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TRIGONOMETRIA

CONTEMPORANEA

    MI PROFESOR.blog
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
                     SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
  TRIGONOMÉTRICO
  SE OBTIENE
  GIRANDO UN RAYO
                            )   POSITIVO
  ALREDEDOR DE SU
  ORIGEN.    B
                      SENTIDO DE GIRO HORARIO

 O     )
                A
 OA : LADO INICIAL
                             )   NEGATIVO
 OB : LADO FINAL
  O: VÉRTICE
SISTEMAS DE MEDICIÓN
         ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

          1
    GRADO :   o   MINUTO :
                             1   '       SEGUNDO :
                                                     1
                                                     "

                  EQUIVALENCIAS

   1  60 1  60 1  3600
    o         '   '          "       o                   "



              1vuelta= 360
                                     o
En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
  expresar en grados ,minutos y segundos

                 A B ' C ''  A  B '  C ''
                    o                  o


 Los Para convertirB y C deben ser menores por 3600
     números de grados a segundos se multiplica de 60

            RELACIONES degrados a minutos se multiplica por 60 60
               Para convertir de
                Para convertir DE CONVERSIÓN
                                 minutos a segundos se multiplica por

                              x 3600

                   x 60                             x 60
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600


GRADOS                       MINUTOS                         SEGUNDOS

                  : 60                              : 60
                     Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
                               : 3600
                       Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
EJEMPLO :   20 36 ' 45 ''
                             o


   EXPRESAR       EN GRADOS SEXAGESIMALES

  20  36  45
       o          '      ''


         36   o
               45        o
                           3o 1o
  20 
      o
                   20o    
         60   3600         5 80
      Al número 36 se le divide entre 60 y
                          1649o 3600
      Al número 45 se le divide entre
   CONCLUSIÓN:       
                                 80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES              = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES       ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
                       SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
  Dato :   60S  2S  155        62S  155
     155 5(31)                5
  S                    S
      62   2(31)              2
                  5º 4º 60 '
 El ángulo mide :            2º 30 '
                  2    2
ESTAN
       ENTENDIENDO ?




NO REPITE POR
    FAVOR
SISTEMAS DE MEDICIÓN
        ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

   GRADO :   1
             g    MINUTO :   1
                             m
                                     SEGUNDO :   1
                                                 s

                 EQUIVALENCIAS

1  100 1  100 1  10000
  g          m     m             s       g           s



                 1vuelta=    400     g
En el sistema centesimal los ángulos se pueden
 expresar en grados ,minutos y segundos

                A B C  A B
                   g   m   s         g        m
                                                  C     s


 Los números B ygrados a segundosmenores de 10000
     Para convertir de C deben ser se multiplica por 100

           RELACIONES DE CONVERSIÓN por 100 100
              Para convertir de de minutos a segundos se multiplica por
                Para convertir grados a minutos se multiplica

                           x 10 000
Para convertir dex 100 a grados se divide entre 10000
                 segundos
                                                x 100

GRADOS                      MINUTOS                          SEGUNDOS

                : 100                           : 100
                   Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
                            : 10 000
                     Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
           SABES QUE : g  SABES QUE :g
                 9º  10
 NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200 g = C
             SABEMOS QUE 180º  10
                                 9º
              9(1º )  10(1 ) 9(1º
 NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES  (10(1g ) 100C
                           g
      SIMPLIFICANDO SE OBTIENE)          n) =
                  ' 9º CENTESIMALES 10(10000S ) 000C
                        109(3600'' )  ( q ) = 10
                           g
 NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m )
              9(60 ) 
RELACIÓN ENTRE LOS50
                       81''  250s
             27  SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
                   '     m


                   CENTESIMAL

    9 O  10g 27'  50m 81"  250s
     GRADOS       MINUTOS        SEGUNDOS
     S   C        m   n          p   q
                                 
     9 10         27 50          81 250
SISTEMAS DE MEDICIÓN
          ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
 EN ESTE SISTEMA
 LA UNIDAD DE
                                      R
 MEDIDA ES EL
 RADIÁN.                                          R
 UN RADIÁN ES LA
                                 .
                                 .
                                     )1rad
 MEDIDA DEL                          R
 ÁNGULO CENTRAL
 QUE SUBTIENDE
 EN CUALQUIER
 CIRCUNFERENCIA    1vuelta  2rad
 UN ARCO DE
 LONGITUD IGUAL
                   1rad  57 17 45
                             o           '   ''
 AL RADIO.
RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS

       180  200  rad
               0              g


ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES

A)  54 0
           54O  rad   3 rad
       SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA
                     o 
       VUELTA MIDE : 360º  400g  2rad
                        180         10
B)  125g
       SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
                  rad              5
             125                 
                   g
                      g 
                                         rad
                  200               8
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL

   2                 2(180 o )
A)    rad ...........                   120     o
   3                     3
                                9 
                               g
                                      o
B)70g .................   70  g           63      o

                              10 
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL

   3                  3(200 )g
A)     rad ...........           150 g
   4                      4
     o                   o  10g 
B)27 ................ 27  o   30     g

                            9 
FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES     rad
A RADIANES                  180o


DE GRADOS SEXAGESIMALES      10g
A CENTESIMALES
                              9 o

DE GRADOS CENTESIMALES      rad
A RADIANES
                            200   g


DE GRADOS CENTESIMALES       9 o

A SEXAGESIMALES
                            10  g

DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES             rad  180   o



                          rad  200
DE RADIANES A GRADOS                   g
CENTESIMALES
ESTAN
       ENTENDIENDO ?




NO REPITE POR
    FAVOR
FÓRMULA DE CONVERSIÓN

            S     C    R
                    
           180   200   
 S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
 C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
 R : NÚMERO DE RADIANES
    EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
                        8R
              3S  2C      37
                         
                    SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN
S   C   R                     S  180k
          K                               R  k
180 200                       C  200k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
                    8(k)
3(180k)  2(200k)         37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
                      
148k  37
                    1
                 k
                    4
                                             1 
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R     
                                            4 4
 NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
 CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

                                          S  9k
S   C   20R
                                        C  10k
9 10                                          k
                                           R 
                                               20
OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
                                              
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :   90o  100g rad
                                              2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :   180  200  rad
                                      O     g




   SISTEMA           COMPLEMENTO     SUPLEMENTO
 SEXAGESIMAL     S      90 - S          180 - S
 CENTESIMAL      C     100 - C          200 - C
                        
 RADIAL          R        R            R
                        2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
                                 
         rad  60o
                     rad  45o       rad  30o
       3           4               6
EJERCICIOS
                             
1. CALCULAR :
                      45º     rad
                   E       12
                       50g  33º
                     SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
        180º              9º
               15º ; 50 ( g )  45º
                        g
   rad 
12        12              10
Reemplazamos en E
    45º 15º   60º
 E                5
    45º 33º   12º
2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
   el triple de su número de grados centesimales es 78,
   calcular su número de radianes
                    SOLUCIÓN
 Sea S = número de grados sexagesimales
     C = número de grados centesimales
 Sabes que :   S   C
                    =K         S = 9K y C = 10K
               9 10
 Dato : S + 3C = 78
       9K + 3( 10K ) = 78        39K = 78      K=2
 El número de radianes es :
    k             2   
 R             R    
    20             20 10
3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad  180
B ) El complemento de 30 es 70
                        g      g


