Problemas resueltos de Geometría Analítica

1. 02
SOLUCIÓN A LOS
PROBLEMAS DE LA
HIPERBÓLA
2.-Hallar la ecuación de una
Hipérbola con centro en el
origen, si una asíntota es la recta
3x+4y=0 y un foco es (0,5).

2. SOLUCIÓN AL PROBLEMA 02
Centro de la hipérbola es el origen, es decir: C(0,0); unos del focos F(0,5) y una de la
asíntota es 3x+4y=0.
Si observamos los dos puntos dados, se observa que la ordenada es la que varía de 0
a 5, es decir, el eje de simetría es «y», por lo tanto la hipérbola es vertical, cuyo
modelo es la ecuación es la siguiente:
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 (1)
Del Foco F1(0,5)c=5, pero el otro Foco es F2(0,-5). Luego tenemos los datos nuevos
siguientes: c=5, a=?, b=?; F1(0,5) y F2(0,-5), V1(0,a) y V2(0,-a); B1(b,0) y B2(-b,0) y el
centro de la hipérbola es C(0,0).
Del modelo de la ecuación de la hipérbola (1), sabemos que las asíntotas pasan por
el centro, es decir, igualamos a cero la ecuación modelo de la hipérbola, luego
tenemos:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 0 →
𝑏2 𝑦2 − 𝑎2 𝑥2
𝑎2 𝑏2
= 0 → 𝑏2
𝑦2
− 𝑎2
𝑥2
= 0 → 𝑦 =
𝑎
𝑏
𝑥
−
𝑎
𝑏
𝑥
(2)

3. De la asíntota tenemos: 3𝑥 + 4𝑦 = 0 → 𝑦 = −
3
4
𝑥 (3), Igualando (2) con (3)
tenemos: −
𝑎
𝑏
𝑥 = −
3
4
𝑥 → 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 4 (4)
Luego a=3; b=4 y c=20. Entonces la ecuación de la hipérbola (1) es:
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 →
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 1 →
16𝑦2−9𝑥2
9·16
= 1 → −9𝑥2 + 16𝑦2 = 144
Solución: La Ecuación de la Hipérbola es:
Ec. Hipérbola Vertical Ordinaria:
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 1
Ec. Hipérbola Vertical General: −9𝑥2 + 16𝑦2 = 144
Solución:
Ecuación General de la Hipérbola:
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 1;
Asíntotas: 𝑦 = ±
3
4
𝑥

4. Para graficar la figura necesitamos las coordenadas de los vértices transversales,
coordenadas de los focos y las coordenadas de los ejes imaginarios, Tenemos los
datos a=3, b=4 y c=5. Las asíntotas 𝑦 = ±
3
4
𝑥. El centro C(h,k)=C(0,0).
Las coordenadas de los vértices del Eje Transversal, Imaginario y las coordenadas
de los focos:
𝑉2 ℎ, 𝑘 − 𝑎 𝑦 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎 → 𝑉2 0, −3 𝑦 𝑉1 0,3
𝐹2 ℎ, 𝑘 − 𝑐 𝑦 𝐹1 ℎ, 𝑘 + 𝑐 → 𝐹2 0, −5 𝑦 𝐹1 0,5
𝐵2 ℎ − 𝑏, 𝑘 𝑦 𝐵1 ℎ + 𝑏, 𝑘 → 𝐵2 −4,0 𝑦 𝐵1 4,0
Pero también se puede utilizar las ecuaciones obtenidas y mediante un software que
nos permite elaborar las gráficas:
Ec. Hipérbola Vertical Ordinaria:
𝑦2
9
−
𝑥2
16
= 1
Ec. Hipérbola Vertical General: −9𝑥2
+ 16𝑦2
= 144

5. LA GRÁFICA DE LA HIPÉRBOLA