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Elipse

conjuntos de problemas sobre la elipse (55 problemas) resueltos la mayoría de los dibujos se han hecho con el programa geogebra version 4 y 5.

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1.- De una elipse horizontal y centrada en el origen se conoce su excentricidad 0,5 y el
Semieje mayor que es 2 cm. Calcular sus focos, vértices, ejes, distancia focal y ecuación.
Solución: Datos: C(0,0), Elipse es Horizontal, tiene la forma siguiente:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1. La
excentricidad está dada por la fórmula: 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
1
2
; El semieje mayor es a=2. Hallar Focos,
Vértices, ejes, distancia focal y la ecuación.
De la excentricidad se tiene que: c=1, a=2 y b=?. Mediante la relación Pitagórica tenemos:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
→ 𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
→ 𝑏 = ±√3
Luego la ecuación de la elipse horizontal es la siguiente:
𝑥2
4
+
𝑦2
3
= 1
Las coordenadas del foco son: 𝐹2(−𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(+𝑐, 𝑘) → 𝐹2(−1,0) 𝑦 𝐹1(1,0)
Las coordenadas de los vértices son:
Vértice Mayor: 𝑉2 (−𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(+𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−2,0) 𝑦 𝑉1(2,0)
Vértice Menor: 𝐵2(ℎ, −𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑏) → 𝐵2(0, −√3) 𝑦 𝐵1(0,√3)
Eje Mayor = 2aa=22a=4 Eje Mayor = 4
Eje Menor = 2bb=√32b = 2√3  Eje Menor = 2√3
Eje Focal = 2cc = 12c = 2(1) = 2  Eje Focal = 2
Distancia Focal = c  Distancia Focal = 1
La Ecuación es:
𝑥2
4
+
𝑦2
3
= 1
Su Gráfica es:
2.-Dada la elipse representada por la ecuación 𝑷: 𝟐𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟗𝒚 𝟐
− 𝟏𝟓𝟎𝒙− 𝟑𝟔𝒚 + 𝟑𝟔 = 𝟎,
determine:
a) La longitud de su lado recto
b) La Excentricidad
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor y mayor
d) La ecuación de una de sus rectas directrices
e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse?
Solución: la ecuación es 𝐸: 25𝑥2
+ 9𝑦2
− 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0, que es su forma general
de la elipse, es decir: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0.
Este problema se puede realizar de 2 formas:
1) Componiendo trinomios
2) Aplicando formula de estudio realizadocon anterioridad
Caso 1) Componiendo trinomios: la cual se realiza manipulando los factores en x e y, es
decir:
25𝑥2
+ 9𝑦2
− 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0 → (25𝑥2
− 150𝑥)+ (9𝑦2
− 36𝑦) = −36
(25𝑥2
− 150𝑥) + (9𝑦2
− 36𝑦) = −36 → 25( 𝑥2
− 6𝑥) + 9( 𝑦2
− 4𝑦) = −36
25( 𝑥2
− 6𝑥 + 9 − 9) + 9( 𝑦2
− 4𝑦 + 4 − 4) = −36
25( 𝑥2
− 6𝑥 + 9) − 9 ∗ 25 + 9( 𝑦2
− 4𝑦 + 4) − 4 · 9 = −36
25( 𝑥 − 3)2
+ 9( 𝑦 − 2)2
= −36 + 36 + 225 → 25( 𝑥 − 3)2
+ 9( 𝑦 − 2)2
= 225
Dividimos entre 225 a ambos miembros de la igualdad y nos queda, es decir
25( 𝑥−3)2
225
+
9( 𝑦−2)2
225
=
225
225
→
(𝑥−3)2
9
+
(𝑦−2)2
25
= 1
Como en el denominador de la variable “Y” es mayor que en la variable “X”, se dice que la
elipse es vertical, porque el lado mayor esta paralelo ó coincide con el eje “Y”. Su forma
canónica o usual es de la forma siguiente:
( 𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
( 𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1, comparando ambas
ecuaciones se tiene los siguientes elementos: Centro Elipse es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(3,2) → {
ℎ = 3
𝑘 = 2
𝑎2
= 25 → 𝑎 = 5; 𝑏2
= 9 → 𝑏 = 3; a “c” lo obtenemos mediante la relación Pitagórica,
como sabemos que a>c𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
→ 𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
→ 𝑐2
= 25 − 9 = 16 ∴ 𝑐 = 4
Resolviendo:
a) La longitud de su lado recto: el lado recto de una elipse es la distancia del segmento
que pasa por el foco y corta a la elipse, por lo que hay dos lados rectos, pero de igual
longitud, es decir, hay 4 ptos: dos arriba y dos abajo, ya que la elipse es vertical como
dijimos antes, estos puntos de cortes son:
Los de arriba: 𝐴 (
𝑏2
𝑎
, 𝑐) 𝑦 𝐵 (−
𝑏2
𝑎
, 𝑐) → 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
𝐿𝑅 𝐴𝐵 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 = √(−
𝑏2
𝑎
−
𝑏2
𝑎
)
2
+ ( 𝑐 − 𝑐)2 = √(−2
𝑏2
𝑎
)
2
+ 0
𝐿𝑅 𝐴𝐵 = |2
𝑏2
𝑎
| → 𝐿𝑅 𝐴𝐵 =
2(9)
5
→ 𝐿𝑅 𝐴𝐵 =
18
5
Los de abajo: 𝐷 (
𝑏2
𝑎
, −𝑐) 𝑦 𝐸 (−
𝑏2
𝑎
, −𝑐) → 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
𝐿𝑅 𝐷𝐸 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 = √(−
𝑏2
𝑎
−
𝑏2
𝑎
)
2
+ (−𝑐 − (−𝑐))
2
= √(−2
𝑏2
𝑎
)
2
+ 0
𝐿𝑅 𝐷𝐸 = |2
𝑏2
𝑎
| → 𝐿𝑅 𝐷𝐸 =
2(9)
5
→ 𝐿𝑅 𝐷𝐸 =
18
5
b) La Excentricidad: Es la razón entre el semieje focal (c) y el semieje mayor (a), la cual
indica el aspecto de una elipse, es decir: 𝑒 =
𝑐
𝑎
. Donde 0 < e < 1; 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
4
5
= 0,8 < 1
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: viene dado por las coordenadas
siguientes:
𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(3 − 4,2) 𝑦 𝐵1(3+ 4,2) → 𝐵2(−1,2) 𝑦 𝐵1(7,2)
𝐴2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝐴1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝐴2(3,2 − 5) 𝑦 𝐴1(3,2+ 5) → 𝐴2(3, −3) 𝑦 𝐴1(3,7)
d) La ecuación de una de sus rectas directrices: las directrices de una elipse, son dos
rectas ubicadas a los lados de los focos y a una distancia fija de las coordenadas del eje
mayor y hay dos (2) y como los focos están sobre o paralelo al eje y, entonces se tiene por
ecuación: 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
→ {
𝑦2 = −
𝑎2
𝑐
(𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)
𝑦1 =
𝑎2
𝑐
(𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎)
(ver gráfica)
𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
→ 𝑦 = ±
25
4
→
{
𝑦1 =
25
4
𝑦2 = −
25
4 }
e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse?:
La ecuación obtenida es:
(𝑥−3)2
9
+
(𝑦−2)2
25
= 1 y 𝑃0(
6
5
, −2). Sustituyendo el P0 en la ecuación
obtenemos lo siguiente:
(𝑥−3)2
9
+
(𝑦−2)2
25
= 1 →
(
6
5
−3)2
9
+
(−2−2)2
25
= 1 →
81
25
9
+
16
25
= 1 →
9
25
+
16
25
=
25
25
= 1 = 1
Luego, el punto dado si pertenece a la elipse.
Caso 2) Aplicando formula de estudiorealizado con anterioridad:
La ecuación binómica en las variables x e y es:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Obviamente los coeficientes A y B son de igual signo y no nulos.
Si desarrollamos la ecuación:
( 𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
( 𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 (∗)
( 𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
( 𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 → 𝑏2( 𝑥 − ℎ)2
+ 𝑎2( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑎2
𝑏2
𝑏2( 𝑥 − ℎ)2
+ 𝑎2( 𝑦 − 𝑘)2
= 𝑎2
𝑏2
𝑏2( 𝑥2
− 2ℎ𝑥 + ℎ2 ) + 𝑎2( 𝑦2
− 2𝑘𝑦 + 𝑘2) = 𝑎2
𝑏2
𝑏2
𝑥2
− 2ℎ𝑏2
𝑥 + 𝑏2
ℎ2
+ 𝑎2
𝑦2
− 2𝑘𝑎2
𝑦 + 𝑎2
𝑘2
= 𝑎2
𝑏2
(∗)
La ecuación (*) puede escribirse en la forma:
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1)
Donde se tiene:
𝐴 = 𝑏2
;
𝐶 = 𝑎2
;
𝐷 = −2ℎ𝑏2
→ ℎ = −
𝐷
2𝑏2 → ℎ = −
𝐷
2𝐴
𝐸 = −2𝑘𝑎2
→ 𝑘 = −
𝐸
2𝑎2 → 𝑘 = −
𝐸
2𝐶
𝐹 = 𝑏2
ℎ2
+ 𝑎2
𝑘2
− 𝑎2
𝑏2
( 𝑥−(−
𝐷
2𝐴
))
2
𝐶
+
( 𝑦−(−
𝐸
2𝐶
))
2
𝐴
=
𝐶𝐷2
+𝐴𝐸2
−4𝐴𝐶𝐹
4𝐴2 𝐶2 (2)
Y consideramos ahora varios casos posibles, llamando
𝑁 = 𝐶𝐷2
+ 𝐴𝐸2
− 4𝐴𝐶𝐹 y 𝑀 =
𝑁
4𝐴2 𝐶2
Tenemos:
(a) Si N=0, entonces la ecuación (2) representa un único punto único 𝐶(−
𝐷
2𝐴
,−
𝐸
2𝐶
)
(b) Si N  0, la ecuación(2) equivale a
(𝑥 +
𝐷
2𝐴
)
2
𝑀𝐶
+
(𝑦 +
𝐸
2𝐶
)
2
𝑀𝐴
= 1 (3)
Y aquí como A y C son de igual signo, entonces MC y MA son del mismo signo
(i) Si MC>0 y MA>0, la ecuación (2) representa una elipse de ejes paralelos a los
ejes coordenados y centro 𝐶(−
𝐷
2𝐴
,−
𝐸
2𝐶
).
(ii) Si MC < 0 y MA < 0, la ecuación(2) no representaningúnlugar geométrico
En general:
Teorema: Si los coeficientes A y C son diferentes y del mismo signo y no nulos, entonces la
ecuación de segundo grado: 𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Representa un único punto, una
elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados o ningún lugar geométrico.
𝐸: 25𝑥2
+ 9𝑦2
− 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0
𝐴 = 25; 𝐶 = 9; 𝐷 = −150; 𝐸 = −36; 𝐹 = 36
El Centro de la elipse es:
𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (−
𝐷
2𝐴
, −
𝐸
2𝐶
) = 𝐶 (−
−150
2(25)
, −
−36
2(9)
) → 𝐶(3,2)
También tenemos:
𝑁 = 𝐶𝐷2
+ 𝐴𝐸2
− 4𝐴𝐶𝐹 y 𝑀 =
𝑁
4𝐴2 𝐶2
De 𝑁 = 𝐶𝐷2
+ 𝐴𝐸2
− 4𝐴𝐶𝐹 tenemos:
𝑁 = 𝐶𝐷2
+ 𝐴𝐸2
− 4𝐴𝐶𝐹 → 𝑁 = (9)(−150)2
+ (25)(−36)2
− 4(25)(9)(36)
𝑁 = 202500 + 32400 − 32400 → 𝑁 = 202500
De 𝑀 =
𝑁
4𝐴2 𝐶2 → 𝑀 =
202500
4(25)2(9)2 → 𝑀 =
202500
202500
= 1 → 𝑀 = 1
Centro{
𝐶(ℎ, 𝑘)
𝐶(−
𝐷
2𝐴
,−
𝐸
2𝐶
)
}
Como N  0, la ecuación(2) equivale a
( 𝑥+
𝐷
2𝐴
)
2
𝑀𝐶
+
( 𝑦+
𝐸
2𝐶
)
2
𝑀𝐴
= 1 (2)
Y aquí como A y C son de igual signo (*), entonces MC [(1)(25)=25] y MA [(1)(9)=9] son del
mismo signo
(i) Como 𝑀𝐶 > 0 → 9 > 0 y 𝑀𝐴 > 0 → 25 > 0, la ecuación (2) representa una
elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados y centro 𝐶 (−
𝐷
2𝐴
,−
𝐸
2𝐶
) → 𝐶(3,2).
Además, como 𝑀𝐴 > 𝑀𝐶 → 25 > 9, y esta como denominador mayor correspondiente a
las ordenadas, entonces decimos que la elipse es Vertical, es decir:
( 𝑥+
𝐷
2𝐴
)
2
𝑀𝐶
+
( 𝑦+
𝐸
2𝐶
)
2
𝑀𝐴
= 1 →
( 𝑥−(−
−150
2(25)
))
2
9
+
( 𝑦−(−
−36
2(9)
))
2
25
= 1 →
( 𝑥−3)2
9
+
( 𝑦−2)2
25
= 1
Comparando con la ecuación modelo de una elipse vertical de centro C(h,k) tenemos que:
𝑏2
= 9 → 𝑏 = 3; 𝑎2
= 25 → 𝑎 = 5; 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = 4
a) La longitud de su lado recto:
El lado recto está dado por: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿𝑅 =
2·9
5
=
18
5
∴ 𝐿𝑅 =
18
5
b) La Excentricidad: 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
4
5
= 0,8 < 1
c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: viene dado por las coordenadas
siguientes: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1(ℎ+ 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(0,2) 𝑦 𝐵1(6,2)
Las demás coordenadas de los focos y los vértices mayores de la elipse vertical está dada
por:
𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (3,−2) 𝑦 𝐹1(3,6)
𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(3, −3) 𝑦 𝑉1(3,7)
d) La ecuación de una de sus rectas directrices:
Las directrices a cada lado de los extremos del eje mayor, son: 𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
→ {
𝑦 =
𝑎2
𝑐
→ 𝑦 =
52
4
→ 𝑦 =
25
4
𝑦 = −
𝑎2
𝑐
→ 𝑦 = −
52
4
→ 𝑦 = −
25
4
}
e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse?:
La ecuación obtenida es:
(𝑥−3)2
9
+
(𝑦−2)2
25
= 1 y 𝑃0(
6
5
, −2). Sustituyendo el P0 en la ecuación
obtenemos lo siguiente:
(𝑥−3)2
9
+
(𝑦−2)2
25
= 1 →
(
6
5
−3)2
9
+
(−2−2)2
25
= 1 →
81
25
9
+
16
25
= 1 →
9
25
+
16
25
=
25
25
= 1 = 1
Luego, el punto dado si pertenece a la elipse.
La gráfica es la siguiente:

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Elipse

  • 1. 1.- De una elipse horizontal y centrada en el origen se conoce su excentricidad 0,5 y el Semieje mayor que es 2 cm. Calcular sus focos, vértices, ejes, distancia focal y ecuación. Solución: Datos: C(0,0), Elipse es Horizontal, tiene la forma siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1. La excentricidad está dada por la fórmula: 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 1 2 ; El semieje mayor es a=2. Hallar Focos, Vértices, ejes, distancia focal y la ecuación. De la excentricidad se tiene que: c=1, a=2 y b=?. Mediante la relación Pitagórica tenemos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = ±√3 Luego la ecuación de la elipse horizontal es la siguiente: 𝑥2 4 + 𝑦2 3 = 1 Las coordenadas del foco son: 𝐹2(−𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(+𝑐, 𝑘) → 𝐹2(−1,0) 𝑦 𝐹1(1,0) Las coordenadas de los vértices son: Vértice Mayor: 𝑉2 (−𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(+𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−2,0) 𝑦 𝑉1(2,0) Vértice Menor: 𝐵2(ℎ, −𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑏) → 𝐵2(0, −√3) 𝑦 𝐵1(0,√3) Eje Mayor = 2aa=22a=4 Eje Mayor = 4 Eje Menor = 2bb=√32b = 2√3  Eje Menor = 2√3 Eje Focal = 2cc = 12c = 2(1) = 2  Eje Focal = 2 Distancia Focal = c  Distancia Focal = 1 La Ecuación es: 𝑥2 4 + 𝑦2 3 = 1 Su Gráfica es:
  • 2. 2.-Dada la elipse representada por la ecuación 𝑷: 𝟐𝟓𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟏𝟓𝟎𝒙− 𝟑𝟔𝒚 + 𝟑𝟔 = 𝟎, determine: a) La longitud de su lado recto b) La Excentricidad c) Las coordenadas de los extremos del eje menor y mayor d) La ecuación de una de sus rectas directrices e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse? Solución: la ecuación es 𝐸: 25𝑥2 + 9𝑦2 − 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0, que es su forma general de la elipse, es decir: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0. Este problema se puede realizar de 2 formas: 1) Componiendo trinomios 2) Aplicando formula de estudio realizadocon anterioridad Caso 1) Componiendo trinomios: la cual se realiza manipulando los factores en x e y, es decir: 25𝑥2 + 9𝑦2 − 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0 → (25𝑥2 − 150𝑥)+ (9𝑦2 − 36𝑦) = −36 (25𝑥2 − 150𝑥) + (9𝑦2 − 36𝑦) = −36 → 25( 𝑥2 − 6𝑥) + 9( 𝑦2 − 4𝑦) = −36 25( 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9) + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4) = −36 25( 𝑥2 − 6𝑥 + 9) − 9 ∗ 25 + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4) − 4 · 9 = −36 25( 𝑥 − 3)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = −36 + 36 + 225 → 25( 𝑥 − 3)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = 225 Dividimos entre 225 a ambos miembros de la igualdad y nos queda, es decir 25( 𝑥−3)2 225 + 9( 𝑦−2)2 225 = 225 225 → (𝑥−3)2 9 + (𝑦−2)2 25 = 1 Como en el denominador de la variable “Y” es mayor que en la variable “X”, se dice que la elipse es vertical, porque el lado mayor esta paralelo ó coincide con el eje “Y”. Su forma canónica o usual es de la forma siguiente: ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1, comparando ambas ecuaciones se tiene los siguientes elementos: Centro Elipse es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(3,2) → { ℎ = 3 𝑘 = 2 𝑎2 = 25 → 𝑎 = 5; 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3; a “c” lo obtenemos mediante la relación Pitagórica, como sabemos que a>c𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 25 − 9 = 16 ∴ 𝑐 = 4 Resolviendo: a) La longitud de su lado recto: el lado recto de una elipse es la distancia del segmento que pasa por el foco y corta a la elipse, por lo que hay dos lados rectos, pero de igual longitud, es decir, hay 4 ptos: dos arriba y dos abajo, ya que la elipse es vertical como dijimos antes, estos puntos de cortes son: Los de arriba: 𝐴 ( 𝑏2 𝑎 , 𝑐) 𝑦 𝐵 (− 𝑏2 𝑎 , 𝑐) → 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 = √(− 𝑏2 𝑎 − 𝑏2 𝑎 ) 2 + ( 𝑐 − 𝑐)2 = √(−2 𝑏2 𝑎 ) 2 + 0 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = |2 𝑏2 𝑎 | → 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = 2(9) 5 → 𝐿𝑅 𝐴𝐵 = 18 5 Los de abajo: 𝐷 ( 𝑏2 𝑎 , −𝑐) 𝑦 𝐸 (− 𝑏2 𝑎 , −𝑐) → 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
  • 3. 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 = √(− 𝑏2 𝑎 − 𝑏2 𝑎 ) 2 + (−𝑐 − (−𝑐)) 2 = √(−2 𝑏2 𝑎 ) 2 + 0 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = |2 𝑏2 𝑎 | → 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = 2(9) 5 → 𝐿𝑅 𝐷𝐸 = 18 5 b) La Excentricidad: Es la razón entre el semieje focal (c) y el semieje mayor (a), la cual indica el aspecto de una elipse, es decir: 𝑒 = 𝑐 𝑎 . Donde 0 < e < 1; 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 4 5 = 0,8 < 1 c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: viene dado por las coordenadas siguientes: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(3 − 4,2) 𝑦 𝐵1(3+ 4,2) → 𝐵2(−1,2) 𝑦 𝐵1(7,2) 𝐴2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝐴1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝐴2(3,2 − 5) 𝑦 𝐴1(3,2+ 5) → 𝐴2(3, −3) 𝑦 𝐴1(3,7) d) La ecuación de una de sus rectas directrices: las directrices de una elipse, son dos rectas ubicadas a los lados de los focos y a una distancia fija de las coordenadas del eje mayor y hay dos (2) y como los focos están sobre o paralelo al eje y, entonces se tiene por ecuación: 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑦2 = − 𝑎2 𝑐 (𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜) 𝑦1 = 𝑎2 𝑐 (𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎) (ver gráfica) 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 → 𝑦 = ± 25 4 → { 𝑦1 = 25 4 𝑦2 = − 25 4 } e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse?: La ecuación obtenida es: (𝑥−3)2 9 + (𝑦−2)2 25 = 1 y 𝑃0( 6 5 , −2). Sustituyendo el P0 en la ecuación obtenemos lo siguiente: (𝑥−3)2 9 + (𝑦−2)2 25 = 1 → ( 6 5 −3)2 9 + (−2−2)2 25 = 1 → 81 25 9 + 16 25 = 1 → 9 25 + 16 25 = 25 25 = 1 = 1 Luego, el punto dado si pertenece a la elipse. Caso 2) Aplicando formula de estudiorealizado con anterioridad: La ecuación binómica en las variables x e y es: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Obviamente los coeficientes A y B son de igual signo y no nulos. Si desarrollamos la ecuación: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 (∗) ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 → 𝑏2( 𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 𝑏2 𝑏2( 𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2( 𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 𝑏2 𝑏2( 𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 ) + 𝑎2( 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2) = 𝑎2 𝑏2 𝑏2 𝑥2 − 2ℎ𝑏2 𝑥 + 𝑏2 ℎ2 + 𝑎2 𝑦2 − 2𝑘𝑎2 𝑦 + 𝑎2 𝑘2 = 𝑎2 𝑏2 (∗)
  • 4. La ecuación (*) puede escribirse en la forma: 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1) Donde se tiene: 𝐴 = 𝑏2 ; 𝐶 = 𝑎2 ; 𝐷 = −2ℎ𝑏2 → ℎ = − 𝐷 2𝑏2 → ℎ = − 𝐷 2𝐴 𝐸 = −2𝑘𝑎2 → 𝑘 = − 𝐸 2𝑎2 → 𝑘 = − 𝐸 2𝐶 𝐹 = 𝑏2 ℎ2 + 𝑎2 𝑘2 − 𝑎2 𝑏2 ( 𝑥−(− 𝐷 2𝐴 )) 2 𝐶 + ( 𝑦−(− 𝐸 2𝐶 )) 2 𝐴 = 𝐶𝐷2 +𝐴𝐸2 −4𝐴𝐶𝐹 4𝐴2 𝐶2 (2) Y consideramos ahora varios casos posibles, llamando 𝑁 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹 y 𝑀 = 𝑁 4𝐴2 𝐶2 Tenemos: (a) Si N=0, entonces la ecuación (2) representa un único punto único 𝐶(− 𝐷 2𝐴 ,− 𝐸 2𝐶 ) (b) Si N  0, la ecuación(2) equivale a (𝑥 + 𝐷 2𝐴 ) 2 𝑀𝐶 + (𝑦 + 𝐸 2𝐶 ) 2 𝑀𝐴 = 1 (3) Y aquí como A y C son de igual signo, entonces MC y MA son del mismo signo (i) Si MC>0 y MA>0, la ecuación (2) representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados y centro 𝐶(− 𝐷 2𝐴 ,− 𝐸 2𝐶 ). (ii) Si MC < 0 y MA < 0, la ecuación(2) no representaningúnlugar geométrico En general: Teorema: Si los coeficientes A y C son diferentes y del mismo signo y no nulos, entonces la ecuación de segundo grado: 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Representa un único punto, una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados o ningún lugar geométrico. 𝐸: 25𝑥2 + 9𝑦2 − 150𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0 𝐴 = 25; 𝐶 = 9; 𝐷 = −150; 𝐸 = −36; 𝐹 = 36 El Centro de la elipse es: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 (− 𝐷 2𝐴 , − 𝐸 2𝐶 ) = 𝐶 (− −150 2(25) , − −36 2(9) ) → 𝐶(3,2) También tenemos: 𝑁 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹 y 𝑀 = 𝑁 4𝐴2 𝐶2 De 𝑁 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹 tenemos: 𝑁 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐸2 − 4𝐴𝐶𝐹 → 𝑁 = (9)(−150)2 + (25)(−36)2 − 4(25)(9)(36) 𝑁 = 202500 + 32400 − 32400 → 𝑁 = 202500 De 𝑀 = 𝑁 4𝐴2 𝐶2 → 𝑀 = 202500 4(25)2(9)2 → 𝑀 = 202500 202500 = 1 → 𝑀 = 1 Centro{ 𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(− 𝐷 2𝐴 ,− 𝐸 2𝐶 ) }
  • 5. Como N  0, la ecuación(2) equivale a ( 𝑥+ 𝐷 2𝐴 ) 2 𝑀𝐶 + ( 𝑦+ 𝐸 2𝐶 ) 2 𝑀𝐴 = 1 (2) Y aquí como A y C son de igual signo (*), entonces MC [(1)(25)=25] y MA [(1)(9)=9] son del mismo signo (i) Como 𝑀𝐶 > 0 → 9 > 0 y 𝑀𝐴 > 0 → 25 > 0, la ecuación (2) representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados y centro 𝐶 (− 𝐷 2𝐴 ,− 𝐸 2𝐶 ) → 𝐶(3,2). Además, como 𝑀𝐴 > 𝑀𝐶 → 25 > 9, y esta como denominador mayor correspondiente a las ordenadas, entonces decimos que la elipse es Vertical, es decir: ( 𝑥+ 𝐷 2𝐴 ) 2 𝑀𝐶 + ( 𝑦+ 𝐸 2𝐶 ) 2 𝑀𝐴 = 1 → ( 𝑥−(− −150 2(25) )) 2 9 + ( 𝑦−(− −36 2(9) )) 2 25 = 1 → ( 𝑥−3)2 9 + ( 𝑦−2)2 25 = 1 Comparando con la ecuación modelo de una elipse vertical de centro C(h,k) tenemos que: 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3; 𝑎2 = 25 → 𝑎 = 5; 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = 4 a) La longitud de su lado recto: El lado recto está dado por: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·9 5 = 18 5 ∴ 𝐿𝑅 = 18 5 b) La Excentricidad: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 4 5 = 0,8 < 1 c) Las coordenadas de los extremos del eje menor: viene dado por las coordenadas siguientes: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1(ℎ+ 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(0,2) 𝑦 𝐵1(6,2) Las demás coordenadas de los focos y los vértices mayores de la elipse vertical está dada por: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (3,−2) 𝑦 𝐹1(3,6) 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(3, −3) 𝑦 𝑉1(3,7) d) La ecuación de una de sus rectas directrices: Las directrices a cada lado de los extremos del eje mayor, son: 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 𝑦 = ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑦 = 𝑎2 𝑐 → 𝑦 = 52 4 → 𝑦 = 25 4 𝑦 = − 𝑎2 𝑐 → 𝑦 = − 52 4 → 𝑦 = − 25 4 } e) ¿El punto Po( 6/5, -2) pertenece a la elipse?: La ecuación obtenida es: (𝑥−3)2 9 + (𝑦−2)2 25 = 1 y 𝑃0( 6 5 , −2). Sustituyendo el P0 en la ecuación obtenemos lo siguiente: (𝑥−3)2 9 + (𝑦−2)2 25 = 1 → ( 6 5 −3)2 9 + (−2−2)2 25 = 1 → 81 25 9 + 16 25 = 1 → 9 25 + 16 25 = 25 25 = 1 = 1 Luego, el punto dado si pertenece a la elipse.
