Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Hình H c 10 - 1 - Gv : Tr n Duy Thái
TRƯ NG THPT GÒ CÔNG ÔNG
TÀI LI U H C T P
GV: Tr n Duy Thái
CHƯƠNG I: VECTƠ
Hình H c 1...
Hình H c 10 - 3 - Gv : Tr n Duy Thái
• ABCD là hbh ⇒ =AB DC và =BC AD
• N u a = b , b = c thì a = c
Bài t p:
Bài 1: Cho ta...
Hình H c 10 - 5 - Gv : Tr n Duy Thái
- Tính t ng + −( )a b
• V n d ng quy t c − =OA OB BA v i ba i m O, A, B b t kì.
Bài T...
Hình H c 10 - 7 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a và = 0
60B . Tính: +AB BC và
−AB AC .
B...
Hình H c 10 - 9 - Gv : Tr n Duy Thái
a). Ch ng minh t giác HCDB là hình bình hành.
b). Ch ng minh:
+ = 2HA HD HO , + + = 2...
Hình H c 10 - 11 - Gv : Tr n Duy Thái
D ng 3: Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương.
* Phương pháp: Áp d ng...
Hình H c 10 - 13 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài T p:
Bài 1 : Cho 4 i m O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − = . CMR: A, B, C th n...
Hình H c 10 - 15 - Gv : Tr n Duy Thái
+ M thu c ư ng th ng qua A song song v i BC n u ∈k R
+ M thu c n a ư ng th ng qua A ...
Hình H c 10 - 17 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài 10: Cho ∆ ABC, các i m A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm t a trung i m I
c a AC. ...
Hình H c 10 - 19 - Gv : Tr n Duy Thái
a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm to tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC...
Próximo SlideShare
Cargando en…5
×

de

Chuyên đề 1 vector Slide 1 Chuyên đề 1 vector Slide 2 Chuyên đề 1 vector Slide 3 Chuyên đề 1 vector Slide 4 Chuyên đề 1 vector Slide 5 Chuyên đề 1 vector Slide 6 Chuyên đề 1 vector Slide 7 Chuyên đề 1 vector Slide 8 Chuyên đề 1 vector Slide 9 Chuyên đề 1 vector Slide 10
Próximo SlideShare
TỔNG & HIỆU HAI VECTƠ
Siguiente
Descargar para leer sin conexión y ver en pantalla completa.

1 recomendación

Compartir

Descargar para leer sin conexión

Chuyên đề 1 vector

Descargar para leer sin conexión

123

Libros relacionados

Gratis con una prueba de 30 días de Scribd

Ver todo

Audiolibros relacionados

Gratis con una prueba de 30 días de Scribd

Ver todo

Chuyên đề 1 vector

  1. 1. Hình H c 10 - 1 - Gv : Tr n Duy Thái TRƯ NG THPT GÒ CÔNG ÔNG TÀI LI U H C T P GV: Tr n Duy Thái CHƯƠNG I: VECTƠ Hình H c 10 - 2 - Gv : Tr n Duy Thái § 1 : CÁC NH NGHĨA A. TÓM T T LÍ THUY T: • Vectơ là o n th ng có hư ng. Ký hi u : AB ;CD ho c a ; b • Vectơ – không là vectơ có i m u trùng i m cu i. Ký hi u 0 . • Giá c a vectơ là ư ng th ng i qua i m u và i m cu i c a vectơ ó. • Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song ho c trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì ho c cùng hư ng ho c ngư c hư ng • Hai vecto cùng hư ng thì luôn cùng phương. • dài vecto AB chính là dài o n th ng AB. Kí hi u: AB = AB • Hai vectơ b ng nhau n u chúng cùng hư ng và cùng dài V y: , cïng h−íng a b a b a b  = = ⇔   Các phương pháp ch ng minh: • Ba i m A,B,C th ng hàng ⇔ ,AB AC cùng phương. • Ch ng minh = ⇔AB DC ABCD là hình bình hành. B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Xác nh m t vectơ, s cùng phương và hư ng c a hai vectơ Phương pháp gi i: • xác nh vectơ ta c n bi t dài và hư ng c a vectơ, ho c bi t i m u và i m cu i c a vectơ ó. Ví d 2 i m phân bi t A, B ta có 2 vectơ khác nhau là AB và BA . • Vectơ a là vectơ-không khi và ch khi = 0a ho c =a AA v i A là i m b t kì. Bài t p: Bài 1: Cho ∆ABC . Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các c nh c a tam giác ó. Bài 2: Cho 4 i m phân bi t A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t 4 i m ã cho. Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. a). Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các c nh và ư ng chéo c a ngũ giác. b). Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các d nh c a ngũ giác. D ng 2: Kh o sát s b ng nhau c a 2 vectơ. Phương pháp gi i: ch ng minh 2 vectơ b ng nhau có 3 cách: • à cïng h−íng a b a b a v b =  ⇒ = 
  2. 2. Hình H c 10 - 3 - Gv : Tr n Duy Thái • ABCD là hbh ⇒ =AB DC và =BC AD • N u a = b , b = c thì a = c Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB. Tìm các vectơ b ng nhau và ch ng minh. Bài 2: Cho i m M và a . D ng i m N sao cho: a). =MN a b). MN cùng phương v i a và có dài b ng a . Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Li t kê t t c các vectơ b ng nhau (khác 0 ) nh n nh và tâm c a hình vuông làm i m u và i m cu i. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i M, N l n lư t là trung i m các c nh AD, BC. Ch ng minh r ng n u =MN AB và =MN DC , thì ABCD là hình bình hành. Bài 5: Cho t giác ABCD, ch ng minh r ng n u =AB DC thì =AD BC . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. G i E là i m i x ng v i C qua D. Ch ng t : =AE BD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. L y i m M trên o n AB và i m N trên o n CD sao cho AM=CN. Ch ng minh: =AN MC và =MD BN . Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. G i M và N l n lư t là trung i m c a AB và CD. AN và CM l n lư t c t BD t i E và F. Ch ng ming r ng: = =EDE F FB . Bài 9: Cho tam giác ABC và i m M trong tam giác. G i A’, B’, C’ l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB và M, N, P l n lư t là các i m i x ng v i M qua A’, B’, C’. Ch ng minh: a). =AQ CN và =AM PC b). AN, BP, CQ ng quy. Bài 10: Cho l c giác u ABCDEF có tâm O. a). Tìm các vecto khác 0 và cùng phương v i OA . b). Tìm các vecto b ng vecto ,AB OE . Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ t 5 i m A,B,C,D,O: a). B ng vectơ AB ; OB . b). Có dài b ng OB . Bài 12: Cho tam giác u ABC . Các ng th c sau ây úng hay sai? a). =AB BC b). = −AB AC c). =AB AC Bài 13 : Cho t giác ABCD, g i M, N, P, Q l n lư t là trung i m AB, BC, CD, DA. Ch ng minh : = =;MN QP NP MQ . Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai i m M và N l n lư t là trung i m c a BC và AD. G i I là giao i m AM và BN, K là giao i m DM và CN. CMR: = =,AM NC DK NI . Bài 15 : Cho tam giác ABC có tr c tâm H và O tâm là ư ng tròn ngo i ti p . G i B’ là i m i x ng B qua O . Ch ng minh : = 'AH B C . Hình H c 10 - 4 - Gv : Tr n Duy Thái § 2 : T NG VÀ HI U C A CÁC VECTƠ A. TÓM T T LÍ THUY T: * nh nghĩa: Cho =AB a ; =BC b . Khi ó = +AC a b * Tính ch t : * Giao hoán : +a b = +b a * K t h p : ( +a b ) + c = + (a b + c ) * Tính ch t vectơ –không : a + 0 = a * Quy t c 3 i m : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : • = +AB AO OB (phép c ng) • = −AB OB OA (phép tr ) * Quy t c hình bình hành: N u ABCD là hình bình hành thì = +AC AB AD * Vecto i: Vecto i c a vecto a là m t vecto có cùng dài nhưng ngư c hư ng. Kí hi u: −a . V y + − =( ) 0a a . Chú ý: = −AB BA * Tính ch t trung i m và tính ch t tr ng tâm: • I là trung i m AB ⇔ + = 0IA IB • G là tr ng tâm ∆ABC ⇔ + + = 0GA GB GC B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Tìm t ng c a hai vectơ và t ng c a nhi u vectơ Phương pháp gi i: Dùng nh nghĩa t ng c a 2 vectơ, quy t c 3 i m, quy t c hbh và các tính ch t c a t ng các vectơ Bài t p: Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai i m M và N l n lư t là trung i m c a BC và AD. a). Tìm t ng c a 2 vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC . b). Ch ng minh + = +AM AN AB AD . Bài 2: Cho l c giác u ABCDEFF tâm O. Ch ng minh + + + + + =OF 0OA OB OC OD OE . Bài 3: Cho năm i m A, B, C, D, E. Hãy tính t ng + + +AB BC CD DE . D ng 2: Tìm vectơ i và hi u c a 2 vectơ Phương pháp gi i: • Theo nh nghĩa, tìm hi u a - b , ta làm hai bư c sau: - Tìm vectơ i c a b
  3. 3. Hình H c 10 - 5 - Gv : Tr n Duy Thái - Tính t ng + −( )a b • V n d ng quy t c − =OA OB BA v i ba i m O, A, B b t kì. Bài T p: Bài 1: Cho tam giac ABC. Các i m M, N và P l n lư t là trung i m c a AB, AC và BC. a). Tìm hi u − − − −, , ,AM AN MN NC MN PN BP CP . b). Phân tích AM theo 2 vectơ MN và MP . Bài 2: Cho 4 i m A, B, C, D. Ch ng minh − = −AB CD AC BD Bài 3: Cho 2 i m phân bi t A và B. Tìm i m M th a mãn 1 trong các i u ki n sau: a). − =MA MB BA b). − =MA MB AB c). + = 0MA MB Bài 4: Ch ng minh r ng i m I là trung i m c a o n th ng AB khi và ch khi = −IA IB . D ng 3: Ch ng minh ng th c vectơ: Phương pháp gi i: + S d ng qui t c ba i m;quy t c hình bình hành; trung i m. + V n d ng các các ch ng minh ng th c: bi n i VT thành VP và ngư c l i; bi n i hai v cùng thành m t ng th c; bi n i ng th c ã cho thành m t ng th c luôn úng. Bài t p: Bài 1: Cho 4 i m b t kỳ A, B, C, D. Ch ng minh các ng th c sau: a). + = +AC BD AD BC b). + = +AB CD AD CB c). − = −AB CD AC BD . Bài 2: Cho 6 i m A, B, C, D, E, F tùy ý. Ch ng minh r ng: + + = + +E AAC BD F F BC ED . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ch ng minh: − = −BD BA OC OB và − + = 0BC BD BA . Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là i m tùy ý. Ch ng minh: + =AB OA OB và + = +MA MC MB MD . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. G i M và N là trung i m c a AD và BC. Ch ng minh r ng: a). + + = 0AD MB NA b). − + = 0CD CA CB Bài 6: Cho 6 i m A, B, C, D, E, F. CMR : (B ng nhi u cách khác nhau) a). + = +AB CD AD CB b). − = +AB CD AC DB c). − = −AB AD CB CD d). + + + = 0AB BC CD DA e). + + = + +AD BE CF AE BF CD f) + − − + =AC DE DC CE CB AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: + = +MA MC MB MD Bài 8: ∆ ABC có G là tr ng tâm, các i m M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC, CA. Ch ng minh + + = 0GM GN GP Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: Hình H c 10 - 6 - Gv : Tr n Duy Thái a). − =CO OB BA b). − =AB BC DB c). − = −DA DB OD OC d). − + = 0DA DB DC Bài 10: Cho ∆ABC . Bên ngoài c a tam giác v các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Ch ng minh: + + = 0RJ IQ PS . Bài 11: Cho l giác u ABCDEF có tâm là O . CMR : a). OA +OB +OC +OD +OE +OF = 0 b). OA +OC +OE = 0 c). AB + AO + AF = AD d). MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 12: Cho 7 i m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Ch ng minh r ng : a). AB + CD + EA = CB + ED b). AD + BE + CF = AE + BF + CD c). AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF d). AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 Bài 13: Cho tam giác ABC. G i M,N,P là trung i m AB, AC, BC. CMR: v i i m O b t kì: + + = + +OA OB OC OM ON OP Bài 14 : Cho tam giác ABC . G i A’ la i m i x ng c a B qua A, B’ là i m i x ng v i C qua B, C’ là i m i x ng c a A qua C. V i m t i m O b t kỳ, CMR: + + = + +' ' 'OA OB OC OA OB OC Bài 15: Cho tam giác ABC n i ti p trong ư ng tròn tâm O , tr c tâm H , v ư ng kính AD a). Ch ng minh r ng HB + HC = HD b). G i H’ là i x ng c a H qua O .Ch ng minh r ng HA + HB + HC = 'HH Bài 16: CMR: =AB CD khi và ch khi trung i m c a hai o n th ng AD và BC trùng nhau. Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . t AO = a ; BO = b Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác nh i m M sao cho − + = 0MA MB MC D ng 4: Tính dài c a vectơ: Phương pháp gi i: ưa t ng ho c hi u c a các vectơ v m t vectơ có dài là m t c nh c a a giác. Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a, AC=2a. Tính: +AB AC và −AB AC Bài 2: Cho tam giác u ABC c nh a. Tính: +AB BC và −CA CB .
  4. 4. Hình H c 10 - 7 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 3: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a và = 0 60B . Tính: +AB BC và −AB AC . Bài 4: Cho tam giác u ABC c nh a và ư ng cao AH. Tính: +AB AC ; +AB BH ; −AB AC . Bài 5: Cho hình vuông ABCD c nh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a Bài 6: Cho hình thoi ABCD có = 0 60BAD và c nh là a. G i O là giao i m hai ư ng chéo. Tính: a. +AB AD b. −BA BC c. −OB DC Bài 7: Cho hình vuông ABCD c nh a có O là giao i m hai ư ng chéo. Tính a. −OA CB b. +AB DC c. −CD DA Bài 8: Cho hình ch nh t ABCD. G i O là giao i m c a hai ư ng chéo AC và BD. a. V i M tùy ý, Hãy ch ng minh + = +MA MC MB MD b. Ch ng minh r ng: + = −AB AD AB AD Bài 9: Cho 2 véc tơ a và b cùng khác 0 . Khi nào thì: a) + = +a b a b ; b) + = −a b a b ; C) − = −a b a b Bài 10: Tìm tính ch t tam giác ABC, bi t r ng : CA + CB  = CA - CB § 3. TÍCH C A VECTƠ V I M T S A. TÓM T T LÍ THUY T: * Cho s th c ≠ 0k , a ≠ 0 . Tích c a m t s th c k và vecto a là 1 vectơ, kí hi u: ka và ư c xác nh: N u k > 0 thì k a cùng hư ng v i a ; k < 0 thì k a ngư c hư ng v i a . dài: .k a = k . a  Tính ch t : a). k(m a ) = (km) a b). (k + m) a = k a + m a c). k( a + b ) = k a + k b d). k a = 0 ⇔ k = 0 ho c a = 0 Hình H c 10 - 8 - Gv : Tr n Duy Thái • b cùng phương a ( a ≠ 0 ) khi và ch khi có s k th a b =k a . • i u ki n c n và A , B , C th ng hàng là có s k sao cho AB =k AC . • Tính ch t trung i m và tính ch t tr ng tâm: I trung i m o n th ng AB, v i m i i m M b t kỳ: + = 2MA MB MI . G là tr ng tâm ∆ABC , v i m i i m M b t kỳ: + + = 3MA MB MC MG . • Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương: Cho b , a là hai vecto không cùng phương, v i m i x tùy ý, khi ó: x = m a + n b ( m, n duy nh t ). B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Ch ng minh ng th c vectơ: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr: + + =2 3AB AC AD AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n, D là trung i m c a AM. Cm: a). + + =2 0DA DB DC b). + + =2 4OA OB OC OD ( v i O tùy ý) Bài 3: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm. CMR: + + = 3MA MB MC MG , v i M b t kỳ. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i M, N l n lư t là trung i m c a 2 ư ng chéo AC và BD. CMR: + = 2AB CD MI Bài 5: G i I, J l n lư t là trung i m c a o n th ng AB và CD. Ch ng minh r ng: 2 = + = +IJ AC BD AD BC Bài 6: CMR n u G và G' l n lư t là tr ng tâm c a ∆ ABC và ∆ A'B'C' thì = + +3 ' ' ' 'GG AA BB CC Bài 7: Cho t giác ABCD. G i E,F là trung i m c a AB, CD và O là trung i m EF. CMR: a). ( )= + 1 2 EF AC BD b). + + + = 0OA OB OC OD c). + + + = 4MA MB MC MD MO (M là i m b t kỳ) Bài 8: G i M,N là trung i m AB và CD c a t giác ABCD. Cmr: = + = +2MN AC BD BC AD Bài 9: Cho tam giác ABC. G i M,N,P l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB. CMR: + + = 0AM BN CP . Bài 10: CMR: n u G và G’ là tr ng tâm c a hai tam giác ABC và A’ B’ C’ thì + + =' ' ' ' 3AA BB CC GG . Suy ra i u ki n hai tam giác có cùng tr ng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng: G là tr ng tâm tam giác ABC ⇔ + + = 0GA GB GC ⇔ + + = 3MA MB MC MG . Bài 12: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm O, H là tr c tâm c a tam giác, D là i m i x ng c a A qua O.
  5. 5. Hình H c 10 - 9 - Gv : Tr n Duy Thái a). Ch ng minh t giác HCDB là hình bình hành. b). Ch ng minh: + = 2HA HD HO , + + = 2HA HB HC HO , + + =OA OB OC OH . c). G i G là tr ng tâm tam giác ABC. CMR: = 3OH OG . T ó có k t lu n gì v 3 i m O,H,G. Bài 13: Cho t giác ABCD. a). G i M,N là trung i m AD, BC, ch ng minh: ( )= + 1 2 MN AB DC b). G i O là i m n m trên o n MN và OM = 2ON. CMR: − − + =2 2 0OA OB OC OD Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là tr ng tâm c a tam giác và M là m t i m tuỳ ý trong m t ph ng. CMR: a). 0+ + =GB GB GC b). 3+ + =MB MB MC MG . Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. ;= =AO a BO b a). Ch ng minh r ng: 2+ =AB AD AI b). Tính ; ; ; ; ;AC BD AB BC CD DA theo ;a b . Bài 16: Cho 4 i m A, B, C, D; M, N l n lư t là trung i m c a AB, CD. Ch ng minh r ng: 4+ + + =AD BD AC BC MN . Bài 17: G i O; H; G l n lư t là tâm ư ng tròn ngo i ti p, tr c tâm; tr ng tâm c a tam giác ABC. Ch ng minh r ng: a) 2+ + =HA HB HC HO b) 2=HG GO . Bài 18: Cho tam giác u ABC tâm O. M là m t i m tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F l n lư t là hình chi u c a nó trên BC, CA, AB. Ch ng minh r ng: 3 2 + + =MD ME MF MO . Bài 19: Cho 4 i m A, B, C, D; I, F l n lư t là trung i m c a BC, CD. CM: ( )2 3+ + + =AB AI FA DA DB . Bài 20: Cho tam giác ABC v i G là tr ng tâm; H là i m i x ng v i B qua G. CM: a). 2 1 AC AB 3 3 = −AH ; ( )1 AB AC 3 = − +CH . b). M là trung i m c a BC. CM: 1 5 AC AB 6 6 = −MH . D ng 2: Tìm m t i m th a m t ng th c vecto cho trư c. * Phương pháp tìm i m M th a m t ng th c vecto cho trư c: • B1: Bi n i ng th c ã cho v d ng: =AM u , trong ó A là i m c nh, u c nh. • B2: D ng i m M th a =AM u . Hình H c 10 - 10 - Gv : Tr n Duy Thái Bài T p: Bài 1: Cho hai i m phân bi t A và B. tìm i m K sao cho: + =3 2 0KA KB . Bài 2: Cho tam giác ABC. a). Tìm i m I sao cho + =2 0IA IB b). Tìm i m O sao cho + + = 0OA OB OC c). Tìm i m K sao cho + =2KA KB CB d). Tìm i m M sao cho + + =2 0MA MB MC Bài 3: Cho t giác ABCD. Tìm i m O sao cho + + + = 0OA OB OC OD Bài 4: Cho tam giác ABC. a). Tìm i m I sao cho + =2 3 0IB IC b). Tìm i m J sao cho − − =2 0JA JB JC c). Tìm i m K sao cho + + =KA KB KC BC d). Tìm i m K sao cho + + = 2KA KB KC BC e). Tìm i m L sao cho − + =3 2 0LA LB LC HD: c). G i G là tr ng tâm tam giác ABC, khi ó v i m i K ta có: + + = 3KA KB KC KG e). − + = − + +3 2 ( ) 2( )LA LB LC LA LB LA LC . Sau ó áp d ng quy t c 3 i m và h th c trung i m. Bài 5: Cho hai i m A, B. Xác nh i m M bi t: 2 3 0− =MA MB Bài 6: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m c a AB và N là m t i m trên c nh AC sao cho NC=2NA. a). Xác nh i m K sao cho: 3 2 12 0+ − =AB AC AK b). Xác nh i m D sao cho: 3 4 12 0+ − =AB AC KD Bài 7: Cho các i m A, B, C, D, E. Xác nh các i m O, I, K sao cho: ). 2 3 0 ). 0 ). 3( ) 0 + + = + + + = + + + + = a OA OB OC b IA IB IC ID c KA KB KC KD KE Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác nh các i m M, N sao cho: a). 2 0+ =MA MB b). 2+ =NA NB CB . Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác nh i m M tho mãn: 3 = + +AM AB AC AD . Bài 10: Cho t giác ABCD. Xác nh v trí i m O tho mãn: 0+ + + =OA OB OC OD
  6. 6. Hình H c 10 - 11 - Gv : Tr n Duy Thái D ng 3: Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương. * Phương pháp: Áp d ng các ki n th c: * Quy t c 3 i m: = +AB AO OB (phép c ng) = −AB OB OA (phép tr ) * Quy t c ư ng chéo hình bình hành: N u ABCD là hình bình hành thì = +AC AB AD * Tính ch t trung i m: I là trung i m AB ⇔ + = 0IA IB ⇔ + = 2MA MB MI (M b t kỳ) * Tính ch t tr ng tâm: G là tr ng tâm ∆ABC ⇔ + + = 0GA GB GC ⇔ + + = 3MA MB MC MG (M b t kỳ) Bài T p: Bài 1: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. Cho các i m D,E,F l n lư t là trung i m các c nh BC, CA, AB. I là giao i m AD và EF. Hãy phân tích các vecto , , ,AI AG DE DC theo hai vecto ,AE AF . Bài 2: Cho tam giác ABC. i m M trên c nh BC sao cho = 3MB MC . Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 3: Cho tam giác ABC. i m M trên c nh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuy n c a tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto , ,AB BC CA theo hai vecto ,AK BM . Bài 5: Cho tam giác ABC v i tr ng tâm G. G i I là trung i m c a o n AG, K là i m trên c nh AB sao cho = 1 5 AK AB . Hãy phân tích , , ,AI AK CI CK theo ,CA CB . Bài 6: Cho l c giác u ABCDEF tâm O c nh a. a. Phân tích vecto AD theo hai vecto ,AB AF . b. Tính dài = + 1 1 2 2 u AB BC theo a. Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuy n AM. Phân tích AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 8: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m AB, N là i m trên c nh AC sao cho NA = 2NC. G i K là trung i m MN. Phân tích vecto AK theo ,AB AC . Hình H c 10 - 12 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 9: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m AB, N là i m trên c nh AC sao cho NC = 2NA. G i K là trung i m MN. a. Phân tích vecto AK theo ,AB AC . b. G i D là trung i m BC. Cm: = + 1 1 4 3 KD AB AC . Bài 10: Cho tam giác ABC. G i M,N,P là trung i m BC,CA,AB. Tính các vecto , ,AB BC CA theo các vecto ,BN CP Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung i m CD. Hãy phân tích AE theo hai vecto ,AD AB . Bài 12: Cho tam giác ABC, g i G là tr ng tâm và H là i m i x ng c a B qua G. a). Ch ng minh: = − 2 1 3 3 AH AC AB , ( )= − + 1 3 BH AB AC . b). G i M là trung i m BC, ch ng minh: = − 1 5 6 6 MH AC AB . Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. t = =,AB a AD b . Hãy tính các vecto sau ây theo ,a b . a). AI (I là trung i m BO). b). BG (G là tr ng tâm tam giác OCD). * S: = + = − + 3 1 1 5 4 4 2 6 AI a b BG a b Bài 14: Cho tam giác ABC và G là tr ng tâm. B1 i x ng v i B qua G. M là trung i m BC. Hãy bi u di n các véc tơ AM , 1 1 1, , , ,AG BC CB AB MB qua hai véc tơ ,AB AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, g i I là i m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI và J thu c BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a). Tính ,AI AJ theo hai véc tơ ,AB AC . T ó bi u di n ,AB AC theo ,AI AJ . b). G i G là tr ng tâm tam giác ABC. Tính AG theo ,AI AJ . D ng 4: Ch ng minh ba i m th ng hàng: * Phương pháp: Ba i m A,B,C th ng hàng ⇔ = .AB k AC ch ng minh ư c i u này ta có th áp d ng m t trong hai phương pháp: + Cách 1: Áp d ng các quy t c bi n i véctơ. + Cách 2: Xác nh hai véctơ trên thông qua t h p trung gian.
  7. 7. Hình H c 10 - 13 - Gv : Tr n Duy Thái Bài T p: Bài 1 : Cho 4 i m O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − = . CMR: A, B, C th ng hàng. Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n. G i I là trung i m AM và K là m t i m trên c nh AC sao cho AK = 1 3 AC. a). Phân tích vecto ,BK BI theo hai vecto ,BA BC b). Ch ng minh ba i m B, I, K th ng hàng. Bài 3: Cho ∆ ABC. I là i m trên c nh AC sao cho = 1 4 CI AC , J là i m mà = − 1 2 2 3 BJ AC AB a). Ch ng minh r ng = − 3 4 BI AC AB b). Ch ng minh B, I, J th ng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC. G i I là trung i m c a BC; D và E là hai i m sao cho: = =BD DE EC a). Ch ng minh: + = +AB AC AD AE . b). Tính véctơ: = + + +AS AB AD AC AE theo AI . c). Suy ra ba i m A, I, S th ng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC. t ;= =AB u AC v a). G i P là i m i x ng v i B qua C. Tính AP theo ;u v ? b). Q i Q và R là hai i m nh b i: 1 1 ; 2 3 = =AQ AC AR AB . Tính ;RP RQ theo ;u v . c). Suy ra P, Q, R th ng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC, tr ng tâm G. L y i m I, J sao cho: 2 3 0+ =IA IC , 2 5 3 0+ + =JA JB JC a). CMR: M, N, J th ng hàng v i M, N là trung i m c a AB và BC. b). CMR: J là trung i m c a BI. Bài 7: Cho tam giác ABC, tr ng tâm G. L y các i m I, J tho mãn: 2=IA IB ; 3 2 0+ =JA JC . Ch ng minh IJ i qua tr ng tâm G c a tam giác ABC. Bài 8: Cho tam giác ABC. L y các i m M, N, P tho mãn: 0+ =MA MB 3 2 0; 2− = =AN AC PB PC . Ch ng minh: M, N, P th ng hàng. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. L y các i m I, J tho mãn: 3 2 2 0+ − =JA JC JD 2 2 0− + =JA JB JC . Hình H c 10 - 14 - Gv : Tr n Duy Thái Ch ng minh : I, J, O th ng hàng v i O là giao i m c a AC và BD. Bài 10: Cho tam giác ABC. L y các i m M, N, P sao cho: 3 0− =MB MC , 3=AN NC , 0+ =PA PB . Ch ng minh r ng M, N, P th ng hàng. Bài 11: Cho tam giác ABC và i m M th a 3 2= −AM AB AC .Ch ng minh B,M,C th ng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC .G i M, N l n lư t là các i m thu c c nh AB, AC sao cho AM= 1 2 MB , AN= 3NC và i m P xác nh b i h th c 4 9 0+ =PB PC . G i K là trung i m MN. a). Ch ng minh: 1 3 6 8 = +AK AB AC . b). Ch ng minh : Ba i m A, K, P th ng hàng. Bài 13 : Cho tam giác ABC. Hai i m M, N ư c xác nh b i các h th c + = − − =; 3BC MA O AB NA AC O . Ch ng minh MN // AC D ng 4: Ch ng minh hai i m trùng nhau: * Phương pháp : ch ng minh M và M' trùng nhau, ta l a ch n m t trong hai hư ng: + Cách 1: Ch ng minh ' 0=MM + Cách 2: Ch ng minh '=OM OM v i O là i m tuỳ ý. Bài 1: Cho t giác l i ABCD. G i M, N, P, Q l n lư t là trung i m c a AB, BC, CD, DA. Ch ng minh r ng hai tam giác ANP và CMQ có cùng tr ng tâm. Bài 2: Cho l c giác ABCDEF. G i M,N,P,Q,R,S l n lư t là trung i m các c nh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng tr ng tâm. Bài 3: Cho t giác ABCD. G i M,N,P,Q là trung i m các c nh AB,BC,CD,DA. Cmr hai tam giác ANP và CMQ có cùng tr ng tâm. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i I,J là trung i m c a AB và CD. a). CMR: + = + = 2AC BD AD BC IJ . b). G i G là trung i m IJ. Cm: + + + = 0GA GB GC GD . c). G i P, Q là trung i m các o n th ng AC và BD, M và N là trung i m AD và BC. CMR: Ba o n th ng IJ, PQ, MN có chung trung i m. D ng 5: Qu tích i m *Phương pháp: i v i các bài toán qu tích, h c sinh c n nh m t s qu tích cơ b n sau: - N u =MA MB v i A, B cho trư c thì M thu c ư ng trung tr c c a o n AB. - N u .=MC k AB v i A, B, C cho trư c thì M thu c ư ng tròn tâm C, bán kính b ng .k AB . - N u =MA kBC thì
  8. 8. Hình H c 10 - 15 - Gv : Tr n Duy Thái + M thu c ư ng th ng qua A song song v i BC n u ∈k R + M thu c n a ư ng th ng qua A song song v i BC và cùng hư ng BC n u + ∈k R + M thu c n a ư ng th ng qua A song song v i BC và ngư c hư ng BC n u − ∈k R * Bài t p áp d ng: Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm t p h p nh ng i m M tho mãn: a). 3 2 + + = +MA MB MC MB MC b). 3 2 2+ − = − −MA MB MC MA MB MC Bài 2: Cho tam giác ABC. M là i m tuỳ ý trong m t ph ng. a). CMR: véctơ 3 5 2= − +v MA MB MC không i. b). Tìm t p h p nh ng i m M tho mãn: 3 2 2+ − = −MA MB MC MB MC § 4. H TR C T A A. TÓM T T LÍ THUY T: 1. nh nghĩa t a c a m t vectơ, dài i s c a m t vectơ trên m t tr c • = ⇔ = +1 2 1 2( ; ) . .a a a a a i a j • M có t a là (x; y) ⇔ = +. .OM x i y j • ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y ( )⇒ = − −;B A B AAB x x y y 2. T a c a + −, , ka b a b a * Cho = = ∈1 2 1 2( ; ), ( ; ), k Ra a a b b b Ta có: + = + +1 1 2 2( ; )a b a b a b ; − = − −1 1 2 2( ; )a b a b a b ; ( )= 1 2;ka ka ka * Hai vectơ a và b ( a ≠ 0 ) cùng phương ⇔ k∃ ∈» : =  = 1 1 2 2 b ka b ka 3.+ I là trung i m c a o n th ng AB ta có: + =  + =  2 2 I A B A B I x x x y y y + G là tr ng tâm c a tam giác ABC ta có: + + =  + + =  3 3 G A B C A B C G x x x x y y y y Hình H c 10 - 16 - Gv : Tr n Duy Thái B. CÁC D NG BÀI T P: D ng1: Xác nh t a c a véctơ và c a m t i m trên mp t a Oxy: Phương pháp gi i: Căn c vào nh nghĩa t a c a vectơ và t a c a m t i m trêm mp t a Oxy. * N u bi t t a hai i m A (xA,yA), B(xB, yB) th ta tính ư c t a c a = − −: ( ; )B A B AAB AB x x y y . * N u M và N có t a l n lư t là a, b thì = −MN b a Bài t p: Bài 1: Trên tr c (O, i ) cho hai i m M và N có t a l n lư t là -5; 3. tìm t a i m P trên tr c sao cho = 1 2 PM PN Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chi u cao ng v i c nh AD=3, góc BAD=600 , ch n h tr c (A; ,i j ) sao cho i và AD cùng hư ng. Tìm t a các vectơ , , ,AB BC CD AC . Bài 3: Trên tr c x'Ox cho 2 i m A, B có t a l n lư t là −2 và 5. a). Tìm t a c a → AB . b). Tìm t a trung i m I c a o n th ng AB. c). Tìm t a c a i m M sao cho 2 → MA + 5 → MB = 0 . d). Tìm t a i m N sao cho 2 NA + 3 NB = −1. Bài 4: Trên tr c x'Ox cho 3 i m A, B, C có t a l n lư t là a, b, c. a). Tìm t a trung i m I c a AB. b). Tìm t a i m M sao cho → MA + → MB − → MC = 0 . c). Tìm t a i m N sao cho 2 → NA − 3 → NB = → NC . Bài 5: Trên tr c x'Ox cho 2 i m A, B có t a l n lư t là −3 và 1. a). Tìm t a i m M sao cho 3 MA − 2 MB = 1. b). Tìm t a i m N sao cho NA + 3 NB = AB . Bài 6: Trên tr c x'Ox cho 4 i m A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a). CMR : 1 AC + 1 AD = 2 AB b). G i I là trung i m AB. CMR: 2 . =IC ID IA c). G i J là trung i m CD. CMR: . .=AC AD AB AJ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm t a nh D. Bài 8: Cho ∆ ABC, các i m M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) l n lư t là trung i m c a các c nh BC; CA; AB. Tìm t a các nh c a tam giác. Bài 9: Cho ∆ ABC, các i m M(1;1); N(2;3) và P(0;4) l n lư t là trung i m c a các c nh BC; CA; AB. Tìm t a các nh c a tam giác.
  9. 9. Hình H c 10 - 17 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 10: Cho ∆ ABC, các i m A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm t a trung i m I c a AC. Tìm t a i m D sao cho t giác ABCD là hình bình hành. Bài 11: Cho 3 i m A(2;5); B(1;1); C(3;3). a). Tìm t a i m D sao cho = −3 2AD AB AC . b). Tìm t a i m E sao cho t giác ABCE là hình bình hành. Tìm t a tâm hình bình hành ó. Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C n m trên Oy và tr ng tâm G n m trên Ox. Tìm t a C. D ng 2: Tìm t a c a các vectơ + −; ;u v u v ku Phương pháp gi i: Tính theo công th c t a + −; ;u v u v ku Bài t p: Bài 1: Cho = = =(2;1); (3;4); (7;2)a b c . a).Tìm t a c a vectơ = − +2 3u a b c . b).Tìm t a vectơ + = −x a b c . c).Tìm hai s j; k sao cho = +c ka lb . Bài 2: Cho = = − = − −(1;2); ( 3;1); ( 4; 2)a b c a). Tìm t a các vectơ = − +2 4u a b c ; = − + − 1 1 3 2 v a b c ; = + +3 2 4u a b c . và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương v i véctơ i và cùng phương v i j . b). Tìm các s m, n sao cho = +a mb nc . Bài 3: Tìm x các c p vectơ sau cùng phương a). (2;3) (4; )a v b x= = . b). (0;5) ( ;7)u v b x= = . c). ( ; 3) ( 2;2 )m x v n x= − = − . Bài 4: Bi u di n véc tơ c theo các véc tơ ;a b bi t: a). (2; 1); ( 3;4); ( 4;7)− − −a b c b). (1;1); (2; 3); ( 1;3)− −a b c . Bài 5: Cho b n i m A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy bi u di n véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC . Bài 6: Bi u di n véc tơ c theo các véc tơ ;a b bi t: a). ( 4;3); ( 2; 1); (0;5)− − −a b c b). (4;2); (5;3); (2;0)a b c . Bài 7: Cho b n i m A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy bi u di n véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC Hình H c 10 - 18 - Gv : Tr n Duy Thái D ng 3: Ch ng minh 3 i m th ng hàng: Phương pháp gi i: S d ng i u ki n c n và sau: * Hai vectơ ≠, 0)a b cùng phương khi và ch khi có s k =a kb * Ba i m phân bi t A, B, C th ng hàng khi và ch khi có s k =AB kAC Bài t p: Bài 1: Cho 3 i m A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Ch ng minh r ng 3 i m A; B; C th ng hàng. Bài 2: Cho 3 i m M( 4 7 ; 3 3 ); N(2;1) và P(1;3). Ch ng minh r ng 3 i m M; N; P th ng hàng. Bài 3: Cho 3 i m A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x (-7; x) thu c ư ng th ng AB. Bài 4: Cho 3 i m A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5). a). Ch ng minh r ng 3 i m A; B; C th ng hàng. b). Tìm t a i m D sao cho A là trung i m c a BD. c). Tìm t a i m E trên tr c Ox sao cho A; B; E th ng hàng. Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm to : a). i m M trên tr c hoành sao cho A,B,M th ng hàng. b). i m N trên tr c tung sao cho A, B, N th ng hàng. c). i m P khác i m B sao cho A, B, P th ng hàng và 2 5=PA . Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm to : a). i m M trên tr c hoành sao cho A,B,M th ng hàng. b). i m N trên tr c tung sao cho A, B, N th ng hàng. c). i m P khác i m B sao cho A, B, P th ng hàng và 3 5=PA . Bài 7: Tìm i m P trên ư ng th ng (d): x+y=0 sao cho t ng kho ng cách t P t i A và B là nh nh t, bi t: a). A(1;1) và B(-2;-4) b). A(1;1) và B(3;-2) D ng 4: Xác nh i m th a mãn m t ng th c vectơ, dài: Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC v i A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a). Xác nh to i m E sao cho 2=AE BC b). Xác nh to i m F sao cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC v i A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác nh to : a). Tr ng tâm G b). Véc tơ trung tuy n AA1 c). Tâm I c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác. d). i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm i m M sao cho 2 2 +M Mx y nh nh t. Bài 4: Cho tam giác ABC v i A(4;6); B(1;4); C(7; 3 2 )
  10. 10. Hình H c 10 - 19 - Gv : Tr n Duy Thái a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm to tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC v i A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm to c a: a). Tr ng tâm G c a tam giác . b). Vectơ trung tuy n ng v i c nh BC. c). i m D sao cho ABCD là hình bình hành. d). Tâm I ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. e). i m M bi t: 2 3= −CM AB AC . f). i m N bi t: 2 4 0+ − =AN BN CN . Bài 6: Cho tam giác ABC v i A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm to i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài T p T ng H p: Bài 1: Trong h tr c Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) a). Tìm t a 2 3AB BC AC+ − . b). Tìm t a trung i m M c a BC. c). Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác ABC. d). Bi u di n AG theo ,AB AC . e). Tìm t a i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm t a tâm I c a hình bình hành này. f). Tìm t a i m E thu c Ox sao cho ABCE là hình thang. Tìm t a giao i m hai ư ng chéo c a hình thang này. Bài 2: Trong h tr c to oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a). Tính chu vi tam giác ABC. b). Tìm to tr c tâm H c a tam giác ABC. c). Tìm to i m I bi t 3 2 0+ + =AI BI CI Bài 3: Trong m t ph ng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Ch ng minh r ng A, B, C là 3 nh c a m t tam giác. Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác. b). Tìm D BCGD là hình bình hành. Bi u di n AG theo hai ,AB AD . c). Tìm t a M th a 2 5+ + + = −AM AG MB CM BC . d). Tìm N thu c c nh BC sao cho di n tích tam giác ANB g p 7 l n di n tích tam giác ANC. Bài 4: Trong m t ph ng Oxy cho các i m A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4). a). Tìm t a i m D t giác ABCD là hình bình hành. b). Tìm t a i m N trên tr c hoành sao cho ba i m A, B, N th ng hàng. c). Tìm t a M thu c BC th a 7∆ ∆=AMB ABCS S d). G i M, P l n lư t là trung i m cu AB và BC. Phân tích AC theo hai vectơ AP và CM . Bài 5: : Cho hai i m A(3 , 4) ; B(2 ; 5 ) . a). Tìm to i m A’ i x ng v i A qua B . b). Tìm to i m D trên Ox sao cho 3 i m A , B , D th ng hàng . Hình H c 10 - 20 - Gv : Tr n Duy Thái c). Tìm to i m C sao cho O là tr ng tâm c a tam giác ABC. Bài 6: Trong m t ph ng v i h to Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC và M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh BC, CA, AB. Ch ng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng tr ng tâm. Bài 7: Trong m t ph ng t a Oxy cho G(1 ; 2). Tìm t a i m A thu c Ox và B thu c Oy sao cho G là tr ng tâm tam giác OAB. Bài 8: Trong h tr c Oxy cho các véctơ (2; 1), ( 1; 3), (3;1)a b c= − = − − = . a). Tìm to c a các véctơ , , 2 3 4 .u a b v a b c w a b c= + = − + = − + b). Bi u di n véctơ c theo hai véctơ a và b . c). Tìm to c a véctơ d sao cho 2 3a d b c+ = − . Bài 9: Trong m t ph ng to Oxy cho ba i m A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; 5 ) . a). Xác nh to i m M sao cho 2 0AB AC AM− + = b). Xác nh to i m P trên tr c tung sao cho P th ng hàng v i A và B . Bài 10: Trong m t ph ng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Ch ng minh r ng A, B, C là 3 nh c a m t tam giác. Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác. b). Tìm D BCGD là hình bình hành. Bi u di n AG theo hai ,AB AD . c). Tìm t a M th a 2 5+ + + = −AM AG MB CM BC . ..........H t.......... “Trên bư c ư ng thành công, không có d u chân c a nh ng k lư i bi ng”
  • mKhanh3

    Jan. 27, 2021

123

Vistas

Total de vistas

419

En Slideshare

0

De embebidos

0

Número de embebidos

2

Acciones

Descargas

7

Compartidos

0

Comentarios

0

Me gusta

1

×