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EJERCICIOS DE COMBINATORIA

1.- Un estudiante tiene que contestar 8 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas diferentes
     puede contestar? ¿Y si las tres primeras son obligatorias? ¿Y si de las cinco primeras ha de contestar a
     cuatro?     Solución: 45, 21, 25
2.- Para jugar al dominó, siete fichas hacen un juego. Sabiendo que tiene 28 fichas, ¿cuántos juegos diferentes
     se pueden hacer?      Solución: 1184040
3.- Hallar el número mínimo de habitantes que debe tener una ciudad para que sea inevitable que al menos dos
     habitantes tengan las mismas iniciales de su nombre y dos apellidos. (Se supone que el alfabeto tiene 28
     letras.) Solución: 21953
4.- El séxtuplo del número de combinaciones que se puede formar con m objetos tomados de tres en tres es
     igual al número de variaciones que se pueden formar con m-1 objetos tomados de cuatro en cuatro. Halla
     el valor de m, suponiendo que es mayor que cuatro.       Solución: m=6
5.- La diferencia entre el número de variaciones binarias de m objetos y el de combinaciones binarias de los
     mismos m objetos es 136. Halla el número de objetos. Solución: m=17
6.- En las variaciones sin repetición que podemos formar con las nueve cifras significativas tomadas de tres en
     tres, ¿cuántas veces está la cifra 7?   Solución: 168
7.- ¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar con la palabra AYUNTAMIENTO, de tal manera que
     siempre comiencen y terminen por vocal?       Solución: 13608000
8.- Con una baraja de 52 cartas, ¿cuántos grupos diferentes de cinco cartas se pueden hacer?
     Solución: 2598960
9.- ¿Cuántas apuestas hay que rellenar en las quinielas de fútbol para tener la seguridad de acertar cinco
     resultados?     Solución: 243
10.- De un grupo de 12 alumnos deben formarse tres equipos de cuatro participantes para que asistan a tres
     pruebas diferentes. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden realizarse? Solución: 34650
11.- ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor: C 26 , P6 ,V94 ,VR6 ? Solución: V94
                                                              3               4

12.- ¿Cuántos tetraedros determinan ocho puntos del espacio de forma que cuatro cualesquiera de ellos no sean
       coplanarios?   Solución: 70
13.- ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21
       existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? Solución: 586051200
14.- En un departamento de una empresa trabajan cuatro hombres y tres mujeres. Desean que les hagan una
       fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también las mujeres. ¿De cuántas formas
       distintas pueden colocarse? Solución: 288
15.-   ¿Cuántos resultados distintos se obtienen al lanzar tres dados iguales a la vez? ¿Y si los dados son
       distintos?     Solución: 56, 216
16.-   Con los dígitos pares, ¿cuántos números inferiores a 1 000 se pueden escribir? Solución: 84
17.-   Calcula el número de diagonales que tiene un polígono de 12 lados. Generaliza el caso para cuando se trate
       de un polígono de n lados. Solución: n (n-3)/2
18.-   Se disponen ocho monedas en una fila. La mitad de ellas son de duro y la otra mitad de 100 pesetas. ¿De
       cuántas formas distintas se pueden ordenar? Solución: 70
19.-   Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas. ¿En cuantas
       formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? Solución: 14348907
20.-   ¿En cuantas formas puede un director de televisión programar seis diferentes comerciales de un
       patrocinador durante los seis periodos de tiempo asignado a mensajes comerciales durante un programa?
           Solución: 720
21.-   ¿De cuantas maneras pueden formarse cinco personas para tomar el autobús? ¿De cuantas maneras si dos
       de las personas se niegan a hacerlo una detrás de otra?     Solución: 120, 72
22.-   ¿Cuántas permutaciones diferentes hay de las letras de la palabra "statistics"? ¿Cuántas de ellas comienzan
       y terminan con la letra s?. Solución: 50400, 3360
23.-   En un test de 20 preguntas con dos opciones, ¿de cuantas formas pueden marcarse las preguntas para que
         a)     siete estén correctas y 13 equivocadas;
         b)     10 estén correctas y 10 equivocadas;
         c)     cuando menos 17 están correctas?
           Solución: 77520, 184756, 1351
24.-   Si se suponen ordenadas todas las permutaciones que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 en
       orden creciente, que lugar ocupa la permutación 598132. Solución: lugar nº 476
25.-   ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, hay que sean menores que 1000, si cada número está
       constituido por cifras diferentes. Solución: 739
                                         3     2     3
26.- Calcula el valor de m que verifica Vm = 5Vm + C m .      Solución m= 8
EJERCICIOS DE COMBINATORIA


                      10                                                       7
1.- En el primer caso   = 45 ,en el segundo caso sólo debe elegir 5 de entre 7   = 21 ,, la forma de elegir
                      8                                                        5
                                                                                
                                                            5  5 
    4 entre las primeras 5 y cuatro entre las otras 5 será    = 25
                                                            4  4 
                                                             
        28 
2.-      = 1184040
       7 
        
                                                                       3
3.- La forma de elegir tres letras entre 28 pudiendo repetirse sería VR28 = 21952 , con lo que si una ciudad
       tiene un habitante más tendrían dos individuos que coincidir en sus iniciales.
4.- Las soluciones de la ecuación planteada son 2 y 6, por lo que la solución válida es m=6.
5.- Esta ecuación tiene como solución m=17, m=-16, y la solución válida es m=17.
6.- Se pueden formar V93 = 504 variaciones distintas, no interviene el 7 en V83 = 336 , por lo que intervendrá
       el 7 en 504-336 = 168
7.-    Consideramos tres casos:
         a)    Las dos vocales a no figuran en los extremos. V42 ⋅ P 2, 2, 2 = 5443200 (formas de elegir las
                                                                     10
               vocales por las permutaciones de las otras letras que no están en los extremos)
         b)    Una vocal a está en el extremo. 2 ⋅ V41 ⋅ P 2, 2 = 7257600
                                                          10

        c)    Las dos a figuran en los extremos. P 2, 2 = 907200
                                                  10
Y en total tendremos 5443200+7257600+907200 = 13608000.
        52  52!
8.-     =
        5  5!47! = 2598960
        
9.-    VR3 = 35 = 243 apuestas
           5


     12  8  4 
10.-     =34650
      4  4  4 
        
11.- Los valores de cada expresión son 2600, 720, 3024 y 1296, por lo que la mayor es V94 .
      8  8!
12.-   =
      4  4!4! = 70
      
13.- Las palabras serán de la forma VCVCVCVCVC o CVCVCVCVCV, y por lo tanto tendremos que las
     posibles ordenaciones son 2 ⋅ V55 ⋅ V21 = 2 ⋅ 120 ⋅ 2441880 = 586051200
                                           5

14.- 2 P4P3= 288, ya que pueden empezar los hombres o las mujeres y pueden los hombres pueden estar de P4
       formas distintas mientras que las mujeres lo pueden hacer de P3.
15.-
                                                    6
         a)    Si los lados son iguales tendremos   = 20 , además de las repetidas 111, 112, 113, 114, 115,
                                                  3
                                                    
               116, y análogamente con 2, 3, 4, 5, 6 es decir 36, por lo que habrá 56 resultados posibles.
                                            3
         b)    Si los dados son distintos VR6 = 216
16.- Serán números de 1, 2 y 3 cifras, V41 + VR4 + VR4 = 4 + 16 + 64 = 84
                                               2     3


     12 
17.-   − 12 = 54 , es decir el número de combinaciones de dos vértices menos los doce lados del polígono.
     2 
      