  • 6. La gráfica es la siguiente:
  • 7. 3.- Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que sus dos vértices del eje mayor son respectivamente V1 (6, 0), V2 (-6, 0) y la longitud del eje menor es 2b = 10. Solución: Observando las coordenadas del eje mayor nos indica que la variación corresponde a las abscisas, es decir, el eje X, por lo que nos indica que la elipse es horizontal, cuyo centro esta en el punto medio de V1V2, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2 + 𝑥1 2 ; 𝑦2 + 𝑦1 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( −6 + 6 2 ; 0 + 0 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶(0,0) En este caso el centro es el origen por lo que la ecuación modelo de la elipse horizontal es de la forma siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Del eje menor 2b=10b=5 De las coordenadas del eje mayor, es decir: 𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑦 𝑉1(𝑎,0), comparándola con los datos del eje mayor tenemos que a = 6. Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación tenemos: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 𝑥2 (6)2 + 𝑦2 (5)2 = 1 → 𝑥2 36 + 𝑦2 25 = 1 Entonces la ecuación usual o canónica es: 𝑥2 36 + 𝑦2 25 = 1 O sea la ecuación general es: 25𝑥2 + 36𝑦2 = 900 → 25𝑥2 + 36𝑦2 − 900 = 0 La representación gráfica es:
  • 8. 4.- Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que sus dos vértices del eje mayor son respectivamente: V1(0, 8), V2(0, -8) y un foco está ubicado en F (0, 6). Solución: Observando las coordenadas del eje mayor, se tiene que es la ordenada la que está variando, lo cual nos indica que el eje mayor esta sobre o es paralelo al eje Y, por lo que nos indica que la elipse es vertical y su centro se obtiene en este caso como el punto medio de las coordenadas del eje mayor, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2 + 𝑥1 2 ; 𝑦2 + 𝑦1 2 ) = 𝐶 ( 0 + 0 2 ; −8 + 8 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(0,0) Entonces, es una elipse vertical con centro en el origen, es decir: C(0,0). Y la ecuación tiene la formula siguiente: 𝑦2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 = 1 De las coordenadas del eje mayor tenemos: 𝑉2(0,−𝑎) 𝑦 𝑉1(0, 𝑎) → 𝑎 = 8 De la coordenada del eje focal tenemos 𝐹2(0,−𝑐) 𝑦 𝐹1(0, 𝑐) → 𝑐 = 6 Mediante la relación Pitagórica tenemos que: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏2 = 64 − 36 → 𝑏2 = 28 Por lo que la ecuación es la siguiente: 𝑦2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 = 1 → 𝑦2 64 + 𝑥2 28 = 1 La ecuación de la elipse usual o canónica es: 𝑦2 64 + 𝑥2 28 = 1 O sea la ecuación general es: 28𝑦2 + 64𝑥2 = 1792 → 28𝑦2 + 64𝑥2 − 1792 = 0 → 16𝑥2 + 7𝑦2 = 448 La gráfica de la ecuación es:
  • 9. 5.- Obtener la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones: su centro es C(3, 2), eje mayor es paralelo al eje x, la longitud del eje mayor es 2a = 4, y la longitud del eje menor es 2b = 3. Solución: Datos: Ecuac Elipse?, C(3,2), V2V1  Eje X, 2a=4, 2b=3. Si eje mayor, es decir, V2V1  Eje X, esto quiere decir que la elipse es horizontal cuyo modelo es el siguiente: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (∗) Donde el centro es 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(3,2) → { ℎ = 3 𝑘 = 2 }. También sabemos que el lado mayor es: 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2 → 𝑎2 = (2)2 → 𝑎2 = 4 y El lado menor es: 2𝑏 = 3 → 𝑏 = 3 2 → 𝑏2 = 9 4 Sustituyendo estos valores en (*) obtenemos la ecuación siguiente: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 → ( 𝑥−3)2 4 + ( 𝑦−2)2 9 4 = 1 → ( 𝑥−3)2 4 + 4( 𝑦−2)2 9 = 1 9( 𝑥 − 3)2 + 16( 𝑦 − 2)2 = 36 → 9( 𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 16( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 ) = 36 9𝑥2 − 54𝑥 + 81 + 16𝑦2 − 64𝑦 + 64 = 36 → 9𝑥2 + 16𝑦2 − 54𝑥 − 64𝑦 + 109 = 0 Luego la ecuación es 9𝑥2 + 16𝑦2 − 54𝑥 − 64𝑦 + 109 = 0 La gráfica de la ecuación es:
  • 10. 6.- Obtener la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones: los vértices en el eje mayor son V1(2, 8), V2(2, -2), sus focos son F1(2, 6) y F2 (2, 0). Solución: Al observar tanto las coordenadas del eje mayor como las coordenadas de los focos se ve que las ordenadas son las que varía, por lo que la elipse es vertical, luego el punto medio de los vértices ó focos es el centro de la elipse, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2+𝑦1 2 ) → 𝐶 ( 2+2 2 ; −2+8 2 ) → 𝐶(2,3) ∴ 𝐶(2,3) La ecuación modelo de la elipse vertical con centro C(h,k) está dada por: ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 + ( 𝑥 − ℎ)2 𝑏2 = 1 (∗) De las coordenadas del eje mayor tenemos: 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(2, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(2, 𝑘 + 𝑎) Comparando tenemos: 𝑘 − 𝑎 = −2 → 3 − 𝑎 = −2 → −𝑎 = −5 → 𝑎 = 5 De las coordenadas del eje focal tenemos: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(2, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(2, 𝑘 + 𝑐) comparando tenemos: 𝑘 − 𝑐 = 0 → 3 − 𝑐 = 0 → −𝑐 = −3 → 𝑐 = 3 Mediante la relación Pitagórica tenemos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏2 = 25 − 9 = 16 → 𝑏2 = 16 → 𝑏 = 4 Sustituyendo estos valores en (*) tenemos la ecuación pedida, es decir: ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 + ( 𝑥 − ℎ)2 𝑏2 = 1 → ( 𝑦 − 3)2 25 + ( 𝑥 − 2)2 16 = 1 O la ecuación general de la elipse (al desarrollar la ecuación anterior) nos da: 25𝑥2 + 16𝑦2 − 100𝑥 − 96𝑦 − 156 = 0 La gráfica es la siguiente:
  • 11. 7.- Dada la ecuación general 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟗𝟎𝟎 = 𝟎, determinar el lugar geométrico que describe la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad. Solución: Despejamos el término independiente al 2do miembros y dividimos cada factor de los miembros por el término independiente, es decir: 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟗𝟎𝟎 = 𝟎 → 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟗𝟎𝟎 → 𝟐𝒙 𝟐 𝟗𝟎𝟎 + 𝟗𝒚 𝟐 𝟗𝟎𝟎 = 𝟗𝟎𝟎 𝟗𝟎𝟎 → 𝒙 𝟐 𝟗𝟎𝟎 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝟗𝟎𝟎 𝟗 = 𝟏 𝑥2 450 + 𝑦2 100 = 1 Como el denominador de x2, es 450 > 100 a2>b2 a > b 15√2 > 10; esto nos indica que la elipse es horizontal, su centro C(0,0) h=0 y k=0. El modelo de la elipse horizontal es la siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Las coordenadas de los focos y los vértices son: 𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑦 𝑉1( 𝑎,0) → 𝑉2(−15√2,0) 𝑦 𝑉1(15√2,0) 𝐵2(0,−𝑏) 𝑦 𝐵1(0, 𝑏) → 𝐵2(0,−10) 𝑦 𝐵1(0,10) Mediante la relación Pitagórica se obtiene “c”: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 450 − 100 → 𝑐2 = 350 → 𝑐 = 5√14 𝐹2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝐹1( 𝑐, 0) → 𝐹2(−5√14,0) 𝑦 𝐹1(5√14,0) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·450 15√2 → 𝐿𝑅 = 30√2 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 5√14 15√2 → 𝑒 = √7 3 La directrices son: 𝑥 = ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑥 = 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 450 5√14 → 𝑥 = 90 √14 . √14 √14 = 45√14 7 𝑥 = − 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = − 90 √14 . √14 √14 → 𝑥 = − 45√14 7 } La gráfica de la elipse es:
  • 12. 8.- Dada la ecuación general 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒚 + 𝟐𝟗 = 𝟎 , determinar el lugar geométrico que describe la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad. Solución: Despejamos el término independiente al 2do miembros y dividimos cada factor de los miembros por el término independiente, es decir: 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒚 + 𝟐𝟗 = 𝟎 → ( 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙) + ( 𝟑𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒚) = −𝟐𝟗 2( 𝑥2 − 4𝑥) + 3( 𝑦2 − 6𝑦) = −29 → 2( 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) + 3( 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9) = −29 2( 𝑥 − 2)2 − 8 + 3( 𝑦 − 3)2 − 27 = −29 → 2( 𝑥 − 2)2 + 3( 𝑦 − 3)2 = 6 2( 𝑥−2)2 6 + 3( 𝑦−3)2 6 = 6 6 → ( 𝑥−2)2 3 + ( 𝑦−3)2 2 = 1 ∴ ( 𝑥−2)2 3 + ( 𝑦−3)2 2 = 1 Como 3>2, y esta como denominador de x, esta es la ecuación de una elipse horizontal con centro C(h,k)C(2,3) h = 2 y k = 3, 𝑎2 = 3 → 𝑎 = √3; 𝑏2 = 2 → 𝑏 = √2. Para obtener “c” se aplica las relaciones Pitagóricas: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 3 − 2 = 1 → 𝑐 = 1 Las coordenadas de los vértices y los focos son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(1,3) 𝑦 𝐹1(3,3) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(2 − √3,3) 𝑦 𝑉1(2 + √3, 3) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(2,3 − √2) 𝑦 𝐵1(2,3 + √2) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·2 √3 → 𝐿𝑅 = 4 √3 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 1 √3 → 𝑒 = √3 3 Las directrices son: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑥 = ℎ + 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 2 + 3 1 → 𝑥 = 5 𝑥 = ℎ − 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 2 − 3 1 → 𝑥 = −1 } La gráfica de la elipse es:
  • 13. 9.- Dada la ecuación general 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟑𝟔𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎 , determinar el lugar geométrico que describe la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad. Solución: Despejamos el término independiente al 2do miembros y dividimos cada factor de los miembros por el término independiente, es decir: 4𝑥2 − 8𝑥 + 9𝑦2 − 36𝑦 + 16 = 0 → (4𝑥2 − 8𝑥) + (9𝑦2 − 36𝑦) = −16 (4𝑥2 − 8𝑥) + (9𝑦2 − 36𝑦) = −16 → 4( 𝑥2 − 2𝑥) + 9( 𝑦2 − 4𝑦) = −16 4( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4) = −16 4( 𝑥 − 1)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = −16 + 36 + 4 → 4( 𝑥 − 1)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = 24 4( 𝑥−1)2 24 + 9( 𝑦−2)2 24 = 24 24 → ( 𝑥−1)2 6 + ( 𝑦−2)2 24 9 = 1 → ( 𝑥−1)2 6 + ( 𝑦−2)2 8 3 = 1 Esta ecuación es una elipse horizontal con centro 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(1,2) → ℎ = 1 𝑦 𝑘 = 2 De la ecuación dada obtenemos otros elementos: 𝑎2 = 6 → 𝑎 = √6; 𝑏2 = 8 3 → 𝑏 = √ 8 3 → 𝑏 = 2√2 √3 . √3 √3 = 2√6 3 → 𝑏 = 2√6 3 Obtenemos “c” mediante la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 6 − 8 3 = 18−8 3 → 𝑐2 = 10 3 → 𝑐 = √ 10 3 Las coordenadas de los vértices y los focos: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉2(1 − √6, 2) 𝑦 𝑉1(1 + √6, 2) 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹2 (1 − √ 10 3 , 2) 𝑦 𝐹1 (1 + √ 10 3 , 2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) 𝑦 𝐵2 (1,2 − 2√6 3 ) 𝑦 𝐵1 (1,2 + 2√6 3 ) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2· 8 3 √6 → 𝐿𝑅 = 16 3√6 · √6 √6 = 8√6 9 → 𝐿𝑅 = 8√6 9 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √ 10 3 6 → 𝑒 = √10 6√3 Las directrices son: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑥 = ℎ + 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 1 + 6 √ 10 3 → 𝑥 = 5+√30 5 𝑥 = ℎ − 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 1 − 6 √ 10 3 → 𝑥 = − 5−√30 5 }
  • 14. La gráfica de la elipse es:
  • 15. 10.- Dada la ecuación general 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟑𝟔𝒚 + 𝟒 = 𝟎 , determinar el lugar geométrico que describe la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad. Solución: Despejamos el término independiente al 2do miembros y dividimos cada factor de los miembros por el término independiente, es decir: 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟑𝟔𝒚 + 𝟒 = 𝟎 → ( 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙) + ( 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟑𝟔𝒚) = −𝟒 𝟒( 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙) + 𝟗( 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒚) = −𝟒 → 𝟒( 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏) + 𝟗( 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 − 𝟒) = −𝟒 𝟒( 𝒙 − 𝟏) 𝟐 − 𝟒 + 𝟗( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 − 𝟑𝟔 = −𝟒 → 𝟒( 𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟗( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 = 𝟑𝟔 𝟒( 𝒙−𝟏) 𝟐 𝟑𝟔 + 𝟗( 𝒚−𝟐) 𝟐 𝟑𝟔 = 𝟑𝟔 𝟑𝟔 → ( 𝒙−𝟏) 𝟐 𝟗 + ( 𝒚−𝟐) 𝟐 𝟒 = 𝟏 ∴ ( 𝒙−𝟏) 𝟐 𝟗 + ( 𝒚−𝟐) 𝟐 𝟒 = 𝟏 El lugar geométrico es una elipse horizontal de centro C(h,k) y tiene la ecuación usual o canónica ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 cuyas características son las siguientes: Centro de la elipse: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(1,2) ∴ ℎ = 1 𝑦 𝑘 = 2 Eje mayor: 𝑎2 = 9 → 𝑎 = ±3. Longitud del eje mayor: 𝐿𝐸𝑀: 2𝑎 → 𝐿𝐸𝑀 = 6 Eje menor: 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2, Longitud del eje menor: 𝐿𝑒𝑚: 2𝑏 → 𝐿𝑒𝑚 = 4 Eje focal: Se obtiene de la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 9 − 4 = 5 → 𝑐 = ±√5 Las Coordenadas de los focos y los vértices de la elipse son los siguientes: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2 (1 − √5,2) 𝑦 𝐹1(1 + √5,2) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(1 − 3,2) 𝑦 𝑉1(1 + 3,2) → 𝑉2(−2,2) 𝑦 𝑉1(4,2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(1,2 − 2) 𝑦 𝐵1(1,2 + 2) → 𝐵2(1,0) 𝑦 𝐵1(1,4) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·4 3 → 𝐿𝑅 = 8 3 → 𝐿𝑅 = 8 3 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √5 3 → 𝑒 = √5 3 Las directrices son: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑥 = 1 + 9 √5 → 𝑥 = 1 + 9·√5 5 → 𝑥 = 5+9√5 5 𝑥 = ℎ − 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = 1 − 9·√5 5 → 𝑥 = 5−9√5 5 }
  • 16. La gráfica de la elipse es: 11.-Dada la ecuación general 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟑𝟔𝒚 + 𝟓𝟐 = 𝟎, determinar el lugar geométrico que describe la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad. Solución: Despejamos el término independiente al 2do miembros y dividimos cada factor de los miembros por el término independiente, es decir: 4𝑥2 − 8𝑥 + 9𝑦2 − 36𝑦 + 52 = 0 → (4𝑥2 − 8𝑥) + (9𝑦2 − 36𝑦) = −52 4( 𝑥2 − 2𝑥) + 9( 𝑦2 − 4𝑦) = −52 → 4( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4) = −52 4( 𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 4 + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4) − 36 = −52 → 4( 𝑥 − 1)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = −12 4( 𝑥−1)2 −12 + 9( 𝑦−2)2 −12 = −12 −12 → ( 𝑥−1)2 −3 + ( 𝑦−2)2 − 12 9 = 1 De aquí se desprende que: 𝑎2 = −3 y 𝑏2 = − 4 3 lo que permitiría afirmar que a y b no tienen longitudes reales, luego el lugar geométrico no existe en el plano.
