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Instituto de Matemática, Física y Estadística
Mat-170
Página 1
APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA.
DEFICIONES:
1) COSTO: Es el esfuerzo económico que se debe realizar para lograr un
objetivo. Estos objetivos pueden ser, por ejemplo, pagar los sueldos de los
empleados, comprar materiales, etc.
2) MODELO DE COSTO LINEAL: En cualquier producción intervienen
básicamente dos tipos de costos: los costos fijos y los costos variables:
a) Los costos fijos: No dependen de la cantidad producida, son ejemplos, los
sueldos, servicios públicos (luz, teléfono, gas, etc.). El Costo Fijo Total es la suma
de todos los costos fijos de la empresa.
b) Los Costos variables: Son aquellos costos que varían en forma
proporcional, de acuerdo al nivel de producción o actividad de la empresa. Son los
costos por "producir" o "vender". Por ejemplo: mano de obra directa, materiales e
Insumos directos, envases, embalajes y etiquetas, comisiones sobre ventas, etc.
c) Costo total: Es la suma del Costo Variable más el Costo Fijo.
Se puede expresar en Valores Unitarios o en Valores Totales.
Es decir:
COSTO TOTAL =Costos variables +Costos fijos.
Instituto de Matemática, Física y Estadística
Mat-170
Página 2
Si x denota el número de artículos que se están produciendo, entonces la función
de costo nos queda:
C(x)=y=mx+b. La función anterior se denomina Modelo de costo lineal.
La gráfica de la función es una línea recta cuya pendiente “m” representa el
costo variable por unidad y cuya ordenada al origen “b” da los costos fijos.
Ejemplo1: El costo variable de producir x máquinas de ejercicios es de US$5 y los
costos fijos por día son de us$500.
a) Construya la función de costo lineal y dibuje la gráfica.
b) Determine el costo de fabricar 12 máquinas al día.
c) ¿Cuántas máquinas se fabricaron diariamente si los costos totales
fueron de us$5.900?
d) ¿Cuántas máquinas se fabricaron diariamente si los costos totales
fueron de $3.812.500? (considere el dólar a $610).
Solución:
a)
b) us$560
c) us$1.080
d) us$1150
Ejemplo2: El costo de fabricar 10 máquinas al día es de us$350, mientras que
cuesta us$600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo
de costo lineal.
a) Determine la relación entre costo total C(x) de producir x máquinas
diariamente.
Instituto de Matemática, Física y Estadística
Mat-170
Página 3
b) Determine los costos fijos.
Solución:
a) (10,350), (20,600)
10025)(
)10(
1020
350600
350
+==
−
−
−
=−
xxCy
xy
b) us$100
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Mat-170
Página 4
3) FUNCIÓN INGRESO.
El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por
las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar
como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio.
Es decir, I=precio x cantidad. I =pq q: cantidad; p: precio
Ejemplo3: El precio de venta de unos artículos de laboratorio es de
$ 12.000, entonces la función de ingreso es:
I(x) = 12.000x (x son las unidades vendidas)
Ejemplo4: El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la
función I(x) = 2,5x + 800 dólares. (El número 800 representa el sueldo fijo, es decir
el valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor).
a) Determine los ingresos obtenidos por las ventas de 52 artículos.
b) ¿Cuántos artículos se venden si los ingresos fueron de us$880?
Solución:
a) I(52)=930. Luego los ingresos son de us$930 para 52 artículos vendidos.
b) 880=2,5x+800
x=32.
Luego, si los ingresos fueron de us$880 se venden 32 artículos.
4) FUNCIÓN UTILIDAD: La utilidad es la diferencia existente entre el ingreso
total y el costo total. Matemáticamente pudiera expresarse como:
Utilidad = Ingreso Total – Costo total
Instituto de Matemática, Física y Estadística
Mat-170
Página 5
Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se
conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el
nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo
son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de artículos
producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será una función
lineal de la misma variable. Luego:
Utilidad o pérdida U(x)= I(x) - C(x)
Ejemplo5: Una empresa vende un artículo a un precio de us$1000, si sus gastos
por mano de obra son de us$280 por producto teniendo costos fijos de us$300
mensuales.
Solución: El Ingreso total: I(x)= $1000x. El costo total sería: C(x)=280x + 300
La utilidad es: Utilidad = 1000x – (280x + 300)
Agrupando tenemos: U(x) = 720x –300.
Instituto de Matemática, Física y Estadística
Mat-170
Página 6
5) Punto de Equilibrio
Se dice que una Empresa está en su Punto de Equilibrio cuando no genera ni
Ganancias, ni Pérdidas. Es decir cuando el Beneficio es igual a cero.
Gráfico del Punto de Equilibrio
(a) Área de Pérdida
(b) Área de Ganancia
Para encontrar el punto de equilibrio es necesario, hacer la función Utilidad
igual a cero (U(x)=0), es decir, igualar la función ingreso total con la función Costo
total.
Ejemplo6: Supongamos que el costo total diario (en dólares) al producir x
artefactos eléctricos está dado por C(x)=2,5x+30 dólares.
a) Si cada artefacto se vende a us$5. Determine el punto de equilibrio.
b) Si se fabrican 9 artículos, existe pérdida o ganancia?
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  • 1. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 1 APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. DEFICIONES: 1) COSTO: Es el esfuerzo económico que se debe realizar para lograr un objetivo. Estos objetivos pueden ser, por ejemplo, pagar los sueldos de los empleados, comprar materiales, etc. 2) MODELO DE COSTO LINEAL: En cualquier producción intervienen básicamente dos tipos de costos: los costos fijos y los costos variables: a) Los costos fijos: No dependen de la cantidad producida, son ejemplos, los sueldos, servicios públicos (luz, teléfono, gas, etc.). El Costo Fijo Total es la suma de todos los costos fijos de la empresa. b) Los Costos variables: Son aquellos costos que varían en forma proporcional, de acuerdo al nivel de producción o actividad de la empresa. Son los costos por "producir" o "vender". Por ejemplo: mano de obra directa, materiales e Insumos directos, envases, embalajes y etiquetas, comisiones sobre ventas, etc. c) Costo total: Es la suma del Costo Variable más el Costo Fijo. Se puede expresar en Valores Unitarios o en Valores Totales. Es decir: COSTO TOTAL =Costos variables +Costos fijos.
  • 2. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 2 Si x denota el número de artículos que se están produciendo, entonces la función de costo nos queda: C(x)=y=mx+b. La función anterior se denomina Modelo de costo lineal. La gráfica de la función es una línea recta cuya pendiente “m” representa el costo variable por unidad y cuya ordenada al origen “b” da los costos fijos. Ejemplo1: El costo variable de producir x máquinas de ejercicios es de US$5 y los costos fijos por día son de us$500. a) Construya la función de costo lineal y dibuje la gráfica. b) Determine el costo de fabricar 12 máquinas al día. c) ¿Cuántas máquinas se fabricaron diariamente si los costos totales fueron de us$5.900? d) ¿Cuántas máquinas se fabricaron diariamente si los costos totales fueron de $3.812.500? (considere el dólar a $610). Solución: a) b) us$560 c) us$1.080 d) us$1150 Ejemplo2: El costo de fabricar 10 máquinas al día es de us$350, mientras que cuesta us$600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal. a) Determine la relación entre costo total C(x) de producir x máquinas diariamente.
  • 3. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 3 b) Determine los costos fijos. Solución: a) (10,350), (20,600) 10025)( )10( 1020 350600 350 +== − − − =− xxCy xy b) us$100
  • 4. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 4 3) FUNCIÓN INGRESO. El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio. Es decir, I=precio x cantidad. I =pq q: cantidad; p: precio Ejemplo3: El precio de venta de unos artículos de laboratorio es de $ 12.000, entonces la función de ingreso es: I(x) = 12.000x (x son las unidades vendidas) Ejemplo4: El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) está dado por la función I(x) = 2,5x + 800 dólares. (El número 800 representa el sueldo fijo, es decir el valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor). a) Determine los ingresos obtenidos por las ventas de 52 artículos. b) ¿Cuántos artículos se venden si los ingresos fueron de us$880? Solución: a) I(52)=930. Luego los ingresos son de us$930 para 52 artículos vendidos. b) 880=2,5x+800 x=32. Luego, si los ingresos fueron de us$880 se venden 32 artículos. 4) FUNCIÓN UTILIDAD: La utilidad es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total. Matemáticamente pudiera expresarse como: Utilidad = Ingreso Total – Costo total
  • 5. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 5 Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será una función lineal de la misma variable. Luego: Utilidad o pérdida U(x)= I(x) - C(x) Ejemplo5: Una empresa vende un artículo a un precio de us$1000, si sus gastos por mano de obra son de us$280 por producto teniendo costos fijos de us$300 mensuales. Solución: El Ingreso total: I(x)= $1000x. El costo total sería: C(x)=280x + 300 La utilidad es: Utilidad = 1000x – (280x + 300) Agrupando tenemos: U(x) = 720x –300.
  • 6. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 6 5) Punto de Equilibrio Se dice que una Empresa está en su Punto de Equilibrio cuando no genera ni Ganancias, ni Pérdidas. Es decir cuando el Beneficio es igual a cero. Gráfico del Punto de Equilibrio (a) Área de Pérdida (b) Área de Ganancia Para encontrar el punto de equilibrio es necesario, hacer la función Utilidad igual a cero (U(x)=0), es decir, igualar la función ingreso total con la función Costo total. Ejemplo6: Supongamos que el costo total diario (en dólares) al producir x artefactos eléctricos está dado por C(x)=2,5x+30 dólares. a) Si cada artefacto se vende a us$5. Determine el punto de equilibrio. b) Si se fabrican 9 artículos, existe pérdida o ganancia? Solución: a) I(x)=5x; C(x)= 2,5x+30
  • 7. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 7 Luego igualando ambas funciones, se tiene: 5x=2,5x+300 x=120 I(120)=600 Resp: El punto de equilibrio es (120,600). b) I(9)=5*9=45; C(9)=2,5*9+30=52,5 Luego, existe ganancia ya que los ingresos son mayores que los costos.
  • 8. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 8 6) LEY DE LA OFERTA Y LA DEMANDA El modelo de - la oferta y demanda describe la interacción en el mercado de un determinado bien entre consumidores y productores, en relación con el precio y las ventas de dicho bien. a) Ley de la Oferta: La oferta es la cantidad de bienes ofrecidos por los proveedores y/o compradores (distintos de los consumidores) del mercado actual. La gráfica se conoce como curva de oferta. Como la oferta es directamente proporcional al precio, (la oferta aumenta si aumenta el precio). Las curvas de oferta son casi siempre crecientes (pendiente positiva). b) Ley de la Demanda: La demanda es la relación de bienes y servicios que los consumidores desean y están dispuestos a comprar dependiendo de su poder adquisitivo. La gráfica se conoce como curva de demanda. Como la demanda es inversamente proporcional al precio, (la demanda aumenta si disminuye el precio). Las curvas de demanda son por lo general decrecientes. Ejemplo7: Una pequeña empresaria puede vender 20 camisetas deportivas al día al precio de $2.500 cada una, pero puede vender 30 si fija un precio de $2.000 cada una. Determine la función de demanda suponiendo que es lineal. Solución: (20,2500); (30,2000) 35005)( )20( 2030 25002000 2500 +−== − − − =− xyxD xy c) Punto de equilibrio: Si el precio de cierto artículo es muy alto, los consumidores no lo comprarán, mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo venderán. El punto de equilibrio ocurre cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Es decir al punto de intersección entre las curvas de Oferta y Demanda.
  • 9. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 9 Ejemplo8: Determine el punto de equilibrio si las funciones de oferta y demanda se detallan a continuación. O (q): p= q+5 D (q): 3p+4q=50 R: p=(50-4q)/3 Igualando se llega a q=5; p=10. Ejemplo9: Dadas las funciones de oferta y demandas siguientes: 2 3 ( ) : 72 5 1 ( ) : 24 30 D q p q O q p q − = + = + En las que “q” representa las unidades del artículo y “p” el precio en dólares por unidad. a) Representa gráficamente las funciones dadas, en el mismo sistema coordenado. Identificando ¿cuál es la función de oferta? y ¿cuál es la de demanda?. b) Halle analíticamente el punto de equilibrio. c) Si se fija un precio de $24, analiza el comportamiento de la oferta y de la demanda. ******************************************************************************************** Bibliografía: -Matemáticas Aplicadas a la Administración y Economía Arya Jagdisch -Matemáticas Aplicadas a la Administración y Economía Budnick Frank
  • 10. Instituto de Matemática, Física y Estadística Mat-170 Página 10