Chuyên đề 5 thống kê

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
ĐẠI SỐ 10
Chương 5.
Thống Kê
www.saosangsong.com.vn

Chương 5.Thống Kê
SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
2
2
§ 1. Bảng phân bố tần số - tần suất.
Bảng phân bố tần sô – tần suất ghép lớp
A. Tóm tắt giáo khoa
1.Khái niệm cơ bản :
Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập,tổ chức,trình bày,phân tích và xử lý dữ
liệu
Một tập hợp hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu.Số phần tử của một mẫu được
gọi là kích thước mẫu
2. Bảng phân bố tần số - tấn suất
Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó
Ta thường trình bày mẫu số liệu trong một bảng gồm 2 cột : giá trị và tần số gọi là bảng
phân bố tần số
Tần suất fi của giá trị xi tà tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N
i
i
n
f
N
=
Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm
Nếu trình bày mẫu số liệu gồm 3 cột : giá trị , tần số , tần suất thì ta có bảng phân bố tần số-
tần suất
Ví dụ : Điều tra số con trong 30 gia đình là 0, 8 , 0 , 2, 2 ,2, 4 , 5 ,3 , 5 , 2 . 7 , 3 , 4 , 6 , 5 , 2 , 1
, 1 , 2 , 5 , 1 , 3 , 4 , 3 , 6 , 3 , 2 , 4 , 6
Dấu hiệu là số con trong một gia đình, kích thước mẫu là 30
Ta lập bảng phân bố tần số - tấn suất
Số con xi của 1 gia đình Tần số (ni ) Tần suất ( fi )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
7
5
4
4
3
1
1
6,6%
10%
23,3%
16,6%
13,3%
13,3%
10%
3,3%
3,3%
N = 30
3.Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp
Khi trong một mẫu số liệu có rất nhiều số liệu,ta thực hiện việc ghép những số liệu thống kê
vào một lớp [xi , xi+1)
Giá trị 0 1
2
i i
i
x x
x ++
= là giá trị trung tâm của lớp thứ i .
Tần số ni của lớp thứ i là số dữ liệu trong lớp đó
Bảng của mẫu số liệu gọi là bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp
Ví dụ : Điều tra chiều cao của 30 học sinh nam trong một trường THPT ,ta thu được mẫu số liệu
sau ( đơn vị cm ):
145 , 147 , 1,48 ,148 , 149 , 150 , 150 , 150, 152 , 152
152 , 152 , 155, 155 ,155, 156 , 158 , 158 , 159 , 160
160 , 161 ,162 , 163 , 164 , 165 , 167 , 170 , 171 , 173
Ta chia các số liệu trên thành các lớp theo các khoảng có độ dài bằng nhau như:
[145;150) ; [150;155) ; [155 ; 160) ; [160; 165) ; [165; 170) ; [170; 175)
Ta có bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp sau :

3
3
Các lớp số đo Tần số Tần suất
[145; 150)
[150; 155)
[155 ; 160)
[160; 165)
[165; 170)
[170;175)
5
7
7
6
2
3
16.6%
23,3%
23,3%
20%
6,6%
10%
N = 30
B. Giải toán :
Ví dụ 1 : Cho bảng số liệu thống kê năng suất lúa hè thu (tạ/ha)của 30 tỉnh như sau :
25 30 25 30 35 35 40 40 45 25
30 30 40 25 45 45 35 25 35 40
35 35 40 40 30 35 35 35 40 30
a) Hãy lập bảng phân phối thực nghịêm tần số - tần suất rời rạc
b) Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê
Giải
a) Bảng phấn phối thực nghiệm tần số – tần suất rời rạc
Năng suất lúa xi Tần số xi Tần suất fi
25
30
35
40
45
5
6
9
7
3
16,6%
20%
30%
23.3%
10%
N = 30

b) Ta thấy năng suất 35 tạ/ha có tấn suất cao nhất 30% nên ta nói số liệu thống kê có xu
hướng tập trung vào 35 tạ/ha
Ví dụ 2 : Số điểm toán của 50 học sinh lớp 10 được thống kê như sau : 5, 3, 6, 3, 5, 7, 3, 7 2, 2,
10, 4, 5, 6, 2, 6, 7, 6, 7, 6, 8, 1, 9, 8, 7, 8, 4, 10, 4, 10, 2,7, 7, 3, 6, 1, 7, 4, 3, 4, 6, 6,
6, 4, 5, 1, 6, 5, 4, 3.
a) Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp với các lớp sau :
[1,2] ; [3,4] ; [5,6] ; [7,8 ] ; [ 9,10]
b) Nhận xét về xu hướng tập trung của số liệu thống kê
Giải
a) Bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp
Các lớp điểm số Tần số Tần suất fi
[1,2]
[3,4]
[5.6]
[7,8]
[9,10]
7
13
15
11
4
14%
26%
30%
22%
8%
N = 50

b) Số liệu thống kê có xu hướng tập trung vào khoảng [5,6]

4
4
Ví dụ 3 :. Chiều cao (đơn vị cm) của 40 học sinh được thống kê như sau :
138 164 150 132 144 125 148 157
146 158 140 147 186 148 152 144
168 126 138 176 163 119 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
160 145 135 142 150 156 145 128
a) Hãy lập bảng phân phối tần suất ghép lớp với các lớp sau :
[118;128) [128;138) [138;148) v.v…
b) Nhận xét về xu hướng tập trung của số liệu thống kê
Giải
a) Bảng phân phối tần số ghép lớp
Các lớp chiều cao Tần số Tần suất fi
[118;128)
[128;138)
[138;148)
[148;158)
[158;168)
[168;178)
[178,188)
3
5
15
8
5
3
1
7,5%
12,5%
37,5%
20%
12,5%
7,5%
2,5%
N = 40
b) Chiều cao của 40 học sinh có xu hướng tập trung trong 2 khoảng từ 138cm-148cm
C. Bài tập rèn luyện :
5.1. Sản lượng thủy sản năm 2000 (đơn vị 10 tấn) của 30 tỉnh thành :
770 1162 530 50 290 1254
1954 562 84 135 420 843
395 440 25 92 35 322
870 1765 52 305 164 210
564 1910 28 635 96 76
Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp ,với các lớp sau:
[25; 325}[325; 625) [625; 925) [925 ; 1225) [1225; 1525)
[1525; 1825) [ 1825; 2125)
5.2. Thống kê số con trong mỗi gia đình của 60 gia đình trong một quận :
2 1 4 2 3 0 2 3 4 2
2 5 1 2 2 3 3 5 7 2
3 4 4 2 1 2 3 2 2 4
6 5 3 4 4 7 2 1 1 5
6 3 5 2 2 3 4 3 5 4
3 3 5 7 2 1 3 4 6 2
Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số ,tần suất
5.3. Điểm kiểm tra toán của 50 học sinh được thống kê như sau :
5 4 8 6 6 4 3 6 7 3
7 6 4 3 4 3 8 6 3 6
4 6 6 7 9 4 5 6 3 4
5 4 4 5 6 8 2 6 6 3
7 5 2 6 2 7 5 6 6 4