  • 17. 12.- Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos A (3, 0) y B (-3, 0) es igual a 10. Solución: Sea P(x,y) un punto no colineales a los puntos A(3,0) y B(-3,0), entonces según el enunciado del problema tenemos: 𝑃𝐴̅̅̅̅ + 𝑃𝐵̅̅̅̅ = 10 𝑃𝐴̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 y 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑃𝐴̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → √( 𝑥 − 3)2 + ( 𝑦 − 0)2 → 𝑃𝐴̅̅̅̅ = √( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2 𝑃𝐴̅̅̅̅ = √( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → √( 𝑥 + 3)2 + ( 𝑦 − 0)2 → 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 Luego tenemos: 𝑃𝐴̅̅̅̅ + 𝑃𝐵̅̅̅̅ = 10 → √( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + √( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 √( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 10 − √( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 (√( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2) 2 = (10 − √( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2) 2 ( 𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 20√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 + ( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 ( 𝑥 − 3)2 = 100 − 20√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 + ( 𝑥 + 3)2 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 100 − 20√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 6𝑥 + 9 20√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 12𝑥 + 100 → 5√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 3𝑥 + 25 (5√( 𝑥 + 3)2 + 𝑦2) 2 = (3𝑥 + 25)2 → 25[(𝑥 + 3)2 + 𝑦2] = 9𝑥2 + 150𝑥 + 625 25[ 𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2] = 9𝑥2 + 150𝑥 + 625 25𝑥2 + 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 9𝑥2 + 150𝑥 + 625 25𝑥2 − 9𝑥2 + 150𝑥 − 150𝑥 + 25𝑦2 = 625 − 225 → 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400 → 16𝑥2 400 + 25𝑦2 400 = 400 400 → 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 Lo cual representa una elipse horizontal de centro C(0,0) cuyas características son las siguientes: 𝑎2 = 25 → 𝑎 = ±5; 𝑏2 = 16 → 𝑏 = ±4 y “c” se obtiene mediante la relación Pitagórica siguiente: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = 𝑐 = ±3 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝐹1( 𝑐, 0) → 𝐹2 (−3,0) 𝑦 𝐹1(3,0) 𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑦 𝑉1( 𝑎,0) → 𝑉2 (−5,0) 𝑦 𝑉1(5,0) 𝐵2(0,−𝑏) 𝑦 𝐵1(0,𝑏) → 𝐵2(0, −4) 𝑦 𝐵1(0,4) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·16 5 → 𝐿𝑅 = 32 5 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 3 5
  • 18. Las directrices son: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑥 = 0 + 25 3 → 𝑥 = 25 3 𝑥 = 0 − 𝑎2 𝑐 → 𝑥 = − 25 5 } La gráfica de la elipse es:
  • 19. 13.- Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,-2). Solución: Sea P(x,y) el punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta L:y=-8, es siempre igual al doble de su distancia del punto F(0,-2), es decir: 𝑑( 𝑃, 𝐿) = 2𝑑(𝑃, 𝐹) Donde: L: y=-8; F(0,-2) y P(x,y) 𝑑( 𝑃, 𝐿) = | 𝑦+8| √(0)2 +(1)2 = | 𝑦 +8| 1 → 𝑑( 𝑃, 𝐿) = | 𝑦 + 8| 𝑑( 𝑃, 𝐹) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 → 𝑑( 𝑃, 𝐹) = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 Sustituyendo tenemos: 𝑑( 𝑃, 𝐿) = 2𝑑( 𝑃, 𝐹) → | 𝑦 + 8| = 2√ 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 [√( 𝑦 + 8)2] 2 = [2√ 𝑥2 + (𝑦 + 2)2] 2 → 𝑦2 + 16𝑦 + 64 = 4[ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4] 𝑦2 + 16𝑦 + 64 = 4𝑥2 + 4𝑦2 + 16𝑦 + 16 → 4𝑥2 + 3𝑦2 − 48 = 0 4𝑥2 + 3𝑦2 − 48 = 0 → 4𝑥2 + 3𝑦2 = 48 → 4𝑥2 48 + 3𝑦2 48 = 48 48 → 𝒙 𝟐 𝟏𝟐 + 𝒚 𝟐 𝟏𝟔 = 𝟏 Esta última ecuación tiene el denominador mayor en la variable Y, por lo que la elipse es vertical con centro en C(0,0). 𝑎2 = 16 → 𝑎 = 4; 𝑏2 = 12 → 𝑏 = 2√3, a “c” lo obtenemos con la relación Pitagórica siguiente: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 16 − 12 = 4 → 𝑐 = ±2 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (0, −𝑐) 𝑦 𝐹1(0, 𝑐) → 𝐹2 (0, −2) 𝑦 𝐹1(0,2) 𝑉2 (0, −𝑎) 𝑦 𝑉1(0, 𝑎) → 𝑉2 (0,−4) 𝑦 𝑉1(0,4) 𝐵2(−𝑏, 0) 𝑦 𝐵1( 𝑏, 0) → 𝐵2(−2√3,0) 𝑦 𝐵1(2√3,0) La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·12 4 → 𝐿𝑅 = 6 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 2 4 = 1 2 → 𝑒 = 1 2 Las directrices son: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 → { 𝐷1: 𝑦 = 0 + 16 2 → 𝑦 = 8 𝐷2: 𝑦 = 0 − 16 2 → 𝑦 = −8 }
  • 20. La gráfica de la elipse es:
  • 21. 14.- La tierra se mueve sobre una órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. Si la longitud de la mitad del eje mayor es 93 millones de millas y la excentricidad es 0,017. Hallar las distancias mínima y máxima entre la tierra y el sol. Solución: a=93.000.000 mi; e=0,017. Hallar las distancias mínimas y máximas entre la tierra y el sol. Veamos el dibujo: De la excentricidad tenemos: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑐 = 𝑎 · 𝑒 𝑐 = 𝑎 · 𝑒 → 𝑐 = 93 · 106 · 0.017 → 𝑐 = 1.581.000 𝐃𝐦 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟐) = 𝐚 − 𝐜 → 𝐃𝐦 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟐) = 𝟗𝟑. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟓𝟖𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐃𝐦 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟐) = 𝟗𝟏. 𝟒𝟏𝟗. 𝟎𝟎𝟎 La distancia mínima entre el sol y la tierra es de 𝐃𝐦 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟐) = 𝟗𝟏. 𝟒𝟏𝟗. 𝟎𝟎𝟎 millas 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟏) = 𝐚 + 𝐜 → 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟏) = 𝟗𝟑. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏. 𝟓𝟖𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐃𝐦 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟏) = 𝟗𝟒. 𝟓𝟖𝟏. 𝟎𝟎𝟎 La distancia máxima entre el sol y la tierra es de 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐, 𝐕𝟏) = 𝟗𝟒. 𝟓𝟖𝟏. 𝟎𝟎𝟎 millas C(0,0) 93·106 millas V2 (-a,0) V1 (a,0) F2 (-c,0) F1 (c,0) B1 (0,b) B2 (0,-b)Dm (F2V2) DM (F2V1)
  • 22. 15.- El techo de un pasillo de 10 m de anchura tiene la forma de una semielipse y 9 metros de altura en el centro, así como 6 m de altura en las paredes laterales. Calcule la altura del techo a 2 m de una pared. Solución: Datos: Ancho del pasillo: A=10m; Forma Semielipse; Altura del techo desde el centro es de 9m, Las paredes laterales tienen 6m de alturas. Calcule la altura del techo a 2 m de una pared. Veamos el dibujo: Luego, aplicamos la definición de elipse horizontal, es decir: 𝑥2 𝑎2 + ( 𝑦 − 6)2 𝑏2 = 1 Donde 𝑎 = 5; 𝑏 = 3; 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −3; y es la altura del techo a 2 metro de la pared lateral 𝑥2 𝑎2 + ( 𝑦−6)2 𝑏2 = 1 → 32 52 + ( 𝑦−6)2 32 = 1 → 81 +25( 𝑦−6)2 25·9 = 1 → 25( 𝑦 − 6)2 = 225 − 81 25( 𝑦 − 6)2 = 144 → ( 𝑦 − 6)2 = 144 25 → 𝑦 − 6 = 12 5 → 𝑦 = 6 + 12 5 ∴ 𝑦 = 42 5 ≈ 8,4 Entonces, la altura del techo a 2m de las paredes laterales es de 8,4 metros. 2m2m 10m 0m 53-3-5 9m 6m -6 3 3m y
  • 23. 16.-Dada la elipse 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 𝟐 = 𝟓𝟕𝟔, hallar el semieje mayor, el semieje menor, la excentricidad, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las diretrices y la longitud del latus rectum. Solución: De la ecuación general tenemos: 9𝑥2 + 16𝑦2 = 576 → 9𝑥2 576 + 16𝑦2 576 = 576 576 → 𝑥2 16 + 𝑦2 9 = 1 ∴ 𝒙 𝟐 𝟏𝟔 + 𝒚 𝟐 𝟗 = 𝟏 (∗) La ecuación (*) por tener el denominador mayor en “x”, la elipse es horizontal y de centro en el origen, es decir, C(0,0). El eje mayor es 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4; El eje menor es 𝑏2 = 9 → 𝑏 = ±3; El eje focal se obtiene por la relación Pitagórica: 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 16 − 9 → 𝑐 = ±7 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝐹1( 𝑐, 0) → 𝐹2(−√7,0) 𝑦 𝐹1(√7,0) 𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑦 𝑉1( 𝑎, 0) → 𝑉2 (−4,0) 𝑦 𝑉1(4,0) 𝐵2(−𝑏, 0) 𝑦 𝐵1( 𝑏,0) → 𝐵2(−3,0) 𝑦 𝐵1(3,0) La Excentricidad está dada por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √7 4 La longitud de los lados rectos son: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·9 4 → 𝐿𝑅 = 9 2 Las directrices son 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝐷1: 𝑥 = 0 + 16 √7 · √7 √7 → 𝑥 = 16√7 7 𝐷2: 𝑥 = 0 − 16 √7 · √7 √7 → 𝑥 = − 16√7 7 } La gráfica es la siguiente:
  • 24. 17.-Un arco tiene la forma de una semielipse. Tiene 48 pie de ancho en la base y una altura de 20 pie. ¿Qué anchura tiene el arco a una altura de 10 pie sobre la base? Soluciones: Según el problema tenemos: 𝑥2 (24)2 + 𝑦2 (20)2 = 1 𝑥2 (24)2 + 𝑦2 (20)2 = 1 → 𝑥2 (24)2 + (10)2 (20)2 = 1 → 576(100)+ 400𝑥2 = 230400 576 + 4𝑥2 = 2304 → 4𝑥2 = 1728 → 𝑥2 = 432 → 𝑥 = ±12√3 La anchura de base a una altura de 10 pie es 2x, es decir: 𝐴 = 2𝑥 → 𝐴 = 24√3 𝑝𝑖𝑒 Solución: La anchura del arco de la semielipse a una altura de 10 pies, es de 24√3 𝑝𝑖𝑒𝑠 18.-Halla los ejes mayor y menor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse siguiente: 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒚 𝟐 = 𝟏𝟐. Solución: 3𝑥2 + 6𝑦2 = 12 → 3𝑥2 12 + 6𝑦2 12 = 12 12 → 𝑥2 4 + 𝑦2 2 = 1 ∴ 𝑥2 4 + 𝑦2 2 = 1 (∗) La ecuación (*) es de la forma: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1, que representa un ecuación de la elipse horizontal de centro C(0,0) , donde se revelan las siguientes características: 𝑎2 = 4 → 𝑎 = ±2; 𝑏2 = 2 → 𝑏 = ±√2; el valor “c” se haya mediante la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐2 = 4 − 2 → 𝑐2 = 2 → 𝑐 = ±√2 Longitud del Eje mayor: 2𝑎 → 2(2) = 4 Longitud del Eje menor: 2𝑏 → 2√2 Longitud del foco: 2𝑐 → 2√2 Las coordenadas de los focos y los vértices son: 𝐹2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝐹1( 𝑐, 0) → 𝐹2(−√2,0) 𝑦 𝐹1(√2,0) 𝑉2 (−𝑐, 0) 𝑦 𝑉1( 𝑐,0) → 𝑉2(−2,0) 𝑦 𝑉1(2,0) 48 20 P(x,10) x B(x,0) A(-x,0) x Q(-x,-10) V1 (24,0)V2 (-24,0)
  • 25. 𝐵2(0,−𝑏) 𝑦 𝐵1(0,−𝑏) → 𝐵2(0, −√2) 𝑦 𝐵1(0,√2) La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √2 2 La gráfica de la elipse es: 19.- Obtener la gráfica de la ecuación: 𝟐𝟓𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟐𝟖𝒚 − 𝟏𝟏𝟏𝟗 = 𝟎 Solución: 25𝑥2 + 16𝑦2 + 150𝑥 − 128𝑦 − 1119 = 0 → (25 𝑥2 + 150𝑥) + (16 𝑦2 − 128𝑦) = −1119 (25𝑥2 + 150𝑥) + (16𝑦2 − 128𝑦) = −1119 → 25( 𝑥2 + 6𝑥) + 16( 𝑦2 − 8𝑦) = 1119 25( 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 16( 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16) = 1119 25( 𝑥 + 3)2 − 225 + 16( 𝑦 − 4)2 − 256 = 1119 25( 𝑥 + 3)2 + 16( 𝑦 − 4)2 = 1119 + 225 + 256 25( 𝑥 + 3)2 + 16( 𝑦 − 4)2 = 1600 → 25( 𝑥+3)2 1600 + 16( 𝑦−4)2 1600 = 1600 1600 ( 𝑥 + 3)2 64 + ( 𝑦 − 4)2 100 = 1 Esta ecuación tiene la forma ( 𝑥+3)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1, que representa una ecuación de la elipse vertical de centro C(h,k), cuyas características son las siguientes: C(h,k)C(-3,4)
  • 26. 𝑎2 = 100 → 𝑎 = 10; 𝑏2 = 64 → 𝑏 = 8, el valor de “c” lo hayamos mediante la relación Pitagórica 𝑐2 = 36 → 𝑐 = 6 Las coordenadas de los focos y vértices de la elipse son: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(−3,4 − 6) 𝑦 𝐹1(−3,4 + 6) → 𝐹2(−3, −2) 𝐹1(−3,10) 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(−3,4 − 10) 𝑦 𝑉1(−3,4 + 10) → 𝑉2 (−3,−6) 𝑉1(−3,14) 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−3 − 8,4) 𝐵1(−3 + 8,4) → 𝐵2(−11,4) 𝐵1(5,4) El Latus rectum viene dado por: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2(64) 10 → 𝐿𝑅 = 64 5 Las Directrices son: 𝑦 = 4 ± 𝑎2 𝑐 → { 𝑦 = 4 + 100 6 → 𝑦 = 4 + 50 3 → 𝑦 = 12+50 3 → 𝑦 = + 62 3 𝑦 = 4 − 100 6 → 𝑦 = 4 − 50 3 → 𝑦 = 12−50 3 → 𝑦 = − 38 3 } La excentricidad viene dada por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 6 10 → 𝑒 = 0,6 < 1 La gráfica de
  • 27. 20.- Determinar una ecuación de la elipse que tiene sus focos en (- 8, 2) y ( 4, 2) y para la cual la constante que se mencionó en la Definición 1 0.2. 1 es 18. Trazar la elipse. Solución: Sea F2(-8,2) y F1(4,2), eje mayor es 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎 = 18. Este ejercicio podemos realizarlo de dos (2) formas: (a) Por la definición y (b) por fórmulas Caso (a) Por la definición: Es el conjunto de puntos en un plano para los que la suma de sus distancias desde un punto fijo es una constante. A cada punto fijo se le llama foco. Sea el dibujo siguiente: Por definición tenemos: | 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅| + | 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅| = 2𝑎 y 2a=18, según el problema Donde | 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅| = √( 𝑥 + 8)2 + ( 𝑦 − 2)2 y | 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅| = √( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2 | 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅| + | 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅| = 2𝑎 → | 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅| + | 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅| = 18 √( 𝑥 + 8)2 + ( 𝑦 − 2)2 + √( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2 = 18 √( 𝑥 + 8)2 + ( 𝑦 − 2)2 = 18 − √( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2 (√( 𝑥 + 8)2 + ( 𝑦 − 2)2) 2 = (18 − √( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2) 2 ( 𝑥 + 8)2 + ( 𝑦 − 2)2 = 324 − 36√( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2 + ( 𝑥 − 4)2 + ( 𝑦 − 2)2 720𝑥2 + 2880𝑥 + 1296𝑦2 − 5184𝑦 − 50256 = 0 720( 𝑥2 + 4𝑥) + 1296( 𝑦2 − 4𝑦) = 50256 720( 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4) + 1296( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4) = 50256 720( 𝑥2 + 4𝑥 + 4) − 2880 + 1296( 𝑦2 − 4𝑦 + 4) − 5184 = 50256 720( 𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 1296( 𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 50256 + 2880 + 5184 720( 𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 1296( 𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 58320 720( 𝑥 + 2)2 + 1296( 𝑦 − 2)2 = 58320 → 720( 𝑥+2)2 58320 + 1296( 𝑦−2)2 58320 = 58320 58320 ( 𝑥 + 2)2 81 + ( 𝑦 − 2)2 45 = 1 Como 81>45 y está sobre la variable de las abscisas, la ecuación representa una elipse horizontal de centro C(h,k)=C(-2,2). 𝑎2 = 81 → 𝑎 = 9 ; 𝑏2 = 45 → 𝑏 = 3√5 ; la distancia focal “c” la obtenemos con la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±6 Las coordenadas de los focos y los vértices son: P(x,y) F1 (4,2)F2 (-8,2)
  • 28. 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(−2 − 6,2) 𝑦 𝐹1(−2 + 6,2) → 𝐹2(−8,2) 𝐹1(4,2) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(−2 − 9,2) 𝑦 𝑉1(−2 + 9,2) → 𝑉2(−11,2) 𝑉1(7,2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(−2,2 − 3√5)𝐵1(−2,2 + 3√5) El lado recto viene dado por: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·(45) 9 = 10 → 𝐿𝑅 = 10 Las Directrices son: 𝐷: 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 → { 𝐷1: 𝑥 = 2 + 81 6 = 2 + 27 2 = 31 2 → 𝐷1: 𝑥 = 31 2 𝐷2: 𝑥 = 2 − 81 6 = 2 − 27 2 = − 23 2 → 𝐷2: 𝑥 = − 23 2 } La excentricidad: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 6 9 → 𝑒 = 2 3 La gráfica de la elipse: Caso (a) por fórmulas: Sea F2(-8,2) y F1(4,2), eje mayor es 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎 = 18 Al observar las coordenadas dadas de los focos observamos que la abscisa es la que está variando, esto nos indica que la ecuación de la elipse es horizontal y es de la forma siguiente, es decir: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 de centro C(h,k). Además, por propiedad intrínseca de la elipse, el punto medio es el centro de la elipse, es decir: ℎ = 𝑥2+𝑥1 2 y 𝑘 = 𝑦2 +𝑦1 2 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2 + 𝑥1 2 ; 𝑦2 + 𝑦1 2 ) = 𝐶(−2,2) → ℎ = −2 𝑦 𝑘 = 2 Según el problema se tiene que las coordenadas de los focos se obtiene: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘) → F2(−8,2) y F1(4,2), comparando tenemos:
  • 29. ℎ − 𝑐 = −8 → −2 − 𝑐 = −8 → −𝑐 = −6 → 𝑐 = 6; Además tenemos 2𝑎 = 18 → 𝑎 = 9. Mediante la relación Pitágoras obtenemos “b” es decir: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = √81 − 36 = √45 ∴ 𝑏 = 3√5 Luego la ecuación canónica es: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 → ( 𝑥+2)2 81 + ( 𝑦−2)2 45 = 1 Las coordenadas de los vértices son: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘) → V2(−11,2) y V1(7,2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(−2,2 − 3√5)𝐵1(−2,2 + 3√5) La gráfica de la elipse es: 21.- Obtener la gráfica de la ecuación: 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟓𝟒𝒚 + 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎 Solución: 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟓𝟒𝒚 + 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎 → ( 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙)+ ( 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟓𝟒𝒚) = −𝟏𝟎𝟓 ( 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙) + ( 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟓𝟒𝒚) = 𝟏𝟎𝟓 → 𝟔( 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙) + 𝟗( 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚) = −𝟏𝟎𝟓 𝟔( 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 − 𝟒) + 𝟗( 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟗 − 𝟗) = −𝟏𝟎𝟓 6( 𝑥 − 2)2 − 24 + 9( 𝑦 − 3)2 − 81 = 105 → 6( 𝑥 − 2)2 + 9( 𝑦 − 3)2 = 0 ( 𝑥 − 2)2 1 6 + 9( 𝑦 − 3)2 1 9 = 0 Que representa el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶(2,3), la gráfica es degenerada
  • 30. 22.-Obtenga el centro, vértices, focos, extremos del eje menor de la elipse siguiente 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟓𝟒𝒚 + 𝟓𝟏 = 𝟎y además trazar las curvas y mostrar los focos. Solución: 6𝑥2 + 9𝑦2 − 24𝑥 − 54𝑦 + 51 = 0 → (6𝑥2 − 24𝑥) + (9𝑦2 − 54𝑦) = −51 (6𝑥2 − 24𝑥) + (9𝑦2 − 54𝑦) = −51 → 6( 𝑥2 − 4𝑥) + 9( 𝑦2 − 6𝑦) = −51 6( 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) + 9( 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9) = −51 6( 𝑥 − 2)2 − 24 + 9( 𝑦 − 3)2 − 81 = −51 → 6( 𝑥 − 2)2 + 9( 𝑦 − 3)2 = 54 6( 𝑥 − 2)2 54 + 9( 𝑦 − 3)2 54 = 54 54 → ( 𝑥 − 2)2 9 + ( 𝑦 − 3)2 6 = 1 Como el denominador mayor está en la variable “x”, nos indica que la elipse es horizontal y centro 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(2,3). h=2 y k=3 Esta ecuación de la elipse tiene las siguientes características: 𝑎2 = 9 → 𝑎 = ±3; 𝑏2 = 6 → 𝑏 = ±√6 y 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √3 → 𝑐 = √3 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(2 − √3,3)𝐹1 (2 + √3, 3) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(−1,3) 𝐹1(5,3) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(2,3 − √6)𝐵1(2,3 + √6) El trazado de la curva es:
  • 31. 23.-Obtenga el centro, vértices, focos, extremos del eje menor de la elipse siguiente 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎y además trazar las curvas y mostrar los focos. Solución: 2𝑥2 + 3𝑦2 − 4𝑥 + 12𝑦 + 2 = 0 → 2( 𝑥2 − 2𝑥) + 3( 𝑦2 + 4𝑦) = −2 2( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 3( 𝑦2 + 4𝑦 + 4 − 4) = −2 2( 𝑥 − 1)2 + 3( 𝑦 + 2)2 = −2 + 12 + 2 2( 𝑥−1)2 12 + 3( 𝑦+2)2 12 = 12 12 → ( 𝑥−1)2 6 + ( 𝑦+2)2 4 = 1 ∴ ( 𝑥−1)2 6 + ( 𝑦+2)2 4 = 1 (∗) La ecuación (*) tiene la forma: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1, que representa una elipse horizontal de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(1,−2) → ℎ = 1 𝑦 𝑘 = −2 Con las características siguientes: 𝑎2 = 6 → 𝑎 = ±√6 ; 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2 y “c” lo hayamos mediante la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = √6 − 4 → 𝑐 = ±√2 Las coordenadas de los focos y vértices: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(1 − √2,−2)𝐹1(1 + √2, −2) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(1 − √6, −2)𝑉1(1 + √6,−2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(1, −4) 𝐵1(1,0) La curva de la elipse es:
  • 32. 24.-Obtenga una ecuación del elipse y su trazado, que tiene las propiedades siguientes: Vértices 𝑽 𝟐 (− 𝟓 𝟐 , 𝟎) 𝑽 𝟏( 𝟓 𝟐 , 𝟎) y un Foco 𝑭 𝟏( 𝟑 𝟐 , 𝟎) Solución: Observando las coordenadas del vértice del eje mayor, se ve que varían las abscisas, indicándonos que la elipse es horizontal, su centro es el punto medio de 𝑉2 𝑉1, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2 + 𝑥1 2 ; 𝑦2 + 𝑦1 2 ) → 𝐶 ( − 5 2 + 5 2 2 ; 0 + 0 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶(0,0) Las coordenadas de los vértices son: 𝑽 𝟐 (− 𝟓 𝟐 , 𝟎) 𝑽 𝟏 ( 𝟓 𝟐 , 𝟎) → 𝑽 𝟐(−𝒂, 𝟎) 𝑽 𝟏 𝒂, 𝟎) → 𝒂 = 𝟓 𝟐 Las coordenadas de los focos son: 𝑭 𝟏 ( 𝟑 𝟐 , 𝟎) → 𝒄 = 𝟑 𝟐 “b” lo obtenemos mediante la relación pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = √( 5 2 ) 2 − ( 3 2 ) 2 → 𝑏 = 2 La ecuación es la siguiente: 𝑥2 25 4 + 𝑦2 4 = 1 → 4𝑥2 25 + 𝑦2 4 = 1 → 16𝑥2 + 25𝑦2 = 100 La gráfica es: .