                                     n       n 2 − 3n n(n − 3)
     En el caso de n lados tendremos   − n =
                                     2               =
                                                 2         2
18.-   P84, 4 = 70
19.-   Son variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir 315
20.-   Serán permutaciones de 6 elementos, 6!=720
21.-   Primeramente serán permutaciones de 5 elementos, 5!=120. Para la segunda pregunta nos damos cuenta
       que si uno de los dos que se niegan a estar contiguos se coloca en alguno de los tres lugares centrales, el
EJERCICIOS DE COMBINATORIA

     otro solo puede ocupar dos lugares, por lo que habrá 3*2*3*2=36 formas de hacerlo, mientras que si ocupa
     uno de los extremos, el otro podrá colocarse en tres posiciones y por tanto habrá 2*3*3*2=36, en total 72
     formas de colocarse.
22.- La palabra tiene 10 letras, pero la “s” se repite 3 veces, la “t” tres y la “i” otras dos, con lo que se podrán
                             10!
       hacer PR103, 2,1,1 =
               3,
                                   = 50400 Si queremos que empiece y termine por s, solo quedarán para permutar
                            3!3!2!
                                                                                                      8!
       8 letras, de las cuales se repite la t tres veces y la i dos, por lo que será PR8 , 2,1,1,1 =
                                                                                       3
                                                                                                          = 3360
                                                                                                     3!2!
23.-
                                                                                  20 
         a)        Se pueden elegir las 7 preguntas a contestar correctamente de 
                                                                                     
                                                                                      
                                                                                 7 
                                           20 
         b)       De igual forma será 
                                              
                                               
                                          10 
         c)       En este caso debemos sumar las posibles formas de fallar solo 3, 2, 1 o tener todo el examen
                                       20   20   20   20 
                  correcto, es decir, 
                                           +   +   +   = 1140 + 190 + 20 + 1 = 1351
                                                 
                                       3   2  1   0 
24.- Contemos todas las permutaciones que quedan por debajo.
           i)     Primero todas las que comiencen por 1, 2, o 3:                     3.3!=360
           ii)    Que comiencen con 5 y la segunda sea menor que 9:                  4.4!=96
           iii)   que la tercera cifra sea menor que 8 (el 5 ya está puesto)         3.3!=18
           iv)    que la cuarta cifra sea menor que 1 no puede darse.
           v)     que la cuarta cifra sea menor que 3 (ya solo queda el 2)                 1
En total          475 por esto ocupará el lugar nº 476.
25.-
         a)  números con una cifra (no se puede repetir)                             10
         b)  números con dos cifras. Las decenas no pueden ser 0,                    9.9=81
         c)  de tres cifras (la 1ª no es cero, la segunda si puede serlo y la tercera no puede ser ni la primera ni la
              segunda                                                                9.9.8=648
En total 10+81+648=739 números sin repetir la cifras

26.- m(m-1) (m-2) = 5 m (m-1)+ (m (m-1) (m-2))/6 resolviendo esta ecuación nos saldrá m=0, m=1 y m=8, de
       las que sólo será válida m=8.

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Ejer combinatoriaysoluciones[1]

  • 1. EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1.- Un estudiante tiene que contestar 8 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar? ¿Y si las tres primeras son obligatorias? ¿Y si de las cinco primeras ha de contestar a cuatro? Solución: 45, 21, 25 2.- Para jugar al dominó, siete fichas hacen un juego. Sabiendo que tiene 28 fichas, ¿cuántos juegos diferentes se pueden hacer? Solución: 1184040 3.- Hallar el número mínimo de habitantes que debe tener una ciudad para que sea inevitable que al menos dos habitantes tengan las mismas iniciales de su nombre y dos apellidos. (Se supone que el alfabeto tiene 28 letras.) Solución: 21953 4.- El séxtuplo del número de combinaciones que se puede formar con m objetos tomados de tres en tres es igual al número de variaciones que se pueden formar con m-1 objetos tomados de cuatro en cuatro. Halla el valor de m, suponiendo que es mayor que cuatro. Solución: m=6 5.- La diferencia entre el número de variaciones binarias de m objetos y el de combinaciones binarias de los mismos m objetos es 136. Halla el número de objetos. Solución: m=17 6.- En las variaciones sin repetición que podemos formar con las nueve cifras significativas tomadas de tres en tres, ¿cuántas veces está la cifra 7? Solución: 168 7.- ¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar con la palabra AYUNTAMIENTO, de tal manera que siempre comiencen y terminen por vocal? Solución: 13608000 8.- Con una baraja de 52 cartas, ¿cuántos grupos diferentes de cinco cartas se pueden hacer? Solución: 2598960 9.- ¿Cuántas apuestas hay que rellenar en las quinielas de fútbol para tener la seguridad de acertar cinco resultados? Solución: 243 10.- De un grupo de 12 alumnos deben formarse tres equipos de cuatro participantes para que asistan a tres pruebas diferentes. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden realizarse? Solución: 34650 11.- ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor: C 26 , P6 ,V94 ,VR6 ? Solución: V94 3 4 12.- ¿Cuántos tetraedros determinan ocho puntos del espacio de forma que cuatro cualesquiera de ellos no sean coplanarios? Solución: 70 13.- ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? Solución: 586051200 14.- En un departamento de una empresa trabajan cuatro hombres y tres mujeres. Desean que les hagan una fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también las mujeres. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse? Solución: 288 15.- ¿Cuántos resultados distintos se obtienen al lanzar tres dados iguales a la vez? ¿Y si los dados son distintos? Solución: 56, 216 16.- Con los dígitos pares, ¿cuántos números inferiores a 1 000 se pueden escribir? Solución: 84 17.- Calcula el número de diagonales que tiene un polígono de 12 lados. Generaliza el caso para cuando se trate de un polígono de n lados. Solución: n (n-3)/2 18.- Se disponen ocho monedas en una fila. La mitad de ellas son de duro y la otra mitad de 100 pesetas. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar? Solución: 70 19.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas. ¿En cuantas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? Solución: 14348907 20.- ¿En cuantas formas puede un director de televisión programar seis diferentes comerciales de un patrocinador durante los seis periodos de tiempo asignado a mensajes comerciales durante un programa? Solución: 720 21.- ¿De cuantas maneras pueden formarse cinco personas para tomar el autobús? ¿De cuantas maneras si dos de las personas se niegan a hacerlo una detrás de otra? Solución: 120, 72 22.- ¿Cuántas permutaciones diferentes hay de las letras de la palabra "statistics"? ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con la letra s?. Solución: 50400, 3360 23.- En un test de 20 preguntas con dos opciones, ¿de cuantas formas pueden marcarse las preguntas para que a) siete estén correctas y 13 equivocadas; b) 10 estén correctas y 10 equivocadas; c) cuando menos 17 están correctas? Solución: 77520, 184756, 1351 24.- Si se suponen ordenadas todas las permutaciones que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 en orden creciente, que lugar ocupa la permutación 598132. Solución: lugar nº 476 25.- ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, hay que sean menores que 1000, si cada número está constituido por cifras diferentes. Solución: 739 3 2 3 26.- Calcula el valor de m que verifica Vm = 5Vm + C m . Solución m= 8
  • 2. EJERCICIOS DE COMBINATORIA 10  7 1.- En el primer caso   = 45 ,en el segundo caso sólo debe elegir 5 de entre 7   = 21 ,, la forma de elegir 8  5      5  5  4 entre las primeras 5 y cuatro entre las otras 5 será    = 25  4  4      28  2.-   = 1184040 7    3 3.- La forma de elegir tres letras entre 28 pudiendo repetirse sería VR28 = 21952 , con lo que si una ciudad tiene un habitante más tendrían dos individuos que coincidir en sus iniciales. 4.- Las soluciones de la ecuación planteada son 2 y 6, por lo que la solución válida es m=6. 5.- Esta ecuación tiene como solución m=17, m=-16, y la solución válida es m=17. 6.- Se pueden formar V93 = 504 variaciones distintas, no interviene el 7 en V83 = 336 , por lo que intervendrá el 7 en 504-336 = 168 7.- Consideramos tres casos: a) Las dos vocales a no figuran en los extremos. V42 ⋅ P 2, 2, 2 = 5443200 (formas de elegir las 10 vocales por las permutaciones de las otras letras que no están en los extremos) b) Una vocal a está en el extremo. 2 ⋅ V41 ⋅ P 2, 2 = 7257600 10 c) Las dos a figuran en los extremos. P 2, 2 = 907200 10 Y en total tendremos 5443200+7257600+907200 = 13608000.  52  52! 8.-  =  5  5!47! = 2598960   9.- VR3 = 35 = 243 apuestas 5 12  8  4  10.-     =34650  4  4  4      11.- Los valores de cada expresión son 2600, 720, 3024 y 1296, por lo que la mayor es V94 .  8  8! 12.-   =  4  4!4! = 70   13.- Las palabras serán de la forma VCVCVCVCVC o CVCVCVCVCV, y por lo tanto tendremos que las posibles ordenaciones son 2 ⋅ V55 ⋅ V21 = 2 ⋅ 120 ⋅ 2441880 = 586051200 5 14.- 2 P4P3= 288, ya que pueden empezar los hombres o las mujeres y pueden los hombres pueden estar de P4 formas distintas mientras que las mujeres lo pueden hacer de P3. 15.-  6 a) Si los lados son iguales tendremos   = 20 , además de las repetidas 111, 112, 113, 114, 115, 3   116, y análogamente con 2, 3, 4, 5, 6 es decir 36, por lo que habrá 56 resultados posibles. 3 b) Si los dados son distintos VR6 = 216 16.- Serán números de 1, 2 y 3 cifras, V41 + VR4 + VR4 = 4 + 16 + 64 = 84 2 3 12  17.-   − 12 = 54 , es decir el número de combinaciones de dos vértices menos los doce lados del polígono. 2    n n 2 − 3n n(n − 3) En el caso de n lados tendremos   − n = 2 =   2 2 18.- P84, 4 = 70 19.- Son variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir 315 20.- Serán permutaciones de 6 elementos, 6!=720 21.- Primeramente serán permutaciones de 5 elementos, 5!=120. Para la segunda pregunta nos damos cuenta que si uno de los dos que se niegan a estar contiguos se coloca en alguno de los tres lugares centrales, el
  • 3. EJERCICIOS DE COMBINATORIA otro solo puede ocupar dos lugares, por lo que habrá 3*2*3*2=36 formas de hacerlo, mientras que si ocupa uno de los extremos, el otro podrá colocarse en tres posiciones y por tanto habrá 2*3*3*2=36, en total 72 formas de colocarse. 22.- La palabra tiene 10 letras, pero la “s” se repite 3 veces, la “t” tres y la “i” otras dos, con lo que se podrán 10! hacer PR103, 2,1,1 = 3, = 50400 Si queremos que empiece y termine por s, solo quedarán para permutar 3!3!2! 8! 8 letras, de las cuales se repite la t tres veces y la i dos, por lo que será PR8 , 2,1,1,1 = 3 = 3360 3!2! 23.-  20  a) Se pueden elegir las 7 preguntas a contestar correctamente de     7   20  b) De igual forma será     10  c) En este caso debemos sumar las posibles formas de fallar solo 3, 2, 1 o tener todo el examen  20   20   20   20  correcto, es decir,    +   +   +   = 1140 + 190 + 20 + 1 = 1351         3   2  1   0  24.- Contemos todas las permutaciones que quedan por debajo. i) Primero todas las que comiencen por 1, 2, o 3: 3.3!=360 ii) Que comiencen con 5 y la segunda sea menor que 9: 4.4!=96 iii) que la tercera cifra sea menor que 8 (el 5 ya está puesto) 3.3!=18 iv) que la cuarta cifra sea menor que 1 no puede darse. v) que la cuarta cifra sea menor que 3 (ya solo queda el 2) 1 En total 475 por esto ocupará el lugar nº 476. 25.- a) números con una cifra (no se puede repetir) 10 b) números con dos cifras. Las decenas no pueden ser 0, 9.9=81 c) de tres cifras (la 1ª no es cero, la segunda si puede serlo y la tercera no puede ser ni la primera ni la segunda 9.9.8=648 En total 10+81+648=739 números sin repetir la cifras 26.- m(m-1) (m-2) = 5 m (m-1)+ (m (m-1) (m-2))/6 resolviendo esta ecuación nos saldrá m=0, m=1 y m=8, de las que sólo será válida m=8.