Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Teoría de Conjuntos y Ejercicios

4.870 visualizaciones

Publicado el

  • Inicia sesión para ver los comentarios

Teoría de Conjuntos y Ejercicios

  1. 1. New Model International School 1º año 2011 TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS (Texto extraído de ELEMENTOS DE LÓGICAY TEORÍA DE CONJUNTOS de Dra. Patricia Kisbye y Dr. Alejandro L. Tiraboschi )Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. El término conjuntono tiene una definición matemática, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos deconjuntos son el conjunto de los números naturales, de los televisores de la ciudad deCórdoba y de los peces en los océanos. 1. Conjuntos y pertenenciaUn conjunto es una colección de elementos diferentes. Los objetos que integran unconjunto se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son lossiguientes: • El conjunto de los números enteros. • El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9. • El conjunto formado por los estudiantes de primer año del New Model. • El conjunto formado por un punto P  en el plano y las rectas que pasan por él.En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculaspara designar a sus elementos. Si a  es un elemento de un conjunto A  se escribe a  ∈ A  yse lee a pertenece a A o a es un elemento de A. Si a  no es un elemento del conjunto A  seescribe a   ∉ A y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los símbolos N, Z,Q  y R  servirán para denotar a los siguientes conjuntos:N: el conjunto de los números naturales.Z: el conjunto de los números enteros.Q: el conjunto de los números racionales.R: el conjunto de los números reales.Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambigüedades, cuáles sonlos elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de definir un conjunto. Laforma más simple, pero que no siempre es posible, es por extensión, es decir listandotodos los elementos del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:A  =  {1,  2,  3,  5,   π },  U  =  {a, e, i, o, u},  M  =  {Talleres, Instituto, Belgrano}.  El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y loselementos se consideran una sola vez.EJEMPLO 1: {1,  2,  3}, {3,  2,  1} y {1,  1,  2,  2,  2,  3} describen al mismo conjunto.En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y seusan los puntos suspensivos “.  .  .  ” para sugerir los elementos faltantes:EJEMPLO 2: B  =  {3,  5,  7,  .  .  .  }, C  =  {2,  4,  .  .  .  ,   25 }.Sin embargo esta forma de nombrarlos es siempre ambigua, no puede saberse deantemanoqué elementos son los que se han omitido. Por ejemplo, B  podría ser el conjunto de losnúmeros impares, o podría ser el conjunto de los números primos mayores que 2. Delmismo modo, C   podrían ser todos los pares entre 2 y 25  o bien todas las potencias de 2comprendidas entre 2  y   25  .Otra forma de describir un conjunto es por comprensión, es decir enunciando unapropiedad de los elementos que lo integran:A  =  {x  | x  cumple la propiedad P}.   1
  2. 2. New Model International School 1º año 2011Esto se lee: “el conjunto de los x  tales que x  cumple la propiedad P.EJEMPLO 3: El conjunto B   =   {x   / x   es natural e impar y x   ≥ 3} está formado por todoslos números naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se trata de unconjunto con un número infinito de elementos, y por lo tanto no podemos definirlo porextensión.EJEMPLO 4: El conjunto C  =  {x  / x  es natural y 2  ≤ x  ≤ 26 y x  es potencia de 2} es elconjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C  se define tambiénpor extensión como C  =  {2,  4,  8,  16,  32,  64}.  El conjunto vacío es un conjunto sin elementos. Se lo denota con el símbolo ∅ o { }.EJEMPLO 5: El conjunto A   =   {x   / x   >   0   y x   <   0} no tiene elementos, ya que ningúnnúmero es positivo y además negativo. Por lo tanto A   es un conjunto vacío, y lodenotamosA  =  ∅ o A  =  { }.     Diagramas de Venn. Es frecuente utilizar ciertos diagramas, llamados diagramas deVenn, para representar a los conjuntos. Un conjunto se representa con una línea curvacerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, el diagrama de Vennpara el conjunto A  =  {a,  b,  c,  d} es    FIGURA 1. Representación del conjunto A  mediante un diagrama de Venn. 2. SubconjuntosConsideremos los conjuntos A  =  {1,  3,  5},  y B  =  {1,  2,  3,  4,  5}.Como podemos ver, los elementos de A: 1, 2 y 3, también son elementos de B. Decimosentonces que A  es un subconjunto de B, o que A  está incluido en B.Un conjunto A   es un subconjunto del conjunto B   si todo elemento de A   es tambiénelemento de B.Se denota A  ⊆ B  y se dice que A  está incluido o contenido en B.En particular, todo conjunto está incluido en sí mismo.EJEMPLO 6: A  =  {1,  3,  5} está incluido en A, y lo escribimos A  ⊆ A.Dos conjuntos A  y B  son iguales si los elementos de A  son elementos de B, y viceversa.Es decir, si A  ⊆ B  y también B  ⊆ A.Dos conjuntos A  y B  son distintos si no son iguales.Notemos que dos conjuntos pueden ser distintos pero tener uno o más elementos encomún.Por ejemplo, A   =   {2,   4} y B   =   {1,   4,   6} son distintos pero el 4   es un elemento deambos conjuntos. 2
  3. 3. New Model International School 1º año 2011Dos conjuntos se dicen disjuntos si no tienen ningún elemento en común.EJEMPLO 8: Los conjuntos C  =  {2,  4,  6} y D  =  {1,  3,  5,  7} son disjuntos.Si A  es un subconjunto de B, pero distinto de B, se dice que A  es un subconjunto propiode B. La notación A  ⊆ B  es correcta, pero si queremos resaltar que A  y B  son distintos,escribimos A  ⊂ B.  EJEMPLO 9: Consideremos los conjuntos A  =  {x  / x  es un natural par y x  <  10}, yB   =   {2,   4,   6,   8,   10}. En este caso, todo elemento de A   es un elemento de B, y por lotanto A  es un subconjunto de B: A  ⊆ B. Además se cumple que 10  pertenece a B  perono pertenece a A, por lo cual A  y B  no son los mismos conjuntos. Decimos entonces queA  es un subconjunto propio de B  y lo escribimos A  ⊂ B.EJEMPLO 10: El conjunto N  de los números naturales es un subconjunto del conjunto Z  de los números enteros, y se escribe N   ⊆ Z. Además N   es un subconjunto propio de Z,ya que   existen números enteros que no son naturales. Denotamos esto escribiendo N   ⊂ Z.El conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos. Es decir que para todo conjuntoA  se verifica que ∅ ⊆ A.  Si además A  no es el conjunto vacío, podemos afirmar que ∅ ⊂ A. El conjunto UniversalNo necesariamente los elementos de un conjunto son de la misma naturaleza, porejemplo, el conjunto C formado por la Torre Eiffel y el número π es válido comoconjunto. Sin embargo, es muy poco interesante en la teoría.En general nos referiremos a conjuntos cuyos elementos tienen una propiedad encomún.EJEMPLO 15: A  =  {x  / x  es un natural par},  B  =  {x  / x  es un natural mayor que 4} yC  =  {x  / x  es un natural menor que 23}, son conjuntos cuyos elementos son númerosnaturales.EJEMPLO 16: Los elementos de los conjuntos X, Y  y Z,X  =  {cuadrado, rectángulo, rombo},  Y  =  {triángulo, hexágono} yZ  =  {decágono, eneágono, octógono, heptágono} tienen la propiedad de ser polígonos. Resulta entonces conveniente considerar un conjunto que contenga a todos losconjuntos que se estén considerando. A dicho conjunto se lo denomina conjuntouniversal, y lo denotamos con la letra U.En el Ejemplo 15 todos los conjuntos son subconjuntos de N, y podemos considerar a N  como conjunto universal:  U. =  N.  Notemos que A, B  y C  son también subconjuntos del conjunto Z  de números enteros, porlo que también podría fijarse U. =   Z. Por ello siempre debe dejarse expresadoexplícitamente el conjunto universal que se desee considerar.EJEMPLO 17: Si denotamos con P  al conjunto formado por todos los polígonos, entoncesen el Ejemplo 16 podemos tomar U. =  P. Pero también podemos considerar 3
  4. 4. New Model International School 1º año 2011U. =   {cuadrado, rectángulo, rombo, triángulo, hexágono, decágono, eneágono,octógono, heptágono}. FIGURA 2. Representación del conjunto A  mediante un diagrama de Venn.En un diagrama de Venn el conjunto universal se denota con un rectángulo, y elconjunto que nos interesa representar, digamos A, se denota con una curva cerradadentro del rectángulo.Una de las propiedades más útiles de los diagramas de Venn es que dan una formagráfica de visualizar las relaciones entre conjuntos, por ejemplo, en la Figura 3representamos que todo elemento de B, es también elemento de A. FIGURA 3. Los elementos de B  también pertenecen a A.Cuando en un diagrama de Venn se desea enfatizar un conjunto, es usual sombrear elinterior de la curva cerrada que lo denota.2.3. Cardinalidad: Si un conjunto A   tiene una cantidad finita de elementos, diremosque es un conjunto finito y llamaremos cardinal de A  al número de elementos de A. Elcardinal del conjunto vacío es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita deelementos diremos que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito. En todos loscasos, el cardinal del conjunto A se denota |A| o también #A.EJEMPLO 18:1. Si A  =  {a,  b,  c,  5,  4}, entonces |A| =  5.2. Si B  =  {n  / n  ∈ N  y n 2 =  2}, entonces |B| =  0.3. Si C  =  {a,  a,  b}, entonces |C| =  2.4. |Z| es infinito. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSAsí como pueden definirse diversas operaciones entre números, también existenoperaciones entre conjuntos. El resultado de una operación entre conjuntos es a su vezun conjunto.Fijemos un conjunto universal U y consideremos todos los subconjuntos de U. Entreestos 4
  5. 5. New Model International School 1º año 2011conjuntos están definidas las operaciones de unión, intersección y diferencia. Además,para cada conjunto se define el complemento. El resultado de cada una de estasoperaciones es un subconjunto de U.1. La unión de conjuntosSean A   y B   dos conjuntos. La unión A   ∪ B   de A   con B   es el conjunto cuyos elementospertenecen a A  o pertenecen a B.Por comprensión, la unión entre los conjuntos A  y B  se define así:A  ∪ B  =  {x  /x  ∈ A  o x  ∈ B} En particular, A  y B  son subconjuntos de A  ∪ B, pues todos los elementos de A  y todoslos elementos de B  pertenecen a A  ∪ B.En un diagrama de Venn representamos la unión de dos conjuntos sombreando el áreaque cubren ambos conjuntos (ver Figura 1).EJEMPLO 2.1. Si A  =  {1,  3,  5} y B  =  {2,  5}, entoncesA  ∪ B  =  {1,  2,  3,  5}.  Si A  es un subconjunto de B, esto es, A  ⊆ B, entonces A  ∪ B  =  B. FIGURA 1. La unión de los conjuntos A  y B.EJEMPLO 2.3. Si A  =  {1,  4,  9} y B  =  {1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9}, entonces A  ∪ B  =  {1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9}.EJEMPLO 2.4. Si A  =  {x  / x  es múltiplo de 5} y B  =  {x  | x  es múltiplo de 10}, entoncesA   ∪ B   =   {x   / x   es múltiplo de 5,   dado que todo número múltiplo de 10   es tambiénmúltiplo de 5. En este caso, B  ⊆ A, por lo tanto A U B = A  La unión de un conjunto A  con el conjunto vacío es el mismo conjunto A, puesto que ∅ no tiene elementos: A  ∪ ∅ =  A.La unión de un conjunto A  con A  es el mismo conjunto A: A  ∪ A  =  A.2. La intersecciónSean A   y B   dos conjuntos. La intersección A   ∩ B   entre A   y B   es el conjunto cuyoselementos pertenecen a A  y pertenecen a B.Por comprensión, la intersección de los conjuntos A  y B  se define comoA  ∩ B  =  {x  / x  ∈ A  y x  ∈ B}.EJEMPLO 2.5. Sean U =  N, A  =  {n  / n  ≤ 11}, P  =  {n  / n  es primo} yB  =  {n  /n  es impar y n  ≤ 20}, entonces A  ∩ B  =  {1,  3,  5,  7,  9,  11} A  ∩ P  =  {2,  3,  5,  7,  11} B  ∩ P  =  {3,  5,  7,  11,  13,  17,  19} 5
  6. 6. New Model International School 1º año 2011Si A  es un subconjunto de B, esto es A  ⊆ B, entonces A  ∩ B  =  A. En particular,A  ∩ A  =  A    y A  ∩ ∅ =  ∅.En particular, dos conjuntos son disjuntos si y sólo si su intersección es vacía.En un diagrama de Venn la intersección de dos conjuntos se representa por la regiónque está determinada por el interior de las curvas cerradas que determinan los conjuntos.Esta región se la destaca con un sombreado o subrayado (ver Figura 2). Obsérvese quela intersección de dos conjuntos es vacía si y solo si no hay elementos comunes entreellos. Esto se grafica con dos curvas cerradas que no se cortan. FIGURA 2. Intersección de A  y B.Complemento de un conjuntoFijemos U un conjunto universal y A  un subconjunto de U.El complemento de A  con respecto a U es el conjunto cuyos elementos son todos loselementos de U que no pertenecen a A  y se denota por A´En símbolos, A´  =  {x  ∈U / x   ∉ A}.En un diagrama de Venn el complemento de A  es la región exterior de la curva cerradaque determina A  y lo destacamos con un subrayado o sombreado. FIGURA 3. Complemento de A.EJEMPLO 2.8. Si U =   N   y P   es el conjunto de los números pares, entonces P´ es elconjunto de los números naturales impares.EJEMPLO 2.9. Si U es un plano, y P  es un punto en el plano, entonces P´  es el plano sinel punto P.EJEMPLO 2.10. Sea U =  Z. Entonces Z´ =  ∅.4. Diferencia 6
  7. 7. New Model International School 1º año 2011Sean A   y B   dos conjuntos. La diferencia A   − B   entre A   y B es el conjunto de todos loselementos que pertenecen a A  y no pertenecen a B. A  − B  =  {x  / x  ∈ A  y x ∉ B}Observemos que A´ =  U − A.En un diagrama de Venn representamos la diferencia entre los conjuntos A   y B,destacando la región que es interior a A  y exterior a B  (ver Figura 4). FIGURA 4. Diferencia entre el conjunto A  y el conjunto B.EJEMPLO 2.11. Z  − N  =  {n  / n  ∈ Z  y n  ≤ 0}.EJEMPLO 2.12. {1,  2,  3,  4,  5} − {2,  4,  6,  8} =  {1,  3,  5} 7
  8. 8. New Model International School 1º año 2011 EJERCITACIÓN DE CONJUNTOS1) Definir por extensión los siguientes conjuntos a) El conjunto de los días de la semana b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 152) Definir por comprensión los siguientes conjuntos: a) A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, do min go} b) B = { primavera, verano, otoño, invierno} c) C = {3, 4,5,6,7,8,9,10} d) D = {g , o, t , r , i}3) ¿Están bien definidos los siguientes conjuntos? (Tené cuidado, si la propiedad enunciada no es cumplida por ningún elemento no quiere decir que esté mal definido sino que es vacío) a) A = {x / x es un ciudadano argentino } b) B = {x / x es un triángulo de 4 lados} c) C = {x / x es un ave veloz} d) D = {x / x es un número impar} e) E = {un lápiz rojo, un lapiz azul, un lápiz verde} f) F = {x / x es un ser extraterrestre} g) G = {6 animales del zoológico}4) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } b) y { o, p, q, x } c) x { o, p, q, y } d) Perú { países de Europa } e) Amazonas { ríos de América }5) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} ..... b) B = { vocales de la palabra vals} ..... c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ..... d) D = { x / x es un habitante de la luna} ..... e) E = { x N / x < 15} ..... f) F = { x N y 5 < x < 5 } ..... g) G = { x N y x > 15} ..... h) H = { x N y x = x} ..... 8
  9. 9. New Model International School 1º año 2011 i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} ..... j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } ..... k)6) Dado el siguiente conjunto decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: A={1, 2, 4,a, b, c} a) a∈A c) ∅∈A b) 3∈A d) A∈A7) Explica la diferencia entre estas dos expresiones: a∈B y {a} ⊂ B8) Expresar este conjunto por EXTENSIÓN: B={x / x∈Z, x 2 < 12 }9) Escribe el signo = o ≠ según corresponda: a) A = {x / x es un número natural menor que 5} B = {x / x es un número natural menor o igual que 4} b) C = {1, 2,3, 4,5,8} D = {1, 2, 4,3,8,5} c) E = {a, b, c, d } F = {a, b, c, d , a}10) Indica un conjunto Universal conveniente en cada caso A = {Alumos de ingeniería} a) B = {Alumos de medicina } C = {Tandil,Olavarría,Balcarce} b) D = {Mar del Plata , Miramar, Necochea} E = {Trenque Lauque, San Antonio de Areco}11) Dados los conjuntos : A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} B={x / x∈Z, |x|<4} ¿Es cierto que B⊂A?12) Define el complemento de cada conjunto U = {casas de diez o más pisos} a) A = {casas de más de diez pisos} U = {medios de transporte} b) B = {medios de transporte aéreos} 9
  10. 10. New Model International School 1º año 201113) Dado el siguiente diagrama de Venn:Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a) A⊂Bb) B⊂Ac) C⊂Bd) B⊂Ce) x∈B14) Dibujar un diagrama de Venn sabiendo que: A⊂B, A⊂C, B ⊄ C , C ⊄ B15) Escribe A ⊆ B o B ⊆ A según corresponda. En los casos que no sea posible indicalo. A = {x / x es una consonante} a) B = {x / x es una letra del abecedario} A = {x / x es un número natural} b) B = {x / x es un número par} A = {x / x es un múltiplo de 3} c) B = {x / x es un múltiplo de 6} A = {x / x es un triángulo equilátero} d) B = {x / x es un triángulo isósceles} A = {x / x es un número natural comprendido entre 2 y 5} e) B = {3;4}16) Dados los siguientes conjuntos: U= {a, b, c, d, e, f, g, h, k} A= {a, b, c, g} , B={d, e, f, g} , C={a, c, f} , D={f, h, k}Hallar: a) C-B b) A ∩ (B∪C) ( c) A∪ B ´ ) d) A´∩B´ e) (C − D ) ∪ ( D − C ) 10
  11. 11. New Model International School 1º año 201117) Dados los conjuntos: U = {1, 2,3, 4,5} A= {1,2,3,4} B= {3,4,5} a) Determina por extensión: A∪ B; A ∩ B; A-B; A´; B´ b) Dibuja el diagrama y ubica los números18) Calcula la unión entre A y B: a) A = {a, e, o} B= {i,u,e} b) A = {1,3,5,9,10} B= {1,3,4,9} c) A = {x / x es un número natural} B = {x / x es un número impar}19) Calcular la intersección entre A y B: a) A = {1,3,5, 4} B= {1,2,3,5} b) A = {0,1,3, 2} B= {4,5} c) A = {x / x es un número natural} B= {x/x es un número par} ( )20) Dibuja en un diagrama y sombrea la región que representa: A∩ B ´21) Dibuja en un diagrama y sombrea la región que representa: ( A − B)´22) Dados los conjuntos: A = {3, 4,5} B= {5,6,7,8} C= {1,3,5,7} Define por extensión: a. A ∩ B ∩ C b. A ∪ B ∪ C c. ( A − B ) − C d. ( A ∩ B) − C e. ( A ∪ B) − C f. (B ∩C) − A Dibuja el diagrama y ubica los números23) Escribe la expresión que representa este diagrama de Venn24) Te informan que: A ∩ B ∩ C = {a} ( A-B) − C = {x} A ∩ C = {a; m} ( B − A) − C = { y; z} (C-A ) − B = {k} A ∩ B = {a; b} B ∩ C= {a;c;d}a) Dibuja el esquema y ubica los elementosb) Define por extensión los conjuntos A, B y C. 11
  12. 12. New Model International School 1º año 201125) Expresa la zona sombreada como operación entre los conjuntos A, B y Ca) b)c) d)26) Representa cada operación en un diagrama y sombrea la región correspondiente a) ( A − B ) ∩ C b) A − ( B ∩ C ) c) A − ( A ∩ B ∩ C ) d) ( A ∪ B) − C e) A ∪ ( B − C ) f) ( A − B ) ∪ ( B − C )27) Coloca paréntesis para que la parte sombreada corresponda con la expresión simbólicaa) A − B ∪ C b) A − B ∪ C − Bc) A ∪ B ∩ C 12

×