  • 33. 25.- Obtenga una ecuación de la elipse y su trazado, que tiene las propiedades siguientes: Centro en el origen, sus focos sobre el eje x, la longitud del eje mayor igual a tres veces la del eje menor y pasa por el punto (3,3). Además, hallar las coordenadas de los focos y vértices. Solución: C(0,0); sus focos sobre el eje x, lo cual quiere decir, que la elipse es horizontal y su ecuación canónica es: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1; además nos indican que a=3b, y pasa por P(3,3). Al sustituir estos datos en la ecuación canónica obtendremos los valores siguientes, es decir: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → (3)2 𝑎2 + (3)2 ( 𝑎 3 ) 2 = 1 → 9 𝑎2 + 81 𝑎2 = 1 → 𝑎2 (9+81) 𝑎2·𝑎2 = 1 → 90 = 𝑎2 → 𝑎 = ±3√10 Luego 𝑏 = 𝑎 3 → 𝑏 = 3√10 3 → 𝑏 = √10; mediante la relación Pitagórica se obtiene el valor de “c”: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = √90− 10 = √80 → 𝑐 = 4√5 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (−𝑐, 0) 𝐹1( 𝑐, 0) → 𝐹2(−4√5,0) 𝐹1(4√5,0) 𝑉2 (−𝑎, 0) 𝑉1( 𝑎, 0) → 𝑉2 (−3√10,0) 𝑉1(3√10,0) 𝐵2(0,−𝑏) 𝐵1(0, 𝑏) → 𝐵2(0, −√10) 𝐵1(0,√10) La ecuación de la gráfica es: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 𝑥2 90 + 𝑦2 10 = 1 ó 10𝑥2 + 90𝑦2 = 900 La gráfica o trazado de la elipse es:
  • 34. 26.- Obtenga una ecuación de la elipse y su trazado, que tiene las propiedades siguientes: Centro en C(4,-2), un vértice en (9,-2) y un foco (0,-2). Solución: 𝐶(4, −2) → ℎ = 4 𝑦 𝑘 = −2; 𝑉1(9, −2); 𝐹2 (0,−2) . Al observar las coordenadas del centro, el vértice y foco dado se ve que las abscisas son las que varían, por lo cual la elipse es horizontal de centro C(h,k) y su forma canónica es ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 De las coordenadas tenemos: 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉1(9,−2) → ℎ + 𝑎 = 9 → 4 + 𝑎 = 9 → 𝑎 = 5 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(0, −2) → ℎ − 𝑐 = 0 → 4 − 𝑐 = 0 → 𝑐 = 4 Mediante la relación Pitagórica hallamos a “b”: 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3 Entonces la ecuación de la elipse es: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 → ( 𝑥 − 4)2 25 + ( 𝑦 + 2)2 9 = 1 Luego la ecuación de la elipse es: ( 𝑥−4)2 25 + ( 𝑦+2)2 9 = 1 Las restantes coordenadas son: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (4 − 5, −2) → 𝑉2 (−1,−2) 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹1(4 + 4, −2) → 𝐹1 (8,−2) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(4, −2 − 3) 𝐵1(4,−2 + 3) → 𝐵2(4,−5) 𝐵1(4,1) El trazado de la gráfica es:
  • 35. 27.- Obtenga una ecuación de la elipse y su trazado, que tiene las propiedades siguientes: Focos (-1,-1) y (-1,7) y el eje semimayor con longitud de 8 unidades. Solución: 𝐹2 (−1, −1) 𝑦 𝐹1(−1,7) en los focos se observa que es la ordenada es la que varía, es decir, la elipse es vertical, su eje de simetría es el eje Y, además, el punto medio nos indicará que centro tiene, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ) = 𝐶 ( −1+(−1) 2 ; 7+(−1) 2 ) → 𝐶(−1,3) → ℎ = −1 𝑦 𝑘 = 3 Luego, la ecuación de la elipse es vertical con centro en C(h,k) y su ecuación canónica o usual es: ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1 El eje semimayor es a = 8. Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 (−1, −1) 𝑦 𝐹1(−1,7) → 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) de aquí que: 𝑘 − 𝑐 = −1 → 3 − 𝑐 = −1 → −𝑐 = −4 → 𝑐 = 4 Mediante la relación pitagórica se obtiene “b”, es decir: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = ±√𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = ±√64 − 16 = ±√48 → 𝑏 = 4√3 Luego, sustituyendo estos valores en la ecuación canónica, es decir: ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1 → ( 𝑥+1)2 48 + ( 𝑦−3)2 64 = 1 ó 4𝑥2 + 3𝑦2 + 8𝑥 − 18𝑦 − 161 = 0 Las coordenadas de los focos y los vértices son: 𝐹2 (ℎ. 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (−1,3 − 4) 𝑦 𝐹1(−1,3 + 4) → 𝐹2(−1, −1) 𝑦 𝐹1(−1,7) 𝑉2(ℎ. 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(−1,3 − 8) 𝑦 𝑉1(−1,3 + 8) → 𝑉2(−1,−1) 𝑦 𝑉1(−1,11) 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−1 − 4√3,3) 𝑦 𝐵1(−1 + 4√3,3) La ecuación de la elipse es:
  • 36. 28.- Obtenga una ecuación de la elipse y su trazado, que tiene las propiedades siguientes: Focos (2,3) y (2,-7) y la longitud del eje semimenor es dos tercios de la longitud del eje semimayor. Solución: Observando las coordenadas de los focos se ve que la ordenada es la que está variando, lo cual nos indica que la elipse es vertical. También una propiedad intrínseca de la elipse que el centro viene dado por el punto medio tanto de las coordenadas de los focos como de los vértices, es decir: 𝐹2 (2, −7) 𝐹1(2,3) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2+𝑥1 2 ; 𝑦2 +𝑦1 2 ) = 𝐶 ( 2+2 2 ; −7+3 2 ) → 𝐶(2, −2) Donde: h=2 y k=-2; Además, del problema tenemos: 𝑏 = 2 3 𝑎 (1). El modelo de la ecuación de la elipse vertical es: ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1 (2) 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 (3) De las coordenadas focales se obtiene al comparar lo siguiente: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(2, −7) 𝐹1(2,3) De aquí que: 𝑘 − 𝑐 = −7 → −2 − 𝑐 = −7 → −𝑐 = −5 → 𝑐 = 5 ∴ 𝑐 = 5 Sustituyendo en (3) tenemos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑎2 = ( 2 3 𝑎) 2 + (5)2 → 𝑎2 = 4𝑎2 9 + 25 9𝑎2 − 4𝑎2 = 225 → 5𝑎2 = 225 → 𝑎2 = 45 → 𝑎 = 3√5, luego 𝑏 = 2√5 Sustituyendo estos valores en (2) obtenemos: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 = 1 → ( 𝑥 − 2)2 (2√5)2 + ( 𝑦 + 2)2 (3√5)2 = 1 → ( 𝑥 − 2)2 20 + ( 𝑦 + 2)2 45 = 1 La gráfica de la ecuación es:
  • 37. 29.- Obtenga una ecuación de la recta tangente a la elipse 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟕𝟐, en el punto (3,2) Solución: Aplicando el Teorema de la Ecuación de la tangente a la elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) es 𝑥0 𝑥 𝑎2 + 𝑦0 𝑦 𝑏2 = 1. Del problema dado se tiene que: 4𝑥2 + 9𝑦2 = 72 → 4𝑥2 72 + 9𝑦2 72 = 72 72 → 𝑥2 18 + 𝑦2 8 = 1 ∴ 𝑥2 18 + 𝑦2 8 = 1 Aplicando el teorema tenemos: 𝑥0 𝑥 𝑎2 + 𝑦0 𝑦 𝑏2 = 1 → (3)𝑥 18 + (2)𝑦 8 = 1 → 𝑥 6 + 𝑦 4 = 1 𝑥 6 + 𝑦 4 = 1 → 4𝑥 + 6𝑦 = 24 → 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 Luego la recta tangente a la elipse es: 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 La gráfica de la elipse y la recta tangente es:
  • 38. 30.- Halla la ecuación de la recta tangente que pasa por P(4,1) a la elipse 𝒙 𝟐 𝟏𝟖 + 𝒚 𝟐 𝟗 = 𝟏 Solución: En la ecuación de la elipse horizontal dada se observa que 𝑎2 = 18 → 𝑎 = 3√2 y 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3, Aplicando el Teorema anterior se tiene: 𝑥0 𝑥 18 + 𝑦0 𝑦 9 = 1 → (4)𝑥 18 + (1)𝑦 9 = 1 → 2𝑥 9 + 𝑦 9 = 1 → 2𝑥 + 𝑦 = 9 → 2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 Mediante la relación Pitagórica se tiene: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = √18− 9 → 𝑐 = 3 Las coordenadas de los focos y vértices son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2 (−3,0) 𝐹1(3,0) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(−3√2,0) 𝐹1(3√2, 0) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝐵2(0,−3) 𝐵1(0.3) El punto de corte de la recta tangente son: 𝑀 ( 9 2 , 0) 𝑁(0,9)
  • 39. 31.-Hallar la longitud del eje mayor y menor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse siguiente: 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒚 𝟐 = 𝟏𝟐 Solución: De la ecuación de la elipse dada tenemos: 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒚 𝟐 = 𝟏𝟐 3𝑥2 + 6𝑦2 = 12 → 3𝑥2 12 + 6𝑦2 12 = 12 12 → 𝑥2 4 + 𝑦2 2 = 1 ∴ 𝑥2 4 + 𝑦2 2 = 1 Lo cual nos indica que es una elipse horizontal, centro C(h,k) = C(0,0); 𝑎 = 2; 𝑏 = √2 “c” viene dado por la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = √4 − 2 → 𝑐 = √2 Longitud del eje mayor es | 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅| = 2𝑎 → | 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅| = 2(2) → | 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅| = 4 Longitud del eje menor es | 𝐵2 𝐵̅̅̅̅̅| = 2𝑏 → | 𝐵2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅| = 2(√2) → | 𝐵2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅| = 2√2 La excentricidad viene dada por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √2 2 Las coordenadas de los focos y los vértices son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(−√2,0) 𝐹1(√2,0) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−2,0) 𝐹1(2,0) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(0, −√2) 𝐵1(0, √2) La gráfica de la elipse es:
  • 40. 32.-Escribe la ecuación de la elipse centrada en el origen, de semieje mayor 10 y distancia focal 12. Solución: Datos: C(0,0); a=10, 2c = 12. De los datos del problema tenemos: 2c = 12c = 6; a = 10, mediante la relación pitagórica de la elipse tenemos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏 = √100 − 36 → 𝑏 = 8 Como a > b10 > 8 y a > c  10 > 6, se tiene 2 formas de elipse que va depender que elemento va a estar en el denominador, es decir: Si a esta como denominador y tiene como numerador el elemento x, la ecuación de la elipse es horizontal y tiene la forma siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (1) Sustituyendo los valores a, b y c en (1) tenemos: 𝑥2 102 + 𝑦2 82 = 1 → 64𝑥2 + 100𝑦2 = 6400 64 2 100 2 6400 2 32 2 50 2 3200 2 16 2 25 5 1600 2 8 2 5 5 800 2 4 2 1 2252 400 2 2 2 200 2 1 26 100 2 50 2 25 5 5 5 1 2852 64𝑥2 + 100𝑦2 = 6400 → 16𝑥2 + 25𝑦2 = 1600 ∴ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 1600 La gráfica es la siguiente:
  • 41. Si a esta como denominador y tiene como numerador el elemento y, la ecuación de la elipse es vertical y tiene la forma siguiente: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 (2) Sustituyendo los valores a, b y c en (2) tenemos: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 → 𝑥2 82 + 𝑦2 102 = 1 → 100𝑥2 + 64𝑦2 = 6400 64 2 100 2 6400 2 32 2 50 2 3200 2 16 2 25 5 1600 2 8 2 5 5 800 2 4 2 1 400 2 2 2 2252 200 2 1 100 2 26 50 2 25 5 5 5 1 2852 100𝑥2 + 64𝑦2 = 6400 → 25𝑥2 + 16𝑦2 = 1600 ∴ 25𝑥2 + 16𝑦2 = 1600 La gráfica es la siguiente:
  • 42. 33.- La orbita de la tierra alrededor del sol tiene forma elíptica con el sol en un foco y un eje semimayor de longitud de 92,9 millones de millas. Si la distancia entre los focos es de 3,16 millones de millas, determine (a) qué tanto se acerca la Tierra al sol; y (b) la mayor distancia posible entre la Tierra y el Sol. Solución: Según el problema la disposición gráfica es la siguiente: Del caso (a) qué tanto se acerca la Tierra al sol: por ser la figura simétrica respecto a los eje y al origen, tenemos que: Dm (F1V1) = Dm (F2V2)=a-c 𝑫𝒎 ( 𝑭 𝟏 𝑽 𝟏 ) = 𝑫𝒎 ( 𝑭 𝟐 𝑽 𝟐 ) = 𝒂 − 𝒄 → 𝑫𝒎 ( 𝑭 𝟐 𝑽 𝟐 ) = 𝟗𝟐, 𝟗 · 𝟏𝟎 𝟔 − 𝟏, 𝟖 · 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟗𝟏, 𝟏 · 𝟏𝟎 𝟔 La Tierra se acerca al sol a una distancia de 𝑫𝒎 ( 𝑭 𝟐 𝑽 𝟐 ) = 𝟗𝟏, 𝟏 · 𝟏𝟎 𝟔 millones de millas, Del caso (b) la mayor distancia posible entre la Tierra y el Sol: DM (F2V1)=a+c 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐𝐕𝟏) = 𝐚 + 𝐜 → 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐𝐕𝟏) = 𝟗𝟐, 𝟗 · 𝟏𝟎 𝟔 + 𝟏. 𝟖 · 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟗𝟒, 𝟕 · 𝟏𝟎 𝟔 La mayor distancia posible entre la tierra y el sol es de 𝐃𝐌 ( 𝐅𝟐𝐕𝟏) = 𝟗𝟒, 𝟕 · 𝟏𝟎 𝟔 millones de millas C(0,0) a=92,9·106 millas V2 (-a,0) V1 (a,0) F2 (-c,0) F1 (c,0) B1 (0,b) B2 (0,-b)Dm (F2V2) DM (F2V1) 3,16·106 millas Dm (F1V1) c=1,8 ·106 millas
  • 43. 34.- El techo en un vestíbulo de 10m de ancho tiene la forma de una semielipse; además, tiene 9 m de altura en el centro y 6 m de alto en las paredes laterales. Obtenga la altura del techo a 2m de cualquier pared. Solución: Según el problema tenemos la figura siguiente: La cota de solución debe estar en el intervalo 6 ≤ 𝐻 ≤ 9 La ecuación de la elipse horizontal con centro en C(h,k) tiene por forma usual la siguiente: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (1) Donde 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(5,6) → ℎ = 5 𝑦 𝑘 = 6, a=5; b=3 y “c” ó distancia focal se halla mediante relación pitagórica: 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±4. Las coordenadas son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(5 − 4,6) 𝑦 𝐹1(5 + 4,6) → 𝐹2(1,6) 𝑦 𝐹1(9,6) 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(5 − 5,6) 𝑦 𝑉1(5 + 5,6) → 𝑉2 (0,6) 𝑦 𝑉1(10,6) 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(5,6 − 3) 𝑦 𝐵1(5,6 + 3) → 𝐵2(5,3) 𝑦 𝐵1(5,9) Sustituyendo estos puntos dados en (1) más el punto P obtenemos a H. es decir: ( 𝑥−ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 → (2−5)2 25 + ( 𝐻−6)2 9 = 1 → 25𝐻2 − 300𝐻 + 756 = 0 𝐻 = −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 → 𝐻 = 300±√3002 −75600 50 → 𝐻 = 300±120 50 = { 𝐻 = 42 5 ≈ 8,4 𝐻 = 18 5 ≈ 3,6 } Como 𝐻 = 42 5 ≈ 8,4 → 𝐻 = 8,4 es la solución, ya que H está dentro de la cota solución. 10m b=3m 6m a=5m 9m O(0,0) C(5,6) 2m H P(2,H) 𝑭 𝟐(𝟏,𝟔) 𝑭 𝟏(𝟗,𝟔) 𝑽𝟐(𝟎,𝟔) 𝑽𝟏(𝟏𝟎,𝟔) 𝑩 𝟏(𝟓,𝟗) 𝑩 𝟐(𝟓,𝟑) 2m Q(8,H)
  • 44. 35.- El arco de un puente tiene la forma de semielipse que tiene un tramo horizontal de 40 m y una altura de 16m en su centro. ¿Qué altura tiene el arco 9 m a la derecha o a la izquierda del centro? Solución: Sea la figura siguiente: De la figura se observa que es una elipse horizontal con centro C(h,k), luego su ecuación canónica es la siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 Donde tenemos: a=20, b=16, x=9 y y=H, sustituyendo estos valores tenemos: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 92 202 + 𝐻2 162 = 1 → 81 · 256 + 400𝐻2 = 102400 20736 + 400𝐻2 = 102400 → 400𝐻2 = 81664 → 25𝐻2 = 11 · 16 · 29 25𝐻2 = 11 · 16 · 29 → 5𝐻 = 4√11 · 29 → 𝐻 = 4√319 5 400 2 81664 2 200 2 40832 2 100 2 20416 2 50 2 10208 2 25 5 5104 2 5 5 2552 2 1 2452 1276 2 638 2 319 11 29 29 1 242411·29 Luego la altura es: 𝐻 = 4√319 5 ≈ 𝐻 = 14,3 𝑚 V2(-20,0) V1(20,0) C (0,0) 16m P(9,H) B2 (-16,0) B1 (16,0) 16m F2 (-12,0) F1 (12,0) 9m9m H
  • 45. 36.- Un balón tiene 12 plg de longitud y una sección plana que contiene una costura, es una elipse con una longitud del eje menor es 7 plg. Calcule el volumen del balón si la piel es tan rígida que toda sección transversal es un cuadrado. Solución: a=12; b=7, Vol=?; Sección Transversal cuadrado. El dibujo del problema es el siguiente: Sea el dibujo del área transversal cuadrada: El área de la sección transversal que es un cuadrado según el enunciado del problema, viene dada por: 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐿𝑎𝑑𝑜1 𝑥𝐿𝑎𝑑𝑜2 y 𝐿𝑎𝑑𝑜1 = 𝐶1 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅, 𝐿𝑎𝑑𝑜2 = 𝐶2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅. Es decir, 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐶1 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅ x 𝐶2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅ donde la distancia 𝐶1 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅ = 𝐶2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅, es decir, las distancias son iguales por ser la figura una sección cuadrada, entonces: C2B1 = C1B1 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2+( 𝑧2 − 𝑧1)2 C2B1 = C1B1 = √( 7 2 − 0) 2 + (0 − 7 2 ) 2 + (0 − 0)2 → C2B1 = C1B1 = 7 2 √2 La ecuación que representa la figura es una elipsoide vertical cuya ecuación es 𝑧2 𝑎2 + 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑐2 = 1 Y la sección Transversal es una circunferencia en x e y: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 y 𝑟𝑥 = 𝑟𝑦 = 7 2 Y por consiguiente las secciones transversal con z y x ó z e y son elipses de la forma siguientes: 𝒛 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝟏 ó 𝒛 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 Cuyas ecuaciones son: 𝒛 𝟐 𝟑𝟔 + 𝒙 𝟐 𝟒𝟗 𝟒 = 𝟏 ó 𝒛 𝟐 𝟑𝟔 + 𝒚 𝟐 𝟒𝟗 𝟒 = 𝟏 B2(− 𝟕 𝟐 , 𝟎, 𝟎) B1( 𝟕 𝟐 , 𝟎,𝟎) O(𝟎,𝟎) A1(𝟎, 𝟎, 𝟔) A2(𝟎, , 𝟎,−𝟔) X Z C2(𝟎, 𝟎,− 𝟕 𝟐 ) C1(𝟎, 𝟎, 𝟕 ⬚ ) 12plg 6plg 7plg 𝟕 𝟐 plg Y X C1(0, 𝟕 𝟐 , 𝟎) B1( 𝟕 𝟐 , 𝟎, 𝟎) B2(− 𝟕 𝟐 , 𝟎, 𝟎) C2(0,− 𝟕 𝟐 , 𝟎)
  • 46. Luego el área de la sección transversal cuadrada viene dada por: 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 7 2 √2 · 7 2 √2 → 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 49 2 unidades de superficies El volumen del Balón viene dado por la fórmula: 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 · 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 · 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Donde 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 49 2 y 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑎 = 6 Aplicando la fórmula tenemos 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 · 𝐴 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 · 𝑎 → 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 ( 49 2 )(6) → 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 196𝜋 ≈ 615,75 Entendiendo que este es un volumen aproximado y que tendrá un volumen distinto dependiendo alrededor de que eje está rotando. Veamos, razonadamente: si es alrededor del eje X o Y y se mantiene constante Z, las secciones con Z y X, Z e Y son elipses, siendo Z constante y las secciones X e Y son circunferencia en las que el radio es el valor del eje menor y la elipsoide es vertical, que es el caso que nos ocupa. El mismo razonamiento si se toma el eje mayor en forma horizontal. 37.- Un balón tiene 12 plg de longitud y una sección plana que contiene una costura, es una elipse con una longitud del eje menor es 7 plg. Calcule el volumen del balón si la piel es tan rígida que toda sección transversal es un circunferencia. Luego el Volumen del Balón es: 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 · 𝐴 𝑂 · 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 · 𝐴 𝑂 · 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 → 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 4𝜋 3 · 49 4 𝜋 · 6 → 𝑉𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 98𝜋2 ≈ 967,22 B2(− 𝟕 𝟐 , 𝟎, 𝟎) B1( 𝟕 𝟐 , 𝟎,𝟎) O(𝟎,𝟎) A1(𝟎, 𝟎, 𝟔) A2(𝟎, , 𝟎,−𝟔) X Z C2(𝟎, 𝟎,− 𝟕 𝟐 ) C1(𝟎, 𝟎, 𝟕 ⬚ ) 12plg 6plg 7plg 𝟕 𝟐 plg Y X C1(0, 𝟕 𝟐 , 𝟎) B1( 𝟕 𝟐 ,𝟎,𝟎) B2(− 𝟕 𝟐 ,𝟎,𝟎) C2(0,− 𝟕 𝟐 , 𝟎) La sección transversal es la circunferencia, donde el área viene dada por la siguiente fórmula: 𝐴 𝑂 = 𝜋𝑟2 donde 𝑟 = 𝑏 = 7 2 𝐴 𝑂 = 𝜋𝑟2 → 𝐴 𝑂 = 49 4 𝜋
  • 47. 38.- Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟖 = 𝟎 Solución: Completando cuadrado tenemos: 4𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 4𝑦 − 8 = 0 → (4𝑥2 − 8𝑥) + ( 𝑦2 + 4𝑦) = 8 4( 𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 4 + ( 𝑦2 + 4𝑦 + 4) − 4 = 8 → 4( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 + 2)2 = 16 ( 𝑥 − 1)2 4 + ( 𝑦 + 2)2 16 = 1 La ecuación es de la forma ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1 que representa una ecuación canónica o estándar de la elipse vertical de centro C(h,k). El centro 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(1, −2). 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4; 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2; la distancia focal “c”, se obtiene utilizando la relación Pitagórica de la Elipse, es decir: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±√16− 4 → 𝑐 = ±√12 ∴ 𝑐 = ±2√3 Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (1, −2 − 2√2) 𝐹1(1, −2 + 2√2) Las coordenadas de los vértices son: Eje mayor: 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(1, −6) 𝑉1(1,2) Eje menor: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−1,−2) 𝐵1(2,−2) La gráfica de la elipse vertical es:
  • 48. 39.- Graficar la Elipse que tiene por ecuación 25x2 +16y2 +100x − 96y −156 = 0. Indique todos sus elementos. Solución: Juntamos los elementos o factores con misma variables y tratamos de obtener productos o trinomios perfectos, así: 25𝑥2 + 16𝑦2 + 100𝑥 − 96𝑦 − 156 = 0 → (25𝑥2 + 100𝑥) + (16𝑦2 − 96𝑦) = 156 25( 𝑥2 + 4𝑥) + 16( 𝑦2 − 6) = 156 → 25( 𝑥2 + 4𝑥 + 4) − 100 + 16( 𝑦2 − 6𝑦 + 9) − 144 = 156 25( 𝑥 + 2)2 + 16( 𝑦 − 3)2 = 400 → 25( 𝑥+2)2 400 + 16( 𝑦−3)2 400 = 400 400 → ( 𝑥+2)2 16 + ( 𝑦−3)2 25 = 1 Luego nos queda la ecuación resultante siguiente: ( 𝑥+2)2 16 + ( 𝑦−3)2 25 = 1 Que representa una ecuación de la elipse vertical que tiene como características los siguientes elementos:  centro 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶(−2,3) → ℎ = −2 𝑦 𝑘 = 3  Distancia del Eje Mayor: 𝑎2 = 25 → 𝑎 = ±5  Distancia del Eje Menor: 𝑏2 = 16 → 𝑏 = ±4  El valor de la distancia focal viene dado por la relación Pitagórica: 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2, es decir: 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±3  Las coordenadas de los focos son: 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (−2,0) 𝐹1(−2,6)  Las coordenadas de los Vértices Mayores: 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2 (−2, −2) 𝑉1 (−2,8)  Las coordenadas de los vértices Menores: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝐵1(ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−6,3) 𝐵1(2,3)  Distancia Eje Mayor: 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎 → 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 2(5) → 𝑉2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 10  Distancia Eje Menor: 𝐵2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅ = 2𝑏 → 𝐵2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅ = 2(4) → 𝐵2 𝐵1 ̅̅̅̅̅̅̅ = 8  Distancia Eje Focal: 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑐 → 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 2(3) → 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 6  El lado recto viene dado por: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·16 5 → 𝐿𝑅 = 32 5  La excentricidad viene dada por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 3 5 ≈ 0,6 < 1  La gráfica es:
  • 49. 40.- Hallar la ecuación general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas (0,𝟓√ 𝟑) y (0,−𝟓√ 𝟑). Solución: El eje mayor es 2a, luego 2𝑎 = 20 → 𝑎 = 10 El centro es el punto medio de los focos o vértices, en nuestro caso de los focos, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → ℎ = 𝑥2+𝑥1 2 𝑦 𝑘 = 𝑦2 +𝑦1 2 → ℎ = 0+0 2 𝑦 𝑘 = −5√3+5√3 2 → 𝐶(0,0) De las coordenadas focales se observa que las ordenadas es la que varía, por tanto el la elipse es vertical de centro C(0,0) y la forma canónica es: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 Las coordenadas focales son: 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝑘 + 𝑐 = 5√3 → 𝑐 = 5√3 Luego, por la relación pitagórica tenemos a “b”, así: 𝑏 = ±√𝑎2 − 𝑐2 𝑏 = ±√𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = ±√(10)2 − (5√3)2 → 𝑏 = ±√25 𝑦 𝑏2 = 25 Luego la ecuación canónica es: 𝑥2 25 + 𝑦2 100 = 1 Entonces la ecuación general se halla resolviendo dicha ecuación es, decir: 𝑥2 25 + 𝑦2 100 = 1 → 100 𝑥2 +25𝑦2 2500 = 1 → 100𝑥2 + 25𝑦2 = 2500 4𝑥2 + 𝑦2 = 100 → 4𝑥2 + 𝑦2 − 100 = 0 Entonces la ecuación general es: 4𝑥2 + 𝑦2 − 100 = 0 La ecuación es la siguiente:
  • 50. 41.- Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos. Solución: 2a =10a=5; 2b=6b=3; 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = 4 Si el eje X está paralelo o coincide con el eje focal, la elipse es horizontal y tiene por ecuación canónica, tomando:  Como centro C(0,0) → 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1  Como centro C(h,k) → (𝑥−ℎ)2 𝑎2 + (𝑦−𝑘)2 𝑏2 = 1 Si el eje Y está paralelo o coincide con el eje focal. La elipse es vertical y tiene por ecuación canónica, tomando:  Como centro C(0,0) → 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1  Como centro C(h,k) → (𝑥−ℎ)2 𝑏2 + (𝑦−𝑘)2 𝑎2 = 1 En nuestro caso por simplicidad, tomaremos los casos en que el centro C(0,0), es decir: Caso 1: Eje Mayor coincide con Eje X, 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 𝑥2 25 + 𝑦2 9 = 1 La gráfica es la siguiente: Luego: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑑 = √(4 − 0)2 + ( 9 2 − 0) 2 → 𝑑 = 6,02 km
  • 51. Caso 2: Eje Mayor coincide con Eje Y, 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 → 𝑥2 9 + 𝑦2 25 = 1 La gráfica es la siguiente: Luego: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑑 = √( 9 2 − 0)2 + (4 − 0)2 → 𝑑 = 6,02 km Luego, en ambos casos, el carro está a una distancia de 6,02 km a la altura del foco hasta el centro de la pista.
