Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Hình H c 10 - 1 - Gv : Tr n Duy Thái
TRƯ NG THPT GÒ CÔNG ÔNG
TÀI LI U H C T P
GV: Tr n Duy Thái
CHƯƠNG I: VECTƠ
Hình H c 1...
Hình H c 10 - 3 - Gv : Tr n Duy Thái
• ABCD là hbh ⇒ =AB DC và =BC AD
• N u a = b , b = c thì a = c
Bài t p:
Bài 1: Cho ta...
Hình H c 10 - 5 - Gv : Tr n Duy Thái
- Tính t ng + −( )a b
• V n d ng quy t c − =OA OB BA v i ba i m O, A, B b t kì.
Bài T...
Hình H c 10 - 7 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a và = 0
60B . Tính: +AB BC và
−AB AC .
B...
Hình H c 10 - 9 - Gv : Tr n Duy Thái
a). Ch ng minh t giác HCDB là hình bình hành.
b). Ch ng minh:
+ = 2HA HD HO , + + = 2...
Hình H c 10 - 11 - Gv : Tr n Duy Thái
D ng 3: Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương.
* Phương pháp: Áp d ng...
Hình H c 10 - 13 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài T p:
Bài 1 : Cho 4 i m O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − = . CMR: A, B, C th n...
Hình H c 10 - 15 - Gv : Tr n Duy Thái
+ M thu c ư ng th ng qua A song song v i BC n u ∈k R
+ M thu c n a ư ng th ng qua A ...
Hình H c 10 - 17 - Gv : Tr n Duy Thái
Bài 10: Cho ∆ ABC, các i m A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm t a trung i m I
c a AC. ...
Hình H c 10 - 19 - Gv : Tr n Duy Thái
a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm to tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC...
Próximo SlideShare
Cargando en…5
×

de

Chuyên đề 1 vector Slide 1 Chuyên đề 1 vector Slide 2 Chuyên đề 1 vector Slide 3 Chuyên đề 1 vector Slide 4 Chuyên đề 1 vector Slide 5 Chuyên đề 1 vector Slide 6 Chuyên đề 1 vector Slide 7 Chuyên đề 1 vector Slide 8 Chuyên đề 1 vector Slide 9 Chuyên đề 1 vector Slide 10
Próximo SlideShare
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Siguiente
Descargar para leer sin conexión y ver en pantalla completa.

2 recomendaciones

Compartir

Descargar para leer sin conexión

Chuyên đề 1 vector

Descargar para leer sin conexión

123

Libros relacionados

Gratis con una prueba de 30 días de Scribd

Ver todo

Chuyên đề 1 vector

  1. 1. Hình H c 10 - 1 - Gv : Tr n Duy Thái TRƯ NG THPT GÒ CÔNG ÔNG TÀI LI U H C T P GV: Tr n Duy Thái CHƯƠNG I: VECTƠ Hình H c 10 - 2 - Gv : Tr n Duy Thái § 1 : CÁC NH NGHĨA A. TÓM T T LÍ THUY T: • Vectơ là o n th ng có hư ng. Ký hi u : AB ;CD ho c a ; b • Vectơ – không là vectơ có i m u trùng i m cu i. Ký hi u 0 . • Giá c a vectơ là ư ng th ng i qua i m u và i m cu i c a vectơ ó. • Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song ho c trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì ho c cùng hư ng ho c ngư c hư ng • Hai vecto cùng hư ng thì luôn cùng phương. • dài vecto AB chính là dài o n th ng AB. Kí hi u: AB = AB • Hai vectơ b ng nhau n u chúng cùng hư ng và cùng dài V y: , cïng h−íng a b a b a b  = = ⇔   Các phương pháp ch ng minh: • Ba i m A,B,C th ng hàng ⇔ ,AB AC cùng phương. • Ch ng minh = ⇔AB DC ABCD là hình bình hành. B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Xác nh m t vectơ, s cùng phương và hư ng c a hai vectơ Phương pháp gi i: • xác nh vectơ ta c n bi t dài và hư ng c a vectơ, ho c bi t i m u và i m cu i c a vectơ ó. Ví d 2 i m phân bi t A, B ta có 2 vectơ khác nhau là AB và BA . • Vectơ a là vectơ-không khi và ch khi = 0a ho c =a AA v i A là i m b t kì. Bài t p: Bài 1: Cho ∆ABC . Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các c nh c a tam giác ó. Bài 2: Cho 4 i m phân bi t A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t 4 i m ã cho. Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. a). Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các c nh và ư ng chéo c a ngũ giác. b). Có bao nhiêu vectơ ư c l p ra t các d nh c a ngũ giác. D ng 2: Kh o sát s b ng nhau c a 2 vectơ. Phương pháp gi i: ch ng minh 2 vectơ b ng nhau có 3 cách: • à cïng h−íng a b a b a v b =  ⇒ = 
  2. 2. Hình H c 10 - 3 - Gv : Tr n Duy Thái • ABCD là hbh ⇒ =AB DC và =BC AD • N u a = b , b = c thì a = c Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB. Tìm các vectơ b ng nhau và ch ng minh. Bài 2: Cho i m M và a . D ng i m N sao cho: a). =MN a b). MN cùng phương v i a và có dài b ng a . Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Li t kê t t c các vectơ b ng nhau (khác 0 ) nh n nh và tâm c a hình vuông làm i m u và i m cu i. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i M, N l n lư t là trung i m các c nh AD, BC. Ch ng minh r ng n u =MN AB và =MN DC , thì ABCD là hình bình hành. Bài 5: Cho t giác ABCD, ch ng minh r ng n u =AB DC thì =AD BC . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. G i E là i m i x ng v i C qua D. Ch ng t : =AE BD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. L y i m M trên o n AB và i m N trên o n CD sao cho AM=CN. Ch ng minh: =AN MC và =MD BN . Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. G i M và N l n lư t là trung i m c a AB và CD. AN và CM l n lư t c t BD t i E và F. Ch ng ming r ng: = =EDE F FB . Bài 9: Cho tam giác ABC và i m M trong tam giác. G i A’, B’, C’ l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB và M, N, P l n lư t là các i m i x ng v i M qua A’, B’, C’. Ch ng minh: a). =AQ CN và =AM PC b). AN, BP, CQ ng quy. Bài 10: Cho l c giác u ABCDEF có tâm O. a). Tìm các vecto khác 0 và cùng phương v i OA . b). Tìm các vecto b ng vecto ,AB OE . Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ t 5 i m A,B,C,D,O: a). B ng vectơ AB ; OB . b). Có dài b ng OB . Bài 12: Cho tam giác u ABC . Các ng th c sau ây úng hay sai? a). =AB BC b). = −AB AC c). =AB AC Bài 13 : Cho t giác ABCD, g i M, N, P, Q l n lư t là trung i m AB, BC, CD, DA. Ch ng minh : = =;MN QP NP MQ . Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai i m M và N l n lư t là trung i m c a BC và AD. G i I là giao i m AM và BN, K là giao i m DM và CN. CMR: = =,AM NC DK NI . Bài 15 : Cho tam giác ABC có tr c tâm H và O tâm là ư ng tròn ngo i ti p . G i B’ là i m i x ng B qua O . Ch ng minh : = 'AH B C . Hình H c 10 - 4 - Gv : Tr n Duy Thái § 2 : T NG VÀ HI U C A CÁC VECTƠ A. TÓM T T LÍ THUY T: * nh nghĩa: Cho =AB a ; =BC b . Khi ó = +AC a b * Tính ch t : * Giao hoán : +a b = +b a * K t h p : ( +a b ) + c = + (a b + c ) * Tính ch t vectơ –không : a + 0 = a * Quy t c 3 i m : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : • = +AB AO OB (phép c ng) • = −AB OB OA (phép tr ) * Quy t c hình bình hành: N u ABCD là hình bình hành thì = +AC AB AD * Vecto i: Vecto i c a vecto a là m t vecto có cùng dài nhưng ngư c hư ng. Kí hi u: −a . V y + − =( ) 0a a . Chú ý: = −AB BA * Tính ch t trung i m và tính ch t tr ng tâm: • I là trung i m AB ⇔ + = 0IA IB • G là tr ng tâm ∆ABC ⇔ + + = 0GA GB GC B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Tìm t ng c a hai vectơ và t ng c a nhi u vectơ Phương pháp gi i: Dùng nh nghĩa t ng c a 2 vectơ, quy t c 3 i m, quy t c hbh và các tính ch t c a t ng các vectơ Bài t p: Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai i m M và N l n lư t là trung i m c a BC và AD. a). Tìm t ng c a 2 vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC . b). Ch ng minh + = +AM AN AB AD . Bài 2: Cho l c giác u ABCDEFF tâm O. Ch ng minh + + + + + =OF 0OA OB OC OD OE . Bài 3: Cho năm i m A, B, C, D, E. Hãy tính t ng + + +AB BC CD DE . D ng 2: Tìm vectơ i và hi u c a 2 vectơ Phương pháp gi i: • Theo nh nghĩa, tìm hi u a - b , ta làm hai bư c sau: - Tìm vectơ i c a b
  3. 3. Hình H c 10 - 5 - Gv : Tr n Duy Thái - Tính t ng + −( )a b • V n d ng quy t c − =OA OB BA v i ba i m O, A, B b t kì. Bài T p: Bài 1: Cho tam giac ABC. Các i m M, N và P l n lư t là trung i m c a AB, AC và BC. a). Tìm hi u − − − −, , ,AM AN MN NC MN PN BP CP . b). Phân tích AM theo 2 vectơ MN và MP . Bài 2: Cho 4 i m A, B, C, D. Ch ng minh − = −AB CD AC BD Bài 3: Cho 2 i m phân bi t A và B. Tìm i m M th a mãn 1 trong các i u ki n sau: a). − =MA MB BA b). − =MA MB AB c). + = 0MA MB Bài 4: Ch ng minh r ng i m I là trung i m c a o n th ng AB khi và ch khi = −IA IB . D ng 3: Ch ng minh ng th c vectơ: Phương pháp gi i: + S d ng qui t c ba i m;quy t c hình bình hành; trung i m. + V n d ng các các ch ng minh ng th c: bi n i VT thành VP và ngư c l i; bi n i hai v cùng thành m t ng th c; bi n i ng th c ã cho thành m t ng th c luôn úng. Bài t p: Bài 1: Cho 4 i m b t kỳ A, B, C, D. Ch ng minh các ng th c sau: a). + = +AC BD AD BC b). + = +AB CD AD CB c). − = −AB CD AC BD . Bài 2: Cho 6 i m A, B, C, D, E, F tùy ý. Ch ng minh r ng: + + = + +E AAC BD F F BC ED . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ch ng minh: − = −BD BA OC OB và − + = 0BC BD BA . Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là i m tùy ý. Ch ng minh: + =AB OA OB và + = +MA MC MB MD . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. G i M và N là trung i m c a AD và BC. Ch ng minh r ng: a). + + = 0AD MB NA b). − + = 0CD CA CB Bài 6: Cho 6 i m A, B, C, D, E, F. CMR : (B ng nhi u cách khác nhau) a). + = +AB CD AD CB b). − = +AB CD AC DB c). − = −AB AD CB CD d). + + + = 0AB BC CD DA e). + + = + +AD BE CF AE BF CD f) + − − + =AC DE DC CE CB AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: + = +MA MC MB MD Bài 8: ∆ ABC có G là tr ng tâm, các i m M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC, CA. Ch ng minh + + = 0GM GN GP Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: Hình H c 10 - 6 - Gv : Tr n Duy Thái a). − =CO OB BA b). − =AB BC DB c). − = −DA DB OD OC d). − + = 0DA DB DC Bài 10: Cho ∆ABC . Bên ngoài c a tam giác v các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Ch ng minh: + + = 0RJ IQ PS . Bài 11: Cho l giác u ABCDEF có tâm là O . CMR : a). OA +OB +OC +OD +OE +OF = 0 b). OA +OC +OE = 0 c). AB + AO + AF = AD d). MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 12: Cho 7 i m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Ch ng minh r ng : a). AB + CD + EA = CB + ED b). AD + BE + CF = AE + BF + CD c). AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF d). AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 Bài 13: Cho tam giác ABC. G i M,N,P là trung i m AB, AC, BC. CMR: v i i m O b t kì: + + = + +OA OB OC OM ON OP Bài 14 : Cho tam giác ABC . G i A’ la i m i x ng c a B qua A, B’ là i m i x ng v i C qua B, C’ là i m i x ng c a A qua C. V i m t i m O b t kỳ, CMR: + + = + +' ' 'OA OB OC OA OB OC Bài 15: Cho tam giác ABC n i ti p trong ư ng tròn tâm O , tr c tâm H , v ư ng kính AD a). Ch ng minh r ng HB + HC = HD b). G i H’ là i x ng c a H qua O .Ch ng minh r ng HA + HB + HC = 'HH Bài 16: CMR: =AB CD khi và ch khi trung i m c a hai o n th ng AD và BC trùng nhau. Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . t AO = a ; BO = b Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác nh i m M sao cho − + = 0MA MB MC D ng 4: Tính dài c a vectơ: Phương pháp gi i: ưa t ng ho c hi u c a các vectơ v m t vectơ có dài là m t c nh c a a giác. Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a, AC=2a. Tính: +AB AC và −AB AC Bài 2: Cho tam giác u ABC c nh a. Tính: +AB BC và −CA CB .
  4. 4. Hình H c 10 - 7 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 3: Cho tam giác ABC vuông t i A bi t AB=a và = 0 60B . Tính: +AB BC và −AB AC . Bài 4: Cho tam giác u ABC c nh a và ư ng cao AH. Tính: +AB AC ; +AB BH ; −AB AC . Bài 5: Cho hình vuông ABCD c nh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a Bài 6: Cho hình thoi ABCD có = 0 60BAD và c nh là a. G i O là giao i m hai ư ng chéo. Tính: a. +AB AD b. −BA BC c. −OB DC Bài 7: Cho hình vuông ABCD c nh a có O là giao i m hai ư ng chéo. Tính a. −OA CB b. +AB DC c. −CD DA Bài 8: Cho hình ch nh t ABCD. G i O là giao i m c a hai ư ng chéo AC và BD. a. V i M tùy ý, Hãy ch ng minh + = +MA MC MB MD b. Ch ng minh r ng: + = −AB AD AB AD Bài 9: Cho 2 véc tơ a và b cùng khác 0 . Khi nào thì: a) + = +a b a b ; b) + = −a b a b ; C) − = −a b a b Bài 10: Tìm tính ch t tam giác ABC, bi t r ng : CA + CB  = CA - CB § 3. TÍCH C A VECTƠ V I M T S A. TÓM T T LÍ THUY T: * Cho s th c ≠ 0k , a ≠ 0 . Tích c a m t s th c k và vecto a là 1 vectơ, kí hi u: ka và ư c xác nh: N u k > 0 thì k a cùng hư ng v i a ; k < 0 thì k a ngư c hư ng v i a . dài: .k a = k . a  Tính ch t : a). k(m a ) = (km) a b). (k + m) a = k a + m a c). k( a + b ) = k a + k b d). k a = 0 ⇔ k = 0 ho c a = 0 Hình H c 10 - 8 - Gv : Tr n Duy Thái • b cùng phương a ( a ≠ 0 ) khi và ch khi có s k th a b =k a . • i u ki n c n và A , B , C th ng hàng là có s k sao cho AB =k AC . • Tính ch t trung i m và tính ch t tr ng tâm: I trung i m o n th ng AB, v i m i i m M b t kỳ: + = 2MA MB MI . G là tr ng tâm ∆ABC , v i m i i m M b t kỳ: + + = 3MA MB MC MG . • Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương: Cho b , a là hai vecto không cùng phương, v i m i x tùy ý, khi ó: x = m a + n b ( m, n duy nh t ). B. CÁC D NG BÀI T P: D ng 1: Ch ng minh ng th c vectơ: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr: + + =2 3AB AC AD AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n, D là trung i m c a AM. Cm: a). + + =2 0DA DB DC b). + + =2 4OA OB OC OD ( v i O tùy ý) Bài 3: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm. CMR: + + = 3MA MB MC MG , v i M b t kỳ. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i M, N l n lư t là trung i m c a 2 ư ng chéo AC và BD. CMR: + = 2AB CD MI Bài 5: G i I, J l n lư t là trung i m c a o n th ng AB và CD. Ch ng minh r ng: 2 = + = +IJ AC BD AD BC Bài 6: CMR n u G và G' l n lư t là tr ng tâm c a ∆ ABC và ∆ A'B'C' thì = + +3 ' ' ' 'GG AA BB CC Bài 7: Cho t giác ABCD. G i E,F là trung i m c a AB, CD và O là trung i m EF. CMR: a). ( )= + 1 2 EF AC BD b). + + + = 0OA OB OC OD c). + + + = 4MA MB MC MD MO (M là i m b t kỳ) Bài 8: G i M,N là trung i m AB và CD c a t giác ABCD. Cmr: = + = +2MN AC BD BC AD Bài 9: Cho tam giác ABC. G i M,N,P l n lư t là trung i m c a BC, CA, AB. CMR: + + = 0AM BN CP . Bài 10: CMR: n u G và G’ là tr ng tâm c a hai tam giác ABC và A’ B’ C’ thì + + =' ' ' ' 3AA BB CC GG . Suy ra i u ki n hai tam giác có cùng tr ng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng: G là tr ng tâm tam giác ABC ⇔ + + = 0GA GB GC ⇔ + + = 3MA MB MC MG . Bài 12: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm O, H là tr c tâm c a tam giác, D là i m i x ng c a A qua O.
  5. 5. Hình H c 10 - 9 - Gv : Tr n Duy Thái a). Ch ng minh t giác HCDB là hình bình hành. b). Ch ng minh: + = 2HA HD HO , + + = 2HA HB HC HO , + + =OA OB OC OH . c). G i G là tr ng tâm tam giác ABC. CMR: = 3OH OG . T ó có k t lu n gì v 3 i m O,H,G. Bài 13: Cho t giác ABCD. a). G i M,N là trung i m AD, BC, ch ng minh: ( )= + 1 2 MN AB DC b). G i O là i m n m trên o n MN và OM = 2ON. CMR: − − + =2 2 0OA OB OC OD Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là tr ng tâm c a tam giác và M là m t i m tuỳ ý trong m t ph ng. CMR: a). 0+ + =GB GB GC b). 3+ + =MB MB MC MG . Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. ;= =AO a BO b a). Ch ng minh r ng: 2+ =AB AD AI b). Tính ; ; ; ; ;AC BD AB BC CD DA theo ;a b . Bài 16: Cho 4 i m A, B, C, D; M, N l n lư t là trung i m c a AB, CD. Ch ng minh r ng: 4+ + + =AD BD AC BC MN . Bài 17: G i O; H; G l n lư t là tâm ư ng tròn ngo i ti p, tr c tâm; tr ng tâm c a tam giác ABC. Ch ng minh r ng: a) 2+ + =HA HB HC HO b) 2=HG GO . Bài 18: Cho tam giác u ABC tâm O. M là m t i m tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F l n lư t là hình chi u c a nó trên BC, CA, AB. Ch ng minh r ng: 3 2 + + =MD ME MF MO . Bài 19: Cho 4 i m A, B, C, D; I, F l n lư t là trung i m c a BC, CD. CM: ( )2 3+ + + =AB AI FA DA DB . Bài 20: Cho tam giác ABC v i G là tr ng tâm; H là i m i x ng v i B qua G. CM: a). 