5
5
Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất
5.4. Người ta thảy 50 lần 3 con súc sắc và mỗi lần ghi tổng số các số của 3 mặt trên
,ta thu thập được :
13 6 13 8 10 7 11 12 13 9
15 11 12 14 9 11 13 12 7 15
10 5 9 16 10 9 9 18 12 9
12 8 10 12 8 15 18 12 12 9
10 6 15 8 11 15 13 14 10 8
Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất
5.5.. Trong đợt kiểm tra dây chuyền sản suất của một nhà máy sản suất dồ hộp,người
ta cân 25 hộp trong dây chuyền sản suất (theo gam):
101 95 97 101 99 103 93 97 106 100
97 104 95 105 103 97 100 106 101 92
104 102 103 94 99
Hãy lập bảng phân phối tần suất ghép lớp ,với cá lớp sau :
[92; 95) [95; 98) [98; 101) [101;104) [104;107)
C.Hướng dẫn giải :
5.1 Bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớpcủa sản lượng thủy sản:
Các lớp sản lượng Tần số Tần suất
[25; 325)
[325; 625)
[625; 925)
[925; 1225)
[1225; 1525)
[1525; 1825)
[1825; 2125)
15
6
4
1
1
1
2
50%
20%
13,4%
3,3%
3,3%
3,3%
6,7%
30
5.2. Bảng phân phối thực nghiệm tần số-tần suất số con trong 60 gia đình
Số con 1 gia đình Tần số Tần suất
0
1
2
3
4
5
6
7
1
6
17
13
10
7
3
3
1,6%
10%
28,3%
21,7%
16,7%
11,7%
5%
5%
60
5.3. Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất điểm toán của 50 học sinh
Điểm toán Tần số Tần suất
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
10
6
15
5
3
1
6%
14%
20%
12%
30%
10%
6%
2%

6
6
50
5.4. Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất của tổng các mặt trên của 3 con súc sắc sau 50
lần thảy
Tổng số 3 mặt Tần số Tần suất
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
1
2
2
5
7
6
4
8
5
2
5
1
2
2%
4%
4%
10%
14%
12%
8%
16%
10%
4%
10%
2%
4%
50
5.5. Bảng phân phối tần suất ghép lớp của trọng lượng 25 hộp (gam)
Các lớp trọng
lượng
Tấn số Tần suất
[92; 95)
[95; 98)
[98; 101)
[101; 104)
[104; 107)
3
6
4
7
5
12%
24%
16%
28%
20%
25
§2.Biểu đồ
A. Tóm tắt giáo khoa
Để có được những hình ảnh trực quan về tình hình phân bố của các số liệu thống kê,người ta mô
tả các bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần
suất bằng các biểu đồ,đồ thị
a) Biểu đồ tần số - tần suất hình cột
Vẽ hai đường thẳng vuông góc : trên trục nằm ngang ta ghi các khoảng xác định lớp ghép,trên
trục đứng ta ghi tần số hay tần suất.Vẽ các hình chữ nhật có đáy bằng khoảng ghép lớp và
chiều cao bằng tần số hay tần suất của lớp tương ứng.
Ví dụ : Xem bảng phân phối thực nghiệm trong ví dụ 2
Vẽ biểu đồ tần số hình cột
0
2
4
6
8
10
12
14
16
b) Đường gấp khúc tần suất
Ta cũng có thể mô tả bảng phân phối thực nghiệm
bằng đường gấp khúc : Trên mặt phẳng tọa độ vẽ
các điểm (x ;f0
i i ) với i = 1,2,3…
Rồi vẽ các đoạn thẳng nối các điểm này với nhau
ta được đường gấp khúc.Đường gấp khúc này gọi
là đường gấp khúc tần suất

7
7
Các lớp chiều cao 0
ix Tần số Tần suất fi
[118;128)
[128;138)
[138;148)
[148;158)
[158;168)
[168;178)
[178,188)
123
133
143
153
163
173
183
3
5
15
8
5
3
1
7,5%
12,5%
37,5%
20%
12,5%
7,5%
2,5%
N = 40
123
7,5
133
12,5
37,5
20
14,5
2,5
143 153 163 173 183
3. Biểu đồ hình quạt
Hình tròn được chia thành những hình quạt.Mỗi lớp được tương ứng
với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của nhóm đó .
Hình thu được gọi là biểu đồ hình quạt
Ví dụ 1: Diện tích các lục địa trên thế giới được phân chia như sau :
A Chau
Au Chau
Bac My Chau
Nam My Chau
NgaPhi Chau
Uc Chau
Lục địa Diện tích (triệu km2
)
Á Châu
Âu Châu
Bắc Mỹ Châu
Nam Mỹ Châu
Nga
Phi Châu
Úc Châu
26,9
4,9
24,1
17,9
20,5
10,1
8,5
Tổng cộng 133,3
Vẽ biểu dồ hình quạt
Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn diện tích Á Châu :
1
360 26,9
72
133,3
o
o
α
×
= =

8
8
Ví dụ 2 : Người ta phỏng vấn sở thích của 28 học sinh trong lớp 9
Sở thích Thể thao Truyền
hình
Đọc
sách
Âm
nhạc
Tin
học
N
Tần số 7 8 3 4 6 28
Vẽ biểu đồ hình tròn mà mỗi lớp tương ứng với hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của
sở thích
Giải
Sở thích Tần số Tần suất Góc hình quạt
Thể thao
Truyền hình
Đọc sách
Âm nhạc
Tin học
7
8
3
4
6
25% 90o
28,6% 103o
10,7% 39o
14,3% 51o
21,4% 77o
N = 28
the thao
Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn
truyen hinh Số học sinh yêu thích thể thao là:
doc sach
am nhac
Tin hoc
1
360 25
90
100
o
o
α
×
= =
B. Giải toán
Ví dụ 1 . Vẽ biểu đồ tần suất ghép lớp hình cột trong bài tập rèn luyện 1
0
10
20
30
40
50
3-D Column 1
Ví dụ 2.Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số trong bài tập rèn luyện 2

9
9
4
3
2
1
6
7
13
10
1 3 5 6 7
24%
12%
16%
28%
20%
Ví dụ 3.Vẽ biểu dồ hình quạt tần suất ghép lớp trọng lượng của
25 hộp bài tập rèn luyện 5.
Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn trọng lượng của lớp
[92; 95) là :
1
360 12
43
100
o
o
α
×
= =
C.Bài tập rèn luyện :
5.6 Thống kê chiều cao (cm) của 40 học sinh
136 162 148 132 142 125 147 155 146 158
140 145 136 146 152 144 168 126 138 176
163 119 154 165 146 173 142 147 135 153
140 136 161 145 142 159 156 145 128 135
Lập bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp với các lớp :
[118, 124) , [124, 130) , [130, 136) ….Vẽ biểu đồ hình cột và biểu
đồ đường gấp khúc tần số
5.7 Thống kê xếp loại văn hóa cuối năm học của lớp 10 có 40 học sinh như sau : 5
học sinh giỏi 25 học sinh tiên tiến và 10 học sinh trung bình Vẽ biểu đồ hình quạt
D. Hướng dẫn giải :
5.6. a) Bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp
Các lớp ghép Giá trị trung tâm Tần số
[118, 124)
[124, 130)
[130, 136)
[136, 142)
[142, 148)
[148,154)
[154, 160)
[160, 166)
[166, 172)
[172, 178)
121
127
133
139
145
151
157
163
169
175
1
3
3
6
12
3
5
4
1
2

10
10
0
2
4
6
8
10
12
Biểu đồ đường gấp khúc
121 127 133 139 145 151 157 163 169 175
1
3
6
12
5
4
2
5.7. Biểu đồ hình quạt
Hình quạt góc ở tâm của học sinh giỏi : 1α =
360 5
40
×
= 450
Học sinh khá 2
360 25
40
α
×gioi = 2250
=
Học sinh trung bình 1α
360 10
40
×
= = 900
khatrung binh
§3 . Số trung bình cộng , Mốt , Số trung vị
A.Tóm tắt giáo khoa
I. Số trung bình cộng :
1.) Công thức tính :
a) Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm rời rạc :
1 1 2 2
1
1 1
( .... )
k
k k i i
i
x n x n x n x n x
n n =
= + + + = ∑
vì tần suất fi = in
n
nên ta có công thức :
1 1 2 2
1
...
k
k k i i
i
x f x f x f x f x
=
= + + + = ∑

11
11
b) Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp ;
0 0
1 1
1 k k
i i i i
i i
x n x f x
n = =
= =∑ ∑
Trong đó x0
i ; ni ; fi lần lượt là giá trị trung tâm,tần số,tần suất của lớp thứ i và n là số các số
liệu thống kê n =
1
k
i
i
n
=
∑
Số trung bình có một ý nghĩa cụ thể : đó là giá trụ chung của các dữ liệu
nếu tổng số của chúng được chia đồng đều
Ví dụ 1 : Số trung bình của điểm toán của 50 học sinh trong bảng thực nghiệm rời rạc sau :
Điểm toán Tần số Tần suất
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
10
6
15
5
3
1
6%
14%
20%
12%
30%
10%
6%
2%
50
là:
1
(2.3 3.7 4.10 5.6 6.15 7.5 8.3 9.1)
50
x = + + + + + + +
= 5,1
Ví dụ 2 : Chiều cao trung bình của 40 học sinh trong bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp sau :
Các lớp chiều cao 0
ix Tần số Tần suất fi
[118;128)
[128;138)
[138;148)
[148;158)
[158;168)
[168;178)
[178,188)
123
133
143
153
163
173
183
3
5
15
8
5
3
1
7,5%
12,5%
37,5%
20%
12,5%
7,5%
2,5%
N = 40
Là :
1
40
x = (3.123 + 5.133 + 15.143 + 8.153 + 5.163 + 3.173 + 1.183)
= 148
II. Mốt
Mốt Mo là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân phối thực nghiệm tần số .
Nếu trong bảng đó có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì
ta coi rằng :
• Mốt là trung bình cộng của 2 giá trị đó,nếu chúng kề nhau và số trung bình cộng này
có nghĩa;
• Có 2 mốt là 2 giá trị đó trong những trường hợp còn lại

12
12
• Mốt bị chi phối bởi cách thành lập bảng phân phối thực nghiệm
Ví dụ 1 : Khảo sát số con trong 100 gia đình :
Số con : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Số gia đình :n 15 28 22 13 11 6 3 1 1
Ta có mốt là Mo = 1
Ví dụ 2 : Khảo sát tiền công nhật (ngàn đồng)của 100 người :
Các lớp tiền lương Giá trị xo
i
Tần số
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
25
35
45
55
65
75
85
95
2
15
23
27
16
10
5
2
N = 100
Ta có mốt là Mo = 55 (giá trị trung tâm của lớp có tần số lớn nhất [50; 60)
Ví dụ 3 : Cho khối dữ liệu sau : 4 , 8 , 8 , 4 , 1 , 10 ,200
Ta có hai số mốt là 4 và 8
III. Số trung vị :
1. Định nghĩa : Số trung vị Me của một dãy không giảm (hoặc không tăng) gồm n số liệu
thống kê là :
• Số đứng giữa dãy số ( số hạng thứ
1
2
n +
nếu n lẻ )
• Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu n chẵn
Số trung vị chỉ lệ thuộc vào số chính giữa và không lệ thuộc vào các số quá nhỏ hay quá lớn
Ví dụ 1: Với các số : 2 , 4 , 5 , 7 10 thì số trung vị là Me = 5
Với các số 1 ,2 , 6 , 8 , 10 , 10 thì số trung vị là Me =
6 8
2
+
= 7
Ví dụ 2 : Cho bảng phân phối thực nghiệm :
Các lớp ghép Tần số Tích lũy
[1; 2)
[2; 3)
[3; 4)
[4; 5)
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
1 1
3 4
5 9
4 13
4 17
2 19
2 21
N = 21
Số trung vị số hạng thứ 11,5 thuộc lớp [4; 5) và
Me = 4 +
1 1,5
4,375
4
×
= (dùng phép tam suất)
Ví dụ 3 : Cho bảng phân phối thực nghiệm :
xi 0 1 2 3

13
13
ni 4 8 4 2
Ta thử tìm số trung bình , số mốt và số trung vị
Ta có N = 18
Số trung bình
0.4 1.8 2.4 3.2
1,2
18
x
+ + +
= =
Số mốt Mo = 1 (tần số lớn nhất là 8)
Số trung vị Me = 1 ( trung bình cộng của hai số thứ 6 và thứ 7)
B.Giải toán :
Ví dụ 1. Thống kê điểm kiểm tra của một học sinh A như sau :
Toán 5,5 với hệ số 3
Lý 5,5 với hệ số 2
Văn 5 với hệ số 3
Anh văn 4,5 với hệ số 2
Điểm kiểm tra của học sinh thứ hai B như sau :
Toán 7,5 với hệ số 3
Lý 7 với hệ số 2
Văn 2,5 với hệ số 3
Anh văn 3,5 với hệ số 2
Tính điểm trung bình của 2 học sinh này và nhận xét kết quả
Giải
5,5 3 5,5 2 5 3 4,5 2
5,1
10
x
× + × + × + ×
= =Điểm trung bình cộng của A là
7,5 3 7 2 2,5 3 3,5 2
5,1
10
x
× + × + × + ×
= =Điểm trung bình cộng của B là
Ta nhận thấy điểm trung bình của hai học sinh này bằng nhau,nhưng các điểm của học sinh
A tập trung gần điểm trung bình,trái lại các điểm của học sinh
B xa hơn điểm trung bình
Ví dụ 2 .Tính chiều cao trung bình của 100 học sinh được thống kê trong bảng phân phối thực
nghiệm ghép lớp như sau : (đơn vị cm)
Các lớp Giá trị trung
tâm của lớp
Tần số
[146; 151)
[151; 156)
[156; 161)
[161; 166)
[166; 171)
148,5
153,5
158,5
163,5
168,5
20
30
40
8
2
N = 100
Giải
Chiều cao trung bình là
148,5 20 153,5 30 158,5 40 163,5 8 168,5 2
100
x
× + × + × + × + ×
= = 155,6cm
Ví dụ 3 :Tính số trung bình cộng của kết quả nhảy cao của 55 học sinh (đơn vị cm) trong bảng phân
phối thực nghiệm ghép lớp sau :
Các lớp Giá trị trung Tần số

14
14
tâm lớp
[90; 95)
[95; 100)
[100; 105)
[105; 110)
[110; 115)
[115; 120)
[120; 125)
[125; 130)
92,5
97,5
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
3
6
12
20
7
4
2
1
N = 55
Giải
Số trung bình được tính bởi :
92,5 3 97,5 6 102,5 12 107,5 20 112,5 7 117,5 4
55
x
× + × + × + × + × + ×
=
+
122,5 2 127,5 1
50
× + ×
= 106,77 cm
Ví dụ 4. Chiều cao của 100 học sinh (tính bằng cm) được thống kê trong bảng phân phối thực
nghiệm sau :
Chiều cao Số học sinh
[130; 134)
[134; 138)
[138; 142)
[142; 146)
[146; 150)
[150; 154)
[154; 158)
[158;162)
2
6
33
35
20
4
3
5
a) Tính Mốt và số trung vị
b) Tính số trung bình cộng
Giải
Chiều cao Số học sinh Giá trị trung tâm Tần số tích kũy
[130; 134)
[134; 138)
[138; 142)
[142; 146)
[146; 150)
[150; 154)
a) Tần số lớn nhất thuộc lớp ghép [142; 146) Vậy Mốt là M0 = 144
Số trung vị có tần số tích lũy 50 nên thuôc lớp ghép [142; 146) .Vậy
[154; 158)
[158;162)
1
6
28
33
20
4
3
5
132
136
140
144
148
152
156
160
1
7
35
68
88
92
95
100
MBe = 142 + 4
50 35
68 35
−
×
−
= 142 + 1,8 = 143,8
b) Số trung bình cộng :

15
15
132 136.6 140.28 144.33 148.20 152.4 156.3 160.5
100
x
+ + + + + + +
=
= 144,56
Ví dụ 5:Bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp của sức nặng (kg) 29 học sinh
Các lớp Giá trị trung tâm Tần số Tích lũy
[45; 50)
[50; 55)
[55; 60)
[60; 65)
[65; 70)
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
2
6
12
5
4
2
8
20
25
29
Tính Mốt và số trung vị
Giải
Số Mốt là số có tần số cao nhất thuộc lớp [50; 60) Vậy M0 =57,5
Ta có N = 29 nên sức nặng trung vị là số ở đó tần số tích luỹ là
N =
29
2
= 14,5 . Ta thấy sức nặng trung vị nằm trong lớp [55; 60).
Thực hiện phép tam suất Me = 55 + 5
14,5 8
20 8
−
×
−
= 55 + 2,7 = 57,7 kg
*Ví dụ 6 . Chứng minh rằng nếu ta cộng các số xi của dử liệu với một hằng số thì số trung bình
cũng cộng với hằng số đó.
Giải
Ta biết số trung bình cho bởi công thức :
i in x
x
N
=
∑ với in N=∑
Nếu ta cộng các số xi với hằng số a thì số trung bình mới là :
( )i i i i in x a n x an
x a
N N N
+
= = + = +
∑ ∑ ∑X
*Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu ta nhân các số xi với một hằng số thì trung bình cộng cũng nhân
với hằng số đó.
Giải
Ta biết số trung bình cho bởi công thức :
i in x
x
N
=
∑ với in N=∑
Nếu ta nhân các số xi với hằng số a thì số trung bình mới là :
( )i i i i in x a n x an
x a
N N N
×
= = × = ×
∑ ∑ ∑X
* Ví dụ 8: Dùng kết quả của ví dụ 6 và 7 để tính số trung bình:
Ta chọn gốc mới là số Mốt thì số các dữ liệu mới sẽ nhỏ .
Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp nhảy cao của 55 học sinh của một lớp :
Các lớp (cm) Giá trị trung
tâm xi
Tần số ni 107,5
5
i
i
x
t
−
=
ni ti
[90, 95)
[95; 100)
92,5
97,5
3
6
- 3
- 2
- 9
- 12

16
16
[100; 105)
[105; 110)
[110; 115)
[115; 120)
[120; 125)
[125; 130
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
12
20
7
4
2
1
Cộng 55
- 1
0
1
2
3
4
- 12
0
7
8
6
4
Cộng – 8
Ta chọn Mốt 107,5 làm gốc mới .Độ dài mỗi khoảng là 5
Ta đặt xi = 5ti + 107.5 .Theo ví dụ 6 và 7 trên ta có :
5 107.5x t= + với
8
55
t
−
= = - 0,146 thì x = 5(- 1,46) + 107,5 = 106,77
5.8. Điểm sinh vật của 20 học sinh được liệt kê như sau :
1 2 8 6 10 10 9 7 3 2
7 6 5 2 3 5 4 5 5 8
a) Hãy xếp các số này từ nhỏ đến lớn và tím điểm trung vị
b) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1; 4) , [4; 7) ,
[7; 10] tìm điểm trung vị
c) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1,3) , [3; 5) ,
[5; 7) ; [7;10) và tím số trung vị
5.9.Bảng phân phối thực nghiệm sức nặng ghép lớp của 100 học sinh được thống kê
như sau (đơn vị kg) :
Các lớp Tần số
[50;
53)
[53;
56)
[56;
59)
[59;
62)
[62;
65)
5
18
42
27
8
Tính sức nặng trung bình , số Mốt và số trung vị
5.10. Bảng phân phối thực nghiệm tiền công nhật (ngàn đồng bạc) của công nhân
trong một xí nghiệp như sau :
Lớp tiền công nhật Số người
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
11
26
63
81
35
21
13
a) Tính tiền công trung vị,tiền công trung bình và Mốt
b) Vẽ đường gấp khúc tần suất

17
17
5.11 Thống kê số con trong 250 gia đình như sau ;
Số con Số gia đình
0
1
2
3
4
5
6
7
1
6
24
57
70
59
31
2
Tính số Mốt, số trung vị và số trung bình cộng của dữ liệu
5.12 Cho hai bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp của năng suất lúa của 30
thửa ruộng ở địa phương A và 30 thửa ruộng ở địa phương B (đơn vị tạ/ha)
Các lớp giá trị của
A
x o
i
Tần số ni
[15,50; 20,50)
[20,50; 25,50)
[25,50; 30; 50)
[30,50; 35,50)
18
23
28
33
3
10
11
6
Các lớp giá trị của
B
x o
i
Tần số ni
[15,50; 20,50)
[20,50; 25,50)
[25,50; 30; 50)
[30,50; 35,50)
[35,50; 40,50)
18
23
28
33
38
3
6
11
7
3
a) Tính các số trung bình cộng ,x y
b) Dựa vào kết quả trên xét xem năng suất lúa địa phương nào là cao
hơn
D.Hướng dẫn giải
5.8 a) Xếp các số liệu từ nhỏ đến lớn :
1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10
N =20 là số chẵn nên số trung vị là Me = 5
b) Bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp
[1; 4)
[4; 7)
[7; 10)
2,5
5,5
8,5
6
7
7
6
13
20
Số trung vị thuộc lớp [4; 7) Me = 4 + 3
10 6
13 6
−
×
−
= 5,7

18
18
[1; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 10]
2
4
6
8,5
4
3
6
7
4
7
13
20
Số trung vị thuộc lớp [5; 7) nên Me = 5 + 2
10 7
13 7
−
×
−
= 6
5.9
Các lớp Tần số xi Tích lũy
[50; 53)
[53; 56)
[56; 59)
[59; 62)
[62; 65)
5
18
42
27
8
51,5
54,5
57,5
60,5
63,5
5
23
65
92
100
51,5 5 54.5 18 57,5 42 60,5 27 63,5 8
100
x
× + × + × + × + ×
=Sức nặng trung bình =
57.95kg
Số mốt Mo = 57,5
Số trung vị thuộc lớp [56; 59) nên Me = 56 + 3
50 23
65 23
−
×
−
= 57,8
5.10.
Lớp tiền công
nhật
Tần số ni xi ni xi Tích lũy
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
11
26
63
81
35
21
13
35
45
55
65
75
85
95
46
1170
3465
5265
2625
1785
1236
11
37
100
181
216
237
250
Vì N = 125 số trung vị thuộc lớp [60; 70)
Số trung vị là : Me = 60 + 10
125 100
181 100
−
×
−
= 63,1
Mốt Mo = 65
Số trung bình x =62,37
5.11
Số con Tần số ni ni xi Tích lũy
0
1
2
3
4
5
6
7
1
6
24
57
70
59
31
2
0
6
48
171
280
295
186
14
1
7
31
88
158
217
248
250
N = 250

19
19
Số Mốt Mo = 4 có tần số lớn nhất là 70
Số trung vị Me = 4
Số trung bình
1000
250
x = = 4
5.12
Các lớp giá trị của A 0
1x Tần
số ni
nix o
i
[15,50; 20,50)
[20,50; 25,50)
[25,50; 30; 50)
[30,50; 35,50)
18
23
28
33
3
10
11
6
54
230
308
198
N = 30 Cộng 790
Các lớp giá trị của B x o
i
Tần
số ni
nix o
i
[15,50; 20,50)
[20,50; 25,50)
[25,50; 30; 50)
[30,50; 35,50)
[35,50; 40,50)
18
23
28
33
38
3
6
11
7
3
54
138
308
231
114
Cộng 845
N = 30
a)
790
30
x = = 26,3 ;
845
30
y = = 28,2
b) Năng suất địa phương B cao hơn
§4. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
A.Tóm tắt giáo khoa
1. Định nghĩa : Độ lệch của một số là hiệu số giữa số đó và số trung bình. Bình phương các độ
lệch cộng lại rồi chia đều gọi là phương sai
Phương sai của mẫu số liệu kích thước N : { }1 2, ,..., Nx x x được tính bới công thức
2 2
1
1
( )
N
i
i
s x x
N =
= −∑
xtrong đó là số trung bình của mẫu số liệu
Căn số học bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn
s = 2
1
1
( )
N
i
i
x x
N =
−∑
Ghi chú :
1. Phương sai đo mức độ phân tán của các số liệu trong dữ liệu xung quanh số trung bình
.Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn
2. Công thức tính phương sai có thể biến đổi thành :
2 2
2
1 1
1 1
( )
N N
i i
i i
s x
N N= =
= − 2
x∑ ∑
Tính phương sai bằng công thức này thuận tiện hơn
2.Ví dụ :
Ví dụ 1 : Kết quả học tập của hai học sinh A và B trong năm học như sau :

20
20
Môn Điểm TB của A Điểm TB của B
Văn
Sử
Địa
Anh
Toán
Lý
Hóa
Sinh
GDCD
Thể dục
Kỷ thuật
7
7,5
7,8
7,5
8
7
7,2
8
8.5
7,5
7
5
5,5
5,5
8
8
9
10
7,5
9
8
7,5
* Điểm trung bình cả năm của các môn học không tính hệ số
• Điểm trung bình của học sinh A :
7 3 7,2 7,5 3 7,8 8 2 8,5
7,5
11
x
× + + × + + × +
= =
• Điểm trung bình của học sinh B :
5 5,5 2 7,5 2 8 3 9 2 10
7,5
11
y
+ × + × + × + × +
= =
11
2
1
628,68i
i
x
=
=∑
* Phương sai và độ lệch chuẩn của học sinh A và B.
Ta có : và
11
1
83i
i
x
=
=∑
11
1
i
i
y
=
=∑ 83,3 và
11
2
1
i
i
y
=
=∑ 652
• Phương sai và độ lệch chuẩn các điểm môn học của A :
2 2628,68 83
( )
11 11
As = − = 57,15 – 56,93 = 0.22
sA = = 0,470,22
• Phương sai và độ lệch chuẩn các điểm môn học củ B :
2 2652 83,3
( )
11 11
Bs = − = 59,27 – 57,35 =1,92
sB = = 1,381,92
Nhận xét: Ta thấy 2 học sinh A va B có cùng điểm trung bình nhưng phương sai của học sinh B
gấp 9 lần phương sai của học sinh A điều đó chứng tỏ học sinh A học đều các môn còn học sinh B
học lệch.
Ví dụ 2 : Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân được thống kê như sau (đơn vị
ngàn đồng)
Các lớp tiền lương Số nhân viên
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
[100; 110)
[110; 120)
8
10
16
14
10
5
2

21
21
Ta tính phương sai và độ lệch chuẩn của tiền công nhật theo các bước sau:
Lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất ghép lớp
Với giá trị trung tâm lớp thứ i là xi
Các lớp
ghép
xi Tần số
ni
nixi x 2
i ni x 2
i
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
[100; 110)
[110; 120)
55
65
75
85
95
105
115
8
10
16
14
10
5
2
440
650
1200
1190
950
525
230
3025
4225
5625
7225
9025
11025
13225
24200
42250
90000
101150
90250
55125
26450
65 65
2
1 1
5185 429425i i i i
i i
n x n x
= =
= =∑ ∑
Phương sai : 2 429425 5185
( )
65 65
s = − 2
= 6606,5 – 6363,3 = 243,2
Độ lệch chuẩn s = 243,2 = 15,6
B. Giải toán :
Ví dụ 1 :: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của các số :
9, 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18
Giải
Cách 1 : Tính số trung bình
9 3 8 8 9 8 9 18 72
9
8 8
x
+ + + + + + +
= = =
Các độ lệch là 0 , -6 , -1 , -1 , 0 , -1 , 0 , 9
Các bình phương độ lệch : 0 ,36 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 81
Phương sai là 2 0 36 1 1 0 1 0 81 120
15
8 8
s
+ + + + + + +
= = =
Độ lệch chuẩn s = 15
8 8
2
1 1
72 768i i
i i
x x
= =
= =∑ ∑
= 3,87
Cách 2 : Dùng công thức :
Phương sai
8 8
2
2 2 21 1 768 72
( ) ( ) 96 81 15
8 8
i i
i i
x x
s
N N
= =
= − = − = − =
∑ ∑
Độ lệch chuẩn s = 15 = 3,87
*Ví dụ 2 : Cho số liệu thống kê ( xi ; ni ).Chứng minh rằng nếu ta đặt ui = xi +a ,với a là hằng sô
thì độ lệch chuẩn của ui bằng đô lệch chuẩn của xi
Giải
Ta biết trong bài số trung bình ,nếu ui = xi +a thì số trung bình u x a= +

22
22
Ta suy ra các độ lệch xi - x = (xi + a) –( x + a) = ui - u không thay đổi
Vậy phương sai của các số mới ui bằng phương sai của các số cũ xi
Ví dụ như các số 1 ,2 ,9 có trung bình cộng là x = 4 và các độ lệch là – 3 , - 2 , 5 .Nếu cộng các số
cho 50 ta được các số mới là 51 , 52 , 59 với số trung bình mới là 54 và các độ lệch là - 3 , - 2 , 5
Vậy các số 1 , 2 , 9 và các số 51 , 52 , 59 có cùng
phương sai là s2
=
9 4 25
3
+ +
=
38
3
*Ví dụ 3 : Cho số liệu thống kê ( xi ; ni ).Chứng minh rằng nếu ta đặt ui = bxi ,với b là hằng số
dương thì phương sai cũng được nhân với hằng số dương b
Giải
Theo bài số trung bình ta có : u bx=
Do đó các độ lệch : b( xi - x ) = (xi . b) –( x . b) = uBi - u
Vậy phương sai của các số mới ui bằng phương sai của các số cũ xi nhân với hằng số dương b
Ví dụ 4: Dùng tính chất của bài 3 và 4 để tìm phương sai và độ lệch chuẩn của ví dụ 2 : tiền lương
công nhật của 65 nhân viên
Các lớp
ghép
xi Tần số
ni
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
[100; 110)
[110; 120)
55
65
75
85
95
105
115
8
10
16
14
10
5
2
Giải
Chọn điểm 75 của giá trị trung tâm các lớp làm gốc,nói khác đi trừ các số này cho 75 ta được : - 20 ,
- 10 , 0 , 10 , 20 , 30 , 40 ( theo bài 2 thì phép trừ này không thay đổi phương sai và độ lệch chuẩn)
Chia các số này cho d = 10 ,chúng ta có các số mới là :
di : - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4
Theo bài 3 thì độ lệch chuẩn các số xi bằng 10 lần độ lệch chuẩn các số di
Ta có : ∑
7 7
2
1 1
31 173i i i i
i i
n d n d
= =
= =∑
Vậy
2
2 173 31
2,4341
65 65
ds
⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Suy ra sd = 1,56 và sx = 10×1,56 = 15,6
Ví dụ 5 : Hai xạ thủ cùng tập bắn ,mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào
bia .Kết quả được ghi lại ở hai bảng số liệu thống kê sau :
• Điểm số x của xạ thủ A :
9 8 9 10 8 10 8 9 8 6 9 10 10 8 10
10 6 9 8 10 7 9 9 6 9 9 8 8 10 7
• Điểm số y của xạ thủ B :
6 10 9 9 10 10 10 6 7 7 10 6 9 5 7
5 9 9 5 9 10 5 8 9 7 10 10 7 9 9
a) Lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất rời rạc theo x và theo y .

23
23
b) Tính các số trung bình cộng ,x y
c) Tính các phương sai 2
, 2
x ys s và nhận xét xem xạ thủ nào bắn tập trung hơn?
GiảiGiải
a) Bảng phân phối thực nghiệm tần số điểm số x của xạ thủ Aa) Bảng phân phối thực nghiệm tần số điểm số x của xạ thủ A
Điểm xi Tần số ni ni xi xixi
2
Điểm xi Tần số ni ni xi n ixin 22 2
ixi
6
7
8
9
10
3
2
8
9
8
18
14
64
81
80
36
49
64
81
100
108
98
512
729
800
Bảng phân phối thực nghiệm tần số điểm số y của xạ thủ B
Điểm yi Tần số ni ni yi y 2
i n iyi
2
5
6
7
8
9
10
4
3
5
1
9
8
20
18
35
8
81
80
25
36
49
64
81
100
100
108
245
64
729
800
a) Tính số trung bình cộng :
Ta có 2247 Vậy
5 5
2
1 1
257i i i i
i i
n x n x
= =
= =∑ ∑
257
8,57
30
x = =
6 6
2
1 1
242 ;i i i i
i i
n y n y
= =
= =∑ ∑
242
8,07
30
y = =Ta có 2046 Vậy
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn :
Ta có phương sai của A:
2
2 2247 257
30 30
xs
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 74,9 – 73,44 =1,02
Độ lệch chuẩn của A : sx = 1,01
Phương sai của B :
2
2 2046 242
30 30
ys
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 68,2 – 65,12 = 1,05
Độ lêch chuẫn của B : sy = 1,02
Xạ thủ A bắn tập trung hơn
5.13 : Tím phương sai và độ lêch chuẩn các số :.12 , 6 , 7 , 3 , 45 , 10 , 18 , 5
5.14 : Tìm độ lệch chuẩn các số :
a) 2 , 8 , 14
b) 12 , 18 , 24
0 1 2 3 4 5 6 7
8
Số con
5.15 :Số con của 100 gia đình được
ghi lại như sau :
Số gia
đình
4 5 10 20 25 11 10 8
7

24
24
Tính phương sai và độ lệch chuẩn
6.16 : Người ta đo chiều cao của 50 cây lim trong một cánh rừng (đơn vị m) như sau
:
Chiều
cao
9 10 11 12 13 14
Tần số 7 6 9 10 10 8
Tính phương sai và độ lệch chuẩn
5.17 :Thống kê khối lượng (kg) cá basa trong hai bảng phân phối thực nghiệm ghép
lớp sau .
Khối lượng của nhóm cá basa thứ nhứt
Các lớp giá trị xi Giá trị trung tâm Tần số
[4, 6)
[6 , 8)
[8, 10)
[10, 12)
5
7
9
11
6
4
6
4
Khối lượng của nhóm cá basa thứ hai
Các lớp giá trị xi Giá trị trung tâm Tần số
[3 , 5)
[5 , 7)
[7, 9)
[9, 11)
[11, 13)
4
6
8
10
12
4
3
6
4
3
a) Hãy tính các số trung bình cộng của hai bảng phân phối trên
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
c) Hãy nhận xét nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn
D.Hướng dẫn giải
5.13. Phương sai s2
= 23,75 . Độ lệch chuẩn s = 23,75 = 4,87
5.14.Độ lệch chuẩn của các số 2 8 14 là s = 4,90
Ta thấy các số của b) bằng các số của a) cộng thên 10.Do đó độ lệch
chuẩn không thay đổi
5.15.
xi ni nixi x 2
i ni x 2
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
5
10
20
25
11
10
8
7
0
5
20
60
100
55
60
56
56
0
1
4
9
16
25
36
49
64
0
5
40
180
400
275
360
392
448
2100
2
412 ;i i i in x n x= =∑ ∑
Phương sai s2
= 21 – 16,97 = 4, 03

25
25
Độ lệch chuẩn s = 2,01
5.16.
xi ni nixi x 2
i ni x 2
i
9
10
11
12
13
14
7
6
9
10
10
8
63
60
99
120
130
112
81
100
121
144
169
196
567
600
1089
1440
1690
1568
6954
2
584 ;i i i in x n x= =∑ ∑
Phương sai : s2
= 139,08 – 136,42 = 2,66
Độ lệch chuẩn s = 1,63
5.17 Bảng phân phối thực nghiệm khối lượng cá basa thứ nhất
a)
Các lớp giá trị xi ni ni xi X 2
i ni x 2
i
[4, 6)
[6 , 8)
[8, 10)
[10, 12)
5
7
9
11
6
4
6
4
11
28
54
44
25
49
81
121
150
196
486
484
1016
2
137 ;i i i in x n x= =∑ ∑
Số trung bình cộng :
137
6,85
20
x = =
Phương sai : 2
xs = 50,8 – 46,92 = 3,88
Độ lệch chuẩn sx = 1,97
Bảng phân phối thực nghiệm khối lượng cá basa thứ hai:
Các lớp giá trị yi ni ni yi Y 2
i ni y 2
i
[3, 5)
[5, 7)
[7, 9)
[9, 11)
[11, 13)
4
6
8
10
12
4
3
6
4
3
16
18
48
40
36
16
36
64
100
144
64
108
384
400
432
b) 1388
2
158 ;i i i in y n y= =∑ ∑
Số trung bình cộng :
158
7,9
20
y = =
Phương sai : = 69,4 – 62,41 = 6,99
2
ys
Độ lệch chuẩn sy = 2, 6
c) Nhóm cá thứ nhứt đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn
E .Trắc nghiệm cuối chương
A. Câu hỏi
1. Cho bảng phân phối về số con trong 20 gia đình :
Số con 0 1 2 3
Số gia đình 3 6 7 4

26
26
Câu nào sau đây đúng :
a) Tần số của 2 là 7 b) Tần suất của 3 là 20%
c) Tần suất của 1 là 33% d) Cả 3 câu trên đều đúng
2.Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp
Các lớp
giá trị Xi
[40 , 42) [42, 44) [44, 46) [46, 48) [48, 50)
Tần sô nBi 5 10 26 5 4
Câu nào sau đây đúng:
a) Giá trị trung tâm của lớp [42, 44) là 43 b) Tần số của lớp [42, 44) là 15
c) Tần suất của lớp [46, 48) là 5% d) Cả ba câu trên đều sai
3.Số trung bình cộng của các số liệu thống kê :
5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 10 , 6 , 8 là số nào sau đây:
a) 5 b) 7 c) 7,4 d) 6
4. Với các số 1, 4, 6 , 8, 10, 10 thì số trung vị là :
a) 6 b) 7 c) 8 d) một số khác
5. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần sô :
xi 1 2 3
Tần số ni 4 3 2
Số trung vị là số :
a) 1 b) 2 c) 3 d) số khác
Cho bảng phân phối thưc nghiệm tần số ghép lớp
Các lớp
giá trị Xi
[40 , 42) [42, 44) [44, 46) [46, 48) [48, 50)
Tần số ni 5 10 26 5 4
Dùng bảng thống kê dử liệu này để trả lời các câu 6 , 7 , 8
6. Số trung vị thuộc lớp nào sau đây :
a) [42, 44) b) [44, 46) c) [46, 48) d) [48, 50)
7. Số trung bình cộng là :
a) 44,72 b) 43 c) 45 d) số khác
8. Mốt Mo là số nào :
a) 49 b) 47 c) 45 d) số khác
9. Một lớp học gồm 50 học sinh.Chiều cao trung bình của 30 nữ sinh là 1,60m và chiều cao trung
bình của 20 nam sinh là 1,65m .Chiều cao trung bình của 50 học sinh này là :
a) 1,62m b) 1,61m c) 1,63 d) số khác
10. Biết trung bình cộng của các số xi là 7 thì trung bình cộng của các
số 2xi - 3 là :
a) 14 b) 11 c) 9 d) không tính được
11. Chiều cao trung vị của 50 nam sinh là 1,65m và chiều cao trung vị
50 nữ sinh là 1,61m thì chiều cao trung vị của 100 học sinh này là :
a) 1,62m b) 1, 63m c) 1,64m d) không tính được

27
27
12. Cho bảng phân phối thực nghiệm sau :
xi 1 2 3
Tần số ni 4 3 3
Phương sai là số nào sau đây:
a) 0,69 b) 0,60 c) 0,56 d) số khác
13. Biết độ lệch chuẩn của các số 1 , 2, 3, 3, 6 là s = 1,67 thì độ lệch
chuẩn của các số 101 , 102 , 103 , 103, 106 là :
a) 16,7 b) 176 c) 1,67 d) số khác
14.Biết độ lệch chuẩn của các số xi là s = 6 thì độ lệch chuẩn của các số
5xi – 3 là bao nhiêu?
a) 27 b) 30 c) 33 d) số khác
15. Trong bảng phân phối tần số rời rạc của các dữ liệu xi .Câu nào sau
đây đúng ?
a) Mốt là số nhỏ nhất trong các số xi
b) Mốt là số lớn nhất trong các số xi
c) Mốt là số xi có tần số nhỏ nhất
d) Mốt là số xi có tần số lớn nhất
B. Bảng trả lới :
1d 2a 3c 4b 5b 6b 7a 8c 9d 10b 11d 12a 13c 14b 15d
C. Hướng dẫn giải
1d. Cả ba câu đều đúng
2a.
3c. Số trung bình cộng của các số: 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 10 , 6 , 8
5 6 3 7 8 2 9 2 10
10
x
+ × + + × + × +
= = 7,4là
4b . Xét các số 1, 4, 6 , 8, 10, 10 được xếp theo thứ tự thì 2 số chính
là 6 và 8 nên số trung vị là 7
5b.
xi 1 2 3
Tần số ni 4 3 2
Tích lũy 4 7 9
Tổng số các dữ liệu là N = 9 nên số trung vị có thứ tự là 5
Vậy số trung vị là 2
6b.
Các lớp
giá trị Xi
[40 , 42) [42, 44) [44, 46) [46, 48) [48, 50)
Tần số ni 5 10 26 5 4
Tích lũy 5 15 41 46 50
Số trung vị là số có tần số tích lũy là 25 nên Me thuộc lớp [44,46)
7a. Giá trị trung tâm các lớp là 41 , 43 , 45 , 47 , 49
Số trung bình là :
41 5 43 10 45 26 47 5 49 4
50
x
× + × + × + × + ×
= =44,72

28
28
8c. Lớp có tần số lớn nhất là [44,46) .Vậy Mốt là Mo = 45
9d. Không tính được
10b.Trung bình cộng của các số xi là 7 thí trung bình cộng của các số
2xi – 3 là 2(7) – 3 = 11
11d . Không tính được
12a.Ta có 43
2
19i i i in x n x= =∑ ∑
Vậy phương sai là s2
= 4,3 – (1,9)2
= 0,69
13c. Ta thấy nếu cộng mỗi số 1 , 2, 3, 3, 6 với số 100 thì ta được :
101 , 102 , 103 , 104 , 105 , 106
Vậy độ lệch chuẩn các số này không thay đổi s = 1,67
14b. Biết độ lệch chuẩn của các số xi là s = 6 thì độ lệch chuẩn của các
5xi – 3 là s = 5(6) = 30
15.d Mốt là số có tần số lớn nhất

Chuyên đề 5 thống kê

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (18)

Similar a Chuyên đề 5 thống kê

Similar a Chuyên đề 5 thống kê (9)

Chuyên đề 5 thống kê