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CONTROL DE LEVITACION NEUMATICA

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CONTROL DE LEVITACION NEUMATICA

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Universidad Cat´olica
“Nuestra Se˜nora de la Asunci´on”
Sede Regional Asunci´on
Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Departamento de Ingenier´ıa
Electr´onica e Inform´atica
Carrera de Ingenier´ıa Electr´onica
Automatizaci´on
Ing. Enrique Vargas PhD.
Paredes, Javier <javier.90@gmail.com>
Ram´ırez, Pedro <pedroramirez22@gmail.com>
TRABAJO FINAL
CONTROL DE LEVITACI´ON NEUM´ATICA
11 de febrero de 2014
´INDICE 2
´Indice
1. Objetivo General 3
1.1. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Introducci´on 3
3. El flujo de los fluidos 3
3.1. La tasa de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2. Ecuaci´on de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3. N´umero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento . . . . . . . . 4
3.3.1. Flujo Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.2. Flujo Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.3. N´umero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.4. N´umero de Reynolds Cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4. Fuerzas debido a los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4.1. Fuerza de Arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4.2. Ecuaci´on Integrodiferencial de la Planta . . . . . . . . . . 6
3.4.3. Caracterizaci´on de Constantes de la Ecuaci´on no−lineal . 7
3.4.4. Soluci´on de la Ecuaci´on no−Lineal con Matlab . . . . . . 9
4. Control Lugar de Ra´ıces 10
4.1. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2. Simulaci´on de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 14
4.4. Discusi´on sobre el valor del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . 15
4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Control PID 16
5.1. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2. Sinton´ıa del Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3. Simulaci´on de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.4. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 19
5.5. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Control DeatBeat 20
6.1. Dise˜no del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2. Implementaci´on del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Control v´ıa ubicaci´on de polos 22
7.1. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Objetivo General 3
8. Control Estimador de Predicci´on 23
8.1. Estimador de Predicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3. Implementaci´on del estimador de predicci´on . . . . . . . . . . . . 25
8.4. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9. Control Kalman 26
9.1. Procedimiento de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.2. Implementaci´on del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. Objetivo General
Comprender e implementar los controles cl´asicos y modernos.
1.1. Objetivos Espec´ıficos
Modelado de una planta de levitaci´on neum´atica.
Aplicar los controles cl´asicos y modernos para mejorar las respuestas a
excitaciones.
2. Introducci´on
El efecto de que un cuerpo se suspenda en el aire sin contacto f´ısico se
denomina levitaci´on, la cual es el resultado de una fuerza que contrarresta el peso
del cuerpo u objeto levitante. En este caso de estudio, se tratar´a la levitaci´on
neum´atica. Esta clase de levitaci´on opera las variaciones en la presi´on ejercida
por gases, en este caso el aire, para mantener objetos suspendidos en posici´on
estable. Esta levitaci´on debe garantizar los siguientes efectos sobre el objeto:
Una fuerza que contrarreste el peso del cuerpo (la fuerza de gravedad que act´ua
sobre el objeto que levita) y para que se halle en suspensi´on estable, es necesaria
una fuerza adicional que contrarreste cada peque˜no desplazamiento del objeto
en levitaci´on.
3. El flujo de los fluidos
3.1. La tasa de flujo
La cantidad de fluido que pasa por un sistema por unidad de tiempo puede
expresarse por medio de Q, El flujo volum´etrico es el volumen de fluido
que circula en una secci´on por unidad de tiempo, y se calcula con la siguiente
ecuaci´on:
Q = Aυ (1)
3.2 Ecuaci´on de Continuidad 4
donde A es el ´area de la secci´on y υ es la velocidad promedio del flujo.
3.2. Ecuaci´on de Continuidad
El m´etodo de c´alculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerrados
depende del principio de continuidad. La cantidad de fluido que circula a trav´es
de cualquier secci´on en cierta cantidad de tiempo es constante, es decir:
Figura 1: Continuidad dentro de un tubo de radio variable suponiendo que el
fluido es incomprensible(ρ1 = ρ2).
ρ1A1υ1 = ρ2A2υ2 (2)
Es v´alido para todos los fluidos, ya sean gases o l´ıquidos.
3.3. N´umero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento
3.3.1. Flujo Laminar
Es cuando el flujo parece suave y estable. La corriente tiene un di´ametro casi
uniforme y hay poca o ninguna evidencia de que sus distintas partes se mezclan.
A ´este se le denomina flujo laminar, t´ermino derivado de la palabra l´amina1
,
debido a que el fluido parece moverse en l´aminas continuas con poca o ning´una
mezcla de una capa con las adyacentes.
3.3.2. Flujo Turbulento
Ocurre cuando los elementos del fluido parecen mezclarse en forma ca´otica
dentro de la corriente. ´Esta es la descripci´on general de un flujo turbulento.
3.3.3. N´umero de Reynolds
El comportamiento de un fluido, en particular en lo que se refiere a las
p´erdidas de energ´ıa, depende de que el flujo sea laminar o turbulento.
Se demuestra en forma experimental y se verifica de modo anal´ıtico, que el
car´acter del flujo en un tubo redondo depende de cuatro variables: la densidad
del fluido ρ, su viscosidad η, el di´ametro del tubo D y la velocidad promedio
del flujo υ.
1Layer
3.4 Fuerzas debido a los fluidos 5
Osbome Reynolds fue el primero en demostrar que es posible pronosticar el
flujo laminar o turbulento si se conoce la magnitud de un n´umero adimensional,
al que hoy se le denomina n´umero de Reynolds (NR). La ecuaci´on siguiente
muestra la definici´on b´asica del n´umero de Reynolds:
NR =
υDρ
η
=
υD
ν
(3)
donde, υ es la velocidad media del flujo, D el di´ametro del tubo, ρ es la
densidad del fluido, η es la viscosidad del fluido y ν es la viscosidad cinem´atica
del fluido.
Los flujos tienen n´umeros de Reynolds grandes debido a una velocidad el-
evada y/o una viscosidad baja, y tienden a ser turbulentos. Aquellos fluidos
con viscosidad alta y o que se mueven a velocidades bajas, tendr´an n´umeros de
Reynolds bajos y tender´an a comportarse en forma laminar.
3.3.4. N´umero de Reynolds Cr´ıticos
Si el n´umero de Reynolds para el flujo es menor que 2000, ´este ser´a laminar.
Si el n´umero de Reynolds es mayor que 4000, el flujo ser´a turbulento. En el
rango de n´umeros de Reynolds entre 2000 y 4000 es imposible predecir qu´e flujo
existe; por tanto, le denominaremos regi´on cr´ıtica.
Supondremos lo siguiente:
Si NR < 2000, el flujo es laminar.
Si NR > 4000, el flujo es turbulento.
3.4. Fuerzas debido a los fluidos
3.4.1. Fuerza de Arrastre
Arrastre es la fuerza sobre un cuerpo ocasionada por el fluido que opone
resistencia en la direcci´on del movimiento del cuerpo.
Por lo general, se expresan las fuerzas de arrastre en la forma:
FD = CD(ρυ2
/2)A (4)
Los t´erminos en esta ecuaci´on son los siguientes:
CD es el coeficiente de arrastre. Se trata de un n´umero adimensional que
depende de la forma del cuerpo y su orientaci´on con respecto a la corriente de
fluido.
ρ es la densidad del fluido. Debido a que la densidad de los liquidos es
bastante mayor que la de un gas, el orden general de magnitud de las fuerzas
de arrastre sobre objetos que se mueven en el agua es mucho mas grande que
para los objetos que se mueven en el aire. La compresibilidad del aire afecta un
poco su densidad.
3.4 Fuerzas debido a los fluidos 6
υ es la velocidad de la corriente libre del fluido en relacion con el
cuerpo. En general, no importa si el que se mueve es el cuerpo o el fluido.
A es alg´un area caracter´ıstica del cuerpo. El ´area de inter´es sea superficie
transversal m´axima del cuerpo, que suele recibir el nombre de ´area proyectada.
El t´ermino combinado ρυ2
/2 es la presi´on din´amica. Observe que la
fuerza de arrastre es proporcional a la presi´on din´amica y, por tanto, es propor-
cional al cuadrado de la velocidad.
3.4.2. Ecuaci´on Integrodiferencial de la Planta
Para hallar la ecuaci´on integro-diferencial que describe el movimiento de la
pelota dentro del tubo, se aplica la segunda ley de Newton de las fuerzas que
act´uan sobre la misma, que son el Empuje, Fuerza de Arrastre y Peso.
E + FD − W = mpap (5)
E es el empuje o principio de arqu´ımedes, dado por:
ρaVpg (6)
ρa es la densidad del aire, Vp es el volumen de la pelota(volumen del l´ıquido
desplazado) y g es la aceleraci´on de la gravedad.
FD es la fuerza de arrastre, dado en la ecuaci´on 4.
W es el peso de la pelota, dado por:
W = mpg (7)
mp es la masa de la pelota, y g es la aceleraci´on de la gravedad.
La ecuaci´on ser´ıa entonces:
ρaVpg + CD(ρaυ2
r /2)A − mpg = mpap (8)
υ2
r es la velocidad relativa de la pelota con respecto al flujo de aire(ya que
una se mueve respecto a la otra, es decir hay movimiento tanto del flujo como de
la pelota, por lo tanto no hay un valor absoluto, sino relativo), en otras palabras:
υr = υf − υp = υf −
dx
dt
(9)
dx
dt es la velocidad de la pelota y υf es la velocidad del flujo.

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CONTROL DE LEVITACION NEUMATICA

  • 1. Universidad Cat´olica “Nuestra Se˜nora de la Asunci´on” Sede Regional Asunci´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa Departamento de Ingenier´ıa Electr´onica e Inform´atica Carrera de Ingenier´ıa Electr´onica Automatizaci´on Ing. Enrique Vargas PhD. Paredes, Javier <javier.90@gmail.com> Ram´ırez, Pedro <pedroramirez22@gmail.com> TRABAJO FINAL CONTROL DE LEVITACI´ON NEUM´ATICA 11 de febrero de 2014
  • 2. ´INDICE 2 ´Indice 1. Objetivo General 3 1.1. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Introducci´on 3 3. El flujo de los fluidos 3 3.1. La tasa de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2. Ecuaci´on de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3. N´umero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento . . . . . . . . 4 3.3.1. Flujo Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.2. Flujo Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.3. N´umero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.4. N´umero de Reynolds Cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4. Fuerzas debido a los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4.1. Fuerza de Arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4.2. Ecuaci´on Integrodiferencial de la Planta . . . . . . . . . . 6 3.4.3. Caracterizaci´on de Constantes de la Ecuaci´on no−lineal . 7 3.4.4. Soluci´on de la Ecuaci´on no−Lineal con Matlab . . . . . . 9 4. Control Lugar de Ra´ıces 10 4.1. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2. Simulaci´on de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 14 4.4. Discusi´on sobre el valor del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . 15 4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Control PID 16 5.1. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2. Sinton´ıa del Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.3. Simulaci´on de la Respuesta al Step . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.4. Respuesta con el Compensador Implementado . . . . . . . . . . . 19 5.5. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Control DeatBeat 20 6.1. Dise˜no del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.2. Implementaci´on del Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7. Control v´ıa ubicaci´on de polos 22 7.1. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  • 3. 1 Objetivo General 3 8. Control Estimador de Predicci´on 23 8.1. Estimador de Predicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8.2. Procedimiento de Dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8.3. Implementaci´on del estimador de predicci´on . . . . . . . . . . . . 25 8.4. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9. Control Kalman 26 9.1. Procedimiento de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9.2. Implementaci´on del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 9.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. Objetivo General Comprender e implementar los controles cl´asicos y modernos. 1.1. Objetivos Espec´ıficos Modelado de una planta de levitaci´on neum´atica. Aplicar los controles cl´asicos y modernos para mejorar las respuestas a excitaciones. 2. Introducci´on El efecto de que un cuerpo se suspenda en el aire sin contacto f´ısico se denomina levitaci´on, la cual es el resultado de una fuerza que contrarresta el peso del cuerpo u objeto levitante. En este caso de estudio, se tratar´a la levitaci´on neum´atica. Esta clase de levitaci´on opera las variaciones en la presi´on ejercida por gases, en este caso el aire, para mantener objetos suspendidos en posici´on estable. Esta levitaci´on debe garantizar los siguientes efectos sobre el objeto: Una fuerza que contrarreste el peso del cuerpo (la fuerza de gravedad que act´ua sobre el objeto que levita) y para que se halle en suspensi´on estable, es necesaria una fuerza adicional que contrarreste cada peque˜no desplazamiento del objeto en levitaci´on. 3. El flujo de los fluidos 3.1. La tasa de flujo La cantidad de fluido que pasa por un sistema por unidad de tiempo puede expresarse por medio de Q, El flujo volum´etrico es el volumen de fluido que circula en una secci´on por unidad de tiempo, y se calcula con la siguiente ecuaci´on: Q = Aυ (1)
  • 4. 3.2 Ecuaci´on de Continuidad 4 donde A es el ´area de la secci´on y υ es la velocidad promedio del flujo. 3.2. Ecuaci´on de Continuidad El m´etodo de c´alculo de la velocidad de flujo en un sistema de ductos cerrados depende del principio de continuidad. La cantidad de fluido que circula a trav´es de cualquier secci´on en cierta cantidad de tiempo es constante, es decir: Figura 1: Continuidad dentro de un tubo de radio variable suponiendo que el fluido es incomprensible(ρ1 = ρ2). ρ1A1υ1 = ρ2A2υ2 (2) Es v´alido para todos los fluidos, ya sean gases o l´ıquidos. 3.3. N´umero de Reynolds,flujo laminar, flujo turbulento 3.3.1. Flujo Laminar Es cuando el flujo parece suave y estable. La corriente tiene un di´ametro casi uniforme y hay poca o ninguna evidencia de que sus distintas partes se mezclan. A ´este se le denomina flujo laminar, t´ermino derivado de la palabra l´amina1 , debido a que el fluido parece moverse en l´aminas continuas con poca o ning´una mezcla de una capa con las adyacentes. 3.3.2. Flujo Turbulento Ocurre cuando los elementos del fluido parecen mezclarse en forma ca´otica dentro de la corriente. ´Esta es la descripci´on general de un flujo turbulento. 3.3.3. N´umero de Reynolds El comportamiento de un fluido, en particular en lo que se refiere a las p´erdidas de energ´ıa, depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Se demuestra en forma experimental y se verifica de modo anal´ıtico, que el car´acter del flujo en un tubo redondo depende de cuatro variables: la densidad del fluido ρ, su viscosidad η, el di´ametro del tubo D y la velocidad promedio del flujo υ. 1Layer
  • 5. 3.4 Fuerzas debido a los fluidos 5 Osbome Reynolds fue el primero en demostrar que es posible pronosticar el flujo laminar o turbulento si se conoce la magnitud de un n´umero adimensional, al que hoy se le denomina n´umero de Reynolds (NR). La ecuaci´on siguiente muestra la definici´on b´asica del n´umero de Reynolds: NR = υDρ η = υD ν (3) donde, υ es la velocidad media del flujo, D el di´ametro del tubo, ρ es la densidad del fluido, η es la viscosidad del fluido y ν es la viscosidad cinem´atica del fluido. Los flujos tienen n´umeros de Reynolds grandes debido a una velocidad el- evada y/o una viscosidad baja, y tienden a ser turbulentos. Aquellos fluidos con viscosidad alta y o que se mueven a velocidades bajas, tendr´an n´umeros de Reynolds bajos y tender´an a comportarse en forma laminar. 3.3.4. N´umero de Reynolds Cr´ıticos Si el n´umero de Reynolds para el flujo es menor que 2000, ´este ser´a laminar. Si el n´umero de Reynolds es mayor que 4000, el flujo ser´a turbulento. En el rango de n´umeros de Reynolds entre 2000 y 4000 es imposible predecir qu´e flujo existe; por tanto, le denominaremos regi´on cr´ıtica. Supondremos lo siguiente: Si NR < 2000, el flujo es laminar. Si NR > 4000, el flujo es turbulento. 3.4. Fuerzas debido a los fluidos 3.4.1. Fuerza de Arrastre Arrastre es la fuerza sobre un cuerpo ocasionada por el fluido que opone resistencia en la direcci´on del movimiento del cuerpo. Por lo general, se expresan las fuerzas de arrastre en la forma: FD = CD(ρυ2 /2)A (4) Los t´erminos en esta ecuaci´on son los siguientes: CD es el coeficiente de arrastre. Se trata de un n´umero adimensional que depende de la forma del cuerpo y su orientaci´on con respecto a la corriente de fluido. ρ es la densidad del fluido. Debido a que la densidad de los liquidos es bastante mayor que la de un gas, el orden general de magnitud de las fuerzas de arrastre sobre objetos que se mueven en el agua es mucho mas grande que para los objetos que se mueven en el aire. La compresibilidad del aire afecta un poco su densidad.
  • 6. 3.4 Fuerzas debido a los fluidos 6 υ es la velocidad de la corriente libre del fluido en relacion con el cuerpo. En general, no importa si el que se mueve es el cuerpo o el fluido. A es alg´un area caracter´ıstica del cuerpo. El ´area de inter´es sea superficie transversal m´axima del cuerpo, que suele recibir el nombre de ´area proyectada. El t´ermino combinado ρυ2 /2 es la presi´on din´amica. Observe que la fuerza de arrastre es proporcional a la presi´on din´amica y, por tanto, es propor- cional al cuadrado de la velocidad. 3.4.2. Ecuaci´on Integrodiferencial de la Planta Para hallar la ecuaci´on integro-diferencial que describe el movimiento de la pelota dentro del tubo, se aplica la segunda ley de Newton de las fuerzas que act´uan sobre la misma, que son el Empuje, Fuerza de Arrastre y Peso. E + FD − W = mpap (5) E es el empuje o principio de arqu´ımedes, dado por: ρaVpg (6) ρa es la densidad del aire, Vp es el volumen de la pelota(volumen del l´ıquido desplazado) y g es la aceleraci´on de la gravedad. FD es la fuerza de arrastre, dado en la ecuaci´on 4. W es el peso de la pelota, dado por: W = mpg (7) mp es la masa de la pelota, y g es la aceleraci´on de la gravedad. La ecuaci´on ser´ıa entonces: ρaVpg + CD(ρaυ2 r /2)A − mpg = mpap (8) υ2 r es la velocidad relativa de la pelota con respecto al flujo de aire(ya que una se mueve respecto a la otra, es decir hay movimiento tanto del flujo como de la pelota, por lo tanto no hay un valor absoluto, sino relativo), en otras palabras: υr = υf − υp = υf − dx dt (9) dx dt es la velocidad de la pelota y υf es la velocidad del flujo.
  • 7. 3.4 Fuerzas debido a los fluidos 7 La ecuaci´on final quedar´ıa ρaVpg + CD 2 ρa υf − dx dt 2 A − mpg = mp d2 x dt2 (10) Como se puede ver, esta ecuaci´on es no-lineal, se debe resolver la ecuaci´on integro-diferencial de la forma x = f(υf ) para poder hallar la funci´on de trans- ferencia del sistema, En palabras simples, se debe tener la posici´on de la pelota en relaci´on a la velocidad del flujo que hay dentro del tubo. 3.4.3. Caracterizaci´on de Constantes de la Ecuaci´on no−lineal En el laboratorio se llevaron a cabo ciertos experimentos para hallar el valor del coeficiente de arrastre definido en 3.4.1, los pasos fueron: 1. Hallar el valor de revoluciones por minuto(RPM) del motor al cual la pelota quedaba en un lugar levitando. 2. Relacionar el valor de RPM del motor con la velocidad de flujo dentro del tubo (υf ). El primer paso se pudo hallar sin problemas, dando por resultado 4389 RPM, el datasheet del motor utilizado puede obtenerse en el siguiente LINK que puede girar hasta 9000RPM. Ahora el problema era relacionar el valor de los RPMs del motor con la velocidad del flujo, relacionar estos t´erminos es bastante complicado, pues hay demasiados par´ametros que hay que tener en cuenta, como la cantidad de aspas del motor, la longitud, el ´angulo de ataque, etc. investigando se pudo hallar que hay relaciones generales de los motores los cuales sirven para nuestro problema, el documento se puede hallar pinchando en el siguiente LINK. La ecuaci´on a utilizar ser´ıa la siguiente: CFM2 = RPM2 RPM1 CFM1 (11) Como sabemos, CFM (Cubic feet per minute, the volume of air moved per minute) o como definimos en este texto Q en otra unidad de medida, definida en el apartado 3.1, como adem´as sabemos, el flujo esta relacionado con el ´area y la velocidad del flujo, por lo tanto tenemos resuelto el problema, algunos datos obtenidos del datasheet del motor son. Flujo Volum´etrico del motor (Q = 2,991[m3 /s]). Di´ametro del tubo DT = 0,09[m] En la secci´on 3.2, se habl´o de la ecuaci´on de continuidad, se repite aqu´ı la expresi´on para facilidad: ρ1A1υ1 = ρ2A2υ2 (12)
  • 8. 3.4 Fuerzas debido a los fluidos 8 ρ1 = ρ2 = ρa que el la densidad del aire(fluido dentro del tubo). Por lo tanto, aplicando todas las ecuaciones mencionadas, se halla que el valor de la velocidad del flujo a la cual la pelota queda levitando en una posici´on determinada dentro del tubo est´a dado por: υL = 7,8359[m/s] (13) υL es llamado velocidad l´ımite. En la velocidad l´ımite, la bola experimenta una fuerza neta de cero, por lo tanto de la ecuaci´on 10, se tiene que el segundo miembro es cero, de aqu´ı se puede hallar la expresi´on para la velocidad l´ımite, el cual es: υL = 2g(mp − ρaV ) CDρaA (14) El ´unico t´ermino que desconocemos aqu´ı es CD, por lo tanto, al despejar y aplicar todos los valores conocidos, tenemos que: CD = 3,03701 (15) Una vez que tenemos este valor, nos queda un ´ultimo t´ermino, el cual es el n´umero de Reynolds, seg´un [4] Pag: 525, la expresi´on del coeficiente de arrastre (CD) en funci´on del n´umero de Reynols para una esfera lisa, est´a dado por la siguiente aproximaci´on: CD = 24 NR + 2,6(NR 5 ) 1 + (NR 5 )1,52 + 0,411( NR 263000 )−7,94 1 + ( NR 263000 )−8 + ( N0,8 R 461000 ) (16) La curva graficada con Mathematica, es la siguiente: 0.1 10 1000 105 0.1 1 10 100 Figura 2: Coeficiente de Arrastre en funci´on del n´umero de Reynolds. Se puede ver que el n´umero de Reynolds es aproximadamente NR ≈ 15,5.
  • 9. 3.4 Fuerzas debido a los fluidos 9 Conclusi´on Se puede concluir de acuerdo al valor anterior y a la condici´on de flujo laminar/turbulento dada en la secci´on 3.3.4, la planta tiene las carac- ter´ısticas de un flujo laminar. 3.4.4. Soluci´on de la Ecuaci´on no−Lineal con Matlab La ecuaci´on no-lineal dada en 10, puede ser resuelta con simulink, mediante el siguiente esquem´atico. Figura 3: Esquem´atico para Linealizar con Simulink Donde se puede ver que no se tiene en cuenta la din´amica del motor, haciendo correr el script dado en el siguiente LINK, dando los valores iniciales a los integradores para trabajar en peque˜na se˜nal (x0 = 0,35[m] y υL = 7,8359[m/s]) el cual es el punto de equilibrio del sistema, la funci´on de transferencia de la planta ser´ıa: H(s) = X(s) Vf (s) = 0,454 s(s + 0,454) (17) Mediante la herramienta del Ident del matlab, tambi´en se hall´o la funci´on de transferencia de la planta, considerando la din´amica del motor, el cual fue: H(s) = 0,79509 (s + 1,411)2(s + 0,4387) (18) El cual se puede ver que el t´ermino de 1/(s+1,411)2 pertenece a la din´amica de caida libre de la pelota, como la de un sat´elite que es de 1/s2 , y el otro t´ermino, (s + 0,4387) pertenece a la din´amica del motor, donde el motor puede ser representado como 1/(s+a)(s+b), en este caso aparece s´olo el polo dominante del motor. La funci´on de transferencia de la ecuaci´on 18 es la que se utilizar´a durante todo el an´alisis del trabajo.
  • 10. 4 Control Lugar de Ra´ıces 10 4. Control Lugar de Ra´ıces Resulta necesario investigar los efectos de la ganancia del sistema o del peri- odo de muestreo del sistema sobre la estabilidad absoluta y relativa del sistema en lazo cerrado. Para estos fines, el m´etodo del lugar geom´etrico de ra´ıces es muy ´util. La respuesta en lazo cerrado de la planta es: 0 5 10 15 20 25 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Step Response Time (seconds) Amplitude Figura 4: Respuesta en lazo abierto de la planta Los par´ametros de la planta en lazo cerrado son: Rise Time 5,74seg. Setting Time 10,6seg. Final Value 0,91. Se puede ver que tiene un error en estado estable, lo que buscamos es bajar unas 4 veces el tiempo de establecimiento, para que la respuesta sea m´as r´apida y que el error en estado estable sea cero, que tenga un sobrepaso no mayor al 5 % y que tenga un factor de amortiguamiento de ζ = 0,707.
  • 11. 4.1 Procedimiento de Dise˜no 11 4.1. Procedimiento de Dise˜no 1. Obtener la funci´on de transferencia del sistema 2. Graficar el lugar geom´etrico de ra´ıces (rlocus) de la planta original de manera a saber su comportamiento en lazo cerrado. 3. Graficar las l´ıneas de amortiguamiento constante ζ y de ωn constante de manera a establecer un ´area determinada de funcionamiento deseado. Para sistemas con dos polos dominantes, el ´area que cubre ζ y de ωn es suficiente criterio de dise˜no. 4. Ubicar los polos del sistema dentro del ´area deseada introduciendo un controlador adecuado. Si el lugar geom´etrico de ra´ıces pasa por el lugar deseado, darle la ganancia necesaria de manera que los polos en lazo cerrado se ubiquen en ese punto. Introduciendo un polo dominante en el sistema de manera a que se ajuste al comportamiento. Cancelar un polo no deseado con un cero del controlador y luego ubicar otro polo (del controlador) en el lugar deseado 5. Obtener la respuesta al escal´on de manera a determinar la conformidad en el dominio del tiempo. 6. Ejecutar los dos pasos anteriores hasta obtener la respuesta temporal sat- isfactoria. 7. Implementar el controlador. El punto por donde debe pasar el LR que cumple con las condiciones se puede ver en la figura 5, las condiciones son las siguientes: Tiempo de establecimiento 4 veces menor. Zita ζ = 0,707. Sobrepaso m´aximo de SM = 5 %. Error en estado estable cero. El compensador hallado est´a dado por: K(z − 0,9891)(z − 0,9653)2 (z − 1)(z − 0,8988)(z − 0,4768) Ts = 0,025seg. (19) El valor de la ganancia para estas condiciones que pasa por el punto dado en la gr´afica, esta dado por: K = 170,5015 (20)
  • 12. 4.1 Procedimiento de Dise˜no 12 Figura 5: Punto por donde debe pasar el LR que cumple con todas las condi- ciones. Lo que se realizo para hallar el compensador fue de tener un polo en z = 1 eliminando uno de los polos dobles, para que la respuesta a un step tenga un error en estado estable de cero, luego se iban jugando con las ubicaciones de los otros 2 polos para que cumpla con las condiciones dadas y adem´as sea un punto del LR, se ha debido mover 2 polos a la vez, ya que un solo polo no pod´ıa cumplir con todas las condiciones dadas a la respuesta del sistema.
  • 13. 4.2 Simulaci´on de la Respuesta al Step 13 4.2. Simulaci´on de la Respuesta al Step La simulaci´on de la respuesta a un escal´on esta de la planta con el compen- sador, esta dado por: Step Response Time (seconds) Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: sistema_compensador Settling time (seconds): 2.2 System: sistema_compensador Rise time (seconds): 0.927 System: sistema_compensador Peak amplitude: 1.02 Overshoot (%): 2.3 At time (seconds): 1.98 Figura 6: Respuesta del Sistema con el Compensador al Step. Se puede ver que la respuesta tiene los siguientes valores: Rise Time 0,927seg. Setting Time 2,2seg. Final Value 1. Overshoot 2,3 %. Para hacer un poco m´as r´apida la respuesta se puede hacer ganar un poco m´as al valor de K dado en 20 para obtener un sobrepaso mayor, pero se volver´ıa mas oscilatoria la respuesta.
  • 14. 4.3 Respuesta con el Compensador Implementado 14 4.3. Respuesta con el Compensador Implementado La respuesta de la planta con el compensador implementado puede verse en la gr´afica 7: Figura 7: Respuesta a un Escal´on de la Planta con el Compensador Los valores de la respuesta ser´ıan de aproximadamente: Rise Time 1seg. Setting Time 2,5seg. Overshoot 1,0 %. Se puede ver que el valor de la salida tiende al del set. point, pero que oscila alrededor del mismo, esto es por el error del sensor de ultrasonido, que seg´un el datasheet ser´ıan de cerca de 2cm. La respuesta cumple bastante bien con las condiciones para este tipo de control cl´asico.
  • 15. 4.4 Discusi´on sobre el valor del tiempo de muestreo 15 4.4. Discusi´on sobre el valor del tiempo de muestreo De acuerdo a la gr´afica dada en 4 se puede hallar el tiempo de subida del mismo, en la p´ag. 215 de [2], dice lo siguiente “se debe muestrear de ocho a diez veces durante un ciclo de las oscilaciones senoidales amortiguadas de la salida del sistema en lazo cerrado, si es que ´este est´a sub-amortiguado. Para sistemas sobre-amortiguados, pruebe de ocho a diez veces durante el tiempo de levantamiento de la respuesta escal´on”., adem´as a esto hay que agregar que nuestro sensor de ultrasonido el cual se puede ver el datasheet pinchando en el siguiente LINK, tiene un retardo grande el cual meter´a dentro del lazo, los valores medidos ya deben “estar actualizados” para cuando el micro-controlador acceda a los datos, para no “leer” valores falsos, como la longitud del tubo es de 0,7[m] la distancia total que recorrer´a la se˜nal ultras´onica ser´a el doble de la longitud del tubo (en el peor caso), el tiempo que tardar´ıa esta se˜nal ser´ıa del orden de unos 4500µs o 4,5ms, adem´as del c´odigo adicional que corre en el micro-controlador. Como nuestro sistema es uno sobre-amortiguado, y el tiempo de subida es de aproximadamente 10 segundos, se opt´o por utilizar un valor de tiempo de muestreo de: Ts = 0,025s (21) Si bien seg´un lo explicado anteriormente el tiempo de Ts = 0,1 bastar´ıa(10 veces el tiempo de subida), probando este valor en el laboratorio se pod´ıa notar que el control no le pod´ıa “seguir” a la din´amica de la planta, es decir que se aplicaba el esfuerzo de control en intervalos de tiempo muy grandes y la pelota oscilaba bastante(obviamente agrandar el tiempo de muestreo hace que el sis- tema tienda a ser inestable), por lo tanto bajando un poco el tiempo de muestreo se utiliz´o el ya mencionado, esto s´ı, teniendo en cuenta que est´a limitado por los retardos del sensor y el tiempo procesamiento del micro-controlador. 4.5. Conclusiones Se pudo ver que se obtuvo una respuesta bastante buena, con el tiempo de establecimiento deseado, solo que la bola oscilaba un poco en torno el set point, esto es por la incertidumbre del error que tiene el sensor de ultrasonido, pero se pudo ver que segu´ıa bastante bien a la se˜nal de entrada, con respecto al tiempo de muestreo se pudo ver que al aumentar, los polos de la planta tend´ıan a z = 1, y para este caso el valor de K para ubicar los polos en el punto donde cumple las condiciones era muy elevado, es decir se necesitaba un esfuerzo de control muy grande, por lo tanto se pudo hallar el valor de Ts donde el esfuerzo no sea demasiado y que adem´as se pueda seguir a la din´amica de la planta.
  • 16. 5 Control PID 16 5. Control PID El principio b´asico del PID es actuar sobre la variable a ser manipulada a trav´es de una apropiada combinaci´on de las tres acciones de control: proporcional (P), donde la acci´on de control es proporcional a la se˜nal de error, la cual es la diferencia entre la entrada y la se˜nal de realimentaci´on; integral (I), donde la acci´on de control es proporcional a la integral de la se˜nal de error y la acci´on derivativa (D), donde la acci´on de control es proporcional a la derivada de la se˜nal de error. El controlador PID es un caso especial de controlador de adelanto−atraso de fase. La acci´on del control PD, que afecta la regi´on de alta frecuencia, aumen- ta el ´angulo del adelanto de fase y mejora la estabilidad del sistema, as´ı como tambi´en incrementa el ancho de banda del sistema (lo que mejora la velocidad de respuesta). Esto es, el controlador PD se comporta de una manera similar al compensador de adelanto de fase. La acci´on de control PI afecta la parte de baja frecuencia y, de hecho, aumenta la ganancia en baja frecuencia al mejorar la precisi´on en estado permanente. Por lo tanto, el controlador PI act´ua como un compensador de atraso de fase. La acci´on de control PID es una combinaci´on de las acciones de control PI y PD. Las t´ecnicas de dise˜no para los contro- ladores PID b´asicamente siguen los correspondientes a los compensadores de adelanto−atraso de fase. Un controlador proporcional KP tiene efecto reduciendo el tiempo de subida, si bien lo reduce, no elimina el error en estado estable por completo. Un con- trol integral KI tendr´a dicho efecto, o sea, eliminar´a el error en estado estable, pero empeorar´a la respuesta transitoria. Un control derivativo KD tendr´a efec- to aumentando la estabilidad del sistema, reducir´a el sobrepaso y mejorar´a la respuesta transitoria, pero el controlador se ver´a mayormente afectado por el ruido de medida. 5.1. Procedimiento de Dise˜no Existen varios m´etodos de dise˜no y sinton´ıa del PID, algunos de ellos son el m´etodo de Zieger-Nichols (Z-N) y m´etodos basados en la curva de reacci´on los cuales est´an limitados para cierto tipo de plantas. Consisten en la obtenci´on de par´ametros de la respuesta al escal´on del sistema en lazo cerrado y lazo abierto respectivamente, para luego aplicar f´ormulas emp´ıricas y obtener las constantes del PID. Una vez obtenidas, se implementa el controlador y se hacen ajustes si fuesen necesarios. 5.2. Sinton´ıa del Controlador PID Control PID de plantas [1] Es posible aplicar diversas t´ecnicas de dise˜no con el fin de determinar los par´ametros del controlador que cumpla las especi- ficaciones del transitorio y del estado estacionario del sistema de lazo cerrado. El proceso de seleccionar los par´ametros del controlador que cumplan con las especificaciones de comportamiento dadas se conoce como sinton´ıa del con-
  • 17. 5.2 Sinton´ıa del Controlador PID 17 − + Compensador PID Planta 1 Figura 8: Control PID de una planta. trolador. Ziegler y Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladores PID(esto significa dar valores a Kp, Ti y Td) bas´andose en las respuestas de escal´on experimentales o en el valor de Kp que produce estabilidad marginal cuando s´olo se usa la acci´on de control proporcional. El m´etodo consiste en la respuesta de la planta ante un escal´on unitario, se obtiene de manera experimental, si la planta no contiene integradores ni polos complejos conjugados, la curva de respuesta escal´on unitario puede tener la forma de S. La curva en forma de S se caracteriza por dos par´ametros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. Tipo de controlador Kp Ti Td P T L ∞ 0 PI 0,9T L L 0,3 0 PID 1,2T L 2L 0.5L Cuadro 1: Regla de sinton´ıa de Ziegler-Nichols basada en respuesta escal´on de la planta. Zieglers y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo a la f´ormula que se muestra en la Tabla 1.
  • 18. 5.3 Simulaci´on de la Respuesta al Step 18 5.3. Simulaci´on de la Respuesta al Step Ajustando los par´ametros del PID se obtuvo la siguiente respuesta: 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Time offset: 0 Figura 9: Respuesta Simulada de la Planta con controlador PID Los valores de las constantes del PID fueron las siguientes: Kp = 0,6 Ti = 2 Td = 5 Se puede ver que tiene un tiempo de establecimiento de aproximadamente 10 segundos, y un error en estado estable de cero.
  • 19. 5.4 Respuesta con el Compensador Implementado 19 5.4. Respuesta con el Compensador Implementado La respuesta al escal´on de la planta con el controlador PID esta dado por la siguiente gr´afica: Figura 10: Respuesta al escal´on de la planta con Controlador PID Con esta respuesta se puede ver que tiene un valor de tiempo de establec- imiento de alrededor de 9 segundos, y un error bastante peque˜no pero oscilatorio en torno a la referencia. 5.5. Conclusi´on Se pudo ver que la respuesta en estado estacionario segu´ıa muy bien a la referencia, pero oscilaba un poco en torno al mismo, por lo ya dicho del error que posee el sensor de ultrasonido, se fueron ajustando los valores de cada par´ametro hasta obtener una respuesta, ´esta es un poco m´as lenta del control por lugar de ra´ıces, pero tambi´en se ajusta muy bien a este tipo de control cl´asico, no se implemento el anti-windup. Aparte del m´etodo de Ziegler-Nichols para el ajueste, emp´ıricamente se prob´o, ajustando primeramente la ganancia proporcional, hasta obtener una respuesta r´apida pero no tan oscilatoria, con un peque˜no error en estado estable, luego se ajusto la ganancia integral hasta obtener un error en estado estable ´ınfimo, y por ´ultimo la ganancia derivativa para evitar un poco las oscilaciones de la respuesta, el compensador PID es un controlador bastante bueno y con un ajuste bastante r´apido, hasta sin conocer la din´amica del sistema se puede obtener un ajuste tan fino con una respuesta bastante precisa.
  • 20. 6 Control DeatBeat 20 6. Control DeatBeat Este control obligar´a la secuencia de error, cuando este sujeta a un tipo espec´ıfico de entrada en el dominio del tiempo, para llegar a cero despu´es de un n´umero finito de per´ıodos de muestreo y, de hecho, a convertirse en cero y mantenerse en cero despu´es del n´umero m´ınimo posible de per´ıodos de muestreo. Si la respuesta de un sistema de control en lazo cerrado a una entrada escal´on muestra el tiempo de asentamiento m´ınimo posible (es decir, cuando la salida alcanza su valor final en un tiempo m´ınimo y se queda ah´ı), sin error en esta- do permanente y ninguna componente oscilatoria entre instantes de muestreo, entonces este tipo de respuesta se conoce com´unmente como respuesta con os- cilasciones muertas. Se desea dise˜nar un controlador digital GD(z) tal que el sistema de control en lazo cerrado muestre el tiempo de asentamiento m´ınimo posible, con un error en estado permanente de cero, en respuesta a un entrada escal´on. Se define la funci´on de transferencia pulso en lazo cerrado deseado como F(z): C(z) R(z) = GD(z)G(z) 1 + GD(z)G(z) = F(z) (22) Lo que se busca es que la funci´on de transferencia pulso GD(z) satisfaga la ecuaci´on anterior, es decir: GD(z) = F(z) G(z)[1 − F(z)] (23) Las condiciones para que sean f´ısicamente realizbles pueden enunciarse com sigue: 1. El grado del numerador de GD(z) debe ser igual o menor que el grado del denominador. 2. Si la planta Gp(s) incluye en atraso de transporte eLs , entonces el sistema en lazo cerrado dise˜nado debe involucrar por lo menos la misma magnitud de atraso de transporte. 3. Si G(z) se expande a una serie en z−1 , el t´ermino elevado a la potencia menor de la expansi´on serial de F(z) en z−1 debe ser por lo menos igual de grande que el correspondiente a G(z). La funci´on de transferencia pulso del controlador digital no deber´a incluir polos inestables para cancelar ceros de la planta que ocurran fuera del c´ırculo unitario.
  • 21. 6.1 Dise˜no del Compensador 21 6.1. Dise˜no del Compensador Cumpliendo todas las condiciones anteriores, se hall´o la funci´on de transfer- encia del compensador con oscilasciones muertas. 8184,1z(z − 0,9571)(z − 0,8684)2 z(z + 3,441)(z − 1)(z + 0,2469) (24) 6.2. Implementaci´on del Compensador La respuesta obtenida del compensador dise˜nado es el siguiente: Figura 11: Respuesta de la planta con el compensador con el m´etodo de oscila- ciones muertas. 6.3. Conclusi´on Se puede ver que la respuesta con el control de oscilaciones muertas es lento, porque se necesitaba demasiado esfuerzo de control para obtener la respuesta en la cantidad m´ınima de pasos. lo cual era imposible realizarlo f´ısicamente. Tambi´en se tuvo problemas en la ganancia, donde se tuvo que modificar un poco para que el sistema no sature, la respuesta es bastante buena como se puede ver en la gr´afica, el valor en estado estacionario sigue a la referencia.
  • 22. 7 Control v´ıa ubicaci´on de polos 22 7. Control v´ıa ubicaci´on de polos Este m´etodo consiste en dise˜nar y ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en localizaciones deseadas en el plano z. Para eso, se debe cumplir el concepto de controlabilidad, solo entonces ser´a posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados en el plano z o las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica en las ubicaciones deseadas. El dise˜no de ubicaci´on de polos se reduce a la determinaci´on de la matriz de ganancia de realimentaci´on de estado deseada. Se deben elegir localizaciones adecuadas para los polos en lazo cerrado y luego, determinar aquella matriz de ganancia de realimentaci´on de estado que de como resultado los polos en lazo cerrado especificados. Esta matriz de realimentaci´on de estado se lleva a cabo mediante el uso de variables de estado estimadas m´as que con las variables de estado reales. Sin embargo, a modo de demostraci´on del m´etodo, se supone que todas las variables de estado son medibles y se encuentran disponibles para realizar la realimentaci´on. 7.1. Conclusi´on Este m´etodo de control no se puede implementar, ya que lo que se mide es la posici´on de la pelota, se deber´ıa tener estados como la velocidad de la pelota y la aceleraci´on, si bien esto se puede hallar con la primera y segunda derivada de la posici´on de la pelota, ser´ıa mejor utilizar un control con estimador de estados, que se ver´a en las secciones siguientes, es decir no se dispone de sensores para tener el valor de la velocidad de la pelota y la aceleraci´on por ejemplo, por lo tanto no cumple con la condici´on ya mencionada.
  • 23. 8 Control Estimador de Predicci´on 23 8. Control Estimador de Predicci´on En los sistemas reales de control, no todas las variables de estado estar´an disponibles para su realimentaci´on, entonces, para poner en pr´actica un dise˜no basado en realimentaci´on de estado, ser´a necesario estimar las variables de es- tado no medibles, la cual puede ser efectuada mediante el uso de estimadores de estado. Un estimador de estado es un subsistema del sistema de control que lleva a cabo una estimaci´on de las variables de estado, a partir de las mediciones de las variables de salida y de control. Un diagrama de bloques de un sistema de control con estimador se puede observar en forma de diagrama de estados en la Figura . Figura 12: Sistema de variables de estado con estimador.
  • 24. 8.1 Estimador de Predicci´on 24 8.1. Estimador de Predicci´on A fin de poder estimar dichas variables de estado, el estimador debe ser capaz de obtener x(k + 1) en t´erminos de y(k), y(k − 1), ..., y(k − n + 1) y u(k), u(k − 1), ..., u(k − n + 1), esto es, estimar el siguiente estado midiendo las variables de salida y la de control. En otras palabras, el sistema debe ser completamente observable. Es conveniente que el estado real x(k) y el estimado x(k) sean tan pr´oximos como posible. 8.2. Procedimiento de Dise˜no Considerando el sistema de control de variables de estado. Se supone que el sistema es de estado completamente controlable y observable. Se dise˜na un esti- mador de estados de modo a poder llevar a cabo en la pr´actica la realimentaci´on de estados. 1. Dise˜nar primeramente los polos deseados en lazo cerrado del sistema. 2. Seleccionar los polos del observador deseados. 3. Determinar la matriz Ke dependiendo del estimador que se desee uti- lizar, de manera a obtener estos polos. Es posible utilizar la f´ormula de Ackerman modificada para el c´alculo de la matriz de realimentaci´on del estimador, Ke. 4. Implementar el controlador.
  • 25. 8.3 Implementaci´on del estimador de predicci´on 25 8.3. Implementaci´on del estimador de predicci´on La respuesta del sistema al dise˜no del control por estimador de estados es: Figura 13: Respuesta Estimador de Predicci´on 8.4. Conclusi´on La respuesta del sistema por este m´etodo es bastante mas precisa que en control cl´asico, se puede ver como las oscilaciones que ten´ıan en los controles anteriores son casi totalmente eliminados, adem´as se mejora el tiempo de asen- tamiento del sistema. Tambi´en se realiz´o varias matrices de ganancia de realimentaci´on del ob- servador Ke basandonos en varias ecuaciones caracter´ısticas deseadas distintas. Para cada una de las matrices diferentes, se llev´o a cabo pruebas de simulaci´on a fin de evaluar el desempe˜no resultante del sistema. La selecci´on de la mejor matriz Ke se reduce a un punto intermedio entre una respuesta r´apida y la sensibilidad a perturbaciones y ruido.
  • 26. 9 Control Kalman 26 9. Control Kalman El filtro de Kalman es un conjunto de ecuaciones matem´aticas que provee una soluci´on computacional eficiente del m´etodo de los m´ınimos cuadrados. Es muy potente en varios aspectos: soporta estimaci´on del pasado, presente y a´un de los estados futuros y puede seguir haci´endolo a´un cuando la naturaleza precisa del sistema modelado es desconocida. Se considera la planta discreta: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + B1w(k) (25) con ecuaci´on de medida: y(k) = Cx(k) + v(k) (26) Donde el ruido del proceso w(k) y de medida v(k) son procesos aleatorios con media cero. Esto es, w(k) = v(k) = 0 y no tienen correlaci´on temporal o ruido blanco, poseen covarianza o niveles de ruido cuadr´atico definidos por: w(k)wT (k) = Rw v(k)vT (k) = Rv (27) El filtro estima el proceso en un tiempo y obtiene la realimentaci´on de la medida (con ruido) en otro. Los procesos son llamados actualizaci´on entre las medidas y actualizaci´on en el tiempo de medida. La actualizaci´on entre las medidas es la encargada de proyectar el siguiente estado considerando el ruido de la planta y la actualizaci´on en el tiempo de medida es responsable de la realimentaci´on, incorporando la medida actual junto con la salida estimada para de nuevo volver a la actualizaci´on entre las medidas. 9.1. Procedimiento de dise˜no Se supone que el sistema es de estado completamente controlable y observ- able. Se dise˜na un estimador de estados ´optimo de modo a poder llevar a cabo en la pr´actica la realimentaci´on de estados ´optima. 1. Dise˜nar las matrices de peso Q1 y Q2 de modo a determinar la ganancia K ´optima del sistema de realimentaci´on de estados. 2. Dar valores a Rw y Rv y calcular la matriz de realimentaci´on ´optima L. 3. Implementar el controlador.
  • 27. 9.2 Implementaci´on del Controlador 27 9.2. Implementaci´on del Controlador La respuesta del sistema con el control con el filtro de kalman, est´a dado por: Figura 14: Respuesta del sistema con el Control con el filtro de Kalman 9.3. Conclusi´on La respuesta del compensador es bastante buena, como se puede ver la salida tiene una oscilaci´on con respecto a la referencia, se tuvo dificultad para dar los pesos, se hall´o el valor pico m´aximo en el sensor de ultrasonido y de acuerdo a eso se pudo definir v(k), el error de medida. Referencias [1] Ingenier´ıa de Control Moderna, 4o Edici´on, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall. [2] Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2o Edici´on, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall. [3] Evaluaci´on de Algoritmos de Control Digital Industrial, Tesis, Piero Codas Morselli. [4] Mec´anica de Fluidos, 6o Edici´on, Robert L. Mott.