  • 52. 42.- Ejemplo: Llevar la ecuación 9x2 +16y2 + 90x +192y + 657 = 0 a la forma normal. Solución: Debemos reunir los factores de una misma variables y tratar de llevarlas a trinomios notables, es decir: 9𝑥2 + 90𝑥 + 16𝑦2 + 192𝑦 = −657 → 9( 𝑥2 + 10𝑥) + 16( 𝑦2 + 12𝑦) = −657 9( 𝑥2 + 10𝑥 + 25 − 25) + 16( 𝑦2 + 12𝑦 + 36 − 36) = −657 9( 𝑥 + 5)2 − 225 + 16( 𝑦 + 6)2 − 576 = −657 → 9( 𝑥 + 5)2 + 16( 𝑦 + 6)2 = 144 9( 𝑥 + 5)2 144 + 16( 𝑦 + 6)2 144 = 144 144 → ( 𝑥 + 5)2 16 + ( 𝑦 + 6)2 9 = 1 De aquí esta ecuación representa una elipse horizontal ya que el denominar mayor está sobre la variable correspondiente a la abscisa y además su centro es C(-5,-6). Otras características son las siguientes: Eje Mayor: 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4; 𝑏2 = 9 → 𝑏 = ±3; y la distancia focal viene dado por la relación Pitagórica: 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±√7. Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1 (ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(−5 − √7,−6)𝐹1 (−5 + √7, −6) Las coordenadas de los vértices mayores son: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2(−5 − 4, −6) 𝑉1(−5 + 4, −6) → 𝑉2(−9,−6) 𝑉1 (−1,−6) Las coordenadas de los vértices menores son: 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(−5, −9) 𝐵1(−5,−3) El lado recto vale: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·9 4 → 𝐿𝑅 = 9 2 La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √7 4 ≈ 0,66 < 1 La Gráfica de la elipse horizontal es:
  • 53. 43.-Halle la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones: Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4). Solución: Si la elipse coincide con los ejes coordenados, quiere decir, que el centro de la elipse es el origen C(0,0). En cuanto a los puntos pertenecen a la ecuación de la elipse, luego hay dos casos: Caso 1: La elipse es Vertical: El eje focal coincide con el eje y, la ecuación será: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 (∗) Para (4,3) tenemos: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 → 42 𝑏2 + 32 𝑎2 = 1 → 16𝑎2 + 9𝑏2 = 𝑎2 𝑏2 (1) Para (-1,4) tenemos: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 → (−1)2 𝑏2 + 42 𝑎2 = 1 → 𝑎2 + 16𝑏2 = 𝑎2 𝑏2 (2) Igualando (1) con (2) tenemos: 16𝑎2 + 9𝑏2 = 𝑎2 + 16𝑏2 → 16𝑎2 − 𝑎2 = 16𝑏2 − 9𝑏2 → 15𝑎2 = 7𝑏2 𝑎2 = 7 15 𝑏2 𝑦 𝑎 = ±𝑏√ 7 15 (3) Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: 16𝑎2 + 9𝑏2 = 𝑎2 𝑏2 → 16( 7 15 𝑏2 ) + 9𝑏2 = ( 7 15 𝑏2 ) 𝑏2 → 112 15 + 9 = 7 15 𝑏2 112 +135 15 = 7 15 𝑏2 → 247 7 = 𝑏2 → 𝑏 = ±√ 247 7 Sustituyendo este valor en (3) obtenemos: 𝑎2 = 7 15 𝑏2 → 𝑎2 = 7 15 · 247 7 → 𝑎2 = 247 15 → 𝑎 = ±√ 247 15 Sustituyendo estos valores en (*) obtenemos la ecuación de la elipse Vertical siguiente: 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 → 𝑥2 247 7 + 𝑦2 247 15 = 1 → 7𝑥2 247 + 15𝑦2 247 = 1 → 7𝑥2 + 15𝑦2 = 247 Solución caso (1) : 7𝑥2 + 15𝑦2 = 247 Caso 2: La elipse es Horizontal: El eje focal coincide con el eje X, la ecuación será: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 (∗) Para (4,3) tenemos: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 42 𝑎2 + 32 𝑏2 = 1 → 16𝑏2 + 9𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 (1) Para (-1,4) tenemos:
  • 54. 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → (−1)2 𝑎2 + 42 𝑏2 = 1 → 𝑏2 + 16𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 (2) Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro obtenemos: 16𝑏2 + 9𝑎2 𝑏2 + 16𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 → 16𝑏2 + 9𝑎2 𝑏2 + 16𝑎2 = 1 → 16𝑏2 + 9𝑎2 = 𝑏2 + 16𝑎2 15𝑏2 = 7𝑎2 → 𝑎2 = 15 7 𝑏2 → 𝑎 = ±𝑏√ 15 7 (3) Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: 16𝑏2 + 9𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 → 16𝑏2 + 9 ( 15 7 ) 𝑏2 = ( 15 7 𝑏2 ) 𝑏2 → 112+135 7 = 15 7 𝑏2 247 7 = 15 7 𝑏2 → 𝑏2 = 247 15 → 𝑏 = ±√ 247 15 Sustituyendo este valor en (3) obtenemos: 𝑎 = ±𝑏√ 15 7 → 𝑎2 = 15 7 𝑏2 → 𝑎2 = 15 7 · 247 15 → 𝑎2 = 247 7 Sustituyendo estos valores en (*) obtenemos la ecuación de la elipse Vertical siguiente: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 → 𝑥2 247 7 + 𝑦2 247 15 = 1 → 7𝑥2 247 + 15𝑦2 247 = 1 → 7𝑥2 + 15𝑦2 = 247 Solución caso (2): 7𝑥2 + 15𝑦2 = 247
  • 55. 44.-Gráfique el lugar geométrico definido por la ecuación siguiente: (a) 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 (b) 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 Indique sus elementos. Solución: Para el caso (a) 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 Reunimos los términos de una misma variable y tratar hallar el trinomio respectivo, es decir: 4𝑥2 + 9𝑦2 − 16𝑥 + 18𝑦 − 11 = 0 → (4𝑥2 − 16𝑥) + (9𝑦2 + 18𝑦) = 11 (4𝑥2 − 16𝑥) + (9𝑦2 + 18𝑦) = 11 → 4( 𝑥2 − 4𝑥) + 9( 𝑦2 + 2𝑦) = 11 4( 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4) + 9( 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 1) = 11 4( 𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 16 + 9( 𝑦2 + 2𝑦 + 1) − 9 = 11 4( 𝑥 − 2)2 + 9( 𝑦 + 1)2 = 11 + 16 + 9 → 4( 𝑥 − 2)2 + 9( 𝑦 + 1)2 = 36 4( 𝑥−2)2 36 + 9( 𝑦+1)2 36 = 36 36 → ( 𝑥−2)2 9 + ( 𝑦+9)2 4 = 1 Entonces la ecuación canónica es: ( 𝑥−2)2 9 + ( 𝑦+1)2 4 = 1 Como el valor del denominador mayor esta debajo la variable X, indicándonos que la ecuación es una elipse horizontal, con centro C(h,k) de la forma: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 Cuyas características son las siguientes: Centro C(h,k)C(2,-1)  h=2 y k=-1 La distancia del eje mayor es: 𝑎2 = 9 → 𝑎 = ±3 La distancia del eje menor es: 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2 La distancia focal viene dado por la relación Pitagórica: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±√9 − 4 → 𝑐 = ±√5 Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2(2 − √5,−1) 𝐹1(2 + √5, −1) Las coordenadas de los vértices del eje mayor son: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−1,−1) 𝑉1(5,−1) Las coordenadas de los vértices del eje menor son: 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(2,−3) 𝐵1(2,1) La excentricidad viene dado por: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √5 3 → 𝑒 ≈ 0,75 El lado recto viene dado por: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2·4 3 → 𝐿𝑅 = 8 3
  • 56. La gráfica de la elipse vertical es: Para el caso (b) 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟒𝒚 𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎. Reunimos los términos de una misma variable y tratar hallar el trinomio respectivo, es decir: 9x2 + 4y2 + 18x − 16y − 11 = 0 → (9x2 + 18x)+ (4y2 − 16y) = 11 9(x2 + 2x) + 4(y2 − 4y) = 11 → 9(x2 + 2x + 1 − 1) + 4(y2 − 4y ∓ 4 − 4) = 11 9( 𝑥 + 1)2 − 9 + 4( 𝑦 − 2)2 − 16 = 11 → 9( 𝑥 + 1)2 + 4( 𝑦 − 2)2 = 11 + 9 + 16 9( 𝑥 + 1)2 + 4( 𝑦 − 2)2 = 36 → 9( 𝑥 + 1)2 36 + 4( 𝑦 − 2)2 36 = 36 36 → ( 𝑥 + 1)2 4 + ( 𝑦 − 2)2 9 = 1 Entonces la ecuación canónica es: ( 𝑥+1)2 4 + ( 𝑦−2)2 9 = 1 Como el valor del denominador mayor esta debajo la variable Y, indicándonos que la ecuación es una elipse Vertical, con centro C(h,k) de la forma: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑏2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑎2 = 1 Cuyas características son las siguientes: Centro C(h,k)C(-1, 2)  h=-1 y k=2 𝑎2 = 9 → 𝑎 = ±3; 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2;
  • 57. La distancia focal se obtiene mediante la relación pitagórica, es decir: 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑐 = ±√𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = ±√5 Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(−1,2 − √5) 𝐹1(−1,2 + √5) Las coordenadas de los vértices del eje Mayor son: 𝑉2 (ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2 (−1,−1) 𝑉1(−1,5) Las coordenadas de los vértices del eje Menor son: 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝐵1(ℎ+ 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−3,2) 𝐹1(2,2) La excentricidad viene dada por la fórmula: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √5 3 → 𝑒 ≈ 0,75 El lado recto viene dado por la fórmula: 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 8 3 La gráfica de la elipse vertical es:
  • 59. 45.- Si los focos de una elipse son los puntos F1=(-4,3) y F2(2,3) y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse. Solución: pongamos los datos y Construyamos un dibujo aproximado del problema, es decir: Tomando a P(x,y). El perímetro del triángulo es la suma de sus lados, es decir: 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ + 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑃 (1), donde P=16 según el problema dado. De la definición de distancia entre dos puntos: 𝑑12 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅ = √( 𝑥 − (−4))2 + ( 𝑦 − 3)2 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅ = √( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 (2) 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ = √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ = √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 (3) 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = √(−4 − 2)2 + (3 − 3)2 → 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 6 (4) Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1) obtenemos: 𝐹1 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹2 ̅̅̅̅̅ + 𝐹2 𝐹1 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑃 √( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 + √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 + 6 = 16 √( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 + √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 = 10 √( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 = 10 − √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 (0,0) F2 (2,3)F1 (-4,3) C(h,k) P(x,y) 𝐏𝐅 𝟐 ̅̅̅̅̅𝐅 𝟏 𝑷̅̅̅̅̅ 𝐅 𝟏 𝐅 𝟐 ̅̅̅̅̅̅
  • 60. [√( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2] 2 = [10 − √(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2] 2 ( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 = 100 − 20√(2− 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 + (√(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2) 2 ( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 3)2 = 100 − 20√(2− 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 + (2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 5√(2 − 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2 = 22 − 3𝑥 25[(2− 𝑥)2 + (3 − 𝑦)2] = (22 − 3𝑥)2 25[4− 4𝑥 + 𝑥2 + 9 − 6𝑦 + 𝑦2] = 484 − 132𝑥 + 9𝑥2 100 − 100𝑥 + 25𝑥2 + 225 − 150𝑦 + 25𝑦2 = 484 − 132𝑥 + 9𝑥2 16𝑥2 + 32𝑥 + 25𝑦2 − 150𝑦 = 159 Reunir mismas variables y Completar cuadrados para trinomio: 16(𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 16 + 25( 𝑦2 − 6𝑦 + 9) − 225 = 159 16( 𝑥 + 1)2 + 25( 𝑦 − 3)2 = 159 + 225 + 16 → 16( 𝑥 + 1)2 + 25( 𝑦 − 3)2 = 400 Dividimos entre 400 a ambos miembros y obtenemos: 16( 𝑥+1)2 400 + 25( 𝑦−3)2 400 = 400 400 → ( 𝑥+1)2 25 + ( 𝑦−3)2 16 = 1 Entonces la ecuación pedida es la siguiente: ( 𝑥 + 1)2 25 + ( 𝑦 − 3)2 16 = 1
  • 61. 46.- Si los focos de una elipse son los puntos F2=(-4,3) y F1(2,3) y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse. Solución: Sea P(x,y) un punto que pertenece a la elipse; las coordenadas de los focos dados son los siguientes: F2=(-4,3) y F1(2,3). Según el enunciado del problema se tiene que el perímetro formado por los focos y un punto P, que pertenece a la elipse es 16, es decir, que: 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ + 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = 16 (1) . Por definición de la elipse tenemos que 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = 2𝑎 (2), y por definición de distancia entre dos puntos, es decir: 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 (3) tenemos que: 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = √(−4 − 2)2 + (3 − 3)2 → 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = 6 (3) Sustituyendo (3) y (2) en (1) obtenemos: 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ + 𝐹1 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = 16 → 2𝑎 + 6 = 16 → 2𝑎 = 10 → 𝑎 = 5 De los focos dados se observa que la variación se sucede sobre o paralelo al eje X, lo cual indica que la elipse a que se refiere es horizontal, por tanto la ecuación de la elipse a determinar es de la forma siguiente: ( 𝑥 − ℎ)2 𝑎2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (∗) El punto medio de los focos nos da el centro de la elipse, es decir: 𝐶(ℎ, 𝑘) → 𝐶 ( 𝑥2 + 𝑥1 2 , 𝑦2 + 𝑦1 2 ) → 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶( −4 + 2 2 , 3 + 3 2 ) → 𝐶(−1,3) Luego: h=-1 y k=3 Las coordenadas de los focos son 𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ + 𝑎, 𝑘) Comparando las abscisas de las coordenadas de los focos tenemos: hc=4 1 c =  4 c=4+1c = 3  c = 3 Por medio de la relación pitagórica obtenemos a “b”, es decir: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑏 = √ 𝑎2 − 𝑐2 → 𝑏 = √25 − 9 → 𝑏 = ±4 Luego, sustituimos todos estos valores en (*) obtenemos la ecuación de la elipse: ( 𝑥 + 1)2 25 + ( 𝑦 − 3)2 16 = 1
