = ∂ h 2 2 22 2 2 2 v w p v v v π πυ λ        = = =             h
  15. 15. …..... Ec de Schrodinger ( ) { } 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k p k p p p E E E cte p E E E p m E E m m x E E x x ψ ψ = + = = = − → = − ∂ = − − ∂ h ψψ ψψψ ψψψ Ev m t ihv m EEp xm =       +−       ∂ ∂ =+∇− =+ ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h 3. Caso general ),(),(),( 2 ),( 2 2 trtrVtr m tr t i ψψψ +∇−= ∂ ∂ h h ψψψ 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂
  16. 16. Resolviendo el ejercicio… ∞ ∞ v Ep 0 L 2 2 2 .. 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 : 0 ( ) { } 2 ( ) ............ 8 : 1 ( ) 2 n L m L E x x x x t ASen wt mE x ASen x ASen nx L h E n mL A Normalización dx A Sen cx dx A L ψ ψ α ψ π ψ ∞ −∞ ∂ − = − ∂ + = → =    =        → =     = → = = = ∫ ∫ h h % x

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