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TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA MI PROFESOR.Blog
2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
TEOREMA DE PITÁGORAS A HIPOTENUSA CATETO B C CATETO 12 29 5 21 5 4 13 20 3
RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS CATETO OPUESTO  A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE A SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE
EJEMPLO : TEOREMA DE PITÁGORAS H 12 35 EJEMPLO : Sabiendo que   es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....  3 2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS EJEMPLOS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD : “LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS  CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO” A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS   SENO Y COSENOTANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTESE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EJEMPLOS ............... ............... ...............
TRIÁNGULOS NOTABLES ) ) ( ( ) (
CALCULAR  : ) ( ) (
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA  y ÁNGULO AGUDO CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO EJEMPLO Calcular  L en términos de  ) y ; )
SOLUCIÓN NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
ÁREA DEL TRIÁNGULO C a b B A c EJEMPLO 5m 8m
ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN ) HORIZONTAL ) ÁNGULO DE DEPRESIÓN VISUAL
EJEMPLO : Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370  si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? SOLUCIÓN 70 =H 12k 12k ) ) ) ) + 9k 16k H = 120 k = 10 9k +70 = 16k
ÁNGULOS HORIZONTALES Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). DIRECCIÓN RUMBO El rumbo de Q respecto de P  La dirección de B respecto de A es o al oeste del norte El rumbo de M respecto de P La dirección de C respecto de A es al este del sur o N N B Q ) ( O E E O P ( A ) C M S S
ROSA NÁUTICA Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es En el gráfico adjunto sólo se muestran 16  direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es  N NNE NNO NE NO ENE ONO E O OSO ESE SO SE SSO SSE S
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior. ¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones  ? y Rpta.
EJEMPLO : Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ? SOLUCIÓN N OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR ROJO ES NOTABLE 40 24 X = 20 ) F O E 32 x 16 16 40 20 12 60 S
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico) ( b c ) ) ) a c +
EJEMPLO : Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula   tan2 SOLUCIÓN 24 25 25 7 5 3 ( 5 4

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  • 3. TEOREMA DE PITÁGORAS A HIPOTENUSA CATETO B C CATETO 12 29 5 21 5 4 13 20 3
  • 4. RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS CATETO OPUESTO A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE A SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE
  • 5. EJEMPLO : TEOREMA DE PITÁGORAS H 12 35 EJEMPLO : Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3..... 3 2
  • 6. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS EJEMPLOS
  • 7. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD : “LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO” A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENOTANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTESE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
  • 10. CALCULAR : ) ( ) (
  • 11. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
  • 12. CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO EJEMPLO Calcular L en términos de ) y ; )
  • 13. SOLUCIÓN NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
  • 14. ÁREA DEL TRIÁNGULO C a b B A c EJEMPLO 5m 8m
  • 15. ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN ) HORIZONTAL ) ÁNGULO DE DEPRESIÓN VISUAL
  • 16. EJEMPLO : Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? SOLUCIÓN 70 =H 12k 12k ) ) ) ) + 9k 16k H = 120 k = 10 9k +70 = 16k
  • 17. ÁNGULOS HORIZONTALES Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). DIRECCIÓN RUMBO El rumbo de Q respecto de P La dirección de B respecto de A es o al oeste del norte El rumbo de M respecto de P La dirección de C respecto de A es al este del sur o N N B Q ) ( O E E O P ( A ) C M S S
  • 18. ROSA NÁUTICA Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es N NNE NNO NE NO ENE ONO E O OSO ESE SO SE SSO SSE S
  • 19. Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior. ¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones ? y Rpta.
  • 20. EJEMPLO : Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ? SOLUCIÓN N OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR ROJO ES NOTABLE 40 24 X = 20 ) F O E 32 x 16 16 40 20 12 60 S
  • 21. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico) ( b c ) ) ) a c +
  • 22. EJEMPLO : Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2 SOLUCIÓN 24 25 25 7 5 3 ( 5 4