  • 62. 47.- El arco de un puente es semielíptico, con el eje mayor horizontal. La base tiene 30m y su parte más alta con respecto a la tierra es de 10 m. Determine la altura del arco a 6m del centro de la base. Solución: H=?; 2a=30a=15; b=10, CD=6 Por la relación Pitagorica obtenemos a “c” así: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 → 𝑐 = √ 𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = √152 − 102 → 𝑐 = ±5√5 Por definición de la elipse tenemos que: 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = 2𝑎 (∗) Donde: 𝐹2 (−5√5,0); 𝑃(6, 𝐻) 𝑦 𝐹1(5√5) 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ = √(6 − (−5√5)) 2 + ( 𝐻 − 0)2 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ = √(6 + 5√5 2 + 𝐻2) (1) 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = √(5√5− 6) 2 + (0 − 𝐻)2 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = √(5√5 − 6) 2 + 𝐻2 (2) Sustituyendo (1) y (2) en (*) obtenemos: 𝐹2 𝑃̅̅̅̅̅ + 𝑃𝐹1 ̅̅̅̅̅ = 2𝑎 → √(6 + 5√5) 2 + ( 𝐻2)+ √(5√5 − 6) 2 + 𝐻2 = 30 √(5√5 − 6) 2 + 𝐻2 = 30 − √(6 + 5√5) 2 + 𝐻2 [√(5√5 − 6) 2 + 𝐻2] 2 = [30 − √(6 + 5√5)2 + 𝐻2)] 2 (5√5 − 6) 2 + 𝐻2 = 900 − 60√(6 + 5√5) 2 + 𝐻2 + (6 + 5√5) 2 + 𝐻2 125 − 60√5+ 36 + 𝐻2 − 36 − 60√5− 125 − 𝐻2 = 900 − 60√(6 + 5√5) 2 + 𝐻2 60√(6 + 5√5) 2 + 𝐻2 = 900 + 120√5 → √(6 + 5√5) 2 + 𝐻2 = 15 + 2√5 V2(-15,0) V1(15,0) C (0,0) 10m P(6,H) B2 (-10,0) B1 (10,0) 10m F2 (-c,0) F1 (c,0) 6m6m H D(6,H)
  • 63. (√(6 + 5√5) 2 + 𝐻2) 2 = (15 + 2√5) 2 (6 + 5√5) 2 + 𝐻2 = (15 + 2√5) 2 36 + 60√5+ 125 + 𝐻2 = 225 + 60√5 + 20 𝐻2 = 225 + 60√5+ 20 − 36 − 60√5− 125 → 𝐻2 = 84 → 𝐻 = ±2√21 Como la altura es una longitud, el resultado es +, es decir 𝐻 = 2√21 𝑚 48.- Determine los valores de k para que la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝒌 describa una elipse. Solución: 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝒌 → ( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙) + ( 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟏𝟐𝒚) = 𝒌 ( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟐( 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒚) = 𝒌 → ( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏)+ 𝟐( 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒚 + 𝟗 − 𝟗) = 𝒌 ( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 − 𝟏 + 𝟐( 𝒚 + 𝟑) 𝟐 − 𝟏𝟖 = 𝒌 → ( 𝒙+𝟏) 𝟐 −𝒌+𝟏𝟗 + 𝟐( 𝒚+𝟑) 𝟐 −𝒌+𝟏𝟗 = 𝒌+𝟏𝟗 𝒌+𝟏𝟗 ( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝒌 + 𝟏𝟗 + ( 𝒚 + 𝟑) 𝟐 𝒌 + 𝟏𝟗 𝟐 = 𝟏 De aquí se desprende que: 𝑎2 = 𝑘 + 19 → 𝑎 = √ 𝑘 + 19; para que haya solución real y diferente de cero se debe cumplir que: 𝑘 + 19 > 0 → 𝑘 > −19, para que la ecuación dada sea una elipse. Solución: para que la ecuación dada sea una elipse 𝑘 > −19 49.- La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica con excentricidad igual a 0,0172 y el eje mayor de 299·106 Km. Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse, determine la mayor y la menor distancia entre la Tierra y el Sol. Solución: e=0,0172; 2a =299·106 Km, a=149,5·106 Km, El Sol está en uno de los focos, Determinar las distancias mayores y menores entre la Tierra y el Sol. Veamos el dibujo: C(0,0) 149,5·106 Km V2 (-a,0) V1 (a,0) F2 (-c,0) F1 (c,0) B1 (0,b) B2 (0,-b)Dm (F2V2) DM (F2V1)
  • 64. De la excentricidad tenemos: 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑐 = 𝑎 · 𝑒 → 𝑐 = (149,5 · 106 ) · (0,0172) 𝑐 = 2571400 → 𝑐 = 2,5714 · 106 𝑘𝑚 𝑎 = 149,5 · 106 𝐾𝑚 Las coordenadas de los focos son: 𝐹2 = (−2,5714 · 106 , 0) y 𝐹1 = (2,5714 · 106 , 0) Las coordenadas del vértice mayor son: 𝑉2 = (−149,5 · 106 , 0) y 𝑉1 = (149,5 · 106 , 0) Luego la distancia menor esta dada por la distancia: 𝑉2 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑉2 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = √(−2,5714 · 106 − (−149,5 · 106)) 2 + (0 − 0)2 → 𝑉2 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = 146,93 · 106 𝐾𝑚 La distancia menor es: 𝑉2 𝐹2 ̅̅̅̅̅̅ = 146,93 · 106 𝐾𝑚 Luego la distancia mayor esta dada por la distancia 𝐹2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝐹2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = √(149,5 · 106 − (−2,5714 · 106)) 2 + (0 − 0)2 → 𝐹2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 152,07 · 106 𝐾𝑚 La distancia mayor es: 𝐹2 𝑉1 ̅̅̅̅̅̅ = 152,07 · 106 𝐾𝑚 50.- Determine la ecuación del conjunto de puntos P(x,y) tales que la suma de las distancia de P a los puntos (4,0) y (4,0) es 14. Solución: Sea A(4,0), P(x,y) y B(4,0), entonces según el enunciado del problema tenemos que: 𝐴𝑃̅̅̅̅ + 𝑃𝐵̅̅̅̅ = 14 (1). Además, la definición de distancia entre dos puntos son: 𝐴𝑃̅̅̅̅ = √( 𝑥 + 4)2 + ( 𝑦 − 0)2 → 𝐴𝑃̅̅̅̅ = √( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 (2) 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √(4 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 → 𝑃𝐵̅̅̅̅ = √(4 − 𝑥)2 + 𝑦2 (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos: √( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 + √(4 − 𝑥)2 + 𝑦2 = 14 → √(4 − 𝑥)2 + 𝑦2 = 14 − √( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 (√(4 − 𝑥)2 + 𝑦2) 2 = (14 − √( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2) 2 (4 − 𝑥)2 + 𝑦2 = 196 − 28√( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 + ( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 16 − 8𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 196 − 28√( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦2 28√( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 = 196 − 16𝑥 → 7√( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2 = 49 − 4𝑥 (7√( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2) 2 = (49 − 4𝑥)2 → 49[( 𝑥 + 4)2 + 𝑦2] = 2401 − 392𝑥 + 16𝑥2 49[𝑥2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦2 ] = 2401 − 392𝑥 + 16𝑥2 49𝑥2 + 392𝑥 + 784 + 49𝑦2 = 2401 − 392𝑥 + 16𝑥2 33𝑥2 + 49𝑦2 = 1617 → 33𝑥2 1617 + 49𝑦2 1617 = 1617 1617 → 𝑥2 49 + 𝑦2 33 = 1 Solución: La ecuación de la elipse es 𝑥2 49 + 𝑦2 33 = 1
  • 65. 51.- Un avión sigue una trayectoria tal que su distancia a una estación de radar situada en el punto (2,0) es igual a un tercio de su distancia a una carretera que sigue el trayecto de la recta definida por x=-2. Determine la ecuación de la trayectoria que sigue el avión, Solución: Sea el dibujo siguiente Según el problema tenemos: Escriba aquí la ecuación. x=-2 R(2,0) P(x,y) A(-2,0) Y X
  • 66. 52.- Determine la ecuación del lugar geométrico compuesto de puntos P(x,y) que cumplen con la condición de que su distancia al eje “Y” es el doble que su distancia al punto (2,-3). Solución: veamos la figura siguiente: Según el enunciado del problema tenemos: 𝑑( 𝑃, 𝐴) = 2𝑑(𝑃, 𝐵) Donde 𝑑( 𝑃, 𝐴) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 y 𝑑( 𝑃, 𝐵) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 𝑑( 𝑃, 𝐴) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑑( 𝑃, 𝐴) = √( 𝑥 − 0)2 + ( 𝑦 − 𝑦)2 ∴ 𝑑( 𝑃, 𝐴) = 𝑥 𝑑( 𝑃, 𝐵) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 → 𝑑( 𝑃, 𝐵) = √( 𝑥 − 2)2 + ( 𝑦 + 3)2 Luego tenemos: 𝑑( 𝑃, 𝐴) = 2𝑑( 𝑃, 𝐵) → 𝑥 = 2√( 𝑥 − 2)2 + ( 𝑦 + 3)2 → 𝑥2 = 4[( 𝑥 − 2)2 + ( 𝑦 + 3)2] 𝑥2 = 4[ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9] → 𝑥2 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 36 3𝑥2 − 16𝑥 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 52 = 0 Solución: 3𝑥2 − 16𝑥 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 52 = 0 3𝑥2 − 16𝑥 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 52 = 0 → 3[𝑥2 − 16 3 𝑥] + 4[ 𝑦2 + 6𝑦] = −52 3 [𝑥2 − 16 3 𝑥 + 64 9 − 64 9 ] + 4[ 𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 9] = −52 3 (𝑥 − 8 3 ) 2 − 64 3 + 4( 𝑦 + 3)2 − 36 = −52 → 3 (𝑥 − 8 3 ) 2 + 4( 𝑦 + 3)2 = 64 3 − 16 3 (𝑥 − 8 3 ) 2 + 4( 𝑦 + 3)2 = 16 3 → 3( 𝑥− 8 3 ) 2 16 3 + 4( 𝑦+3)2 16 3 = 16 3 16 3 Luego la solución acomodada es ( 𝑥− 8 3 ) 2 16 9 + ( 𝑦+3)2 16 12 = 1 Como 16 9 > 16 12 , la elipse es horizontal y tiene las siguientes características: 𝐶 ( 8 3 , −3) → ℎ = 8 3 𝑦 𝑘 = −3; 𝑎2 = 16 9 → 𝑎 = 4 3 ; 𝑏 = 2 3 √3 Mediante la Relación Pitagórica obtenemos “c”, es decir: 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 → 𝑐 = 2 3 Las coordenadas de los focos son: P(x,y) A(0,y) B(2,-3)
  • 67. 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2 ( 8 3 − 2 3 , −3) 𝐹1 ( 8 3 + 2 3 , −3) → 𝐹2(2,−3) 𝐹1( 10 3 , −3) Las coordenadas de los vértices del eje mayor son: 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 ( 8 3 − 4 3 , −3) 𝑉1( 8 3 + 4 3 , −3) → 𝑉2 ( 4 3 , −3) 𝑉1(4, −3) Las coordenadas de los vértices del eje menor son: 𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2 ( 8 3 , −3 − 2 3 √3) 𝐵1 ( 8 3 ,−3 + 2 3 √3) 𝐵2 ( 8 3 , − 9+2√3 3 ) 𝐵1 ( 8 3 , − 9−2√3 3 ) La excentricidad está dada por 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 2 3 4 3 = 6 12 → 𝑒 = 1 2 ≈ 0,5 El lado recto es 𝐿𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿𝑅 = 2 16 12 4 3 = 16 6 4 3 → 𝐿𝑅 = 2 Cuya grafica es la siguiente:
  • 68. 53.-Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un tercio de su distancia al punto (4,1). Determine la ecuación del lugar geométrico. Solución: Sea P(x,y) el punto que se mueve y pertenece a la trayectoria de la curva, sea además, A(2,-2) y B(4,1). Según el enunciado del problema tenemos que: 𝒅( 𝑷, 𝑨) = 𝟏 𝟑 𝒅( 𝑷, 𝑩) (∗) Pero 𝒅( 𝑷, 𝑨) = √( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐 𝒅( 𝑷, 𝑨) = √( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐 → 𝒅( 𝑷, 𝑨) = √( 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + (−𝟐 − 𝒚) 𝟐 𝒅( 𝑷, 𝑨) = √( 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + (−𝟐 − 𝒚) 𝟐 (𝟏) 𝒅( 𝑷, 𝑩) = √( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐 𝒅( 𝑷, 𝑩) = √( 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏) 𝟐 + ( 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏) 𝟐 → 𝒅( 𝑷, 𝑩) = √( 𝟒 − 𝒙) 𝟐 + ( 𝟏 − 𝒚) 𝟐 𝒅( 𝑷, 𝑩) = √( 𝟒 − 𝒙) 𝟐 + ( 𝟏 − 𝒚) 𝟐 (𝟐) Sustituimos (1) y (2) en (*) tenemos: 𝒅( 𝑷, 𝑨) = 𝟏 𝟑 𝒅( 𝑷, 𝑩) [√( 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + (−𝟐 − 𝒚) 𝟐] 𝟐 = [ 𝟏 𝟑 √( 𝟒 − 𝒙) 𝟐 + ( 𝟏 − 𝒚) 𝟐] 𝟐 4 − 4𝑥 + 𝑥2 + 4 + 2(−2)(−𝑦)+ 𝑦2 = 1 9 [16 − 8𝑥 + 𝑥2 + 1 − 2𝑦 + 𝑦2] 4 − 4𝑥 + 𝑥2 + 4 + 4𝑦 + 𝑦2 = 1 9 [16− 8𝑥 + 𝑥2 + 1 − 2𝑦 + 𝑦2] 36 − 36𝑥 + 9𝑥2 + 36 + 36𝑦 + 9𝑦2 = 16 − 8𝑥 + 𝑥2 + 1 − 2𝑦 + 𝑦2 9𝑥2 − 𝑥2 + 9𝑦2 − 𝑦2 − 36𝑥 + 8𝑥 − 36𝑦 + 2𝑦 + 72 − 17 = 0 8𝑥2 + 8𝑦2 − 28𝑥 + 38𝑦 + 55 = 0 Solución: La ecuación es una elipse: 8𝑥2 + 8𝑦2 − 28𝑥 + 38𝑦 + 55 = 0 Llevando esta ecuación a la forma canónica tenemos: 8𝑥2 + 8𝑦2 − 28𝑥 + 38𝑦 + 55 = 0 8𝑥2 − 28𝑥 + 8𝑦2 + 38𝑦 = −55 → 8(𝑥2 − 7 2 𝑥) + 8 (𝑦2 + 19 4 𝑦) = −55 8 (𝑥2 − 7 2 𝑥 + 49 16 − 49 16 ) + 8(𝑦2 + 19 4 𝑦 + 361 64 − 361 64 ) = −55 8(𝑥 − 7 4 ) 2 − 49 2 + 8(𝑦 + 19 8 ) 2 − 361 8 = −55 8 (𝑥 − 7 4 ) 2 + 8 (𝑦 + 19 8 ) 2 = 117 8 → 8( 𝑥− 7 4 ) 2 117 8 + 8( 𝑦+ 19 8 ) 2 117 8 = 117 8 117 8 ∴ ( 𝑥− 7 4 ) 2 117 64 + ( 𝑦+ 19 8 ) 2 117 64 = 1 El valor de la distancia focal viene dado por la relación Pitagórica 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2, lo cual nos da como c=0, cuya excentricidad es e=0, lo que nos indica que dicha ecuación es una circunferencia que tendría la forma siguiente: (𝑥 − 7 4 ) 2 + (𝑦 + 19 8 ) 2 = 117 64 ; Donde el centro 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶( 7 4 ; − 19 8 ) y radio 𝑟 = √ 117 64
  • 69. 54.- Determine la ecuación de la recta L que contiene al centro de la elipse de ecuación 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟗𝒚 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑𝟔𝒚 + 𝟒 = 𝟎, y contiene al foco de la parábola de ecuación 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎. Solución: La recta L pasa por los puntos 𝐸(𝑥1; 𝑦1) (centro de la elipse) y 𝑃(𝑥2; 𝑦2) (que es el foco de la parábola), donde la ecuación de la elipse es 4𝑥2 + 9𝑦2 + 8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 0 y la ecuación de la parábola es 𝑥2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0. El problema consiste en hallar el centro de la elipse y el foco de la parábola y aplicar la fórmula de la recta que pasa por dos punto, en este caso E y P. De la elipse tenemos: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 0 → (4𝑥2 + 8𝑥) + (9𝑦2 − 36𝑦) = −4 4( 𝑥2 + 2𝑥) + 9( 𝑦2 − 4𝑦) = −4 → 4( 𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) + 9( 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4) = −4 4( 𝑥 + 1)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = −4 + 4 + 36 → 4( 𝑥 + 1)2 + 9( 𝑦 − 2)2 = 36 4( 𝑥+1)2 36 + 9( 𝑦−2)2 36 = 36 36 → ( 𝑥+1)2 9 + ( 𝑦−2)2 4 = 1 Cuya ecuación es una elipse horizontal porque el denominador mayor (9>4) está en relación al Eje X. Entonces el centro de la elipse horizontal es E(-1,2) De la parábola tenemos: 𝑥2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0 → ( 𝑥2 − 6𝑥) = 4𝑦 − 5 → ( 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9) = 4𝑦 − 5 ( 𝑥2 − 6𝑥 + 9) − 9 = 4𝑦 − 5 → ( 𝑥 − 3)2 = 4𝑦 − 5 + 9 Luego la ecuación de la Parábola es P: ( 𝑥 − 3)2 = 4(𝑦 + 1) Esta ecuación es una parábola con eje de simetría el eje Y, por lo que es una parábola vertical que abre hacia arriba ya que p=1>0 (+). El foco de la parábola es el punto P(h,k+p), es decir, P(3,0). Ahora que tenemos los puntos pedidos E(-1,2) y P(3,0) aplicamos la fórmula de la recta que pasa por dos puntos. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 ( 𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 2 = 0−2 3+1 ( 𝑥 + 1) → 𝑦 − 2 = − 1 2 ( 𝑥 + 1) → 2𝑦 − 4 = −𝑥 − 1 → 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 Entonces la recta pedida es x+2y-3=0 Veamos la gráfica que presenta dicha situación: