Introducci´ n a los conceptos
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fundamentales en acustica
Jos´ Dami´ n Mellado Ram´rez
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Indice
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Propagaci´ n de las ondas sonoras
o
1.1 Definici´ n. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2 La...
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Sumario de t´ rminos
e
5.1 Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Frecuencia, per´odo, longitud de on...
Cap´tulo 1
ı
Propagaci´ n de las ondas sonoras
o
1.1

Definici´ n. Tipos de ondas
o

Una onda es una magnitud fsica que se ...
es que la onda se deforma debido a que los coeficientes A(x, t) y a(x, t) ya no son constantes.
El criterio para poder llam...
1. El gas se mueve y var´a la densidad.
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2. La variaci´ n de densidad provoca variaciones de presi´ n.
o
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3. Las variaci...
donde ρ(x, t) es la densidad media en ese segmento en t. Si tomamos ∆x muy peque˜ o la
¯
n
relaci´ n anterior se convierte...
1.3

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Ondas acusticas tridimensionales

Si hubi´ ramos realizado el an´ lisis de la secci´ n anterior suponiendo que las ...
1.5

Ejercicios y cuestiones

1. Explique en qu´ consiste la linealidad de la ecuaci´ n de ondas ac´ stica. Comente lo
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o...
Cap´tulo 2
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Soluciones de la ecuaci´ n de ondas
o
2.1

Ondas arm´ nicas planas
o

Las ondas arm´ nicas planas son como se...
siguiente, en el que se expondr´ la teor´a de descomposici´ n de una onda general como
a
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superposici´ n de ondas plana...
lo que se puede comprobar f´ cilmente si tenemos en cuenta que la parte radial del laplaciano
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es,
r
∂2
2 ∂
= 2+
.
(2.14)...
1

ψ = arcsen

1 + (kr)2

.

(2.23)

La intensidad ac´ stica para una onda esf´ rica es (el alumno puede demostrar este re...
Sin embargo, hay que tener en cuenta que casi imposible no es imposible, y si los sonidos son
producidos por fuentes id´ n...
RAYO

TUBO DE SONIDO

Figura 2.1: Aproximaci´ n de un tubo de sonido por un rayo. En el centro el tubo se comporta
o
como ...
son en general distintas a las de la onda primitiva, que suele conocerse como onda incidente. Una de las ondas contin´ a p...
donde se han definido las impedancias ri = ρi ci . Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n
o
o
de intensidad son
2
1 − ...
1

2

θr

θt

θi

Figura 2.3: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia oblicua de una onda en una frontera de
o
o
dos flui...
2.6

Absorci´ n de las ondas sonoras
o

Aunque no ha habido ninguna menci´ n sobre el efecto de la disipaci´ n del sonido ...
Cap´tulo 3
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An´ lisis en frecuencia
a
3.1

Superposici´ n de soluciones
o

Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de onda...
3.3

Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier
o

En vista de los resultados de la secci´ n anterior, nos planteamos a...
la amplitud de los arm´ nicos An tiende a cero, lo que significa que los arm´ nicos individuales
o
o
cuentan cada vez menos...
1.5
4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)+4./(pi*5.)*sin(5.*x)+4./(pi*7.)*sin(7.*x)
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0

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10...
2

log(|f(w)| )

w

Figura 3.5: Espectro t´co de un ruido.
ı

3.6

Ejercicios

1. Represente gr´ ficamente el primer arm´ n...
Cap´tulo 4
ı
Modelos de Fuentes sonoras
4.1

Modelo de esfera pulsante

Consideremos una esfera de radio a que est´ pulsan...
La intensidad ac´ stica media es
u
1
2 a
I = ρ0 cU0
2
r

2

cos2 θa .

(4.6)

Es interesante observar que cuando ka → 0, l...
kL=24
0.1
abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t)))
0.08
0.06
0.04

θ

0.02
0

θ=0

varilla

0.02
0.04
0.06
0.08
0.1

1

0.8

0.6
...
4.4

Factor de directividad

Como hemos visto, las fuentes sonoran no rad´an sonido por igual en todas las direcciones.
ı
...
Cap´tulo 5
ı
Sumario de t´ rminos
e
En esta secci´ n vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan el ...
usa el concepto de frecuencia angular, la cual est´ relacionada con la frecuencia mediante
a
la expresi´ n w = 2πf . Si te...
part´culas fluidas es u = dξ/dt, tenemos:
ı
∂p
∂u
k
p
= −ρ0
= kp 0 cos (kx − wt) → u =
p 0 sen (kx − wt) =
,
∂x
∂t
ρ0 w
c 0...
5.6

Factor de directividad

Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situaci´ n en el espacio, no
...
Por ejemplo, si W es diez veces mayor que W0 la relaci´ n W/W0 ser´ 10 y log10 = 1,
o
a
si la relaci´ n es de 100, entonce...
5.8

Adici´ n de niveles de ruido
o

Cuando se superponen dos o m´ s sonidos de frecuencias distintas, estad´sticamente la...
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Apuntes acustica

  1. 1. Introducci´ n a los conceptos o ´ fundamentales en acustica Jos´ Dami´ n Mellado Ram´rez e a ı
  2. 2. Indice 1 2 3 4 Propagaci´ n de las ondas sonoras o 1.1 Definici´ n. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 La ecuaci´ n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 Ondas ac´ sticas tridimensionales . . . . . . . . . . . u 1.4 Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones o 1.5 Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de la ecuaci´ n de ondas o 2.1 Ondas arm´ nicas planas . . . . . . . . . . . o 2.2 Ondas esf´ ricas . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 Suma de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ondas y rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas ac´ sticas o o u 2.5.1 Incidencia normal en un fluido . . . . 2.5.2 Incidencia oblicua en un fluido . . . . 2.6 Absorci´ n de las ondas sonoras . . . . . . . . o 2.7 Ejercicios y cuestiones . . . . . . . . . . . . An´ lisis en frecuencia a 3.1 Superposici´ n de soluciones . . . . . . . . . o 3.2 Descomposici´ n en arm´ nicos . . . . . . . . o o 3.3 Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier . o 3.4 Espectro continuo. Transformada de Fourier . 3.5 Teorema de Parseval y espectro de frecuencias 3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de Fuentes sonoras 4.1 Modelo de esfera pulsante 4.2 Fuente lineal sonora . . . . 4.3 Pist´ n pulsante . . . . . . o 4.4 Factor de directividad . . . 4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 7 7 8 . . . . . . . . . 9 9 10 12 13 14 15 16 18 18 . . . . . . 19 19 19 20 22 22 23 . . . . . 24 24 25 26 27 27
  3. 3. 5 Sumario de t´ rminos e 5.1 Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Frecuencia, per´odo, longitud de onda y tonos puros ı 5.3 Presi´ n sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.4 Velocidad de las part´culas fluidas . . . . . . . . . ı 5.5 Intensidad, potencia y densidad de energ´a sonora . ı 5.6 Factor de directividad . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 El decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Adici´ n de niveles de ruido . . . . . . . . . . . . . o 5.9 Sonoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 28 29 29 30 31 31 33 33
  4. 4. Cap´tulo 1 ı Propagaci´ n de las ondas sonoras o 1.1 Definici´ n. Tipos de ondas o Una onda es una magnitud fsica que se propaga en el espacio y en el tiempo. Matem´ tia camente se expresa como una funci´ n del espacio y del tiempo, pudiendo corresponder a o magnitudes tan dispares como la altura de una ola de agua, los impulsos el´ ctricos que rigen e los latidos del coraz´ n, o incluso la probabilidad de encontrar una part´cula en mec´ nica o ı a cu´ ntica. Nosotros nos centraremos en las ondas de presi´ n correspondientes a las ondas a o sonoras. Es decir, la funci´ n representa las variaciones de presi´ n que se propagan en el o o ´ espacio y el tiempo formando lo que se suele conocer como campo acustico. Veamos que caracter´sticas ha de tener una funci´ n que en principio depende del espaı o cio y del tiempo, y que no tendr´a por qu´ propagar informaci´ n, para que efectivamente ı e o propague algo. Empecemos por el caso mas sencillo: imaginemos una funci´ n tal que en lugar de deo pender del espacio y del tiempo por separado dependa de la combinaci´ n ψ = x − at, es o decir f (x, t) = g(x − at) = g(ψ). Por lo dem´ s, la funci´ n g(ψ) puede ser todo lo general que queramos. Pues bien, para cada a o valor de ψ tenemos un´vocamente un valor de g, (en nuestro caso tendr´amos un valor de la ı ı presi´ n), sin embargo, para cada valor de ψ no tenemos un´vocamente unos valores dados de o ı t y x, sino todos los que cumplan x − at = ψ. Todo esto nos lleva a que un valor definido de g(ψ) va a repetirse (propagarse) en el tiempo y el espacio. Analicemos con un poco m´ s de detalle en qu´ consiste para este caso la propagaci´ n. a e o Recordemos que g se mantiene constante si ψ es constante, y eso ocurre sobre la recta x − at = cte. Desplazarse sobre esta recta una cantidad ∆x supone esperar un tiempo ∆x = a∆t, porque de no ser as´ ya no seguiri´amos sobre la misma recta. Conforme pasa el tiempo, ı ı quedarse en la recta implica moverse a velocidad a, y en ese caso g es una constante. Es decir, que un valor dado de g se propaga a una velocidad a. Este es el sentido de la propagaci´ n o de las funciones de la forma f (x − at), y a las funciones de esta forma se las llama ondas. De manera similar se les puede llamar ondas tambi´ n a funciones de la forma f (x, t) = e A(x, t)g(x−a(x, t)t), porque el valor de f se propaga. La diferencia respecto al caso anterior 3
  5. 5. es que la onda se deforma debido a que los coeficientes A(x, t) y a(x, t) ya no son constantes. El criterio para poder llamar onda a un proceso se hace un poco difuso a medida que A(x, t) y a(x, t) empiezan a depender fuertemente del espacio y del tiempo. Se recomienda al alumno que dibuje una magnitud arbitraria en funci´ n de la distancia o que represente una onda en el sentido arriba explicado en para dos o tres instantes de tiempo. Onda viajera que no se deforma f(x-ct) 1 0.5 0 10 10 5 x 5 Tiempo Figura 1.1: Onda viajera que no se deforma. Onda viajera que se deforma A(x,t)f(x-c(x,t)t) 1.5 1 0.5 0 10 x 10 5 5 Tiempo Figura 1.2: Onda viajera que se deforma. 1.2 La ecuaci´ n de ondas o La propagaci´ n de ondas sonoras en cualquier medio es el resultado de la acci´ n combinada o o de esencialmente tres factores. Vamos a ocuparnos aqu´ del caso de propagaci´ n en gases, ı o siendo en l´quidos y s´ lidos exactamente lo mismo. Los tres fen´ menos son los siguientes: ı o o 4
  6. 6. 1. El gas se mueve y var´a la densidad. ı 2. La variaci´ n de densidad provoca variaciones de presi´ n. o o 3. Las variaciones de presi´ n generan movimientos en el gas y volvemos al punto uno. o Empecemos primero con el punto dos relacionando las variaciones de densidad con las de presi´ n. Si suponemos que las variaciones de densidad (ρ = ρ − ρ0 ) que provoca una onda o que atraviesa un medio son muy peque˜ as frente a la propia densidad, entonces podemos n aplicar el teorema de Taylor desarrollando en serie las variaciones de presi´ n (p = p−p0 ) en o funci´ n de las variaciones de densidad, y qued´ ndonos con el primer t´ rmino del dessarrollo: o a e p = ∂p ∂ρ ρ (1.1) 0 Como sabemos de termodin´ mica que cualquier variable termodin´ mica depende en gena a eral de dos variables m´ s, la relaci´ n anterior ser´a totalmente falsa y tendr´amos que sumar a o ı ı la derivada de la presi´ n respecto a esa otra variable por las variaciones de esa otra variable. o Sin embargo, el tiempo en que una porci´ n peque˜ a de aire se comprime, y por lo tanto o n se eleva su presi´ n y temperatura, es mucho m´ s corto que el tiempo en que tardar´a esa o a ı porci´ n de aire en transmitir calor por difusi´ n a otras porciones vecinas menos comprimio o das y por tanto mas fr´as. Esto quiere decir que el proceso de compresi´ n ha sido tan r´ pido ı o a que no ha tenido tiempo de ceder ni recibir calor de los alrededores, y podemos suponer que la compresi´ n o expansi´ n en el proceso de propagaci´ n de las ondas sonoras sucede de o o o manera adiab´ tica. La adiabaticidad es muy importante, porque implica que se conserva la a entrop´a, de manera que si escribimos la presi´ n en funci´ n de la densidad y la entrop´a, la ı o o ı ecuaci´ n a la densidad se tome a entrop´a constante. o ı Analicemos a continuaci´ n el punto uno y relacionemos los desplazamientos del gas reo specto a su posici´ n inicial de equilibrio con las variaciones de densidad ocasionadas. Vamos o a llamar x a la posici´ n de equilibrio de una part´cula fluida, es decir la posicion que ten´a o ı ı ´ esta porci´ n de fluido antes de que pasara por el ninguna onda que es la posici´ n a la que o o regresar´ despu´ s de que pasen las ondas (hasta ahora y en adelante estamos suponiendo que a e no existe movimiento convectivo del gas, solamente movimiento ocasionado por las ondas sonoras, evidentemente si hubiera corrientes convectivas las part´culas fluidas se mover´an ı ı y el movimiento del sonido habr´a que superponerlo al movimiento convectivo del fluido.). ı Nos centraremos en el caso de propagaci´ n de ondas unidimensionales y cuando escribamos o alguna relaci´ n entenderemos que estamos hablando de cosas por unidad de secci´ n transvero o sal a la propagaci´ n de la onda. Vamos a llamar ξ al desplazamiento de esa part´cula fluida reo ı specto de su posici´ n de equilibrio x, este desplazamiento va a ser muy peque˜ o. La cantidad o n de masa inicial que se encontraba antes de que hubiera ninguna onda en la porci´ n de fluido o que se encuentra entre x y x + ∆x era ρ0 ∆x. Cuando la onda esta pasando la part´cula fluida ı que se encontraba en el punto x inicialmente ocupa ahora la posici´ n x+ξ(x, t), y la part´cula o ı que se encontraba en x+∆x ocupa ahora la posici´ n x·∆x+ξ(x+∆x, t), la cantidad de masa o que hay ahora entre estas dos part´culas fluidas es ρ(x, t)(x+∆x+ξ(x+∆x, t)−x+ξ(x, t)), ı ¯ 5
  7. 7. donde ρ(x, t) es la densidad media en ese segmento en t. Si tomamos ∆x muy peque˜ o la ¯ n relaci´ n anterior se convierte en una diferencial, e igualando ambas masas tenemos o ∂ξ (1.2) ∂x En general es f´ cil ver que si la onda no se propaga en direcci´ n x en lugar de esta expresi´ n a o o hubieramos obtenido ρ = −ρ0 ξ (1.3) ρ = −ρ0 ´ Por ultimo analizaremos el punto 3 y apliquemos la ley de Newton para relacionar variaciones espaciales de presi´ n con aceleraciones provocadas. El sumatorio de fuerzas que o existe en un elemento ∆x es igual al producto de la cantidad de masa entre x y x + ∆x por la aceleraci´ n de la part´culas fluidas que se encuentran alli. Si procedemos de manera an´ loga o ı a a como hemos derivado las anteriores dos ecuaciones (se deja como ejercicio al alumno) obtenemos: ∂2ξ ∂p = −ρ0 2 (1.4) ∂x ∂t Al igual que con la expresi´ n (1.2) es f´ cil ver que para una onda propagandose en una o a direcci´ n distinta de la x, tendr´amos o ı p = −ρ0 ∂2ξ ∂u = −ρ0 2 ∂t ∂t (1.5) Ahora, combinando las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.4), obtenemos la ecuaci´ n de onda o para el desplazamiento ξ(x, t). ∂2ξ = ∂t2 ∂p ∂ρ S ∂2ξ ∂x2 (1.6) ∂p Donde hemos a˜ adido a la constante ∂ρ el sub´ndice S para remarquar que esta derivada n ı S ha de tomarse a entrop´a constante. Esta cantidad tiene dimensiones de velocidad al cuadrado, ı a su raiz cuadrada se le llama velocidad del sonido y se le suele designar por c0 . Se comprueba muy f´ cilemente que las variaciones de densidad (ρ ) y las de presi´ n (p ), as´ como a o ı o la velocidad ( ∂ξ ) satisfacen exactamente la misma ecuaci´ n de ondas que el desplazamiento ∂t (ξ). Como la magnitud que se puede medir m´ s f´ cilmente de las tres es la presi´ n, apartir a a o de ahora hablaremos de ondas de presi´ n. o Veamos porqu´ se llama a esta ecuaci´ n diferencial la ecuaci´ n de ondas. El motivo e o o es muy sencillo, si introducimos las funciones correspondientes a ondas que hemos visto p = f (x ± at), comprobamos que la ecuaci´ n (1.6) se cumple si la velocidad de la onda a o coincide con la velocidad del sonido c0 . Esto nos dice que las soluciones a la ecuaci´ n (1.6) o son efectivamente ondas que se mueven a velocidad c0 , de aqui que se llame a la cantidad c0 velocidad del sonido. Las soluciones a la ecuacion (1.6) son por tanto: p = f (x ± c0 t) 6 (1.7)
  8. 8. 1.3 ´ Ondas acusticas tridimensionales Si hubi´ ramos realizado el an´ lisis de la secci´ n anterior suponiendo que las ondas se propae a o gan radialmente de manera is´ tropa a partir de un punto de manera tridimensional formando o esferas hubieramos obtenido en lugar de la ecuaci´ n (1.6) la ecuaci´ n siguiente: o o ∂2p − c2 0 ∂t2 ∂2p ∂2p ∂2p + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 =0 (1.8) Las soluciones a la equacion diferencial (1.8) que solo dependen del radio son del tipo Variaciones de presison de una onda acustica tridimensional sin viscosidad f(r-ct)/r 1 0.5 0 -0.5 20 15 10 5 y 0 -5 -10 -15 -15 -10 -5 5 0 10 15 20 x Figura 1.3: Onda ac´ stica tridimensional. u p = f (r ± c0 t)/r (1.9) donde r es la distancia radial recorrida por la onda.(Para el alumno interesado esta soluci´ n se o ∂ ∂ obtiene introducciendo la parte radial del laplaciano en coordenadas esf´ ricas ∆ ≡ r12 ∂r r2 ∂r e y haciendo el cambio φ = p r). 1.4 Amortiguaci´ n del sonido en una y tres dimensiones o Si nos detenemos en las soluciones (1.7) y (1.9) observamos una diferencia esencial entre ambas. Las ondas sonoras unidimensionales no se amortiguan (salvo por efectos debidos a viscosidad que estamos despreciando), mientras que las ondas tridimensionales si. Estas ´ ultimas avanzan, pero la amplitud de las variaciones de presi´ n decae inversamente con la o distancia recorrida. 7
  9. 9. 1.5 Ejercicios y cuestiones 1. Explique en qu´ consiste la linealidad de la ecuaci´ n de ondas ac´ stica. Comente lo e o u que pasar´a si las variaciones de presi´ n y densidad fueran del mismo orden que la ı o presi´ n y densidad atmosf´ rica. o e 2. Explique porque una onda sonora tridimensional se hace cada vez mas d´ bil mientras e que una onda plana mantiene su amplitud. 3. Sabiendo que se define la impedancia ac´ stica como Z = p /u, calcule el valor de u esta impedancia para una onda plana unidimensional de la forma U = sin(w(x/c − t)). Calcule este mismo valor para una onda ac´ stica tridimensional de la forma u u = sin(w(r/c − t))/r. ´ Nota: en el siguiente cap´tulo se explicara c´ mo es mas util ver las soluciones de onda ı o planas como funciones de variable compleja, definiendose a continuaci´ n la impedano cia compleja ac´ stica, que en general ser´ una cantidad compleja. u a 4. Representar gr´ ficamente una onda tridimensional en el ordenador. a 8
  10. 10. Cap´tulo 2 ı Soluciones de la ecuaci´ n de ondas o 2.1 Ondas arm´ nicas planas o Las ondas arm´ nicas planas son como se vio en el cap´tulo anterior soluciones de la forma o ı p = Acos(wt − kx + φ). (2.1) Es com´ n utilizar funciones exponenciales en lugar de trigonom´ tricas para representar estas u e ondas, puesto que es mucho m´ s f´ cil operar con exponenciales que con senos y cosenos. Si a a recordamos de c´ lculo elemental de variable compleja que a exp(iθ) = cos(θ) + i sen(θ), (2.2) entonces nos damos cuenta que la onda plana anterior se puede escribir como la parte real de una funci´ n compleja o p = Re[A exp(i(wt − kx + φ)] = Re[A exp(i(wt − kx)], (2.3) A = A exp(iφ) (2.4) donde es una amplitud compleja. Normalmente esta notaci´ n es tan utilizada que se sobreentiende o que se toma la parte real duando escribimos una onda en forma compleja y se suprime esta parte por lo que se suele escribir p = A exp(i(wt − kx)), (2.5) sobreentendi´ ndose que la presi´ n es la parte real de esta expresi´ n. Sin embargo frecuentee o o mente cuando se habla de p , y con esto tambien se incluye la velocidad u, la densidad ρ y todas las dem´ s variables que satisfacen la ecuacion de ondas se sobreentiende la expresi´ n a o compleja, y as´ por ejemplo la verdadera presi´ n no es p sino la parte real de ella. ı o Gracias a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas cualquier suma de ondas planas es tambien o soluci´ n de la ecuaci´ n. Esta propiedad ser´ analizada con mayor detalle en el cap´tulo o o a ı 9
  11. 11. siguiente, en el que se expondr´ la teor´a de descomposici´ n de una onda general como a ı o superposici´ n de ondas planas (arm´ nicos). o o Debido a que, como vimos en el cap´tulo anterior, ı ρ0 ∂u =− p ∂t (2.6) tenemos que, para una onda plana expresada en general en su forma compleja, u= p . ρ0 c 0 (2.7) ´ Se define la impedancia acustica Z como la cantidad, que en general ser´ compleja, a Z = p /u, (2.8) por lo que para una onda plana la impedancia ac´ stica es una cantidad real, u Z = ρ0 c0 . (2.9) ´ La intensidad acustica I se define como la media temporal en un punto del espacio del producto de la presi´ n por la velocidad (magnitudes reales). Esta cantidad representa la o cantidad de energ´a por unidad de tiempo (potencia) que atraviesa la unidad de superficie ı perpendicular la la direcci´ n de propagaci´ n de la onda, y por definici´ n siempre es una o o o magnitud real, 1 T Re[p ]Re[u]dt. (2.10) I =< Re[p ]Re[u] >T = T 0 Para una onda plana, tenemos que 1 T 2 cos2 (wt − kx + φ) 1 A dt = T 0 ρ0 c0 T 2 A = 2ρ0 c0 T I = 2.2 0 A2 (1 − cos(2(wt − kx + φ))) dt = 2 ρ0 c0 (2.11) Ondas esf´ ricas e Las ondas esf´ ricas son soluci´ n de la ecuaci´ n e o o ∂2p − c2 0 ∂t2 2 p = 0, (2.12) y como vimos en el cap´tulo anterior, son de la forma ı 1 1 p = f1 (c0 t − r) + f2 (c0 t + r), r r 10 (2.13)
  12. 12. lo que se puede comprobar f´ cilmente si tenemos en cuenta que la parte radial del laplaciano a es, r ∂2 2 ∂ = 2+ . (2.14) r ∂r r ∂r Se deja como ejercicio que el lector compruebe que efectivamente la soluci´ n arriba propo uesta satisface la ecuaci´ n de ondas con simetr´a esf´ rica. o ı e Vemos que las ondas planas no son soluci´ n de la ecuaci´ n de ondas esf´ rica, pero sin o o e embargo s´ son soluciones funciones de la forma ı p = A cos(wt − kr + φ), r (2.15) que de manera an´ loga al caso de las ondas planas, tambi´ n puede representarse en forma a e compleja A p = Re[ exp(wt − kr)] (2.16) r donde como antes A = Aexp(iφ). Hay que notar que estas ondas tambi´ n se pueden ver e como superposici´ n de ondas planas, siempre que hagamos esta superposici´ n para cada o o punto fijo del espacio, en cuyo caso r ser´ fijo y podr´ absorberse en el coeficiente A . a a Para calcular la velocidad en el caso de ondas esf´ ricas usamos la ecuaci´ n de consere o vaci´ n de la cantidad de movimiento, o ρ0 ∂u =− p , ∂t (2.17) de donde ∂u ∂p A A =− = 2 exp(i(wt − kr)) + i kexp(i(wt − kr)), ∂t ∂r r r por lo que obtenemos que ρ0 u= 1 A i exp(i(wt − kr)) − , r ρ0 c0 ρ0 c0 kr (2.18) (2.19) de donde observamos que en este caso la impedancia no es real, sino que es compleja, Z= p ρ0 c0 (kr)2 kr = = ρ0 c 0 + iρ0 c0 . 2 u 1 − i/kr 1 + (kr) 1 + (kr)2 (2.20) ´ A la parte real de la impedancia se le denomina resistencia acustica espec´fica, y a la parte ı ´ imaginaria se le llama reactancia acustica espec´fica. Cuando r → ∞ la impedancia ı ac´ stica tiende a contener tan solo la parte real, que adem´ s coincide con la de las ondas u a planas. Podemos calcular el m´ dulo y la fase de la impedancia de una onda esf´ rica, o e Z = |Z|exp(iψ), donde |Z| = ρ0 ckr 1 + (kr)2 11 (2.21) , (2.22)
  13. 13. 1 ψ = arcsen 1 + (kr)2 . (2.23) La intensidad ac´ stica para una onda esf´ rica es (el alumno puede demostrar este resulu e tado) A2 1 T Re[p ]Re[u]dt = I= , (2.24) T 0 2ρ0 c0 r2 de modo que la intensidad decae en una onda esf´ rica con el cuadrado de la distancia al e origen, lo cual puede ser demostrado por conservaci´ n de la energ´a total. La expresi´ n para o ı o la intensidad coincide con la de una onda plana si definimos una amplitud de presi´ n que o decae linealmente con la distancia al origen, P = A /r, de modo que I= 2.3 P2 . 2ρ0 c0 (2.25) Suma de sonidos Cuando tenemos en un punto la suma de dos o m´ s sonidos provenientes en general de a fuentes distintas, por lo que tendr´ n distinta amplitud fase y frecuencia, tenemos que debido a a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas la presi´ n resultante en este punto es la suma de las o o presiones individuales, n p total = n Re[Aj exp(iwj t)] = j=1 Ai cos((wi t + φ)), (2.26) i=1 y en general no podremos decir nada sobre la amplitud de este sonido. Sin embargo, la intensidad del sonido resultante ser´ (en este caso T ya no representa el per´odo, sino un a ı intervalo de tiempo suficientemente grande como para que est´ n incluidos muchos ciclos de e todos los sonidos) 1 I= T n T Re[ 0 n pi ]Re[ i=1 n ui ]dt = i=1 i=1 n T 1 T n i=1 j=1 j=i Re[p i ]Re[ui ]dt+ 0 1 T T Re[p i ]Re[uj ]dt. 0 (2.27) El primer t´ rmino de la derecha representa la suma de las intensidades de todos los sonidos, e y es un t´ rmino siempre positivo. El segundo t´ rmino representa una suma de integrales e e de productos de pares de funciones peri´ dicas de frecuencias que no son iguales. Es casi o imposible que estas integrales no tiendan a cero (dicho matematicamente el conjunto de valores de frecuencias que hacen que estas integrales no tiendan a cero tiene volumen cero en el espacio de frecuencias), y esto queda representado en la siguiente figura, en la que se calculan estos valores de las integrales para suma de sonidos con diferente frecuencia. De este modo, la intensidad total podremos calcularla simplemente como suma de intensidades, n I i=1 A2 i . 2ρ0 c0 12 (2.28)
  14. 14. Sin embargo, hay que tener en cuenta que casi imposible no es imposible, y si los sonidos son producidos por fuentes id´ nticas, la frecuencia ser´ la misma, con lo que si en alg´ punto del e a u espacio coincide la fase o es casi igual, la intensidad del sonido resultante ya no ser´ igual a a la suma de las intensidades de los sonidos por separado. 2.4 Ondas y rayos A veces es m´ s util pensar en t´ rminos de rayos que en lugar de ondas. Un rayo se define a ´ e como la l´nea perpendicular en todos los sitios a las superficies con igual fase. Para poder ı interpretar las ondas en t´ rminos de rayos estas han de cumplir dos condiciones e 1. La amplitud de la onda no debe de cambiar apreciablemente en longitudes del orden de la longitud de onda. 2. La velocidad del sonido no debe cambiar apreciablemente en longitudes del orden de la longitud de onda. Esto lleva a que si llamamos a Γ un vector perpendicular a las superficies de igual fase y a n = c0 /c(x, y, z) que es el ´ndice de refracci´ n y es la velocidad del sonido en algun punto ı o fijo dividida por la velocidad del sonido como funci´ n del espacio, obtenemos la ecuaci´ n o o de la Eikonal en una de sus formas d ( Γ) = ds n (2.29) Al final de la lecci´ n se explora las consecuencias de esta ecuaci´ n en los ejercicios. o o Quiz´ s la consecuencia mas notable y digna de recordar es que si tenemos un sonido a ´ que consiste en un haz de una determinada area de secci´ n, podemos simplificar mucho su o tratamiento en el caso en que su di´ metro sea mucho mayor que la longinud de onda, porque a podemos aproximarlo por un haz de rayos, que en definitiva se comporta como una onda plana. A continuaci´ n se da la demostraci´ n matem´ tica que es complicada y se deja como o o a lectura voluntaria. Consideremos la ecuaci´ n de ondas o ∂2p − c(x, y, z)2 ∂t2 2 p =0 (2.30) donde la velocidad del sonido puede depender de x, y, z. Lo que vamos vuscando es obtener una ecuaci´ n para un vector perpendicular a las superficies de igual fase. o Consideremos una onda general de la forma p (x, y, z) = A(x, y, z)exp(iw(t − Γ(x, y, z)))/c0 (2.31) donde c0 es una constante que representa la velocidad del sonido en los puntos en los que Γ(x, y, z) = 1. Las superficies de igual fase son por definici´ n las superficies Γ(x, y, z) = Cte, lo que quiere decir o 13
  15. 15. RAYO TUBO DE SONIDO Figura 2.1: Aproximaci´ n de un tubo de sonido por un rayo. En el centro el tubo se comporta o como una onda plana. que queremos buscar una ecuaci´ n para Γ que representar´ un vector perpendicular a las superficies o a de fase constante. Los rayos ser´ n las l´neas paralelas en todo punto a Γ. a ı Introducimos esta soluci´ n en la ecuaci´ n de ondas y obtenemos o o 2A A − w c0 2 Γ· Γ+ w c 2 −i w c0 2 A · A Γ+ 2 Γ (2.32) Esta ecuaci´ n es suficientemente complicada como para que el tratamiento de ondas por rayos no o 2 w es la longitud de onda al cuadrado. Vemos que si la ofrezca ninguna ventaja. Sin embargo c0 longitud de onda es mucho mas peque˜ a que las dem´ s longitudes caracter´sticas de variaci´ n de a o n a ı o Γ en el problema tenemos que los dos t´ rminos dominantes en la ecuaci´ n son e o Γ· Γ= c0 c(x, y, z) 2 = n2 (2.33) Esta ecuaci´ n se conoce como ecuaci´ n de la Eikonal y aqu´ si que se hace mucho mas ventajoso el o o ı tratamiento de las ondas por rayos. La ecuaci´ n de la Eikonal implica que Γ ha de ser de la forma o Γ = n(cosθx i + cosθy j + cosθz k) (2.34) donde claramente θi son los cosenos directores de Γ que a su vez es un vector paralelo en todos los puntos a los rayos. La derivada de Γ con respecto la longitud del rayo es d ( Γ) = ds 2.5 n (2.35) ´ Transmisi´ n y reflexi´ n de las ondas acusticas o o Cuando una onda plana que viaja en un medio 1 se encuentra con una frontera que delimita otro medio 2, se producen dos nuevas ondas a partir de la original, cuyas amplitudes y fases 14
  16. 16. son en general distintas a las de la onda primitiva, que suele conocerse como onda incidente. Una de las ondas contin´ a por el segundo medio, conocida como onda transmitida, u mientras que la otra onda es reflejada y vuelve en sentido contrario a la onda incidente, y se le llama onda reflejada. Si p i es la presi´ n compleja de la onda original, y p r y p t las o de las ondas reflejadas y transmitidas respectivamente, podemos definir los coeficientes de transmision T y reflexi´ n R, que en general ser´ n complejos, como o a T = pt , pi R= pr . pi (2.36) Tambi´ n se suelen usar los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de intensidad denotados e o o por TI y RI respectivamente, definidos como los cocientes entre las intensidades de la onda incidente y las transmitidas y reflejadas respectivamente, TI = It , Ii Ir , Ii (2.37) RI = |R|2 (2.38) RI = que se pueden poner en funci´ n de los anteriores, o TI = ρ01 c1 2 |T | , ρ02 c2 En general no tendremos ondas planas, sino que tendremos haces de sonido, pero como ´ hemos visto en la secci´ n anterior, cuando el area de la secci´ n de estos haces es mucho o o ´ mayor que la longitud de onda, estos se comportan como una onda plana en un dominio finito, y los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n son igualmente aplicables. Evidenteo o mente, cuando aun teniendo un haz que cumpla las condiciones de rayo, el objeto que provoca la reflexi´ n no es grande comparado con la longitud de onda, se producen intero ferencias y dejan de ser aplicables estas relaciones. ´ Un par´ metro importante en un haz de sonido es la potencia que lleva el haz. Esta se a ´ calcula multiplicando la intensidad del haz por su area de secci´ n. De m´ nera an´ loga a la o a a presi´ n e intensidad se pueden definir coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n de potencia Tπ o o o ´ y Rπ que no coincidir´ n en general con los de intensidad, porque aunque el area del haz a ´ reflejado es igual al area del incidente (Ai ), cuando el haz incide oblicuamente a la entrefase ´ el haz transmitido tiene un area distinta (At ), Tπ = 2.5.1 At ρ01 c1 2 |T | , Ai ρ02 c2 RI = |R|2 (2.39) Incidencia normal en un fluido Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n para el caso de incidencia normal en la frontera o o entre dos fluidos se obtienen de aplicar el hecho de que tanto la presi´ n como la velocidad o normal a la frontera han de ser continuas en la dicha frontera, y resultan ser Rπ = 1 − r1 /r2 , 1 + r1 /r2 15 T = 2 , 1 + r1 /r2 (2.40)
  17. 17. donde se han definido las impedancias ri = ρi ci . Los coeficientes de transmisi´ n y reflexi´ n o o de intensidad son 2 1 − r1 /r2 r1 /r2 RI = , T =4 , (2.41) 1 + r1 /r2 (1 + r1 /r2 )2 ´ que son iguales a los de potencia, puesto que el area de los tres haces es igual en este caso. El coeficiente de reflexi´ n es positivo cuando r1 < r2 , y negativo en caso contrario, lo cual o 1 2 ONDA INCIDENTE ONDA TRANSMITIDA ONDA REFLEJADA Figura 2.2: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia normal de una onda en una frontera de o o dos fluidos. implica que en la frontera entre los dos fluidos la onda reflejada puede o bien estar en fase con la onda incidente o bien desfasada 180o con ella. Por el contrario, T siempre es positivo, por lo que en la frontera la onda transmitida siempre est´ en fase con la onda incidente. a 2.5.2 Incidencia oblicua en un fluido ´ Cuando una onda incide oblicuamente formando un angulo θi con la frontera de separaci´ n o entre dos fluidos como muestra la figura, resulta que de aplicar la continuidad de presiones ´ obtenemos que el angulo de la onda reflejada, θr , debe cumplir senθi = senθr , (2.42) mientras que el´ ngulo de la onda transmitida, θt , cumple a senθt senθi = . c1 c2 (2.43) Si combinamos la igualdad trigonom´ trica e 1 − sen2 θt (2.44) 1 − (c2 /c1 )2 sin2 θi . (2.45) cosθt = con la expresi´ n anterior, llegamos a o cosθt = 16
  18. 18. 1 2 θr θt θi Figura 2.3: Reflexi´ n y refracci´ n por la incidencia oblicua de una onda en una frontera de o o dos fluidos. Se pueden sacar una importante observacion de esta ecuaci´ n. Para que tengamos onda o transmitida se ha de cumplir que senθi c2 < 1. (2.46) c1 ´ Como vemos, es posible que esta ultima ecuaci´ n no tenga soluci´ n, lo cual ocurrir´ para o o a angulos incidentes θi tales que c1 senθi > , (2.47) c2 en cuyo caso no existir´ onda transmitida y se producir´ una reflexi´ n total. Existe un a a o ´ ´ angulo de incidencia cr´tico θc tal que para angulos de incidencias mayores no existe onda ı ´ transmitida. Este angulo es c1 θc = arcsen . (2.48) c2 Aparentemente siempre existe onda reflejada, lo cual no es verdad, porque de aplicar continuidad en la componente normal de la velocidad obtenemos la siguiente expresi´ n para el o coeficiente de reflexi´ n n, que solo es aplicable cuando existe onda transmitida, siendo igual o a uno en caso contrario, R= (ρ2 c2 /ρ1 c1 ) − (cosθt /cosθi ) . (ρ2 c2 /ρ1 c1 ) + cosθt /cosθi (2.49) Vemos que, cuando ρ2 c2 /ρ1 c1 = cosθt /cosθi , el valor de R es igual a cero por lo que deja de existir onda reflejada y toda la onda es transmitida. Eliminando cosθt obtenemos que el ´ ´ valor del angulo de incidencia θI para el que esto ocurre, llamado angulo de intromisi´ n, es o senθI = 1 − (ρ1 c1 /ρ2 c2 )2 . 1 − (ρ1 /ρ2 )2 17 (2.50)
  19. 19. 2.6 Absorci´ n de las ondas sonoras o Aunque no ha habido ninguna menci´ n sobre el efecto de la disipaci´ n del sonido debido a o o que hemos considerado en todo momento que los fluidos eran ideales, finalmente una onda sonora va perdiendo amplitud hasta que finalmente es disipada convirtiendose en energ´a ı t´ rmica. Las causas de esta disipaci´ n se encuentran tanto en el seno del propio fluido como e o en la frontera de este fluido con superficies s´ lidas u otros fluidos que se hacen importantes o en medios porosos, en tubos finos o en conductos peque˜ os. Las causas de estas p´ rdidas son n e varias, siendo las mas importantes las p´ rdidas por viscosidad, las p´ rdidas por conducci´ n e e o t´ rmica y las p´ rdidas por intercambios moleculares. e e Un completo estudio del efecto de estas p´ rdidas cae fuera del objetivo de estas notas. e Aqu´ solo queremos se˜ alar que el efecto mas importante es en su forma m´ s simple provocar ı n a un decaimiento en la amplitud de tipo exponencial de manera que la soluci´ n en lugar de ser o por ejemplo una onda plana es de la forma p = exp(−x/δ)A exp(i(wt − kx)) (2.51) donde δ es una distancia caracter´stica de relajaci´ n que depende en general de la frecuenı o cia. Normalmente δ >> λ, lo cual significa que los fen´ menos de disipaci´ n de la energ´a o o ı ac´ stica ocurren a lo largo de muchas longitudes de onda. u 2.7 Ejercicios y cuestiones 1. Repetir el problema 3 del cap´tulo anterior, esta vez usando la impedancia compleja. ı 2. Calcular num´ ricamente la suma de tres sonidos de frecuencias y fases inventados e 2 2 2 calculando (I1 + I2 + I3 )2 y comparando con I1 + I2 + I3 . 3. Demostrar que si la velocidad del sonido c solo es funci´ n de x, entonces dφ/ds = o ´ [(sinθ0 /c0 ]dc/dx, donde φ0 es el angulo de elevaci´ n del rayo cuando c = c0 . Si o dc/dx = Cte encontrar el radio de curvatura R del rayo. ´ 4. Calcular los angulos de reflexi´ n y refracci´ n de una onda plana que viaja en el aire, y o o ´ que incide con un angulo de incidencia de 30o sobre agua. 18
  20. 20. Cap´tulo 3 ı An´ lisis en frecuencia a 3.1 Superposici´ n de soluciones o Debido a la linealidad de la ecuaci´ n de ondas, si tenemos dos soluciones a dicha ecuaci´ n o o de la forma p 1 = A 1 exp(i(w1 t − k1 x)), (3.1) p 2 = A 2 exp(i(w2 t − k2 x)), (3.2) e o o o a la suma p 12 = p1 + p2 tambi´ n es soluci´ n de la ecuaci´ n. Esta nueva soluci´ n no tendr´ una frecuencia definida, sino que ser´ la suma de dos ondas de frecuencias distintas. Se dice a o que la nueva onda p 12 contiene dos arm´ nicos de frecuencias w1 y w2 . En general podemos obtener una onda con tantos arm´ nicos como queramos simplemente sumando otras tantas o ondas elementales de frecuencias puras. En lo que sigue supondremos que estamos en un punto fijo del espacio, y analizaremos la presi´ n en dicho punto del espacio como funci´ n del tiempo. Esto implica que analizaremos o o arm´ nicos de la forma o p = A exp(iwt). (3.3) 3.2 Descomposici´ n en arm´ nicos o o Los resultados de la secci´ n anterior son m´ s o menos triviales, y se pueden resumir con lo o a siguiente: sumando ondas de frecuencia pura (tonos puros) podemos obtener distintas ondas sonoras que no son puras. Sin embargo, tambi´ n se puede demostrar en sentido inverso e gracias al an´ lisis de Fourier: cualquier onda puede descomponerse como suma de ondas de a frecuencia pura (tonos puros o arm´ nicos). En general, har´ n falta infinitos arm´ nicos para o a o reconstruir una onda gen´ rica f (t), de modo que e f (t) = A 1 exp(iw1 t) + A 2 exp(iw2 t) + A 3 exp(iw3 t) + · · · 19 (3.4)
  21. 21. 3.3 Funciones peri´ dicas y desarrollo de Fourier o En vista de los resultados de la secci´ n anterior, nos planteamos ahora el problema siguo iente: dada una funci´ n f (t) peri´ dica de per´odo T , y en principio compleja, calcular los o o ı arm´ nicos de forma que, multiplicados por ciertos coeficientes y sumados, nos den la funci´ n o o original f (t). Para ello, suponemos que f (t) puede desarrollarse como suma de arm´ nicos, o ∞ f (t) = An exp(iwn t). (3.5) n=−∞ A este desarrollo se le llama desarrollo de Fourier para funciones peri´ dicas, y a los coefio cientes An , que en general son n´ meros complejos, se les llama coeficientes de Fourier. Deu bido a que la funci´ n f (t) es peri´ dica de periodo T , se puede demostrar que los arm´ nicos o o o tambi´ n han de serlo. Esto implica que las frecuencias wn s´ lo pueden ser las siguientes, e o wn = 0, 2π 4π , ,··· T T (3.6) luego el desarrollo para f (t) queda de la forma, ∞ An exp f (t) = n=−∞ i2πnt T . (3.7) Para calcular estos coeficientes aplicamos la condici´ n de ortogonalidad de las funciones o exp(iwn t): si multiplicamos la ecuaci´ n anterior por exp(−iwm t) e integramos en un per´odo o ı de tiempo, obtenemos: T f (t)exp 0 −i2πmt T ∞ T An exp dt = n=0 0 i2π(n − m)t T dt. (3.8) La integral del t´ rmino de la derecha se anula si m = n, puesto que es la integral de una e funci´ n peri´ dica sobre un per´odo, por lo que s´ lo es distinto de cero cuando m = n, o o ı o T f (t)exp 0 −i2πmt T dt = T Am , (3.9) por lo que, finalmente, obtenemos una expresi´ n cerrada para los coeficientes de Fourier, o 1 Am = T T f (t)exp 0 −i2πmt T dt (3.10) Es interesante observar lo que sucede cuando el per´odo de f (t) tiende a infinito. Lo ı primero que sucede es que la diferencia wn −wn+1 entre los valores de las frecuencias de dos arm´ nicos consecutivos tiende a cero, de forma que cabe esperar que el desarrollo de Fourier o de una se˜ al no peri´ dica contenga un espectro de frecuencias continuo. Lo segundo es que n o 20
  22. 22. la amplitud de los arm´ nicos An tiende a cero, lo que significa que los arm´ nicos individuales o o cuentan cada vez menos a la hora de evaluar la se˜ al. Esto es completamente l´ gico si n o pensamos que en una regi´ n dada de espesor δw cada vez hay m´ s y m´ s arm´ nicos hasta o a a o que se hacen infinitos en el l´mite T → ∞. De este modo, si queremos que su suma total sea ı finita, la amplitud de cada uno ha de tender a cero. En la siguiente figura se muestran los arm´ nicos de una onda cuadrada de periodo 2π, o que son (compru´ belo el lector) An = 4/πn para n impar y An = 0 para n par. e 1.5 4./pi*sin(x) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -10 -5 0 5 10 Figura 3.1: Primer armnico de la onda cuadrada. 1.5 4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -10 -5 0 5 10 Figura 3.2: Suma de los dos primeros arm´ nicos de la onda cuadrada. o 1.5 4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)+4./(pi*5.)*sin(5.*x) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -10 -5 0 5 10 Figura 3.3: Suma de los tres primeros arm´ nicos de la onda cuadrada. o 21
  23. 23. 1.5 4./pi*sin(x)+4./(pi*3)*sin(3.*x)+4./(pi*5.)*sin(5.*x)+4./(pi*7.)*sin(7.*x) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -10 -5 0 5 10 Figura 3.4: Suma de los cuatro primeros arm´ nicos de la onda cuadrada. o 3.4 Espectro continuo. Transformada de Fourier Los resultados de la secci´ n anterior nos sugieren c´ mo hemos de actuar para calcular la deo o scomposici´ n en arm´ nicos de una funci´ n no periodica. A la funci´ n que nos da la amplitud o o o o de un arm´ nico de frecuencia dada cuando el espectro es continuo se llama transformada o de Fourier. Vemos pues que la transformada de Fourier es una funci´ n distinta para cada o onda, y que asocia para cada valor de frecuencia un n´ mero que representa la amplitud u del arm´ nico de dicha frecuencia en la onda original, como se representa en la siguiente o ecuaci´ n: o ∞ f (w)exp(iwt)dw. (3.11) f (t) = −∞ La transformada inversa de Fourier consiste en despejar de manera expl´cita los coeficientes ı f (w), ∞ 1 f (w) = f (t)exp(−iwt)dt. (3.12) 2π −∞ 3.5 Teorema de Parseval y espectro de frecuencias Es f´ cil demostrar la siguiente ecuaci´ n: a o ∞ f (t)f ∗ (t)dt = −∞ 1 2π ∞ f (w)f ∗ (w)dw, (3.13) −∞ que se conoce como el teorema de Parseval, y relaciona la energ´a de una se˜ al como integral ı n en el tiempo con la energ´a en el dominio de la frecuencia. Esto permite asociar al valor de ı f (w)f ∗ (w)dw/2π como la cantidad de energ´a contenida en un intervalo de frecuencias dw ı en torno a w. El conocimiento de las bandas de octava de un sonido gen´ rico es una informaci´ n muy e o ´ util, pues el contenido en frecuencias de un sonido, como se ver´ mas adelante, es fundamena tal a la hora de caracterizarlo. El espectro de frecuencias de un sonido real siempre decae para frecuencias altas, por lo que a veces se suele dibujar el logaritmo de la densidad de energ´a como funci´ n de la frecuencia, log(f (w) ∗ f ∗ (w)). La siguiente figura representa el ı o espectro t´pico de un ruido. ı 22
  24. 24. 2 log(|f(w)| ) w Figura 3.5: Espectro t´co de un ruido. ı 3.6 Ejercicios 1. Represente gr´ ficamente el primer arm´ nico de la descomposici´ n de Fourier de una a o o onda cuadrada. Represente a continuaci´ n tres, cinco, diez y veinte arm´ nicos. Se o o comprueba como a pesar de las discontinuidades que presenta una onda cuadrada lo cual podr´a inducir a pensar que los arm´ nicos de altas frecuencias son importantes, la ı o amplitud de los arm´ nicos va decreciendo con la frecuencia. Compruebe como en los o puntos de discontinuidad el desarrollo tiende al valor intermedio. 2. Calcule el espectro de Fourier de la anterior onda cuadrada para valores distintos del periodo. Se observa como al crecer el periodo los distintos arm´ nicos se van juntando o y su amplitud va decreciendo, de manera que al hacer tender el periodo a infinito, lo que se corresponde con una onda no peri´ dica el espectro de frecuencias tiende hacia o el continuo. 3. Pinte los arm´ nicos de la onda cuadrada pero con una fase arbitraria. Pese a que esto o no se parece en nada a una onda cuadrada, curiosamente el o´do humano no distingue ı entre las fases de manera que esta onda la percibimos exactamente igual que una onda cuadrada. 23
  25. 25. Cap´tulo 4 ı Modelos de Fuentes sonoras 4.1 Modelo de esfera pulsante Consideremos una esfera de radio a que est´ pulsando peri´ dicamente, es decir, aumentando a o y disminuyendo de radio de manera peri´ dica con cierta amplitud. Supondremos que la o amplitud de las pulsaciones es mucho menor que el radio de la esfera, de manera que estemos dentro de la aproximaci´ n de la ac´ stica lineal. El objetivo es calcular el campo ac´ stico o u u generado en el exterior de la esfera pulsante. Como hemos visto en cap´tulos anteriores la soluci´ n con simetr´a esf´ rica a la ecuaci´ n ı o ı e o de ondas es de la forma A exp(i(wt − kr)), (4.1) p (r, t) = r que ser´ la soluci´ n al problema una vez hayamos determinado la constante A . Esta cona o stante se calcula imponiendo la condici´ n de contorno en la superficie de la esfera pulsante, o donde la velocidad es conocida, u(a, t) = U0 exp(i(wt + φ)). (4.2) La presi´ n en la superficie de la esfera la obtenemos sin m´ s que multiplicar la velocidad o a por la impedancia ac´ stica evaluada en r = a. Esta impedacia ac´ stica es, como sabemos, u u la correspondiente a una onda esf´ rica evaluada en r = a: e Z(a) = ρ0 ccosθa exp(iθa ), (4.3) donde recordamos del cap´tulo dos que ı 1 θa = arcsen 1 + (ka)2 , (4.4) por lo que la presi´ n en r = a es o a p (a, t) = ρ0 ccosθa exp(i(wt − k(r − a) + θa + φ). r 24 (4.5)
  26. 26. La intensidad ac´ stica media es u 1 2 a I = ρ0 cU0 2 r 2 cos2 θa . (4.6) Es interesante observar que cuando ka → 0, la intensidad tiende a cero, de modo que una esfera cuyo radio sea muy peque˜ o comparado con la longitud de onda del sonido que emite n apenas radia energ´a ac´ stica. ı u 4.2 Fuente lineal sonora En esta secci´ n consideraremos el campo ac´ stico generado por una varilla de dimensi´ n o u o longitudinal L y radio nulo como muestra la figura 3.1. Aunque no es muy dif´cil obtener ı anal´ticamente el campo ac´ stico generado por una varilla pulsante de dimensi´ n finita, el ı u o desarrollo matem´ tico se sale de los objetivos de este documento introductorio. Sin embargo, a s´ se debe mencionar que el procedimiento es realizar una serie de simplificaciones que ı permiten escribir la amplitud del campo ac´ stico a distancias grandes comparadas con las u dimensi´ nes de la varilla como el producto de dosfunciones, una depende s´ lo de la distancia o o ´ a la varilla, y la otra depende del angulo al eje de la varilla, como muestra la figura 3.1, p (r, θ, t) = Pax (r)H(θ)exp(i(wt − kr)). (4.7) ´ Este procedimiento se usa frecuentemente para describir el campo acustico lejano de fuentes complicadas. Para la varilla se puede obtener una expresi´ n anal´tica para estas funciones, o ı resultando a senv 1 , (4.8) Pax (r) = ρ0 cU0 kL, H(θ) = 2 r v donde v = 1/2kLsenθ. ´ Es com´ n representar gr´ ficamente las funciones H(θ) como funci´ n del angulo para u a o obtener una idea significativa de las direcciones en las que el sonido va a ser m´ s fuerte. a Es mas com´ n representar 20logH(θ). A estos gr´ ficos se les denomina patrones de rayos. u a En los ejercicios propuestos al final de esta lecci´ n se invita al alumnos a que represente el o patr´ n de rayos tanto para la varilla como para el pist´ n pulsantes. o o 25
  27. 27. kL=24 0.1 abs(sin(12.*sin(t))/(12.*sin(t))) 0.08 0.06 0.04 θ 0.02 0 θ=0 varilla 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Patron de rayos para la varilla, kL=24 Figura 4.1: Patron de rayos para la varilla vibrante con kL=24. 4.3 Pist´ n pulsante o En esta secci´ n consideraremos el campo ac´ stico generado por un pist´ n plano pulsante o u o de radio a, como muestra la figura 3.2. Al igual que con la varilla, se puede obtener una expresi´ n anal´tica para el campo ac´ stico generado pero aqu´ nos limitaremos a dar la exo ı u ı presi´ n para las funciones Pax (r) que coincide con la expresi´ n para la varilla, y para H(θ), o o 1 a Pax (r) = ρ0 cU0 kL, 2 r H(θ) = 2J1 (v) , v (4.9) donde v = kasen(θ) y J1 (v) es la funci´ n de Bessel de primera clase y orden 1. o ka=10 0.15 abs(2.*besj1(10.*sin(t))/(10.*sin(t))) 0.1 0.05 0 θ θ=0 piston 0.05 0.1 0.15 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Patron de rayos del cilindro pulsante ka=10 Figura 4.2: Patron de rayos para el piston pulsante con ka=10. 26
  28. 28. 4.4 Factor de directividad Como hemos visto, las fuentes sonoran no rad´an sonido por igual en todas las direcciones. ı La potencia total Π radiada por una fuente proviene de integrar la intensidad de la energ´a ı sonora en una superficie cerrada que contenga la fuente. Si descomponemos la presi´ n en el o campo lejano como hemos hecho para la varilla y el pist´ n en una funci´ n que depende del o o ´ radio por una funci´ n que depende de los angulos tenemos: o Π= 1 2ρ0 c0 P 2 (r, θ, φ)r2 dΩ = 4π 1 2 2 r Pax 2ρ0 c0 H 2 (θ, φ)dΩ, (4.10) 4π ´ donde hemos escogido una esfera de radio r para integrar y dΩ es el diferencial de angulo s´ lido. Si esta fuente radiara igual en todas las direcciones entonces la intensidad Io que o ´ habr´a a una distancia r no depender´a de los angulos y ser´a ı ı ı Io = Π . 4πr2 (4.11) Se define el factor de directividad de una fuente en una determinada direcci´ n como el o cociente entre la intensidad de energ´a sonora realmente radiada en esa direcci´ n Ir y la que ı o radiar´a si la fuente fuese omnidireccional Io . El factor de directividad se designa por la letra ı Q y no tiene dimensiones: Ir Q= . (4.12) Io 4.5 Ejercicios 1. Representar gr´ ficamente mediante ordenador las funci´ nes H(θ) y 20 logH(θ), para a o la varilla y el pist´ n pulsante. o 2. Calcular el factor de directividad para una fuente que radia de manera is´ tropa pero o solo en un semiespacio. 27
  29. 29. Cap´tulo 5 ı Sumario de t´ rminos e En esta secci´ n vamos a concretar y resumir todas las magnitudes que caracterizan el sonido. o Muchos de los conceptos ya han quedado explicados anteriormente, pero los repetiremos aqu´ para que esta secci´ n sirva de referencia y contenga todas las magnitudes importantes, ı o por lo que no ser´ n explicados en detalle. a 5.1 Velocidad del sonido Es la velocidad a la que se propagan las perturbaciones en un medio material el´ stico. La a velocidad del sonido depende de la densidad y del grado de elasticidad del medio a trav´ s e del cual se transmite. En el caso de un gas ideal, como puede ser considerado el aire, hemos visto que ∂p , (5.1) c2 = 0 ∂ρ S pero, del primer principio de termodin´ mica para procesos reversibles, a du = T dS − pd(1/ρ) → cv dT = −pd(1/ρ) → cv d p Rg ρ = −pd(1/ρ), (5.2) y usando que Rg = cp − cv y γ = cp /cv , tenemos, para un gas ideal, c0 = γp = ρ γRg T . (5.3) En el aire y en condiciones normales de presi´ n y temperatura (p = 1 atm T = 300K), o resulta ser c0 = 344 m/s. 5.2 Frecuencia, per´odo, longitud de onda y tonos puros ı La frecuencia es el n´ mero de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo en una posici´ n u o del espacio fija. La unidad es el ciclo o Hercio (Hz) y se representa por f . Algunas veces se 28
  30. 30. usa el concepto de frecuencia angular, la cual est´ relacionada con la frecuencia mediante a la expresi´ n w = 2πf . Si tenemos una onda sonora de la forma p = sin(wt + kx), la o frecuencia angular es w. El o´do humano s´ lo es capaz de ser excitado por sonidos cuya frecuencia est´ comprenı o e dida entre 20 y 20.000 Hz, conoci´ ndose a los sonidos de frecuencia menor de 20 Hz como e infrasonidos y a los de frecuencia mayor a 20.000 Hz como ultrasonidos. La frecuencia nos indica el tono de un sonido, y nos ayuda a diferenciar subjetivamente los sonidos de baja frecuencia (tono grave) de los de alta frecuencia (tono agudo). En general el sonido estar´ compuesto por una suma de sonidos de distintas frecuencias, si el sonido solo a contiene una frecuencia se le llama tono puro. El per´odo (T ) es la inversa de la frecuencia, ı T = 1/f . An´ logamente al caso de una onda del tipo p = sen(wt + kx), donde w representa la a ´ frecuencia angular, k representa el numero de ondas angular, y la cantidad K = k/2π, ´ el numero de ondas, que es el n´ mero de ciclos que ocurren en la unidad de espacio para u un instante de tiempo determinado. La inversa de K es la longitud de onda λ = 1/K, y representa la distancia espacial que hay entre dos picos consecutivos de una onda peri´ dica. o La longitud de onda se relaciona con la frecuencia y la velocidad del sonido mediante la expresi´ n λ = c0 /f . o 5.3 Presi´ n sonora o Se define la presi´ n sonora como la variaci´ n de presi´ n producida en un punto como o o o consecuencia del paso de una onda sonora que se propaga a trav´ s del medio. Es decir, lo e que hemos llamando p en estos apuntes. Como el valor medio en el tiempo de la presi´ n o sonora normalmente es nulo, para cuantificar la amplitud de la variaci´ n se utilia la presi´ n o o eficaz (Prms ), que es la raiz cuadrada del valor cuadr´ tico medio de la presi´ n sonora: a o Prms = 1 T T p 2 (t)dt. (5.4) 0 En el caso de ondas sinusoidales, se tiene: p Prms = √0 , 2 (5.5) siendo p 0 el valor m´ ximo, o amplitud, de la presi´ n sonora. a o Las variaciones de presi´ n m´ s peque˜ as que son audibles por el ser humano tienen un o a n valor eficaz de aproximadamente 2x10−4 µbar (2x10−5 Pa). Para una presi´ n media eficaz o mayor de 200µbar (20 Pa) aparecen efectos dolorosos en el o´do humano. ı 5.4 Velocidad de las part´culas fluidas ı Si observamos la ecuacion (1.4), e introducimos para la presi´ n la expresi´ n para la difereno o cia de presiones o presi´ n sonora, p = p 0 sen(kx − wt), y sabiendo que la velocidad de las o 29
  31. 31. part´culas fluidas es u = dξ/dt, tenemos: ı ∂p ∂u k p = −ρ0 = kp 0 cos (kx − wt) → u = p 0 sen (kx − wt) = , ∂x ∂t ρ0 w c 0 ρ0 (5.6) luego u = p /c0 ρ0 , y tenemos relacionada la velocidad con la presi´ n sonora para una onda o sinusoidal. Esta relaci´ n es completamente v´ lida sea o no la onda sinusoidal, bastando con o a que p = f (x − ct). Un valor t´pico de la impedancia ac´ stica es ρ0 c0 = 413 Kg/m2 s para ı u el caso del aire a temperatura y presi´ n ambientes. o 5.5 Intensidad, potencia y densidad de energ´a sonora ı La energ´a sonora que atraviesa por unidad da tiempo la unidad de superficie perpendicular ı a la direcci´ n de propagaci´ n se denomina intensidad sonora y viene dada por la expresi´ n o o o I = p ·u, (5.7) donde las barras verticales indican que estamos haciendo la media temporal. Es f´ cil ver que a para una onda plana la intensidad sonora es I= 2 Prms . ρ0 c0 (5.8) ´ La potencia sonora (W ) a trav´ s de un area muy peque˜ a ∆A es el producto de la e n ´ intensidad sonora por ese area, ∆W = I · ∆A = 2 Prms · ∆A. ρ0 c 0 (5.9) ´ ´ Si queremos calcular la potencia sonora a trav´ s de un area grande, la dividimos en areas lo e suficientemente peque˜ as para que la intensidad sonora sea constante en ellas, y sumamos n todas las potencias que pasan por cada una de ellas: Ii · ∆Ai , W = (5.10) i donde el sub´ndice i nombra a cada una de las sub´ reas. Por ejemplo, si tenemos una intenı a ´ sidad uniforme (no depende del espacio), la potencia sonora que atraviesa un area igual a A perpendicularmente a la direcci´ n de propagaci´ n es o o W = A · I. La densidad de energ´a sonora (D) se define como la cantidad de energ´a sonora conı ı 3 tenida en la unidad de volumen del medio, se mide en J/m , y se expresa para una intensidad de energ´a sonora uniforme como ı P2 (5.11) D = rms . ρ0 c 2 0 30
  32. 32. 5.6 Factor de directividad Las fuentes sonoras, bien sea por su propia naturaleza o por su situaci´ n en el espacio, no o radian la misma cantidad de energ´a en todas las direcciones. En general la radiaci´ n se ı o puede concentrar en una cierta direcci´ n o direcciones y se aparta del patr´ n de radiaci´ n o o o esf´ rico u omnidireccional. e Se define como factor de directividad de una fuente en una determinada direcci´ n al o cociente entre la energ´a (intensidad de energ´a sonora) realmente radiada en esa direcci´ n y ı ı o la que radiar´a (para una misma potencia total) si la fuente fuese omnidireccional. Se designa ı por la letra Q y no tiene dimensiones: Q= Ir , Io (5.12) donde Ir es la intensidad de energ´a en esa direcci´ n y Io es la intensidad que se radiar´a para ı o ı el caso de radiaci´ n is´ tropa. o o Veamos para fijar ideas un ejemplo sencillo de c´ mo se calcular´a el factor de directividad o ı para una fuente sonora arbitraria. Primero elegimos una superficie esf´ rica alrededor de la e fuente sonora (A), luego dividimos esta superficie esf´ rica en superficies peque˜ as donde la e n intensidad sonora sea uniforme (∆Ai ). Medimos todas las intensidades sonoras (Ii ) en cada una de las superficies peque˜ as. A continuaci´ n calulamos la potencia total radiada multiplin o cando las intensidades calculadas por las superficies y sumando (W = i Ii ∆Ai ). A continuaci´ n calculamos la intensidad que radiar´a la fuente esf´ rica homogenea (I0 = W/A). o ı e Finalmente calcular´amos los factores de directividad en esas direciones (Qi = Ii /I0 ). ı 5.7 El decibelio Si se tiene en cuenta que el margen de presi´ n sonora que el o´do humano es capaz de o ı interpretar se extiende en un rango que comprende desde 2 · 10−5 P a hasta 20 P a, es evidente la imposibilidad de utilizaci´ n de una escala lineal de medida compuesta por un o mill´ n de unidades. Adem´ s, es conocido que el organismo humano tiene una respuesta o a aproximadamente logar´tmica a los est´mulos sonoros. Por todo ello se recurre en ac´ stica a ı ı u expresar las magnitudes en decibelios (unidad logar´tmica) al hablar de niveles de presi´ n, ı o intensidad y potencia. El Belio (B) es la divisi´ n fundamental de una escala logar´tmica utilizada para expresar o ı la relaci´ n de dos medidas de potencia. Se define el n´ mero de Belios como el logaritmo o u decimal del cociente entre las dos cantidades y es por lo tanto una magnitud que no tiene dimensiones. Si W es la potencia que se considera, W0 es una potencia de referencia y N el n´ mero u de Belios que representa la relaci´ n W/W0 , entonces se tiene: o N = log 31 W . W0 (5.13)
  33. 33. Por ejemplo, si W es diez veces mayor que W0 la relaci´ n W/W0 ser´ 10 y log10 = 1, o a si la relaci´ n es de 100, entonces log100 = log102 = 2, vemos pues que el Belio crece en o una unidad cada vez que la magnitud de potencia se multiplica por diez. Por razones pr´ cticas se usa el decibelio (dB) que es la d´ cima parte de un Belio. Por a e tanto el n´ mero de decibelios (n) es igual al n´ mero de Belios multiplicado por diez: u u n = 10 log W . W0 (5.14) Como las intensidades ac´ sticas son directamente proporcionales a las potencias ac´ sticas u u que las producen, se dice que en un punto del espacio el nivel de intensidad es de n decibelios, dados por la ecuaci´ n o I n = 10 log . (5.15) I0 En general estos valores de decibelios para la intensidad y para la presi´ n no tienen porqu´ o e coincidir. Su igualdad depende de los valores de referencia que se utilicen para intensidad y potencia I0 y W0 . De igual manera, las potencias son proporcionales a los cuadrados de las presiones eficaces, por lo que igual que hemos hecho para la intensidad podemos definir decibelios de presi´ n como: o Prms P2 , (5.16) n = 10 log rms = 20 log 2 P0 P0 y de igual manera estos decibelios corresponder´ n o no con los de potencia e intensidad a dependiendo del valor que se tome para la presi´ n de referencia P0 . o Por acuerdo internacional se han tomado como valores de referencia las siguientes cantidades: • Potencia sonora W0 = 10−12 watios. • Intensidad sonora I0 = 10−12 watios/m2 • Presi´ n sonora P0 = 20 × 10−6 Pa (N/m2 ). o Cuando se utilizan estas referencias normalizadas, los s´mbolos que se emplean internaı cionalmente para expresar respectivamente los niveles de presi´ n, intensidad y potencia son o Lp , Li . Lw . En el aire, en condiciones normales, los niveles de presi´ n (Lp ) y de intensidad (Li ) son o 2 2 2 num´ ricamente iguales debido a que I = Prms /ρ0 c0 = Prms /413 (donde I y Prms est´ n e a medidos en unidades S.I): Lp = 10 log Li = 10 log 2 2 Prms Prms 2 = 94 + 10 logPrms , = 10 log 2 P0 20 · 10−6 2 I P 2 /413 Prms 2 = 10 log rms = 10 log = 93.9 + 10 logPrms , I0 I0 413 · 10−12 de manera que Lp Li . 32 (5.17) (5.18)
  34. 34. 5.8 Adici´ n de niveles de ruido o Cuando se superponen dos o m´ s sonidos de frecuencias distintas, estad´sticamente la ina ı tensidad sonora resultante es la suma de las intensidades de cada uno de los sonidos, o lo que es lo mismo, el cuadrado de la presi´ n sonora eficaz es la suma de los cuadrados de las o presiones sonoras eficaces de los distintos ruidos. Si queremos sumar tres ruidos de presiones eficaces P1 , P2 , P3 , tendremos: Lp = 10 log 2 2 2 P 1 + P2 + P 3 2 P0 . (5.19) Por ejemplo, si sumamos dos ruidos de igual intensidad: Lp = 10 log 2 2P1 2 P0 = 10 log 2 P1 2 P0 + 10 log(2) = Lp1 + 3.0103, lo que nos indica que la suma de dos niveles sonoros iguales, sea el que fuere su valor, solo se incrementa en 3 dB en el nivel sonoro global. 5.9 Sonoridad La respuesta del o´do, adem´ s de no ser lineal en intensidad, tampoco lo es en frecuencia, ı a existiendo una sensaci´ n diferente para tonos de igual nivel sonoro y distinta frecuencia. o Esta sensaci´ n sonora o intensidad subjetiva es conocida como sonoridad. o Mediante ensayos subjetivos se han determinado las curvas de igual sonoridad dadas por Robinson y Dadson (1956, National Phisical Laboratory, ISO 226, 1961) donde en abcisas se indican las frecuencias de los tonos puros que percibe el o´do humano y en ordenadas el ı nivel de presi´ n sonora. Las curvas unen puntos de igual sensaci´ n sonora por ello llamadas o o is´ fonas, correspondiendo cada una a un n´ mero de Fonios, igual al nivel de presi´ n sonora o u o en decibelios a 1.000 Hz. La percepci´ n de sonoridad para sonidos complejos es asimisma compleja y es objeto de o ´ estudio de la psicoacustica. 33

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