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Teorema de Thales Proporcionalidad de segmentos en un triángulo Prof.: Pedro Godoy
Teorema de Thales Nació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Thales era considerado uno de los  siete sabios  de Grecia  Algunos datos Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra
[object Object],Una anécdota contada por Platón Sobresale especialmente por: Que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración  y  se podría decir que son el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.
[object Object]
Pirámide Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra Podemos, por tanto, establecer la proporción H S = h s De donde H= h • S s y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Rayos solares S  (sombra) H (altura de la pirámide) s ( sombra) h  (altura de bastón)
Ahora El famoso teorema
" Si tres o más rectas paralelas son intersecadas  por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales En el dibujo: Si  L 1  // L 2  // L 3 , T y S  transversales,  los segmentos  a ,  b ,  c  y  d  son proporcionales Es decir: = ¿DE ACUERDO? T S L 1 L 2 L 3 a a b b c c d d
Un ejemplo: En la figura  L 1  // L 2  // L 3 ,  T y S transversales, calcula la medida del trazo x  Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales Es decir: = Y resolvemos la proporción 24  • x = 8 • 15 X = 8  • 15 24   X = 5 Fácil  L 1 L 2 L 3 T S 8 24 x 15 8 24 X 15
Otro ejemplo:  en la figura L 1  // L 2  // L 3  ,  T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción = Resolvemos la proporción 3(x + 1)  =  2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9 3 2 x+4 x+1 L 1 L 2 L 3 T S x+4 x+1 3 2 C D
Y nuevamente pensando en la pirámide….. TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando:  Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos .      Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide S  (sombra) H (altura de la pirámide) s ( sombra) h  (altura de bastón)
Triángulos de Thales ,[object Object],De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los  triángulos AED y ABC ocurre: = O también = A esta forma de tomar los trazos, se le llama  “la doble L” B C A D E AE AB ED AE ED AB BC BC
Aplicaciones de esta idea Calcula la altura del siguiente edificio Escribimos la proporción = Y resolvemos la proporción 3  • x = 5 • 15 x =  75   3  X = 25 Por que 3+12=15 x 5 3 12 3 5 15 x
Otro ejercicio En el triángulo ABC,  DE//BC , calcule x y el trazo AE  Formamos la proporción = Resolvemos la proporción Por que  x+3+x = 2x+3 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24  4x = 12 X =  12   =  3 4 Por lo tanto, si  AE =  x + 3  = 3  + 3  =  6 A B C x+3 x 8 12 D E 8  X+3 12 2x+3
Otra visión  Las figuras son semejantes ya que  tienen los mismos ángulos interiores y sus lados son proporcionales.
   a       a’    b       b’    c       c’
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza. Para calcular la razón de semejanza se divide una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original.
Que ángulos son congruentes?  ¿Cuál es la proporción que permita conocer la altura del árbol?

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Teo de thales

  • 1. Teorema de Thales Proporcionalidad de segmentos en un triángulo Prof.: Pedro Godoy
  • 2. Teorema de Thales Nació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Thales era considerado uno de los siete sabios de Grecia Algunos datos Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra
  • 3.
  • 4.
  • 5. Pirámide Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra Podemos, por tanto, establecer la proporción H S = h s De donde H= h • S s y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Rayos solares S (sombra) H (altura de la pirámide) s ( sombra) h (altura de bastón)
  • 6. Ahora El famoso teorema
  • 7. " Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales En el dibujo: Si L 1 // L 2 // L 3 , T y S transversales, los segmentos a , b , c y d son proporcionales Es decir: = ¿DE ACUERDO? T S L 1 L 2 L 3 a a b b c c d d
  • 8. Un ejemplo: En la figura L 1 // L 2 // L 3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales Es decir: = Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 X = 8 • 15 24 X = 5 Fácil L 1 L 2 L 3 T S 8 24 x 15 8 24 X 15
  • 9. Otro ejemplo: en la figura L 1 // L 2 // L 3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción = Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9 3 2 x+4 x+1 L 1 L 2 L 3 T S x+4 x+1 3 2 C D
  • 10. Y nuevamente pensando en la pirámide….. TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos .   Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide S (sombra) H (altura de la pirámide) s ( sombra) h (altura de bastón)
  • 11.
  • 12. Aplicaciones de esta idea Calcula la altura del siguiente edificio Escribimos la proporción = Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 Por que 3+12=15 x 5 3 12 3 5 15 x
  • 13. Otro ejercicio En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE Formamos la proporción = Resolvemos la proporción Por que x+3+x = 2x+3 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6 A B C x+3 x 8 12 D E 8 X+3 12 2x+3
  • 14. Otra visión Las figuras son semejantes ya que tienen los mismos ángulos interiores y sus lados son proporcionales.
  • 15. a   a’  b   b’  c   c’
  • 16. Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza. Para calcular la razón de semejanza se divide una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original.
  • 17. Que ángulos son congruentes? ¿Cuál es la proporción que permita conocer la altura del árbol?