Απαντήσεις Μαθηματικά 1 - Γ ΕΠΑΛ

1. Προτεινόμενες Λύσεις - Μαθηματικά 1
Προτεινόμενες Απαντήσεις - Μαθηματικά 1
21 Μαΐου 2014
Γ’ ΕΠΑ.Λ. - Α’ Ομάδα
Θέμα Α
Α1. (Σχολικό Βιβλίο - σελίδα 212)
Υπάρχουν τρεις κατηγορίες σημείων για μια συνεχή συνάρτηση f, που μπορεί να θεω-
ρηθούν ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων
α. Τα άκρα διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της f.
β. Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν υπάρχει η παράγω-
γος της f. Τα σημεία αυτά καλούνται γωνιακά σημεία της f.
γ. Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχουν η παράγωγος
της f και είναι ίση με μηδέν. Τα σημεία αυτά καλούνται στάσιμα σημεία της f.
Α2. α) Λάθος (ένα δείγμα μπορεί να έχει 2 ή περισσότερες επικρατούσες τιμές)
β) Σωστό (κριτήριο 2ης παραγώγου)
γ) Λάθος
(∫ α
α
f(x) dx = 0
)
δ) Λάθος
(
(f · g)′
(x) = f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
)
ε) Σωστό (ορισμός σχετικής συχνότητας)
Α3. α)
∫ β
α
1
x
dx = [lnx]β
α = lnβ − lnα με β > α > 0
β) (c)′
= 0, αν c σταθερά
γ) x =
x1ν1 + x2ν2 + · · · + xκνκ
v
=
κ∑
i=1
xiνi
ν
Θέμα Β
Χρόνος Κέντρο Συχνότητα Αθρ. Συχν
[α, β) Κi νι Νi Ki · vi x − xi (x − xi)2
(x − xi)2
· νi
[5, 15) 10 20 20 200 10 100 2000
[15, 25) 20 14 34 280 0 0 0
[25, 35) 30 12 46 360 −10 100 1200
[35, 45) 40 4 50 160 −20 400 1600
Σύνολα ν = 50 1000 4800
Β1. Ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξης:
Το κέντρο κάθε κλάσης από τον τύπο Κi =
α + β
2
με i = 1, 2, 3, 4
Επιμέλεια
Πέτρος Χέρας Σελίδα 1 από 4

2. Προτεινόμενες Λύσεις - Μαθηματικά 1
K1 =
5 + 15
2
=
20
2
= 10
K2 =
15 + 25
2
=
40
2
= 20
K3 =
25 + 35
2
=
60
2
= 30
K4 =
35 + 45
2
=
80
2
= 40
Ισχύει Ν1 = ν1 = 20.
Ν2 = Ν1 + ν2 ⇔ ν2 = Ν2 − Ν1 = 34 − 20 = 14
Ν3 = Ν2 + ν3 = 34 + 12 = 46
Ν4 = ν = 50
οπότε Ν4 = Ν3 + ν4 ⇔ ν4 = Ν4 − Ν3 = 50 − 46 = 4
Β2. Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο
x =
4∑
i=1
xivi
v
⇔ x =
1000
50
⇔ x = 20
Β3. Για να υπολογίσουμε την διακύμανση προσθέτουμε βοηθητικές στήλες στον πίνακα.
Η διακύμανση είναι
s2
=
4∑
i=1
(x − xi)2
· vi
v
⇔ s2
=
4800
50
⇔ s2
= 96
H τυπική απόκλιση είναι
s =
√
s2 =
√
96 ≈ 10
Β4. Ο συντελεστής μεταβολής είναι
CV =
s
x
· 100% =
10
20
· 100 = 50%
Είναι CV > 10% επομένως το δείγμα είναι μη ομοιογενές (ανομοιογενές)
Θέμα Γ
Γ1. Είναι
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(4x + 4ex−2
) = 4 · 2 + 4 · e2−2
= 8 + 4 = 12
Γ2. Είναι
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(
x3
− 8
λx − 2λ
)
= lim
x→2+
(x − 2)(x2
+ 2x + 4)
λ(x − 2)
=
22
+ 2 · 2 + 4
λ
=
12
λ
Γ3. Για να είναι συνεχής στο x0 = 2 πρέπει
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) = f(2)
12 =
12
λ
λ = 1
Σελίδα 2 από 4 petros.cheras@gmail.com

3. Προτεινόμενες Λύσεις - Μαθηματικά 1
Γ4. Για υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα, θα πάρουμε τον δεύτερο τύπο
∫ 2
1
f(x) dx =
∫ 2
1
(4x + 4ex−2
) dx =
[
4 ·
x2
2
+ 4ex−2
]2
1
=
[
2x2
+ 4ex−2
]2
1
=
= 2 · 22
+ 4e2−2
−
(
2 · 12
+ 4e1−2
)
= 8 + 4 − 2 − 4e−1
= 10 −
4
e
=
10e − 4
e
Θέμα Δ
Δ1. Ρυθμός μεταβολής είναι παράγωγος της Β(t) οπότε
B′
(t) =
(
−
t3
3
+ 2t2
+ 12t + 15
)′
B′
(t) = −
3t2
3
+ 2 · 2t + 12 · 1 + 0
B′
(t) = −t2
+ 4t + 12 0 < t < 10
Δ2. Χρεάζεται να μελετήσουμε την Β(t) ως προς τα ακρότατα για 0 ≤ t ≤ 10.
Από Δ1 έχουμε την παράγωγο, οπότε
B′
(t) = 0 ⇔ −t2
+ 4t + 12 = 0
Είναι α = −1, β = 4 και γ = 12
Δ = β2
− 4αγ = 42
· (−1) · 12 = 16 + 48 = 64 > 0
οπότε
x1,2 =
−β ±
√
Δ
2α
=
−4 ±
√
64
2 · (−1)
=
−4 ± 8
−2
άρα οι ρίζες είναι
x1 =
−4 − 8
−2
=
−12
−2
= 6 και x1 =
−4 + 8
−2
=
4
−2
= −2
O πίνακας προσήμων της Β′
(t) είναι
t 0 6 10
Β′
(t) + 0 −
Β(t)
τ.μ.
Για t = 6 η Β(t) παρουσιάζει μέγιστο με τιμή Β(6).
Δ3. Από το Δ2 η Β(t) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα t ∈ [6, 10] οπότε
6 ≤ t ≤ 9 ⇔ B(6) ≥ B(t) ≥ B(9) ⇔ B(9) ≤ B(t) ≤ B(6)
Επιμέλεια
Πέτρος Χέρας Σελίδα 3 από 4

4. Προτεινόμενες Λύσεις - Μαθηματικά 1
Δ4. Χρειάζεται να μελετήσουμε την Β′
(t) ως προς τα ακρότατα Η παράγωγος της Β′
(t) είναι
Β′′
(t) =
(
−t2
+ 4t + 12
)′
Β′′
(t) = −2t + 4
Μηδενίζω την Β′′
(t)
Β′′
(t) = 0 ⇔ −2t + 4 = 0 ⇔ 4 = 2t ⇔ t = 2
O πίνακας προσήμων της Β′′
(t) είναι
t 0 2 10
Β′′
(t) + 0 −
Β′
(t)
τ.μ.
Επομένως, από τον προηγούμενο πίνακα, ο ρυθμός μεταβολής του βάρους Β(t) δη-
λαδή η Β′
(t) γίνεται μέγιστος στο t = 2.
Τα θέματα ήταν αναμενόμενα.
Τα θέματα δεν είχαν ιδιαίτερη δυσκολία αλλά σε κάποια σημεία απαιντούνταν ιδιαίτερη
προσοχή των υποψηφίων. Ειδικότερα το Δ3 απαιτούσε και πλήρη κατοχή της θεωρίας.
Επιμέλεια θεμάτων : Ευαγγελία Ανυφαντή & Πέτρος Χέρας
Σελίδα 4 από 4 petros.cheras@gmail.com