C ) 24º     2º
               
      36   g
                   3   g

D ) Los ángulos interiores de un triángulo
    suman rad

E)     180º
F)    1º  1       g


G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es
     igual al 90% de su número de grados centesimales
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  • 1. TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA MI PROFESOR.blog
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  • 3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO • EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ) POSITIVO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. B SENTIDO DE GIRO HORARIO O ) A OA : LADO INICIAL ) NEGATIVO OB : LADO FINAL O: VÉRTICE
  • 4. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) 1 GRADO : o MINUTO : 1 ' SEGUNDO : 1 " EQUIVALENCIAS 1  60 1  60 1  3600 o ' ' " o " 1vuelta= 360 o
  • 5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos A B ' C ''  A  B '  C '' o o Los Para convertirB y C deben ser menores por 3600 números de grados a segundos se multiplica de 60 RELACIONES degrados a minutos se multiplica por 60 60 Para convertir de Para convertir DE CONVERSIÓN minutos a segundos se multiplica por x 3600 x 60 x 60 Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 60 : 60 Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 : 3600 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
  • 6. EJEMPLO :   20 36 ' 45 '' o EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES   20  36  45 o ' '' 36 o 45 o 3o 1o   20  o   20o   60 3600 5 80 Al número 36 se le divide entre 60 y 1649o 3600 Al número 45 se le divide entre CONCLUSIÓN:  80 RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
  • 7. EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato : 60S  2S  155 62S  155 155 5(31) 5 S  S 62 2(31) 2 5º 4º 60 ' El ángulo mide :   2º 30 ' 2 2
  • 8. ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  • 9. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) GRADO : 1 g MINUTO : 1 m SEGUNDO : 1 s EQUIVALENCIAS 1  100 1  100 1  10000 g m m s g s 1vuelta= 400 g
  • 10. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados ,minutos y segundos A B C  A B g m s g m C s Los números B ygrados a segundosmenores de 10000 Para convertir de C deben ser se multiplica por 100 RELACIONES DE CONVERSIÓN por 100 100 Para convertir de de minutos a segundos se multiplica por Para convertir grados a minutos se multiplica x 10 000 Para convertir dex 100 a grados se divide entre 10000 segundos x 100 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 100 : 100 Para convertir de minutos a grados se divide entre 100 : 10 000 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
  • 11. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y SEGUNDOS SABES QUE : g SABES QUE :g 9º  10 NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200 g = C SABEMOS QUE 180º  10 9º 9(1º )  10(1 ) 9(1º NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES  (10(1g ) 100C g SIMPLIFICANDO SE OBTIENE) n) = ' 9º CENTESIMALES 10(10000S ) 000C  109(3600'' )  ( q ) = 10 g NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m ) 9(60 )  RELACIÓN ENTRE LOS50 81''  250s 27  SISTEMAS SEXAGESIMAL Y ' m CENTESIMAL 9 O  10g 27'  50m 81"  250s GRADOS MINUTOS SEGUNDOS S C m n p q    9 10 27 50 81 250
  • 12. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE R MEDIDA ES EL RADIÁN. R UN RADIÁN ES LA . . )1rad MEDIDA DEL R ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA 1vuelta  2rad UN ARCO DE LONGITUD IGUAL 1rad  57 17 45 o ' '' AL RADIO.
  • 13. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS 180  200  rad 0 g ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO. EJEMPLOS EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES A)  54 0 54O  rad   3 rad SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA  o  VUELTA MIDE : 360º  400g  2rad  180  10 B)  125g SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :  rad  5 125   g g  rad  200  8
  • 14. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL 2 2(180 o ) A) rad ...........  120 o 3 3 9  g o B)70g ................. 70  g   63 o  10  EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL 3 3(200 )g A) rad ........... 150 g 4 4 o o  10g  B)27 ................ 27  o   30 g  9 
  • 15. FACTORES DE CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES rad A RADIANES 180o DE GRADOS SEXAGESIMALES 10g A CENTESIMALES 9 o DE GRADOS CENTESIMALES rad A RADIANES 200 g DE GRADOS CENTESIMALES 9 o A SEXAGESIMALES 10 g DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES rad  180 o rad  200 DE RADIANES A GRADOS g CENTESIMALES
  • 16. ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  • 17. FÓRMULA DE CONVERSIÓN S C R   180 200  S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES EJEMPLO CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE: 8R 3S  2C   37  SOLUCIÓN EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
  • 18. S C R S  180k    K R  k 180 200  C  200k SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA 8(k) 3(180k)  2(200k)   37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE  148k  37 1 k 4  1  FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R     4 4 NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA S  9k S C 20R   C  10k 9 10  k R  20
  • 19. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES  * ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 90o  100g rad 2 * ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180  200  rad O g SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S CENTESIMAL C 100 - C 200 - C  RADIAL R R R 2 * EQUIVALENCIAS USUALES:    rad  60o rad  45o rad  30o 3 4 6
  • 20. EJERCICIOS  1. CALCULAR : 45º  rad E 12 50g  33º SOLUCIÓN Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL  180º 9º  15º ; 50 ( g )  45º g rad  12 12 10 Reemplazamos en E 45º 15º 60º E   5 45º 33º 12º
  • 21. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales C = número de grados centesimales Sabes que : S C  =K S = 9K y C = 10K 9 10 Dato : S + 3C = 78 9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2 El número de radianes es : k 2  R R  20 20 10
  • 22. 3. Determinar si es verdadero o falso A ) rad  180 B ) El complemento de 30 es 70 g g C ) 24º 2º  36 g 3 g D ) Los ángulos interiores de un triángulo suman rad E)   180º F) 1º  1 g G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales