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Elaboradopor: Pascual G. Sardella
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LA TEORÍA DE LA CIRCUNFERENCIA
Definición1:
Una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un
punto fijo denominado centro de la circunferencia. La distancia de cualquier punto de la
circunferencia al centro se llama radio.
Definición 2:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro
punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.
Definición 3:
Circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del
centro.
Generalidades:
Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de
dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la
circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás
puntos del círculo están a menor distancia que el radio.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son
iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o
cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío
(plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano
secante pasa por el centro, se llama ecuador.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia
unidad o circunferencia goniométrica.
C(h,k)
P(x,y)
r
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RESULTADOS ANALÍTICOS DE LA CIRCUNFERENCIAS
1.-Longitud de la Circunferencia:
El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando
usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.
La longitud L de una circunferencia es:
𝑳 = 𝟐𝝅𝒓 = 𝝅𝑫
Donde r es la longitud del radio y D=2r, es el diámetro.
Así pues 𝝅 (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia (L) y
el diámetro (D):
𝝅 =
𝑳
𝑫
=
𝑳
𝟐𝒓
2.-Área del círculo delimitado por una Circunferencia:
Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió
que el área del círculo era igual en área a un triángulo
rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud L de la
circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo
delimitado por la circunferencia es:
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝑳𝒓 = 𝝅𝒓 𝟐
3.-ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIAS:
3.1.- Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Cartesianas:
Si P (x, y) es un punto genérico de una circunferencia de centro C(h, k) y radio r, entonces por la
definición de circunferencia se tiene que: 𝑑 (𝑃, 𝐶) = 𝑟, es decir:
𝑑 ( 𝑃, 𝐶) = 𝑟 → √( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 → ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐
+ ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐
= 𝒓 𝟐
(𝟏)
Llamada Ecuación ordinaria ó Canónica de la Circunferencia de Centro C(h,k).
Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas, entonces h = 0 y k = 0; y la
ecuación (1) se reduce a la ecuación (2), es decir:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
(2).
Llamada Ecuación Ordinaria ó Canónica de la Circunferencia de Centro el Origen de
Coordenadas.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Si desarrollamos y ordenamos la ecuación (1), obtenemos la ecuación:
𝑥2
+ 𝑦2
− 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + (ℎ2
+ 𝑘2
− 𝑟2 ) = 𝑂
Ecuación ésta que tiene la forma:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂 (3)
y (3) se denomina Forma General de una Ecuación de la Circunferencia.
Luego, toda ecuación de una circunferencia será de la forma de la ecuación (3).
Recíprocamente, dada una ecuación de la forma (3), podemos completar cuadrados en ella y
escribirla bajo la forma:
(𝑥 +
𝐷
2
)
2
+ (𝑦 +
𝐸
2
)
2
=
1
4
( 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹) (∗)
Comparando la ecuación (*) con la ecuación (1) observamos que toda ecuación de la forma (3)
representará una circunferencia:
 Si el Centro C(h,k) es 𝐶 (−
𝐷
2
; −
𝐸
2
), y
 El radio 𝑟 =
1
2
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
siempre que se cumpla la condición 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 > 0
 Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 = 0, entonces r=0 y la circunferencia se reduce a un punto, el
centro.
 Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 < 0, entonces r es imaginario y se dice que la ecuación
representa a una circunferencia imaginaria.
NOTA 1: La ecuación de la circunferencia ordinaria ó canónica (1) ó la ecuación general de la
circunferencia (3) contienen 3 constantes arbitrarias (h,k,r) o (D, E y F), por tanto es necesario,
en general, imponer 3 condiciones geométricas para definir su ecuación.
NOTA 2: Una ecuación General de Segundo Grado de la forma:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1)
Representa una circunferencia si los coeficientes A=C y B=0, quedando la ecuación en la forma:
𝐴𝑥2
+ 𝐴𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (2)
Esto nos hace ver que cuando los coeficientes A=C, siendo A>0 y C>0, no sea igual a la unidad,
dividiendo la ecuación entre A se tiene:
𝑥2
+ 𝑦2
+
𝐷
𝐴
𝑥 +
𝐸
𝐴
𝑦 +
𝐹
𝐴
= 0 (3)
Logrando así expresar la ecuación de la circunferencia en la forma general (3).
Desarrollando y completando cuadrado tenemos:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
(𝑥2
+
𝐷
𝐴
𝑥) + (𝑦2
+
𝐸
𝐴
𝑦) = −
𝐹
𝐴
(𝑥2
+
𝐷
𝐴
𝑥 +
𝐷2
4𝐴2
−
𝐷2
4𝐴2
) + (𝑦2
+
𝐸
𝐴
𝑦 +
𝐸2
4𝐴2
−
𝐸2
4𝐴2
) = −
𝐹
𝐴
(𝑥2
+
𝐷
𝐴
𝑥 +
𝐷2
4𝐴2
) + (𝑦2
+
𝐸
𝐴
𝑦 +
𝐸2
4𝐴2
) =
𝐷2
4𝐴2
+
𝐸2
4𝐴2
−
𝐹
𝐴
(𝑥 −
𝐷
2𝐴
)
2
+ (𝑦 −
𝐸
2𝐴
)
2
=
𝐷2
4𝐴2
+
𝐸2
4𝐴2
−
𝐹
𝐴
(4)
Haciendo:
ℎ = −
𝐷
2𝐴
; 𝑘 = −
𝐸
2𝐴
; y 𝑟2
=
𝐷2
4𝐴2 +
𝐸2
4𝐴2 −
𝐹
𝐴
Donde (4) queda así:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
(5)
La ecuación (5) es la ecuación ordinaria o canónica de la Circunferencia cuyo centro es 𝐶(ℎ, 𝑘) y
el radio de la misma es 𝑟2
=
𝐷2
4𝐴2 +
𝐸2
4𝐴2 −
𝐹
𝐴
.
Analizando la porción de la ecuación: 𝑟2
=
𝐷2
4𝐴2 +
𝐸2
4𝐴2 −
𝐹
𝐴
, tenemos:
𝑟2
=
𝐷2
4𝐴2
+
𝐸2
4𝐴2
−
𝐹
𝐴
→ 𝑟 = ±√
𝐷2
4𝐴2
+
𝐸2
4𝐴2
−
𝐹
𝐴
De aquí se desprende que el radio es diferente de cero (0), es decir: 𝑟 ≠ 0, para que tengamos
una circunferencia.
Que pasa con la parte subradical, es decir: √
𝐷2
4𝐴2 +
𝐸2
4𝐴2 −
𝐹
𝐴
Bueno que para que tenga solución real se debe cumplir que:
𝐷2
4𝐴2 +
𝐸2
4𝐴2 −
𝐹
𝐴
≥ 0
𝐷2
4𝐴2
+
𝐸2
4𝐴2
−
𝐹
𝐴
=
𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐴𝐹
4𝐴2
De aquí sabemos por lo anterior que
𝐴 = 𝐶 ≠ 0 y que 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐴𝐹 ≥ 0
para que haya solución real, por tanto:
 Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐴𝐹 = 0, el centro
es un único punto
 Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐴𝐹 > 0, el centro
C(h,k) y r son los elementos de
una circunferencia real y el radio
es 𝑟 =
1
2𝐴
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
 Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐴𝐹 < 0, la
circunferencia es imaginaria o
compleja.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
3.2.-Ecuación Vectorial de la Circunferencia:
En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio r, viene dada por la
ecuación vectorial:
𝑟( 𝜃) = [ 𝑟𝑐𝑜𝑠( 𝜃), 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)]
Donde , es el parámetro de la curva, además cabe destacar que 𝜽𝝐[ 𝟎, 𝟐𝝅]. Se puede deducir
fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al
cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el
espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z
libre. De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2)
y r un real positivo, la ecuación vectorial: ‖ 𝒙 − 𝒄‖ = 𝒓, representa una circunferencia de centro
c y radio r. La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la
distancia euclidiana constante de valor r.
3.3.- Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y
el radio es c, se describe en coordenadas polares
como (r,). Cuando el centro no está en el origen,
sino en el punto (s,) y el radio es c la ecuación se
transforma en:
𝑟2
− 2𝑠𝑟𝑐𝑜𝑠( 𝜃 − 𝛼) + 𝑠2
= 𝑐2
3.4.- Ecuación paramétrica de la circunferencia:
La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se
parametriza con funciones trigonométricas como:
{
𝑥 = 𝑎 + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)
𝑦 = 𝑏 + 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con
funciones racionales como:
{
𝑥 = 𝑎 + 𝑟 (
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
)
𝑦 = 𝑏 + 𝑟 (
2𝑡
1 + 𝑡2
)
𝑡 ∈ 𝑅̂
donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.
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3.5.- Ecuaciones de la Circunferencia en el plano Complejo:
En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación | 𝒛 − 𝒄| =
𝒓. En forma paramétrica puede ser escrita como 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝒕
+ 𝒄.
4.-ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
 Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
 Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de
la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la
circunferencia dividida entre 2π.
 Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la
circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es
igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.
 Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro
es la cuerda de longitud máxima.
 Recta secante: Es la línea que corta a la
circunferencia en dos puntos.
 Recta tangente: Es la línea que toca a la
circunferencia en un solo punto.
 Punto de Tangencia: es el punto de contacto
de la recta tangente con la circunferencia.
 Arco: El arco de la circunferencia es cada una
de las partes en que una cuerda divide a la
circunferencia. Un arco de circunferencia se
denota con el símbolo sobre las letras de los
puntos extremos del arco.
 Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
diámetro.
5.- PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS:
5.1.-La Circunferencia y un Punto:
Un punto en el plano puede ser:
 Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud
del radio.
 Perteneciente a la circunferencia, si la distanciadel centro al punto es igual a la longitud
del radio.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
 Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del
radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia.
Respecto al círculo, claramente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es
precisamente la respectiva circunferencia.
5.2.-La Circunferencia y la Recta:
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
 Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta
es mayor que la longitud del radio.
 Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del
centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia
es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
 Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la
distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
 Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una
cuerda y el arco correspondiente
5.3.- Dos Circunferencias:
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
 Exteriores o Disjuntas, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus
centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto
radio. (Figura 1)
 Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una
son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus
radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a
la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias
distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes
ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
(Figura 3)
 Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de
ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es
igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor
radio que la otra. (Figura 4)
 Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros
es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas
tiene que tener mayor radio que la otra.
 Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y
distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas
tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
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 Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen
más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
6.-Ángulos en una Circunferencia:
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
 Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
 Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos
cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la
mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
 Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen
una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
 Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un
ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados
más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
 Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
7.-Arco Capaz:
El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el
mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma
amplitud y abarcan un mismo segmento. El arco capaz de un segmento AB, de ángulo λ, es un
par de arcos de circunferencia simétricos a cada lado del segmento AB que contiene los vértices
de ángulo λ, y unidos por los puntos A y B. El ángulo que subtiende el segmento AB visto desde
el centro del círculo es 2λ.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º teorema
de Tales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.
También, el Arco Capaz, se define así: El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos que
unidos con los extremos de un segmento forman siempre un mismo ángulo.
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas
geométricos relacionados con ángulos de triángulos.
8.-Otras Propiedades:
8.1.-Potencia de un punto:
Si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual al
producto de los segmentos formados en la otra cuerda,
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
8.2.-El segundo teorema de Tales:
El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una
circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el
ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
8.3.-Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia:
Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a
estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos).
Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano, ( 𝑥1, 𝑦1); ( 𝑥2, 𝑦2), ( 𝑥3, 𝑦3 ), la ecuación
de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:
𝐷𝑒𝑡
[
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑦
𝑦1
𝑦2
𝑦3
1
1
1
1]
= 0 ó 𝐷𝑒𝑡 |
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥 𝑥1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥2 𝑥3
𝑦 𝑦1
1 1
𝑦2 𝑦3
1 1
| = 0
Ecuación de la Circunferencia determinada por 3 puntos usando Determinantes por Menores y
Cofactores (Filas ó Columnas)
Basamento Teórico
Se sabe que la ecuación de una circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales 𝐴(𝑥1, 𝑦1),
𝐵( 𝑥2, 𝑦2) 𝑦 𝐷( 𝑥3, 𝑦3), está dada por el determinante siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
𝐷𝑒𝑡
[
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑦
𝑦1
𝑦2
𝑦3
1
1
1
1]
= 0
Ecuación de una Circunferencia calculado por los Menores y Cofactores de una Columna
𝐷𝑒𝑡 |
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥 𝑥1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥2 𝑥3
𝑦 𝑦1
1 1
𝑦2 𝑦3
1 1
| = 0
Ecuación de una Circunferencia calculado por los Menores y Cofactores de una Fila.
Para resolver este determinante de orden 4x4 (4 filas ó renglones y 4 columnas), se
propone el método de MENORES Y COFACTORES
MENORES Y COFACTORES.
En esta sección te enseñará a calcular determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de
menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.
Se llama menor del elemento afc de un determinante D de fxc al determinante Mfc de orden
(f-1)x(c-1) que se obtiene al eliminar la fila f y la columna c de D.
Se llama cofactordel elemento afc del determinante D, al menor Mfc con el signo (-1)f+c y
se denota afc, esto es: afc=(-1)f+c·Mfc.
Teorema
Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (fila)
(o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.
Esto es
𝐷 = |
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋮
𝑎(𝑓−1)1
𝑎(𝑓)1
⋮
𝑎𝑓2
𝑎𝑓2
𝑎13 … 𝑎𝑓𝑐
𝑎23 … 𝑎𝑓𝑐
⋮
𝑎 𝑓3
𝑎 𝑓3
⋮…
…
⋮
𝑎𝑓𝑐
𝑎𝑓𝑐
|
| = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎21 𝐴21 + ⋯+ 𝑎𝑓( 𝑐−1) 𝐴𝑓(𝑐−1) + 𝑎𝑓𝑐 𝐴𝑓𝑐 (2)
es el desarrollo del determinante D por el renglón o fila f, y similarmente
𝐷 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + ⋯ + 𝑎1( 𝑐−1) 𝐴1(𝑐−1) + 𝑎1𝑐 𝐴𝑓𝑐 (3)
es el desarrollo del determinante D por la columna c.
Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier
determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.
D:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Familias de Circunferencias
El principio básico de las familias de curvas, consiste en que estas cumplan con ciertas
condiciones dadas. En el caso de las circunferencias se tienen familias de uno, dos y tres
parámetros, pudiendo obtener la ecuación de cualquier circunferencia de la familia asignando
simplemente un valor particular a cada parámetro según el caso. Lehmann menciona las
siguientes:
1) Circunferencias que tienen el mismo centro.
2) Circunferencias que pasan por dos puntos.
3) Circunferencias tangentes a una recta en un punto fijo.
4) Circunferencias que pasan por las intersecciones de dos circunferencias.
Ejemplos
A) La ecuación general 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 contiene tres (3) parámetros: D, E y F;
y representa la familia formada por todas las circunferencias del plano xy, en donde D, E
y F pueden tomar cualquier valor real o sea {D,E,F}  R.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
B) La ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 0; contiene dos (2) parámetros: D y F, que pueden
tomar cualquier valor real y representa la familia formada por todas las circunferencias
que pasan por el origen de coordenadas (con todos los radios posibles)
C) La ecuación x2+y2=r2; contiene un parámetro: r>0 y; representa una familia de
circunferencias concéntricas, con el mismo centro, que es el origen de coordenadas y
con todos los radios posibles.
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D) La ecuación ( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − ℎ)2
= ℎ2
; contiene un parñametro: h>0 y representa una
familia de circunferencias tangentes a los ejes coordenados y que tienen su centro en
C(h,h) sobre la recta y=x, a este tipo de circunferencias se les llama coaxiales ya que
todos sus centros son colineales.
E) La ecuación ( 𝑥 − 3)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 9; contiene un parámetro: k  R; y representa la
familia de circunferencias cuyos centros se localizan sobre la recta x=3 y todas de radio
r=9.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
F) La ecuación ( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 3)2
= 9; contiene un parámetro: h  R; y representa la
familia de circunferencias cuyos centros se localizan sobre la recta y=3 y todas de radio
r=9.
A continuación resolveremos problemas típicos de circunferencias.
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
1.- Hallar la ecuación de la circunferencia con centro 𝑪(−
𝟏
𝟑
, 𝟒) y radio 𝒓 = √ 𝟓.
Solución:
Sabemos que la ecuación de la circunferencia que tiene centro C(h,k) y un radio viene
determinado por la ecuación canónica (1) es decir:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
Sustituyendo los valores dados se tiene;
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (𝑥 − (−
1
3
))
2
+ ( 𝑦 − 4)2
= (√5)2
(𝑥 +
1
3
)
2
+ ( 𝑦 − 4)2
= 5 → 𝑥2
+
2
3
𝑥 +
1
9
+ 𝑦2
− 8𝑦 + 16 = 5
𝑥2
+
2
3
𝑥 +
1
9
+ 𝑦2
− 8𝑦 + 16 − 5 = 0 →
9𝑥2
+6𝑥+1+9𝑦2
−72𝑦+99
9
= 0
9𝑥2
+ 6𝑥 + 1 + 9𝑦2
− 72𝑦 + 99 = 0
Luego la ecuación de la circunferencia es:
9𝑥2
+ 9𝑦2
+ 6𝑥 − 72𝑦 + 100 = 0 ó (𝑥 +
1
3
)
2
+ ( 𝑦 − 4)2
= 5
Solución: 𝟗𝒙 𝟐
+ 𝟗𝒚 𝟐
+ 𝟔𝒙 − 𝟕𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 ó (𝒙 +
𝟏
𝟑
)
𝟐
+ ( 𝒚 − 𝟒) 𝟐
= 𝟓
La gráfica es la siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
2.- Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒚 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎
Solución:
Podemos resolver este problema de dos formas: (1) aplicamos las formulas caso (3) y (2)
completando cuadrados y llevarlas a la forma de ecuación de la circunferencia canónica.
Caso 1. Ecuación general, donde 𝑪( 𝒉, 𝒌) = 𝑪 (−
𝑫
𝟐
; −
𝑬
𝟐
) y 𝒓 =
𝟏
𝟐
√𝑫 𝟐 + 𝑬 𝟐 − 𝟒𝑭
Debemos primer poner los coeficientes de x2 y y2 a la unidad, dividiendo entre 4 a la
ecuación dada, es decir:
4𝑥2
+ 4𝑦2
− 12𝑥 + 16𝑦 + 9 = 0 → 𝑥2
+ 𝑦2
− 3𝑥 + 4𝑦 +
9
4
= 0; A=1; D=-3; E=4; F=
9
4
El centro de la circunferencia es:
𝐶 (−
𝐷
2
; −
𝐸
2
) → 𝐶 (−
−3
2
; −
4
2
) → 𝐶 (
3
2
, −2) → ℎ =
3
2
; 𝑘 = −2
𝑟 =
1
2
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 → 𝑟 =
1
2
√(−3)2 + (4)2 − 4(
9
4
)
𝑟 =
1
2
√16 → 𝑟 =
1
2
(4) → 𝑟 = 2
Solución (1): Centro de la circunferencia 𝑪 (
𝟑
𝟐
, −𝟐); radio 𝒓 = 𝟐
Caso 2. 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒚 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎
( 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙) + ( 𝟒𝒚 𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚) = −𝟗 → 𝟒( 𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙) + 𝟒( 𝒚 𝟐
+ 𝟒𝒚) = −𝟗
( 𝑥2
− 3𝑥) + ( 𝑦2
+ 4𝑦) = −
9
4
(𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 +
𝟗
𝟒
−
𝟗
𝟒
) + ( 𝒚 𝟐
+ 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟒) = −
𝟗
𝟒
→ (𝑥 −
3
2
)
2
−
9
4
+ ( 𝑦 + 2)2
− 4 = −
9
4
(𝑥 −
3
2
)
2
+ ( 𝑦 + 2)2
= 4; Luego tenemos que el centro es 𝐶(
3
2
; −2) y el radio es r=2
Solución (2): 𝑪(
𝟑
𝟐
; −𝟐) y r = 2
La gráfica es la siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
3.-Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos: A(1,-1); B(5,3) y D(-3,5)
Solución: Datos del Problema: puntos que pasan por los puntos: A(1,-1); B(5,3) y D(-3,5), es
decir {A,B,C}  Circunferencia.
El problema podemos resolverlo por varios métodos:
Caso 1: Utilizando la ecuación General de la circunferencia: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Caso 2: Utilizando la ecuación Canónica de la circunferencia: ( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
.
Caso 3: Usando la noción de mediatrices, el cual la intersección de dos mediatriz nos da el
centro de la circunferencia y usando la distancia desde el centro de la circunferencia a
cualquiera de los puntos dados (A, B y D) hallamos el radio.
Caso 4: Usando el criterio del determinante: se sabe que la ecuación de una circunferencia
que pasa por 3 puntos no colineales A, B y D, está dada por el determinante:
||
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
𝑥 𝐴
2
+ 𝑦 𝐴
2
𝑥 𝐴
𝑦 1
𝑦 𝐴 1
𝑥 𝐵
2
+ 𝑦 𝐵
2
𝑥 𝐵
𝑥 𝐷
2
+ 𝑦 𝐷
2
𝑥 𝐷
𝑦 𝐵 1
𝑦 𝐷 1
|| = 0
Caso 1. Utilizando la Ecuación General de la Circunferencia: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Para A(1,-1) se tiene:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (1)2
+ (−1)2
+ 𝐷(1) + 𝐸(−1)+ 𝐹 = 0
𝐷−𝐸+𝐹=−2 (1)
Para B(5,3) se tiene:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (5)2
+ (3)2
+ 𝐷(5) + 𝐸(3)+ 𝐹 = 0
5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = −34 (2)
Para C(-3,5) se tiene:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (−3)2
+ (5)2
+ 𝐷(−3) + 𝐸(5)+ 𝐹 = 0
−3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34 (3)
Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones siguientes:
{
𝐷 − 𝐸 + 𝐹 = −2
5𝐷 + 3𝐸 + 𝐹 = −34
−3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34
Su Matriz es:
[
1 −1 1
5 3 1
−3 5 1
|
−2
−34
−34
] ;
Su Determinante:
∆= |
1 −1 1
5 3 1
−3 5 1
| → {
𝐹𝑃 → −3 + 3 + 25 →
𝐹𝑆 → −9 + 5 − 5 →
∆→ 25 − (−9) → ∆= 40
{∆= 40
Luego los valores de D,E y F son dados así:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
𝐷 =
𝐷𝑒𝑡 𝐷
∆
→ {𝐷 =
|
−2 −1 1
−34 3 1
−34 5 1
|
40
→ 𝐷 =
−6+34−170 −(−102+34−10)
40
→ 𝐷 =
−64
40
; 𝐷 = −
8
5
𝐸 =
𝐷𝑒𝑡 𝐸
∆
→ {𝐸 =
|
1 −2 1
5 −34 1
−3 −34 1
|
40
→ 𝐸 =
−34+6−170 −(102 −34−10)
40
→ 𝐸 =
−256
40
; 𝐸 = −
32
5
𝐹 =
𝐷𝑒𝑡 𝐹
∆
→ {𝐹 =
|
1 −1 −2
5 3 −34
−3 5 −34
|
40
→ 𝐹 =
−102−102−50−(18+170−170)
40
→ 𝐹 =
−272
40
; 𝐹 = −
34
5
Sustituyendo estos valores en la ecuación general tenemos:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → 𝑥2
+ 𝑦2
−
8
5
𝑥 −
32
5
𝑦 −
34
5
= 0
5𝑥2
+ 5𝑦2
− 8𝑥 − 32𝑦 − 34
5
= 0 → 5𝑥2
+ 5𝑦2
− 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0
La Solución es: 5𝑥2
+ 5𝑦2
− 8𝑥 − 32𝑦 − 34
La Gráfica de esta ecuación es la siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Caso 2: Utilizando la Ecuación Ordinaria ó Canónica de la Circunferencia:
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐
+ ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐
= 𝒓 𝟐
Para A(1,-1) se tiene:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (1 − ℎ)2
+ (−1 − 𝑘)2
= 𝑟2
(1 − 2ℎ + ℎ2) + ((−1)2
+ 2(−1)(−𝑘) + 𝑘2) = 𝑟2
→ ℎ2
− 2ℎ + 1 + 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = 𝑟2
ℎ2
+ 𝑘2
− 2ℎ + 2𝑘 + 2 = 𝑟2
(1)
Para B(5,3) se tiene:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (5 − ℎ)2
+ (3 − 𝑘)2
= 𝑟2
(25 − 10ℎ + ℎ2) + (9 − 6𝑘 + 𝑘2) = 𝑟2
→ ℎ2
− 10ℎ + 25 + 𝑘2
− 6𝑘 + 9 = 𝑟2
ℎ2
+ 𝑘2
− 10ℎ − 6𝑘 + 34 = 𝑟2
(2)
Para C(-3,5) se tiene:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (−3 − ℎ)2
+ (5 − 𝑘)2
= 𝑟2
(9 + 2(−3)(−ℎ)+ ℎ2) + (25 − 10𝑘 + 𝑘2) = 𝑟2
→ ℎ2
+ 6ℎ + 9 + 𝑘2
− 10𝑘 + 25 = 𝑟2
ℎ2
+ 𝑘2
+ 6ℎ − 10𝑘 + 34 = 𝑟2
(3)
Luego tenemos las ecuaciones siguientes:
{
ℎ2
+ 𝑘2
− 2ℎ + 2𝑘 + 2 = 𝑟2
(1)
ℎ2
+ 𝑘2
− 10ℎ − 6𝑘 + 34 = 𝑟2
(2)
ℎ2
+ 𝑘2
+ 6ℎ − 10𝑘 + 34 = 𝑟2
(3)
Se iguala (1) con (2) y (1) con (3) y desarrollando y operando, obtenemos las siguientes
ecuaciones:
ℎ2
+ 𝑘2
− 2ℎ + 2𝑘 + 2 = ℎ2
+ 𝑘2
− 10ℎ − 6𝑘 + 34 → 8ℎ + 8𝑘 = 32 → 𝒉 + 𝒌 = 𝟒 (𝒂)
ℎ2
+ 𝑘2
− 2ℎ + 2𝑘 + 2 = ℎ2
+ 𝑘2
+ 6ℎ − 10𝑘 + 34 → −8ℎ + 12𝑘 = 32;−𝟐𝒉 + 𝟑𝒌 = 𝟖 (𝒃)
Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones siguientes:
{
ℎ + 𝑘 = 4 (𝑎)
−2ℎ + 3𝑘 = 8 (𝑏)
Multiplicamos por 2 a (a) y se lo sumamos a (b), el valor obtenido se sustituye en (a),
obtenemos:
{
2ℎ + 2𝑘 = 8
−2ℎ + 3𝑘 = 8
0ℎ + 5𝑘 = 16
→ 𝒌 =
𝟏𝟔
𝟓
; ℎ + 𝑘 = 4 → ℎ = 4 − 𝑘 → ℎ = 4 −
16
5
→ 𝒉 =
𝟒
𝟓
Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (
4
5
,
16
5
)
Para el cálculo del radio de la circunferencia se halla la distancia entre el centro y
cualquiera de los puntos dados que pertenecen a la circunferencia, en este ejemplo
tomamos a A(1,-1), es decir: 𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 → 𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐶 )2
𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶 )2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(1 −
4
5
)
2
+ (−1 −
16
5
)
2
→ 𝑟 = √
1
25
+
441
25
→ 𝒓 =
√𝟒𝟒𝟐
𝟓
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la circunferencia canónica, obtenemos:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (𝑥 −
4
5
)
2
+ (𝑦 −
16
5
)
2
= (
√442
5
)
2
→ (𝒙 −
𝟒
𝟓
)
𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝟐
=
𝟒𝟒𝟐
𝟐𝟓
Solución Caso 2: (𝒙 −
𝟒
𝟓
)
𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝟐
=
𝟒𝟒𝟐
𝟐𝟓
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Caso 3: Utilizando el Concepto de las Mediatrices
En este caso se forman dos mediatrices por los puntos medios de dos de sus puntos, por
ejemplo: MAB y MAD, entonces obtenemos:
Para A(1,-1) y B(5,3) se tiene la mediatriz MAB:
Se sabe que la mediatriz MAB es la recta perpendicular a lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ y pasa por el punto medio
de este lado, es decir:
Calculamos el punto Medio de AB, es decir: 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥 𝐵+𝑥 𝐴
2
;
𝑦 𝐵 +𝑦 𝐴
2
)
𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥 𝐵+𝑥 𝐴
2
;
𝑦 𝐵 +𝑦 𝐴
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
5+1
2
;
3+(−1)
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐵(3,1)
Calculamos la pendiente de la mediatriz MAB, que se halla así: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
, donde la
pendiente de la recta AB se halla así: 𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦 𝐵 −𝑦 𝐴
𝑥 𝐵−𝑥 𝐴
𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦 𝐵−𝑦 𝐴
𝑥 𝐵−𝑥 𝐴
→ 𝑚 𝐴𝐵 =
3−(−1)
5−1
=
4
4
→ 𝑚 𝐴𝐵 = 1
Luego la pendiente de la mediatriz MAB, es 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
→ 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
1
→ 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −1
La recta mediatriz MAB, viene dada así: M 𝐴𝐵: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐵
= 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
(𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐵
)
M 𝐴𝐵: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐵
= 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
(𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐵
) → M 𝐴𝐵: 𝑦 − 1 = (−1)( 𝑥 − 3) → 𝐌 𝑨𝑩 : 𝒙 + 𝒚 = 𝟒 (𝟏)
Para A(1,-1) y D(-3,5) se tiene la mediatriz MAD:
Se sabe que la mediatriz MAD es la recta perpendicular a lado 𝐴𝐷̅̅̅̅ y pasa por el punto medio
de este lado, es decir:
Calculamos el punto Medio de AD, es decir: 𝑃𝑀𝐴𝐷 (
𝑥 𝐷+𝑥 𝐴
2
;
𝑦 𝐷+𝑦 𝐴
2
)
𝑃𝑀𝐴𝐷 (
𝑥 𝐷+𝑥 𝐴
2
;
𝑦 𝐷 +𝑦 𝐴
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐷 (
−3+1
2
;
5+(−1)
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐷(−1,2)
Calculamos la pendiente de la mediatriz MAD, que se halla así: 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
= −
1
𝑚 𝐴𝐷
, donde la
pendiente de la recta AD se halla así: 𝑚 𝐴𝐷 =
𝑦 𝐷−𝑦 𝐴
𝑥 𝐷−𝑥 𝐴
𝑚 𝐴𝐷 =
𝑦 𝐷 −𝑦 𝐴
𝑥 𝐷−𝑥 𝐴
→ 𝑚 𝐴𝐷 =
5−(−1)
−3−1
=
6
−4
→ 𝑚 𝐴𝐷 = −
3
2
Luego la pendiente de la mediatriz MAD, es 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
= −
1
𝑚 𝐴𝐷
→ 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
= −
1
−
3
2
→ 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
=
2
3
La recta mediatriz MAD, viene dada así: M 𝐴𝐷: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐷
= 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
(𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐷
)
M 𝐴𝐷: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐷
= 𝑚 𝑀 𝐴𝐷
( 𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐷
) → M 𝐴𝐷: 𝑦 − 2 = (
2
3
) ( 𝑥 − (−1))
M 𝐴𝐷 :
2
3
𝑥 − 𝑦 =
8
3
→ M 𝐴𝐷 :
2𝑥−3𝑦
3
= −
8
3
→ M 𝐴𝐷 : 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟖 (𝟐)
Luego tenemos las ecuaciones de las mediatrices siguientes:
{
𝑀𝐴𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 4 (1)
𝑀𝐴𝐷 : 2𝑥 − 3𝑦 = −8 (2)
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Multiplicando por -2 a (1) y sumándoselo a (2) y luego sustituyendo este valor obtenido en
(1) se obtiene:
{
−2𝑥 − 2𝑦 = −8
2𝑥 − 3𝑦 = −8
−5𝑦 = −16
→ 𝑦 =
16
5
; ∴ 𝒌 =
𝟏𝟔
𝟓
𝑥 + 𝑦 = 4 → 𝑥 = 4 − 𝑦 → 𝑥 = 4 −
16
5
=
4
5
→ 𝑥 =
4
5
; ∴ 𝒉 =
𝟒
𝟓
Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝑪(
𝟒
𝟓
,
𝟏𝟔
𝟓
)
El radio de la circunferencia lo obtenemos por medio de la fórmula de distancia entre 2
puntos, es decir, el centro 𝐶 (
4
5
,
16
5
) y uno cualquiera de los puntos dados, por ejemplo
D(-3,5), es decir:
𝑑( 𝐶, 𝐷) = 𝑟 = √( 𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐶 )2 + ( 𝑦 𝐷 − 𝑦𝐶 )2
𝑟 = √( 𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐷 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(−3 −
4
5
)
2
+ (5 −
16
5
)
2
→ 𝑟 = √(−
19
5
)
2
+ (
9
5
)
2
𝑟 = √
361
25
+
81
25
→ 𝑟 = √
442
25
→ 𝑟 =
√442
5
, ∴ 𝒓 =
√𝟒𝟒𝟐
𝟓
La ecuación es la siguiente:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ (𝑥 −
4
5
)
2
+ (𝑦 −
16
5
)
2
= (
√442
5
)
2
→ (𝒙 −
𝟒
𝟓
)
𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝟐
=
𝟒𝟒𝟐
𝟐𝟓
(𝒙 −
𝟒
𝟓
)
𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝟐
=
𝟒𝟒𝟐
𝟐𝟓
Solución del caso 3: Ecuación de la circunferencia es: (𝒙 −
𝟒
𝟓
)
𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟔
𝟓
)
𝟐
=
𝟒𝟒𝟐
𝟐𝟓
Caso 4. Pordeterminantes Utilizando los Menores y Cofactores (Filas ó Columnas):
En nuestro ejercicio tenemos A(1,-1), B(5,3) y D(-3,5), Se puede emplear uno de los dos
métodos Caso 1: por Filas y Caso 2: Por columnas
Caso 1. Por Filas: Sustituyendo tenemos:
|
|
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥1
𝑦 1
𝑦1 1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥3
𝑦2 1
𝑦3 1
|
| = 0 → ||
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
(1)2
+ (−1)2
1
𝑦 1
−1 1
(5)2
+ (3)2
5
(−3)2
+ (5)2
−3
3 1
5 1
|| = 0
𝐷 |
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥
2 1
𝑦 1
−1 1
34 5
34 −3
3 1
5 1
| = 0
𝐷11 = ( 𝑥2
+ 𝑦2)(−1)2
|
1 −1 1
5 3 1
−3 5 1
| → 𝐷11 = (𝑥2
+ 𝑦2
)(1)[31 − (−9 − 5 + 5)]
𝐷11 = ( 𝑥2
+ 𝑦2)40 → 𝐷11 = 40𝑥2
+ 40𝑦2
𝐷12 = ( 𝑥)(−1)3
|
2 −1 1
34 3 1
34 5 1
| → 𝐷12 = (𝑥)(−1)[142− (102− 34 + 10)]
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
𝐷12 = (−𝑥)(142− 78) → 𝐷12 = −64𝑥
𝐷13 = ( 𝑦)(−1)4
|
2 1 1
34 5 1
34 −3 1
| → 𝐷13 = (𝑦)(1)[−58 − (170 + 34 − 6)]
𝐷13 = ( 𝑦)(−58 − 198) → 𝐷13 = −256𝑦
𝐷14 = (1)(−1)5
|
2 1 −1
34 5 3
34 −3 5
| → 𝐷14 = (1)(−1)[254 − (−170 + 170 − 18)]
𝐷14 = (−1)(254+ 18) → 𝐷14 = −262
𝐷: 𝐷11 + 𝐷12 ∗ +𝐷13 + 𝐷14 = 0 → 𝐷: 40𝑥2
+ 40𝑦2
− 64𝑥 − 256𝑦 − 272 = 0
Dividimos entre 40 ambos miembros, es decir:
𝐷:
40𝑥2
+ 40𝑦2
− 64𝑥 − 256𝑦 − 272
40
=
0
40
𝐷: 𝑥2
+ 𝑦2
−
8
5
𝑥 −
32
5
−
34
5
= 0 → 𝐷: 5𝑥2
+ 5𝑦2
− 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0
Solución Caso 1. Por Filas: 𝑫: 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒚 𝟐
− 𝟖𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟑𝟒 = 𝟎
Caso 2. Por Columnas sustituyendo tenemos:
𝐷0:|
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥 𝑥1
𝑥2
2
+ 𝑦2
2
𝑥3
2
+ 𝑦3
2
𝑥2 𝑥3
𝑦 𝑦1
1 1
𝑦2 𝑦3
1 1
| = 0
𝐷0:|
𝑥2
+ 𝑦2 (1)2
+ (−1)2
𝑥 1
(5)2
+ (3)2 (−3)2
+ (5)2
5 −3
𝑦 −1
1 1
3 5
1 1
| = 0
𝐷0:|
𝑥2
+ 𝑦2
2
𝑥 1
34 34
5 −3
𝑦 −1
1 1
3 5
1 1
| = 0
𝐷11:( 𝑥2
+ 𝑦2)(−1)2
|
1 5 −3
−1 3 5
1 1 1
| → 𝐷11:( 𝑥2
+ 𝑦2)[(31)− (−9 − 5 + 5)]
𝐷11:( 𝑥2
+ 𝑦2)40 → 𝐷11: 40𝑥2
+ 40𝑦2
(1)
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
𝐷21: ( 𝑥)(−1)3
|
2 34 34
−1 5 −3
1 1 1
| → 𝐷21: (−𝑥)[(31) − (102 − 34 + 10)]
𝐷21: (−𝑥)(64) → 𝐷21: −64𝑥 (2)
𝐷31: ( 𝑦)(−1)4
|
2 34 34
−1 3 5
1 1 1
| → 𝐷31: ( 𝑦)[(−58)− (198)]
𝐷31: ( 𝑦)(−256) → 𝐷31: −256𝑦 (3)
𝐷41: (1)(−1)5
|
2 34 34
1 5 −3
−1 3 5
| → 𝐷41: (1)(−1)[(50 + 102 + 102) − (−170 + 170 − 18)]
𝐷41: (−1)(272) → 𝐷41: −272 (4)
𝐷: 𝐷11 + 𝐷21 + 𝐷31 + 𝐷41 = 0 → 𝐷: 40𝑥2
+ 40𝑦2
− 64𝑥 − 256𝑦 − 272 = 0
Dividimos entre 40 ambos miembros, es decir:
𝐷:
40𝑥2
+ 40𝑦2
− 64𝑥 − 256𝑦 − 272
40
=
0
40
𝐷: 𝑥2
+ 𝑦2
−
8
5
𝑥 −
32
5
−
34
5
= 0 → 𝐷: 5𝑥2
+ 5𝑦2
− 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0
Solución Caso por Columnas: 𝑫: 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒚 𝟐
− 𝟖𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟑𝟒 = 𝟎
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
4.-Hallarla ecuaciónde la circunferencia que pasaporlos puntos A(0,-3) y B(4,9) y cuyo
Centro se localiza sobre el eje “y”.
Solución:
Se observa que la ecuación pasa por los puntos A y B, lo cual nos indica que el segmento AB,
es una cuerda de la circunferencia, esta a su vez tiene una mediatriz que corta en el punto
medio del segmento AB, y como nos dice que el centro se localiza en el eje “Y”, entonces esto
supone que su centro es C(0,y); además, como la mediatriz es perpendicular a la recta que
pasa por AB, la pendiente de la mediatriz es:
𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
; donde 𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦2 −𝑦1
𝑥2−𝑥1
El punto medio del segmento AB está dado por: 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2 +𝑦1
2
).
Desarrollando y operando tenemos:
La pendiente de la recta AB:
𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
→ 𝑚 𝐴𝐵 =
9−(−3)
4−0
→ 𝑚 𝐴𝐵 =
12
4
→ 𝒎 𝑨𝑩 = 𝟑
La pendiente de la recta mediatriz M es:
𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
→ 𝒎 𝑴 𝑨𝑩
= −
𝟏
𝟑
El punto medio del segmento AB viene dado 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2+𝑦1
2
)
𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2 +𝑦1
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
4+0
2
;
9+(−3)
2
) → 𝑷𝑴 𝑨𝑩(𝟐, 𝟑)
La ecuación de la mediatriz AB viene dada por la ecuación de la recta:
𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
(𝑥 − 𝑥1)
𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
( 𝑥 − 𝑥1) → 𝑀: 𝑦 − 3 = −
1
3
( 𝑥 − 2) → 𝑀: 3𝑦 − 9 = −𝑥 + 2
𝑴: 𝟑𝒚 + 𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎
Como el centro de la circunferencia es C(0,y), sustituimos en esta ecuación x=0 y
obtenemos el valor de la ordenada correspondiente al centro de la circunferencia, es decir:
𝑀: 3𝑦 + 𝑥 − 11 = 0 → 𝑀: 3𝑦 + 0 − 11 = 0 → 𝑀: 𝒚 =
𝟏𝟏
𝟑
Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(0,
11
3
).
El radio lo obtenemos con la fórmula de distancia entre 2 puntos, es decir, entre el centro de
la circunferencia y uno de los puntos que pasan por la ecuación de la circunferencia (A ó B),
así tenemos:
𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 (1) ó 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 (2)
Usemos (1):
𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(0 − 0)2 + (−3 −
11
3
)
2
𝑟 = √0 + (−3 −
11
3
)
2
→ 𝑟 = √(
−9−11
3
)
2
→ 𝑟 = √
400
9
→ 𝑟 =
20
3
Luego, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-3), B(4,9) y con centro
sobre el eje “Y”, tiene su centro en 𝐶(0,
11
3
) y radio 𝑟 =
20
3
es:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ ( 𝑥 − 0)2
+ (𝑦 −
11
3
)
2
= (
20
3
)2
→ 𝑥2
+ (𝑦 −
11
3
)
2
=
400
9
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Solución: 𝒙 𝟐
+ (𝒚 −
𝟏𝟏
𝟑
)
𝟐
=
𝟒𝟎𝟎
𝟗
ó 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
−
𝟐𝟐
𝟐
𝒚 = 𝟑𝟏 ó 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒚 𝟐
− 𝟐𝟐𝒚 = 𝟗𝟑
Su gráfica es la siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
5.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-2) y B(3,7) y cuyo
Centro se localiza sobre el eje “x”.
Solución:
Se observa que la ecuación pasa por los puntos A y B, lo cual nos indica que el segmento AB,
es una cuerda de la circunferencia, esta a su vez tiene una mediatriz que corta en el punto
medio del segmento AB, y como nos dice que el centro se localiza en el eje “X”, entonces esto
supone que su centro es C(x, 0); además, como la mediatriz es perpendicular a la recta que
pasa por AB, la pendiente de la mediatriz es:
𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
; donde 𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦2 −𝑦1
𝑥2−𝑥1
El punto medio del segmento AB está dado por: 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2 +𝑦1
2
).
Desarrollando y operando tenemos:
La pendiente de la recta AB:
𝑚 𝐴𝐵 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
→ 𝑚 𝐴𝐵 =
7−(−2)
3−0
→ 𝑚 𝐴𝐵 =
9
3
→ 𝒎 𝑨𝑩 = 𝟑
La pendiente de la recta mediatriz M es:
𝑚 𝑀 𝐴𝐵
= −
1
𝑚 𝐴𝐵
→ 𝒎 𝑴 𝑨𝑩
= −
𝟏
𝟑
El punto medio del segmento AB viene dado 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2+𝑦1
2
)
𝑃𝑀𝐴𝐵 (
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2 +𝑦1
2
) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 (
3+0
2
;
7+(−2)
2
) → 𝑷𝑴 𝑨𝑩(
𝟑
𝟐
,
𝟓
𝟐
)
La ecuación de la mediatriz AB viene dada por la ecuación de la recta:
𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
(𝑥 − 𝑥1)
𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵
( 𝑥 − 𝑥1) → 𝑀: 𝑦 −
5
2
= −
1
3
(𝑥 −
3
2
) → 𝑀: 6𝑦 − 15 = −2𝑥 + 3
𝑴: 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟗 = 𝟎
Como el centro de la circunferencia es C(x, 0), sustituimos en esta ecuación y=0 y
obtenemos el valor de la abscisa correspondiente al centro de la circunferencia, es decir:
𝑀: 𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 → 𝑀: 𝑥 + 3(0)− 9 = 0 → 𝑀: 𝒙 = 𝟗
Luego el centro de la circunferencia es 𝑪(𝟗, 𝟎 ).
El radio lo obtenemos con la fórmula de distancia entre 2 puntos, es decir, entre el centro de
la circunferencia y uno de los puntos que pasan por la ecuación de la circunferencia (A ó B),
así tenemos:
𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 (1) ó 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 (2)
Usemos (2):
𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(3 − 9)2 + (7 − 0)2
𝑟 = √36 + 49 → 𝑟 = √85; ∴ 𝒓 = √ 𝟖𝟓
Luego, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-2), B(3,7) y con centro
sobre el eje “Y”, tiene su centro en 𝐶(9,0) y radio 𝑟 = √85 es:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ ( 𝑥 − 9)2
+ ( 𝑦 − 0)2
= (√85)2
→ 𝑥2
− 18𝑥 + 81 + 𝑦2
= 85
𝑥2
+ 𝑦2
− 18𝑥 = 4
La solución es: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 = 𝟒
Su gráfica es la siguiente:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
6.-Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia siguiente:
a) completando cuadrados b)aplicando la fórmula general. 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎.
Solución:
Caso a) completando cuadrados:
𝑥2
+ 𝑦2
− 3𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0 → ( 𝑥2
− 3𝑥) + ( 𝑦2
+ 5𝑦) = 14
(𝑥2
− 3𝑥 +
9
4
−
9
4
) + (𝑦2
+ 5𝑦 +
25
4
−
25
4
) = 14
(𝑥2
− 3𝑥 +
9
4
) −
9
4
+ (𝑦2
+ 5𝑦 +
25
4
) −
25
4
= 14
(𝑥 −
3
2
)
2
+ (𝑦 +
5
2
)
2
= 14 +
9
4
+
25
4
→ (𝑥 −
3
2
)
2
+ (𝑦 +
5
2
)
2
=
56 + 9 + 25
4
(𝑥 −
3
2
)
2
+ (𝑦 +
5
2
)
2
=
90
4
Donde el centro es 𝐶(
3
2
, −
5
2
) y el radio: 𝑟2
=
90
4
→ 𝑟 =
1
2
√90 → 𝒓 =
𝟑
𝟐
√ 𝟏𝟎
Caso b) aplicando la fórmula general:
La fórmula general de la circunferencia es: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, donde D=-3, E=5,
F=-14; el centro de la circunferencia viene dado por:
𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (−
𝐷
2
. −
𝐸
2
) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (−
−3
2
. −
5
2
) = 𝑪 (
𝟑
𝟐
, −
𝟓
𝟐
)
El radio viene dado por la fórmula siguiente:
𝑟 =
1
2
√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 → 𝑟 =
1
2
√9 + 25 − 4(−14) → 𝑟 =
1
2
√90 → 𝒓 =
𝟑
𝟐
√ 𝟏𝟎
La gráfica de la circunferencia es:
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
7.-Hallarel valor de k paraque la ecuación 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝒌 = 𝟎, represente a una
circunferencia de radio 7.
Solución:
Datos del problema: k=?; 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0; r=7.
La ecuación general es: 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0, completando cuadrado y
desarrollando tenemos:
𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0 → 𝑥2
+ 𝑦2
− 8𝑥 + 10𝑦 = −𝑘 → ( 𝑥2
− 8𝑥) + ( 𝑦2
+ 10𝑦) = −𝑘
( 𝑥2
− 8𝑥 + 16 − 16) + ( 𝑦2
+ 10𝑦 + 25 − 25) = −𝑘 → ( 𝑥 − 4)2
+ ( 𝑦 + 5)2
= −𝑘 + 16 + 25
Donde se tiene que:
( 𝑥 − 4)2
+ ( 𝑦 + 5)2
= 41 − 𝑘, luego: C(4,-5) y 𝑟2
= 41 − 𝑘, pero r=7, sustituyendo
obtenemos: (7)2
= 41 − 𝑘 → 49 = 41 − 𝑘 → 𝑘 = −8, entonces, para que el radio sea 7, k
debe tener el valor de k=-8.
8.-Hallarla ecuaciónde la circunferencia de centro C(5,-2) que pase por el punto B(-1,5).
Solución:
Datos del problema: Centro C(5,-2), B(-1,5); r=?.
La distancia de C a A representa el radio de la circunferencia, es decir: 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟, entonces
el radio viene dado por: 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(−1 − (5))2 + (5 − (−2))2
𝑟 = √36 + 49 = √85 → 𝒓 = √ 𝟖𝟓
La ecuación canónica es: ( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
; sustituyendo los valores obtenemos:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ ( 𝑥 − 5)2
+ ( 𝑦 + 2)2
= (√85)2
( 𝑥 − 5)2
+ ( 𝑦 + 2)2
= (√85)2
→ 𝑥2
− 10𝑥 + 25 + 𝑦2
+ 4𝑦 + 4 = 85
𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 4𝑦 + 29 = 85 → 𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 4𝑦 + 29 − 85 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 4𝑦 − 56 = 0
Solución: la ecuación de la circunferencia es 𝑥2
+ 𝑦2
− 10𝑥 + 4𝑦 − 56 = 0
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
8.- Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el
segmento que une los puntos A(5,-1) y B(-3,7).
Solución:
Datos del problema: A(5,-1) y B(-3,7), los puntos A y B forman el diámetro 𝐴𝐵̅̅̅̅.
El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ y la distancia desde
cualquiera de sus puntos A ó B y el centro C(h,k) es el radio, entonces tenemos:
ℎ =
𝑥2+𝑥1
2
y 𝑘 =
𝑦2 +𝑦1
2
ℎ =
𝑥2 + 𝑥1
2
→ ℎ =
−3 + 5
2
→ ℎ =
2
2
→ ℎ = 1
𝑘 =
𝑦2 + 𝑦1
2
→ 𝑘 =
7 + (−1)
2
=
6
2
→ 𝑘 = 3
Luego el centro es C(1,3)
El radio viene dado por: 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐴) ó 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐵)
C(1,3) y A(5,-1)
𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐴) → 𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(5 − (1))2 + (−1 − 3)2
𝑟 = √16 + 16 → 𝑟 = √32 → 𝑟 = 4√2
C(1,3) y B(-3,7)
𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐵) → 𝑟 = √( 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶 )2 → 𝑟 = √(−3 − (1))2 + (7 − 3)2
𝑟 = √16 + 16 → 𝑟 = √32 → 𝑟 = 4√2
La ecuación ordinaria o canónica viene dada por la ecuación: ( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ ( 𝑥 − 1)2
+ ( 𝑦 − 3)2
= (4√2)2
𝑥2
− 2𝑥 + 1 + 𝑦2
− 6𝑦 + 9 = 32 → 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 6𝑦 + 10 = 32
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0
Solución: 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0
Elaboradopor: Pascual G. Sardella
9.-Determinarla ecuación de una circunferencia que pasa porel punto P(1,0)sabiendo que es
concéntrica a la representada por la ecuación: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝟎.
Solución:
Datos del problema: P(1,0) punto de una circunferencia a buscar, la cual es concéntrica a
una circunferencia que tiene por ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0.
En este ejercicio debemos de hallar el centro de la ecuación dada y luego hallar el radio
aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos P y C, es decir: 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝑃).
Bueno empecemos:
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0 → ( 𝑥2
− 2𝑥) + ( 𝑦2
− 8𝑦) = −13
( 𝑥2
− 2𝑥 + 1 − 1) + ( 𝑦2
− 8𝑦 + 16 − 16) = −13
( 𝑥2
− 2𝑥 + 1) − 1 + ( 𝑦2
− 8𝑦 + 16)− 16 = −13 → ( 𝑥 − 1)2
+ ( 𝑦 − 4)2
= −13 + 1 + 16
( 𝑥 − 1)2
+ ( 𝑦 − 4)2
= 4 donde tenemos centro C(1,4) y el radio es r=2
Calculando el radio de la segunda ecuación tenemos:
𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝑃) → 𝑟 = √( 𝑥 𝑃 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝑃 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(1 − 1)2 + (0 − 4)2 → 𝑟 = 4
Entonces, la circunferencia hallada tiene centro C(1,4) y radio 4. Sustituyendo estos datos
en la ecuación canónica tenemos:
( 𝑥 − ℎ)2
+ ( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
→ ( 𝑥 − 1)2
+ ( 𝑦 − 4)2
= 42
𝑥2
− 2𝑥 + 1 + 𝑦2
− 8𝑦 + 16 = 16 → 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 8𝑦 = 16 − 16 − 1
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0
Solución: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎 ó ( 𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ ( 𝒚 − 𝟒) 𝟐
= 𝟏𝟔

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  • 2. Elaboradopor: Pascual G. Sardella LA TEORÍA DE LA CIRCUNFERENCIA Definición1: Una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo denominado centro de la circunferencia. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio. Definición 2: Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio. Definición 3: Circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro. Generalidades: Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio. La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica. C(h,k) P(x,y) r
  • 3. Elaboradopor: Pascual G. Sardella RESULTADOS ANALÍTICOS DE LA CIRCUNFERENCIAS 1.-Longitud de la Circunferencia: El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia. La longitud L de una circunferencia es: 𝑳 = 𝟐𝝅𝒓 = 𝝅𝑫 Donde r es la longitud del radio y D=2r, es el diámetro. Así pues 𝝅 (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia (L) y el diámetro (D): 𝝅 = 𝑳 𝑫 = 𝑳 𝟐𝒓 2.-Área del círculo delimitado por una Circunferencia: Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud L de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es: 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝑳𝒓 = 𝝅𝒓 𝟐 3.-ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIAS: 3.1.- Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Cartesianas: Si P (x, y) es un punto genérico de una circunferencia de centro C(h, k) y radio r, entonces por la definición de circunferencia se tiene que: 𝑑 (𝑃, 𝐶) = 𝑟, es decir: 𝑑 ( 𝑃, 𝐶) = 𝑟 → √( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 → ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 (𝟏) Llamada Ecuación ordinaria ó Canónica de la Circunferencia de Centro C(h,k). Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas, entonces h = 0 y k = 0; y la ecuación (1) se reduce a la ecuación (2), es decir: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (2). Llamada Ecuación Ordinaria ó Canónica de la Circunferencia de Centro el Origen de Coordenadas.
  • 4. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Si desarrollamos y ordenamos la ecuación (1), obtenemos la ecuación: 𝑥2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + (ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 ) = 𝑂 Ecuación ésta que tiene la forma: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂 (3) y (3) se denomina Forma General de una Ecuación de la Circunferencia. Luego, toda ecuación de una circunferencia será de la forma de la ecuación (3). Recíprocamente, dada una ecuación de la forma (3), podemos completar cuadrados en ella y escribirla bajo la forma: (𝑥 + 𝐷 2 ) 2 + (𝑦 + 𝐸 2 ) 2 = 1 4 ( 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹) (∗) Comparando la ecuación (*) con la ecuación (1) observamos que toda ecuación de la forma (3) representará una circunferencia:  Si el Centro C(h,k) es 𝐶 (− 𝐷 2 ; − 𝐸 2 ), y  El radio 𝑟 = 1 2 √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 siempre que se cumpla la condición 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 > 0  Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 = 0, entonces r=0 y la circunferencia se reduce a un punto, el centro.  Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 < 0, entonces r es imaginario y se dice que la ecuación representa a una circunferencia imaginaria. NOTA 1: La ecuación de la circunferencia ordinaria ó canónica (1) ó la ecuación general de la circunferencia (3) contienen 3 constantes arbitrarias (h,k,r) o (D, E y F), por tanto es necesario, en general, imponer 3 condiciones geométricas para definir su ecuación. NOTA 2: Una ecuación General de Segundo Grado de la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1) Representa una circunferencia si los coeficientes A=C y B=0, quedando la ecuación en la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (2) Esto nos hace ver que cuando los coeficientes A=C, siendo A>0 y C>0, no sea igual a la unidad, dividiendo la ecuación entre A se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷 𝐴 𝑥 + 𝐸 𝐴 𝑦 + 𝐹 𝐴 = 0 (3) Logrando así expresar la ecuación de la circunferencia en la forma general (3). Desarrollando y completando cuadrado tenemos:
  • 5. Elaboradopor: Pascual G. Sardella (𝑥2 + 𝐷 𝐴 𝑥) + (𝑦2 + 𝐸 𝐴 𝑦) = − 𝐹 𝐴 (𝑥2 + 𝐷 𝐴 𝑥 + 𝐷2 4𝐴2 − 𝐷2 4𝐴2 ) + (𝑦2 + 𝐸 𝐴 𝑦 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐸2 4𝐴2 ) = − 𝐹 𝐴 (𝑥2 + 𝐷 𝐴 𝑥 + 𝐷2 4𝐴2 ) + (𝑦2 + 𝐸 𝐴 𝑦 + 𝐸2 4𝐴2 ) = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 (𝑥 − 𝐷 2𝐴 ) 2 + (𝑦 − 𝐸 2𝐴 ) 2 = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 (4) Haciendo: ℎ = − 𝐷 2𝐴 ; 𝑘 = − 𝐸 2𝐴 ; y 𝑟2 = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 Donde (4) queda así: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 (5) La ecuación (5) es la ecuación ordinaria o canónica de la Circunferencia cuyo centro es 𝐶(ℎ, 𝑘) y el radio de la misma es 𝑟2 = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 . Analizando la porción de la ecuación: 𝑟2 = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 , tenemos: 𝑟2 = 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 → 𝑟 = ±√ 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 De aquí se desprende que el radio es diferente de cero (0), es decir: 𝑟 ≠ 0, para que tengamos una circunferencia. Que pasa con la parte subradical, es decir: √ 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 Bueno que para que tenga solución real se debe cumplir que: 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 ≥ 0 𝐷2 4𝐴2 + 𝐸2 4𝐴2 − 𝐹 𝐴 = 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 4𝐴2 De aquí sabemos por lo anterior que 𝐴 = 𝐶 ≠ 0 y que 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 ≥ 0 para que haya solución real, por tanto:  Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 = 0, el centro es un único punto  Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 > 0, el centro C(h,k) y r son los elementos de una circunferencia real y el radio es 𝑟 = 1 2𝐴 √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹  Si 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 < 0, la circunferencia es imaginaria o compleja.
  • 6. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 3.2.-Ecuación Vectorial de la Circunferencia: En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio r, viene dada por la ecuación vectorial: 𝑟( 𝜃) = [ 𝑟𝑐𝑜𝑠( 𝜃), 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)] Donde , es el parámetro de la curva, además cabe destacar que 𝜽𝝐[ 𝟎, 𝟐𝝅]. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre. De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial: ‖ 𝒙 − 𝒄‖ = 𝒓, representa una circunferencia de centro c y radio r. La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r. 3.3.- Ecuación de la Circunferencia en Coordenadas Polares: Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,). Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,) y el radio es c la ecuación se transforma en: 𝑟2 − 2𝑠𝑟𝑐𝑜𝑠( 𝜃 − 𝛼) + 𝑠2 = 𝑐2 3.4.- Ecuación paramétrica de la circunferencia: La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como: { 𝑥 = 𝑎 + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑦 = 𝑏 + 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones racionales como: { 𝑥 = 𝑎 + 𝑟 ( 1 − 𝑡2 1 + 𝑡2 ) 𝑦 = 𝑏 + 𝑟 ( 2𝑡 1 + 𝑡2 ) 𝑡 ∈ 𝑅̂ donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.
  • 7. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 3.5.- Ecuaciones de la Circunferencia en el plano Complejo: En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación | 𝒛 − 𝒄| = 𝒓. En forma paramétrica puede ser escrita como 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝒕 + 𝒄. 4.-ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:  Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;  Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.  Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.  Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.  Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.  Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo punto.  Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia.  Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.  Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. 5.- PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS: 5.1.-La Circunferencia y un Punto: Un punto en el plano puede ser:  Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.  Perteneciente a la circunferencia, si la distanciadel centro al punto es igual a la longitud del radio.
  • 8. Elaboradopor: Pascual G. Sardella  Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia. 5.2.-La Circunferencia y la Recta: Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:  Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.  Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.  Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.  Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente 5.3.- Dos Circunferencias: Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:  Exteriores o Disjuntas, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)  Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
  • 9. Elaboradopor: Pascual G. Sardella  Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)  Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)  Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.  Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
  • 10. Elaboradopor: Pascual G. Sardella  Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes. 6.-Ángulos en una Circunferencia: Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:  Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.  Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)  Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.  Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.  Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia 7.-Arco Capaz: El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento. El arco capaz de un segmento AB, de ángulo λ, es un par de arcos de circunferencia simétricos a cada lado del segmento AB que contiene los vértices de ángulo λ, y unidos por los puntos A y B. El ángulo que subtiende el segmento AB visto desde el centro del círculo es 2λ.
  • 11. Elaboradopor: Pascual G. Sardella El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º teorema de Tales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB. También, el Arco Capaz, se define así: El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos que unidos con los extremos de un segmento forman siempre un mismo ángulo. Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos. 8.-Otras Propiedades: 8.1.-Potencia de un punto: Si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra cuerda,
  • 12. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 8.2.-El segundo teorema de Tales: El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz). 8.3.-Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia: Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano, ( 𝑥1, 𝑦1); ( 𝑥2, 𝑦2), ( 𝑥3, 𝑦3 ), la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial: 𝐷𝑒𝑡 [ 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦 𝑦1 𝑦2 𝑦3 1 1 1 1] = 0 ó 𝐷𝑒𝑡 | 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥 𝑥1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥2 𝑥3 𝑦 𝑦1 1 1 𝑦2 𝑦3 1 1 | = 0 Ecuación de la Circunferencia determinada por 3 puntos usando Determinantes por Menores y Cofactores (Filas ó Columnas) Basamento Teórico Se sabe que la ecuación de una circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵( 𝑥2, 𝑦2) 𝑦 𝐷( 𝑥3, 𝑦3), está dada por el determinante siguiente:
  • 13. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 𝐷𝑒𝑡 [ 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦 𝑦1 𝑦2 𝑦3 1 1 1 1] = 0 Ecuación de una Circunferencia calculado por los Menores y Cofactores de una Columna 𝐷𝑒𝑡 | 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥 𝑥1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥2 𝑥3 𝑦 𝑦1 1 1 𝑦2 𝑦3 1 1 | = 0 Ecuación de una Circunferencia calculado por los Menores y Cofactores de una Fila. Para resolver este determinante de orden 4x4 (4 filas ó renglones y 4 columnas), se propone el método de MENORES Y COFACTORES MENORES Y COFACTORES. En esta sección te enseñará a calcular determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento. Se llama menor del elemento afc de un determinante D de fxc al determinante Mfc de orden (f-1)x(c-1) que se obtiene al eliminar la fila f y la columna c de D. Se llama cofactordel elemento afc del determinante D, al menor Mfc con el signo (-1)f+c y se denota afc, esto es: afc=(-1)f+c·Mfc. Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (fila) (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es 𝐷 = | | 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ⋮ 𝑎(𝑓−1)1 𝑎(𝑓)1 ⋮ 𝑎𝑓2 𝑎𝑓2 𝑎13 … 𝑎𝑓𝑐 𝑎23 … 𝑎𝑓𝑐 ⋮ 𝑎 𝑓3 𝑎 𝑓3 ⋮… … ⋮ 𝑎𝑓𝑐 𝑎𝑓𝑐 | | = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎21 𝐴21 + ⋯+ 𝑎𝑓( 𝑐−1) 𝐴𝑓(𝑐−1) + 𝑎𝑓𝑐 𝐴𝑓𝑐 (2) es el desarrollo del determinante D por el renglón o fila f, y similarmente 𝐷 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + ⋯ + 𝑎1( 𝑐−1) 𝐴1(𝑐−1) + 𝑎1𝑐 𝐴𝑓𝑐 (3) es el desarrollo del determinante D por la columna c. Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas. D:
  • 14. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Familias de Circunferencias El principio básico de las familias de curvas, consiste en que estas cumplan con ciertas condiciones dadas. En el caso de las circunferencias se tienen familias de uno, dos y tres parámetros, pudiendo obtener la ecuación de cualquier circunferencia de la familia asignando simplemente un valor particular a cada parámetro según el caso. Lehmann menciona las siguientes: 1) Circunferencias que tienen el mismo centro. 2) Circunferencias que pasan por dos puntos. 3) Circunferencias tangentes a una recta en un punto fijo. 4) Circunferencias que pasan por las intersecciones de dos circunferencias. Ejemplos A) La ecuación general 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 contiene tres (3) parámetros: D, E y F; y representa la familia formada por todas las circunferencias del plano xy, en donde D, E y F pueden tomar cualquier valor real o sea {D,E,F}  R.
  • 15. Elaboradopor: Pascual G. Sardella B) La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 0; contiene dos (2) parámetros: D y F, que pueden tomar cualquier valor real y representa la familia formada por todas las circunferencias que pasan por el origen de coordenadas (con todos los radios posibles) C) La ecuación x2+y2=r2; contiene un parámetro: r>0 y; representa una familia de circunferencias concéntricas, con el mismo centro, que es el origen de coordenadas y con todos los radios posibles.
  • 16. Elaboradopor: Pascual G. Sardella D) La ecuación ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − ℎ)2 = ℎ2 ; contiene un parñametro: h>0 y representa una familia de circunferencias tangentes a los ejes coordenados y que tienen su centro en C(h,h) sobre la recta y=x, a este tipo de circunferencias se les llama coaxiales ya que todos sus centros son colineales. E) La ecuación ( 𝑥 − 3)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 9; contiene un parámetro: k  R; y representa la familia de circunferencias cuyos centros se localizan sobre la recta x=3 y todas de radio r=9.
  • 17. Elaboradopor: Pascual G. Sardella F) La ecuación ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 3)2 = 9; contiene un parámetro: h  R; y representa la familia de circunferencias cuyos centros se localizan sobre la recta y=3 y todas de radio r=9. A continuación resolveremos problemas típicos de circunferencias.
  • 18. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 1.- Hallar la ecuación de la circunferencia con centro 𝑪(− 𝟏 𝟑 , 𝟒) y radio 𝒓 = √ 𝟓. Solución: Sabemos que la ecuación de la circunferencia que tiene centro C(h,k) y un radio viene determinado por la ecuación canónica (1) es decir: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Sustituyendo los valores dados se tiene; ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (𝑥 − (− 1 3 )) 2 + ( 𝑦 − 4)2 = (√5)2 (𝑥 + 1 3 ) 2 + ( 𝑦 − 4)2 = 5 → 𝑥2 + 2 3 𝑥 + 1 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 5 𝑥2 + 2 3 𝑥 + 1 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 5 = 0 → 9𝑥2 +6𝑥+1+9𝑦2 −72𝑦+99 9 = 0 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 + 9𝑦2 − 72𝑦 + 99 = 0 Luego la ecuación de la circunferencia es: 9𝑥2 + 9𝑦2 + 6𝑥 − 72𝑦 + 100 = 0 ó (𝑥 + 1 3 ) 2 + ( 𝑦 − 4)2 = 5 Solución: 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 ó (𝒙 + 𝟏 𝟑 ) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟒) 𝟐 = 𝟓 La gráfica es la siguiente:
  • 19. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 2.- Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎 Solución: Podemos resolver este problema de dos formas: (1) aplicamos las formulas caso (3) y (2) completando cuadrados y llevarlas a la forma de ecuación de la circunferencia canónica. Caso 1. Ecuación general, donde 𝑪( 𝒉, 𝒌) = 𝑪 (− 𝑫 𝟐 ; − 𝑬 𝟐 ) y 𝒓 = 𝟏 𝟐 √𝑫 𝟐 + 𝑬 𝟐 − 𝟒𝑭 Debemos primer poner los coeficientes de x2 y y2 a la unidad, dividiendo entre 4 a la ecuación dada, es decir: 4𝑥2 + 4𝑦2 − 12𝑥 + 16𝑦 + 9 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 + 4𝑦 + 9 4 = 0; A=1; D=-3; E=4; F= 9 4 El centro de la circunferencia es: 𝐶 (− 𝐷 2 ; − 𝐸 2 ) → 𝐶 (− −3 2 ; − 4 2 ) → 𝐶 ( 3 2 , −2) → ℎ = 3 2 ; 𝑘 = −2 𝑟 = 1 2 √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 → 𝑟 = 1 2 √(−3)2 + (4)2 − 4( 9 4 ) 𝑟 = 1 2 √16 → 𝑟 = 1 2 (4) → 𝑟 = 2 Solución (1): Centro de la circunferencia 𝑪 ( 𝟑 𝟐 , −𝟐); radio 𝒓 = 𝟐 Caso 2. 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎 ( 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙) + ( 𝟒𝒚 𝟐 + 𝟏𝟔𝒚) = −𝟗 → 𝟒( 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙) + 𝟒( 𝒚 𝟐 + 𝟒𝒚) = −𝟗 ( 𝑥2 − 3𝑥) + ( 𝑦2 + 4𝑦) = − 9 4 (𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 𝟒 − 𝟗 𝟒 ) + ( 𝒚 𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟒) = − 𝟗 𝟒 → (𝑥 − 3 2 ) 2 − 9 4 + ( 𝑦 + 2)2 − 4 = − 9 4 (𝑥 − 3 2 ) 2 + ( 𝑦 + 2)2 = 4; Luego tenemos que el centro es 𝐶( 3 2 ; −2) y el radio es r=2 Solución (2): 𝑪( 𝟑 𝟐 ; −𝟐) y r = 2 La gráfica es la siguiente:
  • 20. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 3.-Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos: A(1,-1); B(5,3) y D(-3,5) Solución: Datos del Problema: puntos que pasan por los puntos: A(1,-1); B(5,3) y D(-3,5), es decir {A,B,C}  Circunferencia. El problema podemos resolverlo por varios métodos: Caso 1: Utilizando la ecuación General de la circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Caso 2: Utilizando la ecuación Canónica de la circunferencia: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 . Caso 3: Usando la noción de mediatrices, el cual la intersección de dos mediatriz nos da el centro de la circunferencia y usando la distancia desde el centro de la circunferencia a cualquiera de los puntos dados (A, B y D) hallamos el radio. Caso 4: Usando el criterio del determinante: se sabe que la ecuación de una circunferencia que pasa por 3 puntos no colineales A, B y D, está dada por el determinante: || 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 𝑥 𝐴 2 + 𝑦 𝐴 2 𝑥 𝐴 𝑦 1 𝑦 𝐴 1 𝑥 𝐵 2 + 𝑦 𝐵 2 𝑥 𝐵 𝑥 𝐷 2 + 𝑦 𝐷 2 𝑥 𝐷 𝑦 𝐵 1 𝑦 𝐷 1 || = 0 Caso 1. Utilizando la Ecuación General de la Circunferencia: 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Para A(1,-1) se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (1)2 + (−1)2 + 𝐷(1) + 𝐸(−1)+ 𝐹 = 0 𝐷−𝐸+𝐹=−2 (1) Para B(5,3) se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (5)2 + (3)2 + 𝐷(5) + 𝐸(3)+ 𝐹 = 0 5𝐷 − 3𝐸 + 𝐹 = −34 (2) Para C(-3,5) se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (−3)2 + (5)2 + 𝐷(−3) + 𝐸(5)+ 𝐹 = 0 −3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34 (3) Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones siguientes: { 𝐷 − 𝐸 + 𝐹 = −2 5𝐷 + 3𝐸 + 𝐹 = −34 −3𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −34 Su Matriz es: [ 1 −1 1 5 3 1 −3 5 1 | −2 −34 −34 ] ; Su Determinante: ∆= | 1 −1 1 5 3 1 −3 5 1 | → { 𝐹𝑃 → −3 + 3 + 25 → 𝐹𝑆 → −9 + 5 − 5 → ∆→ 25 − (−9) → ∆= 40 {∆= 40 Luego los valores de D,E y F son dados así:
  • 21. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 𝐷 = 𝐷𝑒𝑡 𝐷 ∆ → {𝐷 = | −2 −1 1 −34 3 1 −34 5 1 | 40 → 𝐷 = −6+34−170 −(−102+34−10) 40 → 𝐷 = −64 40 ; 𝐷 = − 8 5 𝐸 = 𝐷𝑒𝑡 𝐸 ∆ → {𝐸 = | 1 −2 1 5 −34 1 −3 −34 1 | 40 → 𝐸 = −34+6−170 −(102 −34−10) 40 → 𝐸 = −256 40 ; 𝐸 = − 32 5 𝐹 = 𝐷𝑒𝑡 𝐹 ∆ → {𝐹 = | 1 −1 −2 5 3 −34 −3 5 −34 | 40 → 𝐹 = −102−102−50−(18+170−170) 40 → 𝐹 = −272 40 ; 𝐹 = − 34 5 Sustituyendo estos valores en la ecuación general tenemos: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 − 8 5 𝑥 − 32 5 𝑦 − 34 5 = 0 5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 − 32𝑦 − 34 5 = 0 → 5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0 La Solución es: 5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 − 32𝑦 − 34 La Gráfica de esta ecuación es la siguiente:
  • 22. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Caso 2: Utilizando la Ecuación Ordinaria ó Canónica de la Circunferencia: ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Para A(1,-1) se tiene: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (1 − ℎ)2 + (−1 − 𝑘)2 = 𝑟2 (1 − 2ℎ + ℎ2) + ((−1)2 + 2(−1)(−𝑘) + 𝑘2) = 𝑟2 → ℎ2 − 2ℎ + 1 + 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = 𝑟2 ℎ2 + 𝑘2 − 2ℎ + 2𝑘 + 2 = 𝑟2 (1) Para B(5,3) se tiene: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (5 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 𝑟2 (25 − 10ℎ + ℎ2) + (9 − 6𝑘 + 𝑘2) = 𝑟2 → ℎ2 − 10ℎ + 25 + 𝑘2 − 6𝑘 + 9 = 𝑟2 ℎ2 + 𝑘2 − 10ℎ − 6𝑘 + 34 = 𝑟2 (2) Para C(-3,5) se tiene: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (−3 − ℎ)2 + (5 − 𝑘)2 = 𝑟2 (9 + 2(−3)(−ℎ)+ ℎ2) + (25 − 10𝑘 + 𝑘2) = 𝑟2 → ℎ2 + 6ℎ + 9 + 𝑘2 − 10𝑘 + 25 = 𝑟2 ℎ2 + 𝑘2 + 6ℎ − 10𝑘 + 34 = 𝑟2 (3) Luego tenemos las ecuaciones siguientes: { ℎ2 + 𝑘2 − 2ℎ + 2𝑘 + 2 = 𝑟2 (1) ℎ2 + 𝑘2 − 10ℎ − 6𝑘 + 34 = 𝑟2 (2) ℎ2 + 𝑘2 + 6ℎ − 10𝑘 + 34 = 𝑟2 (3) Se iguala (1) con (2) y (1) con (3) y desarrollando y operando, obtenemos las siguientes ecuaciones: ℎ2 + 𝑘2 − 2ℎ + 2𝑘 + 2 = ℎ2 + 𝑘2 − 10ℎ − 6𝑘 + 34 → 8ℎ + 8𝑘 = 32 → 𝒉 + 𝒌 = 𝟒 (𝒂) ℎ2 + 𝑘2 − 2ℎ + 2𝑘 + 2 = ℎ2 + 𝑘2 + 6ℎ − 10𝑘 + 34 → −8ℎ + 12𝑘 = 32;−𝟐𝒉 + 𝟑𝒌 = 𝟖 (𝒃) Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones siguientes: { ℎ + 𝑘 = 4 (𝑎) −2ℎ + 3𝑘 = 8 (𝑏) Multiplicamos por 2 a (a) y se lo sumamos a (b), el valor obtenido se sustituye en (a), obtenemos: { 2ℎ + 2𝑘 = 8 −2ℎ + 3𝑘 = 8 0ℎ + 5𝑘 = 16 → 𝒌 = 𝟏𝟔 𝟓 ; ℎ + 𝑘 = 4 → ℎ = 4 − 𝑘 → ℎ = 4 − 16 5 → 𝒉 = 𝟒 𝟓 Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 4 5 , 16 5 ) Para el cálculo del radio de la circunferencia se halla la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos dados que pertenecen a la circunferencia, en este ejemplo tomamos a A(1,-1), es decir: 𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 → 𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐶 )2 𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶 )2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(1 − 4 5 ) 2 + (−1 − 16 5 ) 2 → 𝑟 = √ 1 25 + 441 25 → 𝒓 = √𝟒𝟒𝟐 𝟓 Sustituyendo estos valores en la ecuación de la circunferencia canónica, obtenemos: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (𝑥 − 4 5 ) 2 + (𝑦 − 16 5 ) 2 = ( √442 5 ) 2 → (𝒙 − 𝟒 𝟓 ) 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟔 𝟓 ) 𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟓 Solución Caso 2: (𝒙 − 𝟒 𝟓 ) 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟔 𝟓 ) 𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟓
  • 23. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Caso 3: Utilizando el Concepto de las Mediatrices En este caso se forman dos mediatrices por los puntos medios de dos de sus puntos, por ejemplo: MAB y MAD, entonces obtenemos: Para A(1,-1) y B(5,3) se tiene la mediatriz MAB: Se sabe que la mediatriz MAB es la recta perpendicular a lado 𝐴𝐵̅̅̅̅ y pasa por el punto medio de este lado, es decir: Calculamos el punto Medio de AB, es decir: 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥 𝐵+𝑥 𝐴 2 ; 𝑦 𝐵 +𝑦 𝐴 2 ) 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥 𝐵+𝑥 𝐴 2 ; 𝑦 𝐵 +𝑦 𝐴 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 5+1 2 ; 3+(−1) 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐵(3,1) Calculamos la pendiente de la mediatriz MAB, que se halla así: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 , donde la pendiente de la recta AB se halla así: 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦 𝐵 −𝑦 𝐴 𝑥 𝐵−𝑥 𝐴 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦 𝐵−𝑦 𝐴 𝑥 𝐵−𝑥 𝐴 → 𝑚 𝐴𝐵 = 3−(−1) 5−1 = 4 4 → 𝑚 𝐴𝐵 = 1 Luego la pendiente de la mediatriz MAB, es 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 → 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 1 → 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = −1 La recta mediatriz MAB, viene dada así: M 𝐴𝐵: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐵 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐵 ) M 𝐴𝐵: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐵 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐵 ) → M 𝐴𝐵: 𝑦 − 1 = (−1)( 𝑥 − 3) → 𝐌 𝑨𝑩 : 𝒙 + 𝒚 = 𝟒 (𝟏) Para A(1,-1) y D(-3,5) se tiene la mediatriz MAD: Se sabe que la mediatriz MAD es la recta perpendicular a lado 𝐴𝐷̅̅̅̅ y pasa por el punto medio de este lado, es decir: Calculamos el punto Medio de AD, es decir: 𝑃𝑀𝐴𝐷 ( 𝑥 𝐷+𝑥 𝐴 2 ; 𝑦 𝐷+𝑦 𝐴 2 ) 𝑃𝑀𝐴𝐷 ( 𝑥 𝐷+𝑥 𝐴 2 ; 𝑦 𝐷 +𝑦 𝐴 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐷 ( −3+1 2 ; 5+(−1) 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐷(−1,2) Calculamos la pendiente de la mediatriz MAD, que se halla así: 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 = − 1 𝑚 𝐴𝐷 , donde la pendiente de la recta AD se halla así: 𝑚 𝐴𝐷 = 𝑦 𝐷−𝑦 𝐴 𝑥 𝐷−𝑥 𝐴 𝑚 𝐴𝐷 = 𝑦 𝐷 −𝑦 𝐴 𝑥 𝐷−𝑥 𝐴 → 𝑚 𝐴𝐷 = 5−(−1) −3−1 = 6 −4 → 𝑚 𝐴𝐷 = − 3 2 Luego la pendiente de la mediatriz MAD, es 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 = − 1 𝑚 𝐴𝐷 → 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 = − 1 − 3 2 → 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 = 2 3 La recta mediatriz MAD, viene dada así: M 𝐴𝐷: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐷 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 (𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐷 ) M 𝐴𝐷: 𝑦 − 𝑦 𝑃𝑀 𝐴𝐷 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐷 ( 𝑥 − 𝑥 𝑃𝑀 𝐴𝐷 ) → M 𝐴𝐷: 𝑦 − 2 = ( 2 3 ) ( 𝑥 − (−1)) M 𝐴𝐷 : 2 3 𝑥 − 𝑦 = 8 3 → M 𝐴𝐷 : 2𝑥−3𝑦 3 = − 8 3 → M 𝐴𝐷 : 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟖 (𝟐) Luego tenemos las ecuaciones de las mediatrices siguientes: { 𝑀𝐴𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 4 (1) 𝑀𝐴𝐷 : 2𝑥 − 3𝑦 = −8 (2)
  • 24. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Multiplicando por -2 a (1) y sumándoselo a (2) y luego sustituyendo este valor obtenido en (1) se obtiene: { −2𝑥 − 2𝑦 = −8 2𝑥 − 3𝑦 = −8 −5𝑦 = −16 → 𝑦 = 16 5 ; ∴ 𝒌 = 𝟏𝟔 𝟓 𝑥 + 𝑦 = 4 → 𝑥 = 4 − 𝑦 → 𝑥 = 4 − 16 5 = 4 5 → 𝑥 = 4 5 ; ∴ 𝒉 = 𝟒 𝟓 Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝑪( 𝟒 𝟓 , 𝟏𝟔 𝟓 ) El radio de la circunferencia lo obtenemos por medio de la fórmula de distancia entre 2 puntos, es decir, el centro 𝐶 ( 4 5 , 16 5 ) y uno cualquiera de los puntos dados, por ejemplo D(-3,5), es decir: 𝑑( 𝐶, 𝐷) = 𝑟 = √( 𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐶 )2 + ( 𝑦 𝐷 − 𝑦𝐶 )2 𝑟 = √( 𝑥 𝐷 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐷 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(−3 − 4 5 ) 2 + (5 − 16 5 ) 2 → 𝑟 = √(− 19 5 ) 2 + ( 9 5 ) 2 𝑟 = √ 361 25 + 81 25 → 𝑟 = √ 442 25 → 𝑟 = √442 5 , ∴ 𝒓 = √𝟒𝟒𝟐 𝟓 La ecuación es la siguiente: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (𝑥 − 4 5 ) 2 + (𝑦 − 16 5 ) 2 = ( √442 5 ) 2 → (𝒙 − 𝟒 𝟓 ) 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟔 𝟓 ) 𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟓 (𝒙 − 𝟒 𝟓 ) 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟔 𝟓 ) 𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟓 Solución del caso 3: Ecuación de la circunferencia es: (𝒙 − 𝟒 𝟓 ) 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟔 𝟓 ) 𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟓 Caso 4. Pordeterminantes Utilizando los Menores y Cofactores (Filas ó Columnas): En nuestro ejercicio tenemos A(1,-1), B(5,3) y D(-3,5), Se puede emplear uno de los dos métodos Caso 1: por Filas y Caso 2: Por columnas Caso 1. Por Filas: Sustituyendo tenemos: | | 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥1 𝑦 1 𝑦1 1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥3 𝑦2 1 𝑦3 1 | | = 0 → || 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 (1)2 + (−1)2 1 𝑦 1 −1 1 (5)2 + (3)2 5 (−3)2 + (5)2 −3 3 1 5 1 || = 0 𝐷 | 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 2 1 𝑦 1 −1 1 34 5 34 −3 3 1 5 1 | = 0 𝐷11 = ( 𝑥2 + 𝑦2)(−1)2 | 1 −1 1 5 3 1 −3 5 1 | → 𝐷11 = (𝑥2 + 𝑦2 )(1)[31 − (−9 − 5 + 5)] 𝐷11 = ( 𝑥2 + 𝑦2)40 → 𝐷11 = 40𝑥2 + 40𝑦2 𝐷12 = ( 𝑥)(−1)3 | 2 −1 1 34 3 1 34 5 1 | → 𝐷12 = (𝑥)(−1)[142− (102− 34 + 10)]
  • 25. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 𝐷12 = (−𝑥)(142− 78) → 𝐷12 = −64𝑥 𝐷13 = ( 𝑦)(−1)4 | 2 1 1 34 5 1 34 −3 1 | → 𝐷13 = (𝑦)(1)[−58 − (170 + 34 − 6)] 𝐷13 = ( 𝑦)(−58 − 198) → 𝐷13 = −256𝑦 𝐷14 = (1)(−1)5 | 2 1 −1 34 5 3 34 −3 5 | → 𝐷14 = (1)(−1)[254 − (−170 + 170 − 18)] 𝐷14 = (−1)(254+ 18) → 𝐷14 = −262 𝐷: 𝐷11 + 𝐷12 ∗ +𝐷13 + 𝐷14 = 0 → 𝐷: 40𝑥2 + 40𝑦2 − 64𝑥 − 256𝑦 − 272 = 0 Dividimos entre 40 ambos miembros, es decir: 𝐷: 40𝑥2 + 40𝑦2 − 64𝑥 − 256𝑦 − 272 40 = 0 40 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 − 8 5 𝑥 − 32 5 − 34 5 = 0 → 𝐷: 5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0 Solución Caso 1. Por Filas: 𝑫: 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟓𝒚 𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟑𝟒 = 𝟎 Caso 2. Por Columnas sustituyendo tenemos: 𝐷0:| 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥 𝑥1 𝑥2 2 + 𝑦2 2 𝑥3 2 + 𝑦3 2 𝑥2 𝑥3 𝑦 𝑦1 1 1 𝑦2 𝑦3 1 1 | = 0 𝐷0:| 𝑥2 + 𝑦2 (1)2 + (−1)2 𝑥 1 (5)2 + (3)2 (−3)2 + (5)2 5 −3 𝑦 −1 1 1 3 5 1 1 | = 0 𝐷0:| 𝑥2 + 𝑦2 2 𝑥 1 34 34 5 −3 𝑦 −1 1 1 3 5 1 1 | = 0 𝐷11:( 𝑥2 + 𝑦2)(−1)2 | 1 5 −3 −1 3 5 1 1 1 | → 𝐷11:( 𝑥2 + 𝑦2)[(31)− (−9 − 5 + 5)] 𝐷11:( 𝑥2 + 𝑦2)40 → 𝐷11: 40𝑥2 + 40𝑦2 (1)
  • 26. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 𝐷21: ( 𝑥)(−1)3 | 2 34 34 −1 5 −3 1 1 1 | → 𝐷21: (−𝑥)[(31) − (102 − 34 + 10)] 𝐷21: (−𝑥)(64) → 𝐷21: −64𝑥 (2) 𝐷31: ( 𝑦)(−1)4 | 2 34 34 −1 3 5 1 1 1 | → 𝐷31: ( 𝑦)[(−58)− (198)] 𝐷31: ( 𝑦)(−256) → 𝐷31: −256𝑦 (3) 𝐷41: (1)(−1)5 | 2 34 34 1 5 −3 −1 3 5 | → 𝐷41: (1)(−1)[(50 + 102 + 102) − (−170 + 170 − 18)] 𝐷41: (−1)(272) → 𝐷41: −272 (4) 𝐷: 𝐷11 + 𝐷21 + 𝐷31 + 𝐷41 = 0 → 𝐷: 40𝑥2 + 40𝑦2 − 64𝑥 − 256𝑦 − 272 = 0 Dividimos entre 40 ambos miembros, es decir: 𝐷: 40𝑥2 + 40𝑦2 − 64𝑥 − 256𝑦 − 272 40 = 0 40 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 − 8 5 𝑥 − 32 5 − 34 5 = 0 → 𝐷: 5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 − 32𝑦 − 34 = 0 Solución Caso por Columnas: 𝑫: 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟓𝒚 𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟑𝟒 = 𝟎
  • 27. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 4.-Hallarla ecuaciónde la circunferencia que pasaporlos puntos A(0,-3) y B(4,9) y cuyo Centro se localiza sobre el eje “y”. Solución: Se observa que la ecuación pasa por los puntos A y B, lo cual nos indica que el segmento AB, es una cuerda de la circunferencia, esta a su vez tiene una mediatriz que corta en el punto medio del segmento AB, y como nos dice que el centro se localiza en el eje “Y”, entonces esto supone que su centro es C(0,y); además, como la mediatriz es perpendicular a la recta que pasa por AB, la pendiente de la mediatriz es: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 ; donde 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦2 −𝑦1 𝑥2−𝑥1 El punto medio del segmento AB está dado por: 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ). Desarrollando y operando tenemos: La pendiente de la recta AB: 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 → 𝑚 𝐴𝐵 = 9−(−3) 4−0 → 𝑚 𝐴𝐵 = 12 4 → 𝒎 𝑨𝑩 = 𝟑 La pendiente de la recta mediatriz M es: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 → 𝒎 𝑴 𝑨𝑩 = − 𝟏 𝟑 El punto medio del segmento AB viene dado 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2+𝑦1 2 ) 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 4+0 2 ; 9+(−3) 2 ) → 𝑷𝑴 𝑨𝑩(𝟐, 𝟑) La ecuación de la mediatriz AB viene dada por la ecuación de la recta: 𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥1) 𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 ( 𝑥 − 𝑥1) → 𝑀: 𝑦 − 3 = − 1 3 ( 𝑥 − 2) → 𝑀: 3𝑦 − 9 = −𝑥 + 2 𝑴: 𝟑𝒚 + 𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎 Como el centro de la circunferencia es C(0,y), sustituimos en esta ecuación x=0 y obtenemos el valor de la ordenada correspondiente al centro de la circunferencia, es decir: 𝑀: 3𝑦 + 𝑥 − 11 = 0 → 𝑀: 3𝑦 + 0 − 11 = 0 → 𝑀: 𝒚 = 𝟏𝟏 𝟑 Luego el centro de la circunferencia es 𝐶(0, 11 3 ). El radio lo obtenemos con la fórmula de distancia entre 2 puntos, es decir, entre el centro de la circunferencia y uno de los puntos que pasan por la ecuación de la circunferencia (A ó B), así tenemos: 𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 (1) ó 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 (2) Usemos (1): 𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(0 − 0)2 + (−3 − 11 3 ) 2 𝑟 = √0 + (−3 − 11 3 ) 2 → 𝑟 = √( −9−11 3 ) 2 → 𝑟 = √ 400 9 → 𝑟 = 20 3 Luego, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-3), B(4,9) y con centro sobre el eje “Y”, tiene su centro en 𝐶(0, 11 3 ) y radio 𝑟 = 20 3 es: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → ( 𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 11 3 ) 2 = ( 20 3 )2 → 𝑥2 + (𝑦 − 11 3 ) 2 = 400 9
  • 28. Elaboradopor: Pascual G. Sardella Solución: 𝒙 𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟏 𝟑 ) 𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 𝟗 ó 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝟐 𝟐 𝒚 = 𝟑𝟏 ó 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 − 𝟐𝟐𝒚 = 𝟗𝟑 Su gráfica es la siguiente:
  • 29. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 5.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-2) y B(3,7) y cuyo Centro se localiza sobre el eje “x”. Solución: Se observa que la ecuación pasa por los puntos A y B, lo cual nos indica que el segmento AB, es una cuerda de la circunferencia, esta a su vez tiene una mediatriz que corta en el punto medio del segmento AB, y como nos dice que el centro se localiza en el eje “X”, entonces esto supone que su centro es C(x, 0); además, como la mediatriz es perpendicular a la recta que pasa por AB, la pendiente de la mediatriz es: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 ; donde 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦2 −𝑦1 𝑥2−𝑥1 El punto medio del segmento AB está dado por: 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ). Desarrollando y operando tenemos: La pendiente de la recta AB: 𝑚 𝐴𝐵 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 → 𝑚 𝐴𝐵 = 7−(−2) 3−0 → 𝑚 𝐴𝐵 = 9 3 → 𝒎 𝑨𝑩 = 𝟑 La pendiente de la recta mediatriz M es: 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 = − 1 𝑚 𝐴𝐵 → 𝒎 𝑴 𝑨𝑩 = − 𝟏 𝟑 El punto medio del segmento AB viene dado 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2+𝑦1 2 ) 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ) → 𝑃𝑀𝐴𝐵 ( 3+0 2 ; 7+(−2) 2 ) → 𝑷𝑴 𝑨𝑩( 𝟑 𝟐 , 𝟓 𝟐 ) La ecuación de la mediatriz AB viene dada por la ecuación de la recta: 𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 (𝑥 − 𝑥1) 𝑀: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑀 𝐴𝐵 ( 𝑥 − 𝑥1) → 𝑀: 𝑦 − 5 2 = − 1 3 (𝑥 − 3 2 ) → 𝑀: 6𝑦 − 15 = −2𝑥 + 3 𝑴: 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟗 = 𝟎 Como el centro de la circunferencia es C(x, 0), sustituimos en esta ecuación y=0 y obtenemos el valor de la abscisa correspondiente al centro de la circunferencia, es decir: 𝑀: 𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 → 𝑀: 𝑥 + 3(0)− 9 = 0 → 𝑀: 𝒙 = 𝟗 Luego el centro de la circunferencia es 𝑪(𝟗, 𝟎 ). El radio lo obtenemos con la fórmula de distancia entre 2 puntos, es decir, entre el centro de la circunferencia y uno de los puntos que pasan por la ecuación de la circunferencia (A ó B), así tenemos: 𝑑( 𝐶, 𝐴) = 𝑟 (1) ó 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 (2) Usemos (2): 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(3 − 9)2 + (7 − 0)2 𝑟 = √36 + 49 → 𝑟 = √85; ∴ 𝒓 = √ 𝟖𝟓 Luego, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,-2), B(3,7) y con centro sobre el eje “Y”, tiene su centro en 𝐶(9,0) y radio 𝑟 = √85 es: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → ( 𝑥 − 9)2 + ( 𝑦 − 0)2 = (√85)2 → 𝑥2 − 18𝑥 + 81 + 𝑦2 = 85 𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 = 4 La solución es: 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 = 𝟒 Su gráfica es la siguiente:
  • 31. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 6.-Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia siguiente: a) completando cuadrados b)aplicando la fórmula general. 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎. Solución: Caso a) completando cuadrados: 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0 → ( 𝑥2 − 3𝑥) + ( 𝑦2 + 5𝑦) = 14 (𝑥2 − 3𝑥 + 9 4 − 9 4 ) + (𝑦2 + 5𝑦 + 25 4 − 25 4 ) = 14 (𝑥2 − 3𝑥 + 9 4 ) − 9 4 + (𝑦2 + 5𝑦 + 25 4 ) − 25 4 = 14 (𝑥 − 3 2 ) 2 + (𝑦 + 5 2 ) 2 = 14 + 9 4 + 25 4 → (𝑥 − 3 2 ) 2 + (𝑦 + 5 2 ) 2 = 56 + 9 + 25 4 (𝑥 − 3 2 ) 2 + (𝑦 + 5 2 ) 2 = 90 4 Donde el centro es 𝐶( 3 2 , − 5 2 ) y el radio: 𝑟2 = 90 4 → 𝑟 = 1 2 √90 → 𝒓 = 𝟑 𝟐 √ 𝟏𝟎 Caso b) aplicando la fórmula general: La fórmula general de la circunferencia es: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, donde D=-3, E=5, F=-14; el centro de la circunferencia viene dado por: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (− 𝐷 2 . − 𝐸 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (− −3 2 . − 5 2 ) = 𝑪 ( 𝟑 𝟐 , − 𝟓 𝟐 ) El radio viene dado por la fórmula siguiente: 𝑟 = 1 2 √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 → 𝑟 = 1 2 √9 + 25 − 4(−14) → 𝑟 = 1 2 √90 → 𝒓 = 𝟑 𝟐 √ 𝟏𝟎 La gráfica de la circunferencia es:
  • 32. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 7.-Hallarel valor de k paraque la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝒌 = 𝟎, represente a una circunferencia de radio 7. Solución: Datos del problema: k=?; 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0; r=7. La ecuación general es: 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0, completando cuadrado y desarrollando tenemos: 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 = −𝑘 → ( 𝑥2 − 8𝑥) + ( 𝑦2 + 10𝑦) = −𝑘 ( 𝑥2 − 8𝑥 + 16 − 16) + ( 𝑦2 + 10𝑦 + 25 − 25) = −𝑘 → ( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 + 5)2 = −𝑘 + 16 + 25 Donde se tiene que: ( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 + 5)2 = 41 − 𝑘, luego: C(4,-5) y 𝑟2 = 41 − 𝑘, pero r=7, sustituyendo obtenemos: (7)2 = 41 − 𝑘 → 49 = 41 − 𝑘 → 𝑘 = −8, entonces, para que el radio sea 7, k debe tener el valor de k=-8. 8.-Hallarla ecuaciónde la circunferencia de centro C(5,-2) que pase por el punto B(-1,5). Solución: Datos del problema: Centro C(5,-2), B(-1,5); r=?. La distancia de C a A representa el radio de la circunferencia, es decir: 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟, entonces el radio viene dado por: 𝑑( 𝐶, 𝐵) = 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑟 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑟 = √(−1 − (5))2 + (5 − (−2))2 𝑟 = √36 + 49 = √85 → 𝒓 = √ 𝟖𝟓 La ecuación canónica es: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 ; sustituyendo los valores obtenemos: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → ( 𝑥 − 5)2 + ( 𝑦 + 2)2 = (√85)2 ( 𝑥 − 5)2 + ( 𝑦 + 2)2 = (√85)2 → 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 85 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 + 29 = 85 → 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 + 29 − 85 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 − 56 = 0 Solución: la ecuación de la circunferencia es 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 − 56 = 0
  • 33. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 8.- Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos A(5,-1) y B(-3,7). Solución: Datos del problema: A(5,-1) y B(-3,7), los puntos A y B forman el diámetro 𝐴𝐵̅̅̅̅. El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ y la distancia desde cualquiera de sus puntos A ó B y el centro C(h,k) es el radio, entonces tenemos: ℎ = 𝑥2+𝑥1 2 y 𝑘 = 𝑦2 +𝑦1 2 ℎ = 𝑥2 + 𝑥1 2 → ℎ = −3 + 5 2 → ℎ = 2 2 → ℎ = 1 𝑘 = 𝑦2 + 𝑦1 2 → 𝑘 = 7 + (−1) 2 = 6 2 → 𝑘 = 3 Luego el centro es C(1,3) El radio viene dado por: 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐴) ó 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐵) C(1,3) y A(5,-1) 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐴) → 𝑟 = √( 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐴 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(5 − (1))2 + (−1 − 3)2 𝑟 = √16 + 16 → 𝑟 = √32 → 𝑟 = 4√2 C(1,3) y B(-3,7) 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝐵) → 𝑟 = √( 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶 )2 → 𝑟 = √(−3 − (1))2 + (7 − 3)2 𝑟 = √16 + 16 → 𝑟 = √32 → 𝑟 = 4√2 La ecuación ordinaria o canónica viene dada por la ecuación: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → ( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 − 3)2 = (4√2)2 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 32 → 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 10 = 32 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0 Solución: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 22 = 0
  • 34. Elaboradopor: Pascual G. Sardella 9.-Determinarla ecuación de una circunferencia que pasa porel punto P(1,0)sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝟎. Solución: Datos del problema: P(1,0) punto de una circunferencia a buscar, la cual es concéntrica a una circunferencia que tiene por ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0. En este ejercicio debemos de hallar el centro de la ecuación dada y luego hallar el radio aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos P y C, es decir: 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝑃). Bueno empecemos: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0 → ( 𝑥2 − 2𝑥) + ( 𝑦2 − 8𝑦) = −13 ( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + ( 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16) = −13 ( 𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 1 + ( 𝑦2 − 8𝑦 + 16)− 16 = −13 → ( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 − 4)2 = −13 + 1 + 16 ( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 − 4)2 = 4 donde tenemos centro C(1,4) y el radio es r=2 Calculando el radio de la segunda ecuación tenemos: 𝑟 = 𝑑( 𝐶, 𝑃) → 𝑟 = √( 𝑥 𝑃 − 𝑥 𝐶)2 + ( 𝑦 𝑃 − 𝑦𝐶 )2 → 𝑟 = √(1 − 1)2 + (0 − 4)2 → 𝑟 = 4 Entonces, la circunferencia hallada tiene centro C(1,4) y radio 4. Sustituyendo estos datos en la ecuación canónica tenemos: ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → ( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 − 4)2 = 42 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 16 → 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 = 16 − 16 − 1 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0 Solución: 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎 ó ( 𝒙 − 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝟒) 𝟐 = 𝟏𝟔