2 1 AC AB 3 3 = −AH ; ( )1 AB AC 3 = − +CH . b). M là trung i m c a BC. CM: 1 5 AC AB 6 6 = −MH . D ng 2: Tìm m t i m th a m t ng th c vecto cho trư c. * Phương pháp tìm i m M th a m t ng th c vecto cho trư c: • B1: Bi n i ng th c ã cho v d ng: =AM u , trong ó A là i m c nh, u c nh. • B2: D ng i m M th a =AM u . Hình H c 10 - 10 - Gv : Tr n Duy Thái Bài T p: Bài 1: Cho hai i m phân bi t A và B. tìm i m K sao cho: + =3 2 0KA KB . Bài 2: Cho tam giác ABC. a). Tìm i m I sao cho + =2 0IA IB b). Tìm i m O sao cho + + = 0OA OB OC c). Tìm i m K sao cho + =2KA KB CB d). Tìm i m M sao cho + + =2 0MA MB MC Bài 3: Cho t giác ABCD. Tìm i m O sao cho + + + = 0OA OB OC OD Bài 4: Cho tam giác ABC. a). Tìm i m I sao cho + =2 3 0IB IC b). Tìm i m J sao cho − − =2 0JA JB JC c). Tìm i m K sao cho + + =KA KB KC BC d). Tìm i m K sao cho + + = 2KA KB KC BC e). Tìm i m L sao cho − + =3 2 0LA LB LC HD: c). G i G là tr ng tâm tam giác ABC, khi ó v i m i K ta có: + + = 3KA KB KC KG e). − + = − + +3 2 ( ) 2( )LA LB LC LA LB LA LC . Sau ó áp d ng quy t c 3 i m và h th c trung i m. Bài 5: Cho hai i m A, B. Xác nh i m M bi t: 2 3 0− =MA MB Bài 6: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m c a AB và N là m t i m trên c nh AC sao cho NC=2NA. a). Xác nh i m K sao cho: 3 2 12 0+ − =AB AC AK b). Xác nh i m D sao cho: 3 4 12 0+ − =AB AC KD Bài 7: Cho các i m A, B, C, D, E. Xác nh các i m O, I, K sao cho: ). 2 3 0 ). 0 ). 3( ) 0 + + = + + + = + + + + = a OA OB OC b IA IB IC ID c KA KB KC KD KE Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác nh các i m M, N sao cho: a). 2 0+ =MA MB b). 2+ =NA NB CB . Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác nh i m M tho mãn: 3 = + +AM AB AC AD . Bài 10: Cho t giác ABCD. Xác nh v trí i m O tho mãn: 0+ + + =OA OB OC OD
  6. 6. Hình H c 10 - 11 - Gv : Tr n Duy Thái D ng 3: Phân tích m t vecto theo hai vecto không cùng phương. * Phương pháp: Áp d ng các ki n th c: * Quy t c 3 i m: = +AB AO OB (phép c ng) = −AB OB OA (phép tr ) * Quy t c ư ng chéo hình bình hành: N u ABCD là hình bình hành thì = +AC AB AD * Tính ch t trung i m: I là trung i m AB ⇔ + = 0IA IB ⇔ + = 2MA MB MI (M b t kỳ) * Tính ch t tr ng tâm: G là tr ng tâm ∆ABC ⇔ + + = 0GA GB GC ⇔ + + = 3MA MB MC MG (M b t kỳ) Bài T p: Bài 1: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. Cho các i m D,E,F l n lư t là trung i m các c nh BC, CA, AB. I là giao i m AD và EF. Hãy phân tích các vecto , , ,AI AG DE DC theo hai vecto ,AE AF . Bài 2: Cho tam giác ABC. i m M trên c nh BC sao cho = 3MB MC . Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 3: Cho tam giác ABC. i m M trên c nh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuy n c a tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto , ,AB BC CA theo hai vecto ,AK BM . Bài 5: Cho tam giác ABC v i tr ng tâm G. G i I là trung i m c a o n AG, K là i m trên c nh AB sao cho = 1 5 AK AB . Hãy phân tích , , ,AI AK CI CK theo ,CA CB . Bài 6: Cho l c giác u ABCDEF tâm O c nh a. a. Phân tích vecto AD theo hai vecto ,AB AF . b. Tính dài = + 1 1 2 2 u AB BC theo a. Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuy n AM. Phân tích AM theo hai vecto ,AB AC . Bài 8: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m AB, N là i m trên c nh AC sao cho NA = 2NC. G i K là trung i m MN. Phân tích vecto AK theo ,AB AC . Hình H c 10 - 12 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 9: Cho tam giác ABC. G i M là trung i m AB, N là i m trên c nh AC sao cho NC = 2NA. G i K là trung i m MN. a. Phân tích vecto AK theo ,AB AC . b. G i D là trung i m BC. Cm: = + 1 1 4 3 KD AB AC . Bài 10: Cho tam giác ABC. G i M,N,P là trung i m BC,CA,AB. Tính các vecto , ,AB BC CA theo các vecto ,BN CP Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung i m CD. Hãy phân tích AE theo hai vecto ,AD AB . Bài 12: Cho tam giác ABC, g i G là tr ng tâm và H là i m i x ng c a B qua G. a). Ch ng minh: = − 2 1 3 3 AH AC AB , ( )= − + 1 3 BH AB AC . b). G i M là trung i m BC, ch ng minh: = − 1 5 6 6 MH AC AB . Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. t = =,AB a AD b . Hãy tính các vecto sau ây theo ,a b . a). AI (I là trung i m BO). b). BG (G là tr ng tâm tam giác OCD). * S: = + = − + 3 1 1 5 4 4 2 6 AI a b BG a b Bài 14: Cho tam giác ABC và G là tr ng tâm. B1 i x ng v i B qua G. M là trung i m BC. Hãy bi u di n các véc tơ AM , 1 1 1, , , ,AG BC CB AB MB qua hai véc tơ ,AB AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, g i I là i m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI và J thu c BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a). Tính ,AI AJ theo hai véc tơ ,AB AC . T ó bi u di n ,AB AC theo ,AI AJ . b). G i G là tr ng tâm tam giác ABC. Tính AG theo ,AI AJ . D ng 4: Ch ng minh ba i m th ng hàng: * Phương pháp: Ba i m A,B,C th ng hàng ⇔ = .AB k AC ch ng minh ư c i u này ta có th áp d ng m t trong hai phương pháp: + Cách 1: Áp d ng các quy t c bi n i véctơ. + Cách 2: Xác nh hai véctơ trên thông qua t h p trung gian.
  7. 7. Hình H c 10 - 13 - Gv : Tr n Duy Thái Bài T p: Bài 1 : Cho 4 i m O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − = . CMR: A, B, C th ng hàng. Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n. G i I là trung i m AM và K là m t i m trên c nh AC sao cho AK = 1 3 AC. a). Phân tích vecto ,BK BI theo hai vecto ,BA BC b). Ch ng minh ba i m B, I, K th ng hàng. Bài 3: Cho ∆ ABC. I là i m trên c nh AC sao cho = 1 4 CI AC , J là i m mà = − 1 2 2 3 BJ AC AB a). Ch ng minh r ng = − 3 4 BI AC AB b). Ch ng minh B, I, J th ng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC. G i I là trung i m c a BC; D và E là hai i m sao cho: = =BD DE EC a). Ch ng minh: + = +AB AC AD AE . b). Tính véctơ: = + + +AS AB AD AC AE theo AI . c). Suy ra ba i m A, I, S th ng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC. t ;= =AB u AC v a). G i P là i m i x ng v i B qua C. Tính AP theo ;u v ? b). Q i Q và R là hai i m nh b i: 1 1 ; 2 3 = =AQ AC AR AB . Tính ;RP RQ theo ;u v . c). Suy ra P, Q, R th ng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC, tr ng tâm G. L y i m I, J sao cho: 2 3 0+ =IA IC , 2 5 3 0+ + =JA JB JC a). CMR: M, N, J th ng hàng v i M, N là trung i m c a AB và BC. b). CMR: J là trung i m c a BI. Bài 7: Cho tam giác ABC, tr ng tâm G. L y các i m I, J tho mãn: 2=IA IB ; 3 2 0+ =JA JC . Ch ng minh IJ i qua tr ng tâm G c a tam giác ABC. Bài 8: Cho tam giác ABC. L y các i m M, N, P tho mãn: 0+ =MA MB 3 2 0; 2− = =AN AC PB PC . Ch ng minh: M, N, P th ng hàng. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. L y các i m I, J tho mãn: 3 2 2 0+ − =JA JC JD 2 2 0− + =JA JB JC . Hình H c 10 - 14 - Gv : Tr n Duy Thái Ch ng minh : I, J, O th ng hàng v i O là giao i m c a AC và BD. Bài 10: Cho tam giác ABC. L y các i m M, N, P sao cho: 3 0− =MB MC , 3=AN NC , 0+ =PA PB . Ch ng minh r ng M, N, P th ng hàng. Bài 11: Cho tam giác ABC và i m M th a 3 2= −AM AB AC .Ch ng minh B,M,C th ng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC .G i M, N l n lư t là các i m thu c c nh AB, AC sao cho AM= 1 2 MB , AN= 3NC và i m P xác nh b i h th c 4 9 0+ =PB PC . G i K là trung i m MN. a). Ch ng minh: 1 3 6 8 = +AK AB AC . b). Ch ng minh : Ba i m A, K, P th ng hàng. Bài 13 : Cho tam giác ABC. Hai i m M, N ư c xác nh b i các h th c + = − − =; 3BC MA O AB NA AC O . Ch ng minh MN // AC D ng 4: Ch ng minh hai i m trùng nhau: * Phương pháp : ch ng minh M và M' trùng nhau, ta l a ch n m t trong hai hư ng: + Cách 1: Ch ng minh ' 0=MM + Cách 2: Ch ng minh '=OM OM v i O là i m tuỳ ý. Bài 1: Cho t giác l i ABCD. G i M, N, P, Q l n lư t là trung i m c a AB, BC, CD, DA. Ch ng minh r ng hai tam giác ANP và CMQ có cùng tr ng tâm. Bài 2: Cho l c giác ABCDEF. G i M,N,P,Q,R,S l n lư t là trung i m các c nh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng tr ng tâm. Bài 3: Cho t giác ABCD. G i M,N,P,Q là trung i m các c nh AB,BC,CD,DA. Cmr hai tam giác ANP và CMQ có cùng tr ng tâm. Bài 4: Cho t giác ABCD. G i I,J là trung i m c a AB và CD. a). CMR: + = + = 2AC BD AD BC IJ . b). G i G là trung i m IJ. Cm: + + + = 0GA GB GC GD . c). G i P, Q là trung i m các o n th ng AC và BD, M và N là trung i m AD và BC. CMR: Ba o n th ng IJ, PQ, MN có chung trung i m. D ng 5: Qu tích i m *Phương pháp: i v i các bài toán qu tích, h c sinh c n nh m t s qu tích cơ b n sau: - N u =MA MB v i A, B cho trư c thì M thu c ư ng trung tr c c a o n AB. - N u .=MC k AB v i A, B, C cho trư c thì M thu c ư ng tròn tâm C, bán kính b ng .k AB . - N u =MA kBC thì
  8. 8. Hình H c 10 - 15 - Gv : Tr n Duy Thái + M thu c ư ng th ng qua A song song v i BC n u ∈k R + M thu c n a ư ng th ng qua A song song v i BC và cùng hư ng BC n u + ∈k R + M thu c n a ư ng th ng qua A song song v i BC và ngư c hư ng BC n u − ∈k R * Bài t p áp d ng: Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm t p h p nh ng i m M tho mãn: a). 3 2 + + = +MA MB MC MB MC b). 3 2 2+ − = − −MA MB MC MA MB MC Bài 2: Cho tam giác ABC. M là i m tuỳ ý trong m t ph ng. a). CMR: véctơ 3 5 2= − +v MA MB MC không i. b). Tìm t p h p nh ng i m M tho mãn: 3 2 2+ − = −MA MB MC MB MC § 4. H TR C T A A. TÓM T T LÍ THUY T: 1. nh nghĩa t a c a m t vectơ, dài i s c a m t vectơ trên m t tr c • = ⇔ = +1 2 1 2( ; ) . .a a a a a i a j • M có t a là (x; y) ⇔ = +. .OM x i y j • ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y ( )⇒ = − −;B A B AAB x x y y 2. T a c a + −, , ka b a b a * Cho = = ∈1 2 1 2( ; ), ( ; ), k Ra a a b b b Ta có: + = + +1 1 2 2( ; )a b a b a b ; − = − −1 1 2 2( ; )a b a b a b ; ( )= 1 2;ka ka ka * Hai vectơ a và b ( a ≠ 0 ) cùng phương ⇔ k∃ ∈» : =  = 1 1 2 2 b ka b ka 3.+ I là trung i m c a o n th ng AB ta có: + =  + =  2 2 I A B A B I x x x y y y + G là tr ng tâm c a tam giác ABC ta có: + + =  + + =  3 3 G A B C A B C G x x x x y y y y Hình H c 10 - 16 - Gv : Tr n Duy Thái B. CÁC D NG BÀI T P: D ng1: Xác nh t a c a véctơ và c a m t i m trên mp t a Oxy: Phương pháp gi i: Căn c vào nh nghĩa t a c a vectơ và t a c a m t i m trêm mp t a Oxy. * N u bi t t a hai i m A (xA,yA), B(xB, yB) th ta tính ư c t a c a = − −: ( ; )B A B AAB AB x x y y . * N u M và N có t a l n lư t là a, b thì = −MN b a Bài t p: Bài 1: Trên tr c (O, i ) cho hai i m M và N có t a l n lư t là -5; 3. tìm t a i m P trên tr c sao cho = 1 2 PM PN Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chi u cao ng v i c nh AD=3, góc BAD=600 , ch n h tr c (A; ,i j ) sao cho i và AD cùng hư ng. Tìm t a các vectơ , , ,AB BC CD AC . Bài 3: Trên tr c x'Ox cho 2 i m A, B có t a l n lư t là −2 và 5. a). Tìm t a c a → AB . b). Tìm t a trung i m I c a o n th ng AB. c). Tìm t a c a i m M sao cho 2 → MA + 5 → MB = 0 . d). Tìm t a i m N sao cho 2 NA + 3 NB = −1. Bài 4: Trên tr c x'Ox cho 3 i m A, B, C có t a l n lư t là a, b, c. a). Tìm t a trung i m I c a AB. b). Tìm t a i m M sao cho → MA + → MB − → MC = 0 . c). Tìm t a i m N sao cho 2 → NA − 3 → NB = → NC . Bài 5: Trên tr c x'Ox cho 2 i m A, B có t a l n lư t là −3 và 1. a). Tìm t a i m M sao cho 3 MA − 2 MB = 1. b). Tìm t a i m N sao cho NA + 3 NB = AB . Bài 6: Trên tr c x'Ox cho 4 i m A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a). CMR : 1 AC + 1 AD = 2 AB b). G i I là trung i m AB. CMR: 2 . =IC ID IA c). G i J là trung i m CD. CMR: . .=AC AD AB AJ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm t a nh D. Bài 8: Cho ∆ ABC, các i m M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) l n lư t là trung i m c a các c nh BC; CA; AB. Tìm t a các nh c a tam giác. Bài 9: Cho ∆ ABC, các i m M(1;1); N(2;3) và P(0;4) l n lư t là trung i m c a các c nh BC; CA; AB. Tìm t a các nh c a tam giác.
  9. 9. Hình H c 10 - 17 - Gv : Tr n Duy Thái Bài 10: Cho ∆ ABC, các i m A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm t a trung i m I c a AC. Tìm t a i m D sao cho t giác ABCD là hình bình hành. Bài 11: Cho 3 i m A(2;5); B(1;1); C(3;3). a). Tìm t a i m D sao cho = −3 2AD AB AC . b). Tìm t a i m E sao cho t giác ABCE là hình bình hành. Tìm t a tâm hình bình hành ó. Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C n m trên Oy và tr ng tâm G n m trên Ox. Tìm t a C. D ng 2: Tìm t a c a các vectơ + −; ;u v u v ku Phương pháp gi i: Tính theo công th c t a + −; ;u v u v ku Bài t p: Bài 1: Cho = = =(2;1); (3;4); (7;2)a b c . a).Tìm t a c a vectơ = − +2 3u a b c . b).Tìm t a vectơ + = −x a b c . c).Tìm hai s j; k sao cho = +c ka lb . Bài 2: Cho = = − = − −(1;2); ( 3;1); ( 4; 2)a b c a). Tìm t a các vectơ = − +2 4u a b c ; = − + − 1 1 3 2 v a b c ; = + +3 2 4u a b c . và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương v i véctơ i và cùng phương v i j . b). Tìm các s m, n sao cho = +a mb nc . Bài 3: Tìm x các c p vectơ sau cùng phương a). (2;3) (4; )a v b x= = . b). (0;5) ( ;7)u v b x= = . c). ( ; 3) ( 2;2 )m x v n x= − = − . Bài 4: Bi u di n véc tơ c theo các véc tơ ;a b bi t: a). (2; 1); ( 3;4); ( 4;7)− − −a b c b). (1;1); (2; 3); ( 1;3)− −a b c . Bài 5: Cho b n i m A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy bi u di n véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC . Bài 6: Bi u di n véc tơ c theo các véc tơ ;a b bi t: a). ( 4;3); ( 2; 1); (0;5)− − −a b c b). (4;2); (5;3); (2;0)a b c . Bài 7: Cho b n i m A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy bi u di n véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC Hình H c 10 - 18 - Gv : Tr n Duy Thái D ng 3: Ch ng minh 3 i m th ng hàng: Phương pháp gi i: S d ng i u ki n c n và sau: * Hai vectơ ≠, 0)a b cùng phương khi và ch khi có s k =a kb * Ba i m phân bi t A, B, C th ng hàng khi và ch khi có s k =AB kAC Bài t p: Bài 1: Cho 3 i m A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Ch ng minh r ng 3 i m A; B; C th ng hàng. Bài 2: Cho 3 i m M( 4 7 ; 3 3 ); N(2;1) và P(1;3). Ch ng minh r ng 3 i m M; N; P th ng hàng. Bài 3: Cho 3 i m A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x (-7; x) thu c ư ng th ng AB. Bài 4: Cho 3 i m A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5). a). Ch ng minh r ng 3 i m A; B; C th ng hàng. b). Tìm t a i m D sao cho A là trung i m c a BD. c). Tìm t a i m E trên tr c Ox sao cho A; B; E th ng hàng. Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm to : a). i m M trên tr c hoành sao cho A,B,M th ng hàng. b). i m N trên tr c tung sao cho A, B, N th ng hàng. c). i m P khác i m B sao cho A, B, P th ng hàng và 2 5=PA . Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm to : a). i m M trên tr c hoành sao cho A,B,M th ng hàng. b). i m N trên tr c tung sao cho A, B, N th ng hàng. c). i m P khác i m B sao cho A, B, P th ng hàng và 3 5=PA . Bài 7: Tìm i m P trên ư ng th ng (d): x+y=0 sao cho t ng kho ng cách t P t i A và B là nh nh t, bi t: a). A(1;1) và B(-2;-4) b). A(1;1) và B(3;-2) D ng 4: Xác nh i m th a mãn m t ng th c vectơ, dài: Bài t p: Bài 1: Cho tam giác ABC v i A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a). Xác nh to i m E sao cho 2=AE BC b). Xác nh to i m F sao cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC v i A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác nh to : a). Tr ng tâm G b). Véc tơ trung tuy n AA1 c). Tâm I c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác. d). i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm i m M sao cho 2 2 +M Mx y nh nh t. Bài 4: Cho tam giác ABC v i A(4;6); B(1;4); C(7; 3 2 )
  10. 10. Hình H c 10 - 19 - Gv : Tr n Duy Thái a). CM: ∆ABC vuông b). Tìm to tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC v i A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm to c a: a). Tr ng tâm G c a tam giác . b). Vectơ trung tuy n ng v i c nh BC. c). i m D sao cho ABCD là hình bình hành. d). Tâm I ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. e). i m M bi t: 2 3= −CM AB AC . f). i m N bi t: 2 4 0+ − =AN BN CN . Bài 6: Cho tam giác ABC v i A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm to i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài T p T ng H p: Bài 1: Trong h tr c Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) a). Tìm t a 2 3AB BC AC+ − . b). Tìm t a trung i m M c a BC. c). Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác ABC. d). Bi u di n AG theo ,AB AC . e). Tìm t a i m D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm t a tâm I c a hình bình hành này. f). Tìm t a i m E thu c Ox sao cho ABCE là hình thang. Tìm t a giao i m hai ư ng chéo c a hình thang này. Bài 2: Trong h tr c to oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a). Tính chu vi tam giác ABC. b). Tìm to tr c tâm H c a tam giác ABC. c). Tìm to i m I bi t 3 2 0+ + =AI BI CI Bài 3: Trong m t ph ng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Ch ng minh r ng A, B, C là 3 nh c a m t tam giác. Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác. b). Tìm D BCGD là hình bình hành. Bi u di n AG theo hai ,AB AD . c). Tìm t a M th a 2 5+ + + = −AM AG MB CM BC . d). Tìm N thu c c nh BC sao cho di n tích tam giác ANB g p 7 l n di n tích tam giác ANC. Bài 4: Trong m t ph ng Oxy cho các i m A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4). a). Tìm t a i m D t giác ABCD là hình bình hành. b). Tìm t a i m N trên tr c hoành sao cho ba i m A, B, N th ng hàng. c). Tìm t a M thu c BC th a 7∆ ∆=AMB ABCS S d). G i M, P l n lư t là trung i m cu AB và BC. Phân tích AC theo hai vectơ AP và CM . Bài 5: : Cho hai i m A(3 , 4) ; B(2 ; 5 ) . a). Tìm to i m A’ i x ng v i A qua B . b). Tìm to i m D trên Ox sao cho 3 i m A , B , D th ng hàng . Hình H c 10 - 20 - Gv : Tr n Duy Thái c). Tìm to i m C sao cho O là tr ng tâm c a tam giác ABC. Bài 6: Trong m t ph ng v i h to Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC và M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh BC, CA, AB. Ch ng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng tr ng tâm. Bài 7: Trong m t ph ng t a Oxy cho G(1 ; 2). Tìm t a i m A thu c Ox và B thu c Oy sao cho G là tr ng tâm tam giác OAB. Bài 8: Trong h tr c Oxy cho các véctơ (2; 1), ( 1; 3), (3;1)a b c= − = − − = . a). Tìm to c a các véctơ , , 2 3 4 .u a b v a b c w a b c= + = − + = − + b). Bi u di n véctơ c theo hai véctơ a và b . c). Tìm to c a véctơ d sao cho 2 3a d b c+ = − . Bài 9: Trong m t ph ng to Oxy cho ba i m A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; 5 ) . a). Xác nh to i m M sao cho 2 0AB AC AM− + = b). Xác nh to i m P trên tr c tung sao cho P th ng hàng v i A và B . Bài 10: Trong m t ph ng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Ch ng minh r ng A, B, C là 3 nh c a m t tam giác. Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác. b). Tìm D BCGD là hình bình hành. Bi u di n AG theo hai ,AB AD . c). Tìm t a M th a 2 5+ + + = −AM AG MB CM BC . ..........H t.......... “Trên bư c ư ng thành công, không có d u chân c a nh ng k lư i bi ng”
  • PhongLNgc1

    Aug. 14, 2019
  • thanhhainguyen9404

    Sep. 18, 2016

123

Vistas

Total de vistas

1.173

En Slideshare

0

De embebidos

0

Número de embebidos

7

Acciones

Descargas

29

Compartidos

0

Comentarios

0

Me gusta

2

×