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OBJETIVOS…
Comprender y diferenciar los conceptos
del dominio y rango de una función.
Calcular el dominio y rango de diversas
funciones.
Definició
nDados dos conjuntos no vacíos A y B llamaremos función A en B al
conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦 tales que a cada 𝑥 ∈ 𝐴, le
corresponde un único 𝑦 ∈ 𝐵.
Formalmente:
𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 es una función de A en B ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∕
(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓Ejemplo:
1
2
3
P
Q
R
S
7
8
9
1
2
3
4
A
A
B
B
𝑓 𝑔
𝑓es función 𝑔 no es función
PARTES DE UNA
FUNCIÓN
Dominio de una función
Sea 𝒇: 𝑨 → 𝑩 una función de A en B llamaremos dominio de la función 𝒇 al
conjunto de todas sus primeras componentes de los pares ordenados de la
función, al cual denotaremos por 𝑫𝒐𝒎𝒇.
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐴/∃! 𝑦 ∈ 𝐵/(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓
Rango de una
función
Sea 𝒇: 𝑨 → 𝑩 una función de A en B llamaremos rango de la función f al conjunto de
todas sus segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función,
y se denota por 𝑹𝒂𝒏𝒇.
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑦 ∈ 𝐵/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓
Ejemplo
s:
La función Dominio Rango
1 𝑓 𝑥 = 2; 3 , 5; 6 , 3; −4 , 4; 7 , (10; 9) 2; 5; 3; 4; 10 3; 6; −4; 7; 9
2 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 + 77 Todos los
números reales
(ℝ)
Todos los números
reales (ℝ)
3 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 8 4; +∞ 0; +∞
4
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1
𝑥 − 2
ℝ − 2 ℝ − 1
El 𝑫𝒐𝒎 y 𝑹𝒂𝒏 de estas
expresiones las
aprenderemos a calcular
Regla de
Correspondencia
Dada la función 𝒇: 𝑨 → 𝑩, 𝑓 se puede escribir de la
forma:
𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Regla de
Correspondenci
a
Donde:
𝑥 es la variable
independiente
𝑦 es la variable
dependiente
Nos permite
calcular la imagen
de un elemento del
dominio.
Cálculo del Dominio y Rango de una
función
Criterios:
Cuando tenemos una función cuando su dominio no
presenta rango,
se despeja 𝑥 en función de 𝑦.
El dominio de una función 𝒇 se determina analizando todos
los valores posibles que pueda tomar 𝒙.
El rango se determina partiendo de la condición dada para
los valores de x en el dominio y se construye las cotas
o valores adecuados para 𝒚 = 𝒇(𝒙).
Ejemplo 1:
Halar el rango de la función definida por 𝑔 𝑥 = 2𝑥2
+
3𝑥 + 2; 𝑥 ∈ ℝ
Resolución:
Primero hacemos:
𝑦 = 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2 0 = 2𝑥2
+ 3𝑥 + (2 − 𝑦)
Luego aplicamos la fórmula general para hallar la discriminante:
𝑥 =
−3 ± 9 − 4(2)(2 − 𝑦)
2(2)
Si 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 ∈ ℝ
Pero :
∆= 9 − 4(2)(2 − 𝑦) ≥ 0
9 ≥ 16 − 8𝑦 ⟶ 𝑦 ≥ 7
8
𝑹𝒂𝒏 𝐠 = 𝟕
𝟖 ; +∞
Ejemplo 2:
Hallar el rango de la función definida por ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 7;
𝑥 ∈ 2; 3Resolución:
Formamos factorizamos 𝑥 en la función, formando un trinomio
cuadrado perfecto
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 3
Luego usamos el dato para formar la expresión de y:
2 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1
0 ≤ (𝑥 − 2)2 ≤ 1
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𝑦 = (𝑥 − 2)2+3
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Ejemplo 3:
Hallar el rango de la función definida por 𝑓 𝑥 =
𝑥2
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Resolución:
Despejamos 𝑥 de la función
𝑦 =
𝑥2
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Funcion Definicion

  • 1.
  • 2. OBJETIVOS… Comprender y diferenciar los conceptos del dominio y rango de una función. Calcular el dominio y rango de diversas funciones.
  • 3. Definició nDados dos conjuntos no vacíos A y B llamaremos función A en B al conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦 tales que a cada 𝑥 ∈ 𝐴, le corresponde un único 𝑦 ∈ 𝐵. Formalmente: 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 es una función de A en B ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 ∕ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓Ejemplo: 1 2 3 P Q R S 7 8 9 1 2 3 4 A A B B 𝑓 𝑔 𝑓es función 𝑔 no es función
  • 4. PARTES DE UNA FUNCIÓN Dominio de una función Sea 𝒇: 𝑨 → 𝑩 una función de A en B llamaremos dominio de la función 𝒇 al conjunto de todas sus primeras componentes de los pares ordenados de la función, al cual denotaremos por 𝑫𝒐𝒎𝒇. 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥 ∈ 𝐴/∃! 𝑦 ∈ 𝐵/(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓 Rango de una función Sea 𝒇: 𝑨 → 𝑩 una función de A en B llamaremos rango de la función f al conjunto de todas sus segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función, y se denota por 𝑹𝒂𝒏𝒇. 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑦 ∈ 𝐵/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓
  • 5. Ejemplo s: La función Dominio Rango 1 𝑓 𝑥 = 2; 3 , 5; 6 , 3; −4 , 4; 7 , (10; 9) 2; 5; 3; 4; 10 3; 6; −4; 7; 9 2 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 + 77 Todos los números reales (ℝ) Todos los números reales (ℝ) 3 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 8 4; +∞ 0; +∞ 4 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2 ℝ − 2 ℝ − 1 El 𝑫𝒐𝒎 y 𝑹𝒂𝒏 de estas expresiones las aprenderemos a calcular
  • 6. Regla de Correspondencia Dada la función 𝒇: 𝑨 → 𝑩, 𝑓 se puede escribir de la forma: 𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑥) Regla de Correspondenci a Donde: 𝑥 es la variable independiente 𝑦 es la variable dependiente Nos permite calcular la imagen de un elemento del dominio.
  • 7. Cálculo del Dominio y Rango de una función Criterios: Cuando tenemos una función cuando su dominio no presenta rango, se despeja 𝑥 en función de 𝑦. El dominio de una función 𝒇 se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar 𝒙. El rango se determina partiendo de la condición dada para los valores de x en el dominio y se construye las cotas o valores adecuados para 𝒚 = 𝒇(𝒙).
  • 8. Ejemplo 1: Halar el rango de la función definida por 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 2; 𝑥 ∈ ℝ Resolución: Primero hacemos: 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 0 = 2𝑥2 + 3𝑥 + (2 − 𝑦) Luego aplicamos la fórmula general para hallar la discriminante: 𝑥 = −3 ± 9 − 4(2)(2 − 𝑦) 2(2) Si 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 ∈ ℝ Pero : ∆= 9 − 4(2)(2 − 𝑦) ≥ 0 9 ≥ 16 − 8𝑦 ⟶ 𝑦 ≥ 7 8 𝑹𝒂𝒏 𝐠 = 𝟕 𝟖 ; +∞
  • 9. Ejemplo 2: Hallar el rango de la función definida por ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 7; 𝑥 ∈ 2; 3Resolución: Formamos factorizamos 𝑥 en la función, formando un trinomio cuadrado perfecto 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 3 Luego usamos el dato para formar la expresión de y: 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1 0 ≤ (𝑥 − 2)2 ≤ 1 3 ≤ 𝑥 − 2 2 + 3 ≤ 4 𝑦 = (𝑥 − 2)2+3 3 ≤ 𝑦 ≤ 4 𝑹𝒂𝒏 𝒉 = 𝟑; 𝟒
  • 10. Ejemplo 3: Hallar el rango de la función definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥2+1 Resolución: Despejamos 𝑥 de la función 𝑦 = 𝑥2 𝑥2 + 1 𝑦𝑥2 + 𝑦 = 𝑥2 𝑥2 𝑦 − 1 = −𝑦 𝑥 = ± 𝑦 1 − 𝑦 ⟶ 𝑦 1 − 𝑦 ≥ 0 𝑦 𝑦 − 1 ≤ 0 ≥ 0 𝑅𝑎𝑛 ℎ = 0; 1 Planteamos los puntos críticos en la recta: