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Hallar las coordenadasde los vérticesreal e imaginarios,los focos,las directrices,las
asíntotas y la excentricidadde la ecuación:𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 + 𝟗𝟔𝒚− 𝟏𝟑𝟏 = 𝟎
Solución:
4𝑥2 − 12𝑦2 + 24𝑥 + 96𝑦 − 131 = 0
(4𝑥2 + 24𝑥) − (12𝑦2 − 96𝑦) = 131
(4𝑥2 + 24𝑥) − (12𝑦2 − 96𝑦) = 131 → 4( 𝑥2 + 6𝑥) − 12( 𝑦2 − 8𝑦) = 131
4( 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) − 12( 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16) = 131
4( 𝑥 + 3)2 − 36 − 12( 𝑦 − 4)2 + 192 = 131
4( 𝑥 + 3)2 − 12( 𝑦 − 4)2 = 131 + 36 − 192 → 4( 𝑥 + 3)2 − 12( 𝑦 − 4)2 = −25
12( 𝑦 − 4)2 − 4( 𝑥 + 3)2 = 25 →
( 𝒚−𝟒) 𝟐
𝟐𝟓
𝟏𝟐
−
( 𝒙+𝟑) 𝟐
𝟐𝟓
𝟒
= 𝟏
La hipérbolaesvertical de centro 𝐶(−3,4) → 𝒉 = −𝟑; 𝒌 = 𝟒
𝑎2 =
25
12
; 𝑎 = ±
5
√12
→ 𝑎 = ±
5
2√3
= ±
5
6
√3 → 𝒂 = ±
𝟓
𝟔
√ 𝟑; 𝑏2 =
25
4
→ 𝒃 = ±
𝟓
𝟐
.
El valor de “c” se obtiene mediante la relación pitagórica de las hipérbolas, es decir: 𝑐2 =
𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 =
25
12
+
25
4
→ 𝑐2 =
100
12
; 𝒄 = ±
𝟓
𝟑
√ 𝟑
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
5√3
3
5√3
6
→ 𝒆 = 𝟐 > 𝟏
Las coordenadas de los vértices transversales e imaginarios son:
𝑉2(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2 (−3,4 −
5
6
√3) 𝑦 𝑉1 (−3,4 +
5
6
√3)
𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1 (ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2 (−
11
2
, 4) 𝑦 𝐵1 (−
1
2
,4)
Las coordenadas de los focos son:
𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (−3,4 −
5
3
√3) 𝑦 𝐹1 (−3,4 +
5
3
√3)
Las asíntotas son: 𝐴: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎
𝑏
(𝑥 + ℎ)
𝐴2:𝑦 = 𝑘 −
𝑎
𝑏
( 𝑥 − ℎ) → 𝐴2:𝑦 = 4 −
5
6
√3
5
2
( 𝑥 + 3) → 𝑨 𝟐: 𝒚 = 𝟒 − √ 𝟑𝒙 − √ 𝟑
𝐴1: 𝑦 = 𝑘 +
𝑎
𝑏
( 𝑥 − ℎ) → 𝐴1: 𝑦 = 4 +
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√3
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( 𝑥 + 3) → 𝑨 𝟏:𝒚 = 𝟒 + √ 𝟑𝒙 + √ 𝟑
Las directricesson: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
𝐷1: 𝑦 = 𝑘 +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑦 = 4 +
25
12
5
3
√3
=
48+5√3
12
→ 𝐷1: 𝑦 =
48+5√3
12
𝐷2:𝑦 = 𝑘 −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2:𝑦 = 4 −
25
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Hipérbola resuelta. problema 6

  • 1. Hallar las coordenadasde los vérticesreal e imaginarios,los focos,las directrices,las asíntotas y la excentricidadde la ecuación:𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 + 𝟗𝟔𝒚− 𝟏𝟑𝟏 = 𝟎 Solución: 4𝑥2 − 12𝑦2 + 24𝑥 + 96𝑦 − 131 = 0 (4𝑥2 + 24𝑥) − (12𝑦2 − 96𝑦) = 131 (4𝑥2 + 24𝑥) − (12𝑦2 − 96𝑦) = 131 → 4( 𝑥2 + 6𝑥) − 12( 𝑦2 − 8𝑦) = 131 4( 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) − 12( 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16) = 131 4( 𝑥 + 3)2 − 36 − 12( 𝑦 − 4)2 + 192 = 131 4( 𝑥 + 3)2 − 12( 𝑦 − 4)2 = 131 + 36 − 192 → 4( 𝑥 + 3)2 − 12( 𝑦 − 4)2 = −25 12( 𝑦 − 4)2 − 4( 𝑥 + 3)2 = 25 → ( 𝒚−𝟒) 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 − ( 𝒙+𝟑) 𝟐 𝟐𝟓 𝟒 = 𝟏 La hipérbolaesvertical de centro 𝐶(−3,4) → 𝒉 = −𝟑; 𝒌 = 𝟒 𝑎2 = 25 12 ; 𝑎 = ± 5 √12 → 𝑎 = ± 5 2√3 = ± 5 6 √3 → 𝒂 = ± 𝟓 𝟔 √ 𝟑; 𝑏2 = 25 4 → 𝒃 = ± 𝟓 𝟐 . El valor de “c” se obtiene mediante la relación pitagórica de las hipérbolas, es decir: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 = 25 12 + 25 4 → 𝑐2 = 100 12 ; 𝒄 = ± 𝟓 𝟑 √ 𝟑 La excentricidad es 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = 5√3 3 5√3 6 → 𝒆 = 𝟐 > 𝟏 Las coordenadas de los vértices transversales e imaginarios son: 𝑉2(ℎ, 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2 (−3,4 − 5 6 √3) 𝑦 𝑉1 (−3,4 + 5 6 √3) 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1 (ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2 (− 11 2 , 4) 𝑦 𝐵1 (− 1 2 ,4) Las coordenadas de los focos son: 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2 (−3,4 − 5 3 √3) 𝑦 𝐹1 (−3,4 + 5 3 √3) Las asíntotas son: 𝐴: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎 𝑏 (𝑥 + ℎ) 𝐴2:𝑦 = 𝑘 − 𝑎 𝑏 ( 𝑥 − ℎ) → 𝐴2:𝑦 = 4 − 5 6 √3 5 2 ( 𝑥 + 3) → 𝑨 𝟐: 𝒚 = 𝟒 − √ 𝟑𝒙 − √ 𝟑 𝐴1: 𝑦 = 𝑘 + 𝑎 𝑏 ( 𝑥 − ℎ) → 𝐴1: 𝑦 = 4 + 5 6 √3 5 2 ( 𝑥 + 3) → 𝑨 𝟏:𝒚 = 𝟒 + √ 𝟑𝒙 + √ 𝟑 Las directricesson: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 𝐷1: 𝑦 = 𝑘 + 𝑎2 𝑐 → 𝐷1: 𝑦 = 4 + 25 12 5 3 √3 = 48+5√3 12 → 𝐷1: 𝑦 = 48+5√3 12
  • 2. 𝐷2:𝑦 = 𝑘 − 𝑎2 𝑐 → 𝐷2:𝑦 = 4 − 25 12 5 3 √3 = 48−5√3 12 → 𝐷2:𝑦 = 48−5√3 12 La gráficarepresentativadel problemaes: