Exercicios 8ª

( C
)

Problemas e exercícios
complementares
Orientações
Resolver problemas e fazer exercícios são atividades essenciais para aprender matemática. Nisso
estamos de acordo, certo? No entanto, algumas pessoas perguntam: quantos problemas e exercícios preci-
sam ser feitos? Não há resposta para essa questão. Em princípio, quem se dedica mais à resolução de
problemas diferentes e criativos adquire mais conhecimentos de matemática.
Os problemas, os exercícios e as demais atividades propostos neste livro são suficientes para um
bom aprendizado básico de matemática. Ainda assim, considerando que nem todas as escolas brasileiras
destinam o mesmo número de aulas a essa disciplina (e nada há de errado nisso) e que nem todos os
estudantes possuem o mesmo interesse por matemática (também nada há de errado nisso), oferecemos,
nesta seção, alguns problemas e exercícios de caráter complementar. Só se deve dar atenção a eles após
garantir o fundamental e se restar tempo na programação. Esta seção é, portanto, optativa.

capítulo

1 SEMELHANÇA
Figuras semelhantes 86 mm e D’A’ = 70 mm. Note que os lados de
A’B’C’D’ duplicaram em relação aos lados de
1. Responda sim ou não: ABCD.
a) Dois retângulos são sempre semelhantes?
4. Estes quadriláteros são semelhantes:
b) Dois hexágonos regulares são sempre seme-
lhantes?
c) Duas esferas são sempre semelhantes? I T
d) Dois pentágonos são sempre semelhantes?
e) Dois pentágonos regulares são sempre seme- R A
lhantes?
No problema 2, usando
transferidor e fazendo
tentativas, não é difícil
2. Usando régua e transferidor, construa: I’ T’
construir o quadrilátero. a) um quadrilátero ABCD com estes ângulos:
ˆ ˆ ˆ ˆ
A = 100° , B = 70° , C = 80° e D = 110°.
b) outro quadrilátero, não-semelhante ao ante-
rior, mas com esses mesmos ângulos.

No problema 3, há al- R’ A’
gumas dificuldades na 3. Usando régua e compasso, desenhe:
construção dos quadri-
láteros. É preciso fazer a) um quadrilátero ABCD, com AB = 25 mm,
tentativas. BC = 30 mm, CD = 43 mm e DA = 35 mm; a) Meça os lados correspondentes e diga qual é
b) um quadrilátero A’B’C’D’, não-semelhante a a razão de semelhança. Responda assim: é 1
ABCD, com A’B’ = 50 mm, B’C’ = 60 mm, C’D’ = para 1,5 ou 1 para 3, etc.

272

7.

Problemas e exercícios complementares
b) As diagonais RT e R’T’ estão nessa mesma ra- A 40 m da base da estátua, Márcia pode vê-la sob
zão? um ângulo de 40°. Faça um desenho em escala e
c) E os segmentos IA e I’A’? determine a altura real da estátua.
d) Calcule o perímetro de cada quadrilátero. Os
perímetros estão na mesma razão que os la-
dos?
ˆ ˆ
e) Meça os ângulos ITA e I' T ' A' . Que relação
existe entre eles?
h ⋅ (B + b) 40°
f) Usando a fórmula A = , calcule as
2 40 m
áreas dos quadriláteros. A área do quadrilátero
maior é quantas vezes a do menor?

5. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)
ou falsa (F): 8. Com relação ao exercício anterior, Márcia quer
fotografar a estátua. Entretanto, a estátua só
a) Para dois polígonos serem semelhantes basta
aparecerá inteira na foto se for avistada sob um
que os ângulos que se correspondem sejam
ângulo de 30°. Aproveite seu desenho em escala
iguais.
e determine a que distância da estátua Márcia
b) Para dois polígonos serem semelhantes é ne- deve se posicionar.
cessário que os ângulos que se correspondem
sejam iguais. 9. Considere a figura seguinte:
c) Para dois polígonos serem semelhantes é pre- A
ciso que eles tenham lados correspondentes
proporcionais.
25
d) Para dois polígonos serem semelhantes é su-
ficiente que eles tenham lados corresponden-
tes proporcionais. O 10
E
B
16

Triângulos semelhantes x
a) Prove que os triângulos
D
ABO e DEO são semelhan-
6. Observe a figura: tes.
A b) Calcule a medida x.

a 10. Em qual das situações pode-se ter certeza de que
AB = 3 ⋅ EF?
a) B
A
C 80°
a D 100°

B 130°
6 C
E F
BC = 8 cm AB = 7 cm AD = y 80°
100°
AC = 4 cm DC = x 130°
D 2 G
a) Mostre que dois dos triângulos são semelhan-
tes. H
b) Separe os triângulos semelhantes desenhan-
do-os, à mão livre, em posições semelhantes. b) A
c) Copie e complete em seu caderno: 2
E
AB BC CA 1
= = . G
//// //// //// C
P
F
d) Nessa igualdade que você escreveu, substitua
AB, BC, etc. pelas medidas correspondentes e EF // AB B
calcule x e y.

( problemas e exercícios complementares ) 273

11. Na figura seguinte, suponha que MA = 60 mm, c) Em todo triângulo retângulo, a altura relati-
AU = 75 mm e LA = x. va à hipotenusa divide-o em dois triângulos
U
retângulos semelhantes entre si e semelhan-
tes ao triângulo original.
48°
L 15. Há três triângulos retângulos na figura e cada um
deles é semelhante aos outros dois:

48°
M A m
p l
a) Copie e complete em seu caderno:
75 60 a x
= . h
//// ////
b) Determine x. Tomando como base essas semelhanças, copie e
complete em seu caderno:
Semelhança no triângulo retângulo a) as igualdades:

12. Observe o triângulo da figura seguinte: h
=
////
=
p
m x ////
d
a x h m ////
= = .
//// l a
t p b) as fórmulas:
q
p2 = h ⋅ //// p ⋅ //// = l ⋅ ////

Às vezes, como no pro- a) Prove que p2 = a ⋅ x. O teorema de Pitágoras
blema 16, é preciso re-
lembrar que as diagonais b) O que diz essa fórmula? Responda textual-
do losango, sendo eixos
de simetria, são per-
mente. 16. As diagonais de um losango medem 11 cm e 6 cm.
pendiculares entre si e Qual é a medida aproximada do lado?
cortam-se ao meio. 13. Use a régua e responda em seu caderno:

L
17. ˆ
No triângulo ABC, A = 90º. Copie e complete a
tabela em seu caderno:

AB (cm) AC (cm) BC (cm)
15 20 /////////
//////// 5 13
15 ///////// 17
U A
Z
18. No triângulo retângulo SIM, SI = 30 cm e SM = 34 cm:
a) Quanto mede a hipotenusa do triângulo LUZ?
b) E os catetos, quanto medem?
I
c) Quanto mede o cateto maior do triângulo ZAL? S

d) Quanto mede a altura perpendicular à hipo-
tenusa do triângulo LUA?

14. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)
ou falsa (F): E
a) Em todo triângulo acutângulo, a altura rela- M
tiva a qualquer lado divide o triângulo em a) Calcule MI.
dois triângulos retângulos. b) Calcule EI, usando uma das fórmulas deduzidas
b) Em todo triângulo acutângulo, a altura relati- no item anterior.
va a qualquer lado divide o triângulo em dois c) Calcule SE e ME.
triângulos retângulos semelhantes entre si. d) Calcule a área do triângulo.

274

19. A escada tem 5,2 m de comprimento. Qual é a y
altura aproximada do muro?

O x
1,5 m a) Depois de uma hora, qual é a distância em
linha reta entre elas?
b) E depois de duas horas contadas a partir do
início da viagem?
20. Flávia e Rita partem de O, no mesmo instante,
cada uma em seu automóvel. Flávia segue pela c) Invente outra pergunta com os dados deste
estrada x à velocidade de 60 km/h. Rita vai pela problema. Se desejar, você pode incluir ou-
estrada y a 80 km/h. tros dados.
capítulo

2 A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES
Potências e notação científica a) 2–4 c) 240 : 242
210
1. Copie e complete em seu caderno: b) 25 ⋅ 23 : 29 d)
213

a)
1
= 10 d) 104 ⋅ 103 = 10 5. Para medir comprimentos muito pequenos, como
104 o de uma bactéria, foi criada uma unidade de
b) 1 : 103 = 10 e) 104 ⋅ 10–6 = 10 medida chamada micrômetro (ou mícron):
1 micrômetro = 10–6 m
1
c) = 10 f) 104 : 107 = 10 Usando notação científica, escreva em seu cader-
10−5
no a quantos metros correspondem:
2. Em seu caderno, passe para a notação científica: a) 5 micrômetros c) 0,2 micrômetros
a) 6 500 000 c) 0,000 01 e) 0,000 038 b) 30 micrômetros d) 0,02 micrômetros
b) 12 ⋅ 108 d) 0,000 03 f) 13 ⋅ 10–7
Cálculos com radicais
3. Em seu caderno, efetue e dê o resultado em nota- 6. O jardim retangular da figura vai ser cercado com
ção científica:
duas voltas de arame.
a) (3,4 × 103) : (1,7 × 106)
b) 2,8 × 104 ⋅ 5 × 103

4. As fórmulas do quadro referem-se às potências de
10. Para outras bases, valem fórmulas análogas. 10 m
Calcule em seu caderno, dando as respostas na 5m
forma de fração:

1
10–n =
10n
10a 10b = 10a + b a) Obtenha o perímetro aproximado do jardim,
em metros e centímetros.
10a 10b = 10a – b
b) Para cercar esse jardim com arame, quantos
rolos de 10 m serão necessários?


7. Sabendo que os resultados são números inteiros 11. Efetue os cálculos em seu caderno:
positivos, efetue em seu caderno:
125
162 a) + 6 45
a) d) 3 4
2 27 ⋅ 125
3 112 − 343
54 b) + 28
b) 3 e) 7 ⋅ 3 ⋅ 12 ⋅ 7 2 7
2
c) ( 8 + 18 ) ⋅ 2 − 3 ⋅ ( 75 − 3 )
c) 256 ⋅ 25 f) 5 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 5

12. Descubra o valor de x, que é um número positivo,
8. Calcule em seu caderno a área do triângulo sabendo que:

eqüilátero cujo lado mede 2 7 centímetros. a) x =7 c) 3
x = 23 2
3
No exercício 9, os cál-
3
culos são difíceis. Suge- 9. Obtenha a área de um hexágono regular cujo lado b) x =5 2 d) x = 23 5
rimos que eles sejam
refeitos no quadro-de-
giz, durante uma aula
mede 7 cm. Dica: há um exercício similar nos 13. Descubra o valor de x. Racionalize o denomina-
2
de correção de exercí- Problemas e exercícios para casa deste item. dor da fração.
cios.

Mais cálculos com radicais a) 2⋅x=1 b) 2 ⋅x = 5

10. Em seu caderno, simplifique os radicais:

a) 112 c) 343

b) 150 d) 7
25
capítulo

3 EQUAÇÕES E FATORAÇÃO
Equação de 1o grau 6. Resolva as equações em seu caderno:
3
a) 3z4 – 250 = –7 b) x + 2 = 5
1. Resolva as equações em seu caderno: 2
x x
a)
5
−
2
= x − 13 7. Resolva as equações em seu caderno:
a) (y + 1) (y + 5) = 6y + 41
x+2 2x − 5 x−1
b) = − b) (2m + 1) (m + 1) = 3 (m – 5)
3 2 6
c) (2u + 1) (u + 1) = 3 (u + 65)
2. Resolva as equações em seu caderno: d) (y + 3)(y + 2) = 5 (y + 2)
a) (x + 3) (x + 1) = x2 + 23
b) 3(x2 + 1) = x(3x + 1) + 1
8. As equações literais aparecem nas deduções de
fórmulas. Por exemplo, nos triângulos retângulos
como o da figura, vale a fórmula a2 = b2 + c2.
3. Resolva em seu caderno:
(2x + 1)(5x + 2)
= 5x2 − 11
2
a
b
4. O que significa isolar a incógnita na resolução de
uma equação?

c
Vários tipos de equações
Resolva a equação a2 = b2 + c2 na incógnita b
5. Resolva as equações em seu caderno: (isto é, isole b). Você terá uma fórmula que dá a
medida do cateto b em função das medidas dos
a) x + 12 = 5 b) 3 x − 10 = 5 outros lados.

276

Equações resolvidas por fatoração Siga esse modelo e calcule em seu caderno:
a) (x + 7)2 d) (3a – 2b)2
9. Descubra qual é o número representado por : b) (x – 7) 2
e) (y2 + 5x)2
2
a) ( – 7)2 = 0 c) 3 ⋅ ( – 2) = 0 c) (2a + 1)2 ⎛ a⎞
f) 5ab –
⎝ 3⎠
5⋅( – 2)
b) (y2 + 1) ( – 5) = 0 d)
3
= 0 15. Em seu caderno, copie e complete as expressões
para que sejam trinômios quadrados perfeitos:

10. Usando fatoração, simplifique as expressões em a) y2 – 14y + d) 36y2 + +1
2 2
seu caderno: b) 9x + 6x + e) x + + 81
c) + 6y + 1 f) a2x2 + abx + ///
a4 + a3 + a2
a)
5a3 – 7a2 16. Resolva as equações em seu caderno:
4a3 + 10a2 a) x2 – 14x + 49 = 0 c) r2 – 18r + 81 = 0
b)
4a2 + 20a + 25 b) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) 16y2 – 8y + 1 = 0

11. Resolva as equações em seu caderno: 17. Resolva as equações em seu caderno:
a) 3t2 + t = 0 c) (x + 3) (x – 5) = 0 a) (p + 3) (p + 7) = 21
b) x3 + 2x2 = 0 d) (r – 5)2 = 0 x x
b) − = 2x + 1
4 6
12. Resolva as equações em seu caderno: c) (h + 3,5) ⋅ (h – 1,2)2 = 0
a) (2s + 5) (3s – 1) = 13s + 31
(x – 3)(x + 2)(x – 5)
b) (x + 3) (x + 7) = 21 d) =0
2

13. Procuramos um número cujo quadrado seja igual 18. Descubra o valor de x, sabendo que a área do
a seu quíntuplo. quadrado ABCD é 169.
a) Escreva a equação correspondente a essa sen- A 2x B
tença.
b) Resolva a equação e determine o(s) número(s). 2x

Fatorando o trinômio quadrado perfeito 3
3
14. Recordando: para calcular (2x + 3) você pode 2 D C
efetuar o produto de (2x + 3) por (2x + 3). Mas
também pode obter o resultado diretamente: 19. Em seu caderno, resolva as equações na incógni-
ta x:
(2x + 3)2 = a) x2 – 2ax + a2 = 0.
2ax 5a
b) + 3ax − + 7a = 0 . Supor a ≠ 0.
quadrado de 2x = 4x2 + 12x + 9 quadrado de 3 3 6
2 2
c) 4x + 4ax + a = 0
2 vezes 2x vezes 3 d) 3bx2 – 5bx = bx2 – 2bx. Supor b ≠ 0.

capítulo

4 MEDIDAS
Sistemas decimais e não-decimais
b
1. Quantos hectares há em 1 km2?

2. Calcule: 35° 47’18” + 72° 2’45”. a a a a
a a
a
3. Calcule: 135° 45’12” – 70° 48’5”. a
a
4. ˆ
Na figura, â = 14° 32’15”. Calcule a medida de b .


5. Copie e complete em seu caderno: 10. As diagonais de um losango medem 10 cm e 12 cm.
2 2 Calcule seu perímetro aproximado.
a) 3,78 m = cm e) 148 mm = cm
b) 72 mm = cm f) 12,83 L = mL 11. Você já deduziu a fórmula da área dos trapézios.
c) 3,5 kg = g g) 35 t = kg Vai agora deduzi-la de uma outra maneira. Veja:
• Imagine o trapézio decomposto assim:
2 2
d) 13,8 m = cm h) 5 mL = L
m

6. Imagine um cubo de aresta igual a 1 km. Calcule
o volume desse cubo em quilômetros cúbicos e p p
em metros cúbicos. Depois, copie e complete em
seu caderno: 1 km3 = 10 m3.
n

7. ˆ
Calcule AOD , sabendo que O O pé da altura do triângulo de base n é
externo à base.
ˆ
ˆ = 38° 15’40”, BOC =
AOB D
ˆ
16° 48’52” e COD = 23° 50’12”. A • Obtenha a área de cada triângulo e some-as.
B C
• “Arrume” a expressão obtida para chegar à
fórmula que você já conhece.
Calculando áreas e volumes
12. Uma aluna deduziu a fórmula da área desta figura:
8. Qual é a área de um quadrado circunscrito a um a A=a⋅b+d⋅e
círculo de raio 7,5 cm? Veja o que é polígono
b
circunscrito no dicionário. c
f
9. Veja esta decomposição seguida de uma recom- d
posição:
e
a) Qual foi o raciocínio feito pela aluna? Res-
h y ponda com uma figura.
b) Deduza outra fórmula para a área da figura.
x
13. Na figura, a medida do lado do quadrado menor é .
x
O lado do quadrado externo é 30 % maior. Qual é
o aumento porcentual da área do quadrado menor
em relação à do maior?
T h h y

y h

x

Copie e complete em seu caderno:
a) No paralelogramo, a altura mede h, a base
mede e o outro lado mede .
b) Fazendo a translação do triângulo T, como
mostra a figura, obtemos um cujos lados
medem e .
c) A área desse retângulo é .
d) Como o retângulo e o têm áreas , con-
cluímos que a área do paralelogramo é .

278

capítulo

5 ESTATÍSTICA
Contando possibilidades a) Em seu caderno, copie e complete a tabela.
Ela contém os 36 casos possíveis no lança-
1. Responda em seu caderno: mento de dois dados.
a) Carla tem cinco blusas e três saias. De quantas b) Quantas vezes o número 12 aparece na tabela?
maneiras diferentes ela pode combinar essas c) Qual é a chance de se obter o produto 12?
peças? d) Quais são os produtos com maiores chances
b) Além de cinco blusas e três saias, Maria tem de serem obtidos?
ainda dois pares de sapato. Considerando sai- e) Qual é a chance de o produto ser um número
as, blusas e pares de sapato, quantas são as ímpar?
possibilidades?
f) Qual é a chance de ele ser par?
2. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 quantos números g) Qual é a chance de o produto ser um número
naturais diferentes, de quatro algarismos, exis- maior que 18?
tem, podendo repetir os algarismos?
6. Vou jogar um dado três vezes e multiplicar os
pontos obtidos. Se o resultado for par, eu ganho.
3. Serão sorteadas quatro bo-
a) Em seu caderno, copie e complete a árvore
las, uma de cada vez, para
que dá todos os resultados possíveis:
formar um número de qua-
tro algarismos. As bolas
sorteadas não serão repos-
2 4 1
tas na urna. 3

a) Quais destes números poderiam ser obtidos
no sorteio: 4 231, 4 332, 1 243, 1 321.
b) Se o primeiro algarismo sorteado é 2, quantas b) Qual é a chance de eu ganhar esse jogo de
possibilidades há para o segundo número sor- par ou ímpar?
teado?
c) Escreva todos os números começados com o 7. Roberto comprou três bilhetes de uma rifa, que
algarismo 2 que podem ser formados no sor- só correrá depois que todos os 100 bilhetes fo-
teio. rem vendidos.
d) Nesse sorteio, quantos números diferentes a) Qual é a chance de Roberto ser o primeiro
podem ser formados? sorteado?
b) Esta é mais difícil: qual é a chance de Roberto
4. Com tecidos de cor branca, preta, amarela e azul, ser o primeiro sorteado e também o segundo
quantas bandeiras de três faixas de cores diferen- sorteado?
tes podem ser criadas?
8. Maria Rita tira da estante uma coleção de cinco livros
numerados (volume 1, volume 2, etc.) e, depois de
Chance e estatística consultá-los, guarda-os na estante ao acaso. Qual é
a probabilidade de que ela tenha colocado os livros
5. Foram lançados dois dados e os pontos sorteados na ordem certa (primeiro o 1, depois o 2, etc.)?
foram multiplicados: Dica: calcule de quantas maneiras os livros podem
dado 2 ser ordenados; para a 1a posição, há 5 possibilidades;
dado 1 1 2 3 4 5 6 para a 2a posição, há só 4, porque um deles já foi
colocado; e assim por diante.
1 1 2 3 4
2 2 4 6
Amostras
3
4 9. Neste exercício, você vai realizar um experimento
para estudar o conceito de amostra. Separe 200
5
grãos de feijão preto e 100 grãos de feijão roxinho.
6 Não tendo feijões, use papeizinhos: 100 com marca
e 200 sem marca.


a) Retire uma amostra de 15 feijões, escolhidos 11. Aproximadamente, quantos pontinhos há neste
ao acaso. Em seu caderno, copie e preencha retângulo?
uma tabela como esta:

Número de grãos de feijão preto ////
Número de grãos de roxinho ////
Total 15

b) Recoloque a amostra no saquinho, misture os
feijões e retire uma amostra de 36 feijões.
Em seu caderno, copie e preencha uma tabela a) Obtenha o total de pontinhos estatisticamente:
como a anterior.
• conte o número de pontinhos da amostra,
c) De acordo com a amostra de 15 feijões, quan- que é o quadradinho de 1 cm2;
tos feijões de cada tipo deveria haver na po-
• meça os lados e calcule a área do retângulo;
pulação de 300 feijões?
• o restante é com você.
d) Responda a mesma pergunta para a amostra
de 36 feijões. b) Multiplique o número de pontos de uma linha
pelo número de linhas para obter o total de
e) Qual das duas amostras reflete melhor a reali-
pontinhos. O resultado obtido na amostra é pró-
dade da população?
ximo do resultado obtido pela multiplicação?
f) Neste caso, a amostragem funcionou?
12. Um biólogo capturou 50 gaivotas de uma ilha,
10. Na situação do exercício anterior, seria possível marcou-as e soltou-as. Tempos depois, o biólogo
haver 15 feijões roxinhos na primeira amostra? A capturou 80 gaivotas, das quais 23 estavam
chance de que isso ocorra é grande ou pequena? marcadas. Estime a população de gaivotas da ilha.

capítulo

6 EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2o GRAU

A fórmula de Bhaskara Sistemas de equações
1. Resolva as equações em seu caderno, sem usar a 5. Faça o que se pede:
fórmula de Bhaskara: a) Considere estes pares de números: (1; 2),
a) 2x2 – 14 = 0 c) 9x2 – 24x + 16 = 0 ⎛ 1 2⎞
(2; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 6), (6; 3), ⎝ ; ⎠
b) 3x2 + 8x = 0 d) 9x2 – 24x + 16 = 4 3 3
⎛ 2 ; 1⎞
e ⎝ 3 3⎠ . Supondo que o primeiro número
2. Usando a fórmula de Bhaskara, resolva as equa- do par é um valor de x e que o segundo número
ções em seu caderno: é um valor de y, quais pares são solução da
a) 2x2 + 11x + 5 = 0 c) 2x2 + x – 3 = 0 equação x = 2y? Dica: uma solução é o par (2; 1).
b) 2x2 + 9x –5 = 0 d) 5x2 + 4x – 1 = 0 b) Considere agora os pares de números: (2; 4),
(4; 2), (3; 6), (6; 3), (1; 5) e (5; 1). Quais
3. Faça os cálculos necessários para poder aplicar a deles são solução da equação x2 + y2 = 45?
fórmula de Bhaskara e resolva as equações: c) Escreva um par ordenado que é solução do
2
x +8 –x + 5 ⎧x = 2y
a) –2 = sistema de equações ⎨ 2 2
.
4 2 ⎩x + y = 45
2
x – 13
b)
4
–1 = x–5 6. Resolva em seu caderno o sistema de equações
⎧x + y
⎪ 5 x–y
= –
4. Encontre as medidas dos lados ⎨ 12 3 4 .
do triângulo: ⎪3x = 22 – 2y
⎩
x+2
x–2 7. Resolva em seu caderno os sistemas de equações:
⎧x – y = 3 ⎧2x + y = 5
a) ⎨ 2 b) ⎨
x ⎩ x + y2 = 17 ⎩4 xy = 12

280

No item b, pode-se representar por x o número de qualquer uma das três
bolas.
8.

Existe um retângulo cujo perímetro é 40 m e cuja a) 3 b)
8
área é 44 m2? Justifique sua resposta.
2 –1
: 15 2 +4 –2
Problemas
9. Qual é o número cujo quadrado somado com 4
resulta no seu quádruplo? . –2 :2
( )
5
10. Observe o circuito: 12 – 4 = 8 e, depois, 8 : 2 = 4
e, por fim, 4 . 3 = 12. c)
12 :2 .x

3 –4
–3

11. Se Luís der R$ 10,00 a João, ambos ficarão com a
4 8 mesma quantia de dinheiro. Entretanto, se João
:2 der R$ 10,00 a Luís, Luís ficará com o dobro de
João. Quanto tem cada um?

12. Num terreiro criam-se apenas porcos e galinhas.
Começando pelo No total, há 40 animais e 100 patas. Quantos
12 e efetuando as porcos são criados?
operações indicadas,
você volta ao 12. 13. Com os números x e y, inteiros, fiz estas contas:

x y x
+
2 7 y
170

Nos próximos circuitos, vale a mesma regra. O
desafio é descobrir os números dentro das bolas.
No último, há duas soluções. Que números são esses?
capítulo

7 GEOMETRIA DEDUTIVA
Matemática, detetives e dedução
1. Quatro pessoas vão a uma reunião. A secretária anota a hora de chegada de cada uma delas, mas não seus
nomes. Depois, descobre-se que a segunda pessoa a chegar (quem será?) cometeu um crime.
As quatro pessoas são interrogadas. Apenas a primeira pessoa a chegar diz a verdade. A segunda a chegar
mente para atrapalhar as investigações. A terceira e a quarta também mentem por medo de serem acusadas.
Não se sabe quem diz a verdade e quem mente.

A partir das declarações das pessoas, deduza quem cometeu o crime.


2. Uma bancária, uma comerciária, uma dentista e C
uma professora torcem para o Palmeiras. Sobre
essas amigas, sabe-se que:
• Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na caro- x
na de automóvel.
• O salário de Bela é maior do que o de Clara. 70°
• Freqüentemente, Ana vence Dália no xadrez. A
Q P 30°
• A bancária vai sempre a pé para o trabalho.
• A professora não mora perto da comerciária. B
• A única vez em que a dentista encontrou-se com
a professora foi no consultório, para o trata- Ângulos na circunferência
mento de uma cárie.
• O salário da professora é maior do que o da 10. Na figura, AB é diâmetro do círculo:
comerciária ou da dentista. P
Descubra as profissões das torcedoras do Pal-
meiras.
A B
O
3. Na figura, AÔB é um ângulo raso:

C

a) Qual é a medida do ângulo AÔB?
ˆ
b) Qual é a medida do ângulo P do triângulo
A APB? Explique sua resposta.
O
B
11. ˆ
O círculo da figura tem centro em P. Se LKM =
Prove que as bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔB ˆ ?
35°, qual é a medida de LMK
são perpendiculares.
K
4. Demonstre o seguinte fato:
Dados dois números naturais consecutivos, a diferen-
ça entre o quadrado do maior e o quadrado do menor P
é sempre uma unidade a mais que o dobro do L
menor. Por exemplo, dados 5 e 6, 62 – 52 = 2 × 5 + 1.
Sugestão: use álgebra para demonstrar esse fato. M

5. Considere três números naturais consecutivos. 12. Na figura, se a = 31°, quanto medem b e c?
Prove que a soma deles é sempre um número
múltiplo de 3.

Ângulos nos polígonos a
c

6. A medida do ângulo interno de um polígono regu- b
lar é igual a cinco vezes a medida de seu ângulo
externo. Qual é o número de lados desse polígono?
13. O círculo da figura tem centro em O.
7. Um polígono regular ABCDE... tem n lados. Os
prolongamentos dos lados AB e CD encontram-se
no ponto O. Sabendo que o ângulo BÔC mede 132°, a
descubra o valor de n. b O

8. Considere um hexágono regular ABCDEF. As 130°
bissetrizes dos ângulos internos de vértices A e C c
cortam-se no ponto M. Descubra a medida do
ângulo AMC .
ˆ
a) Qual é o valor de a?
9. ˆ
Na figura, CP é bissetriz do ângulo ACB . Descu- b) Determine b.
bra a medida x. c) Calcule c.

282

Paralelismo
r

14. Você sabe que duas retas paralelas cortadas por 5 6
uma transversal formam ângulos corresponden- s
tes iguais. x+2
x
t
x
b r // s

17. Copie a figura em seu caderno. Depois, transcre-
a va apenas as igualdades que são verdadeiras:
y
s a

x
Com base nesse fato, explique por que, na figura, m
valem as seguintes igualdades: p b
a) x = y b) a + b = 180° z
y
15. Na figura, M é ponto médio do lado AB e r // BC.
n

c
B

C
a // b // c
M
N
r
m x x y y z
A a) = d) = g) =
n y m n n p

Que relação existe entre as medidas de: m y n x
b) = e) =
a) AN e NC? b) MN e BC? p z m y

z m
16. Na figura, r // s // t. Use o teorema de Tales e c)
p
=
z
f) =
calcule x. n y p x

capítulo

8 MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA
Produção e proporcionalidade a (m) b (m) c (m) P (R$)
1 2 0,5 2 000
1. Um mestre-de-obras foi até uma loja de ferragens 2 2 0,5 ////////
comprar 2 000 parafusos iguais. Em vez de contar 2 2 2 ////////
um a um, o balconista colocou 10 parafusos em //////// 2 4 16 000
uma balança e verificou que pesavam 120 g. Fez 1 //////// 1 16 000
os cálculos necessários e entregou ao mestre-de-
obras 12 pacotes de mesmo peso. Quanto pesava
cada pacote?
4. Em determinada situação-problema, há três variá-
veis: x, y e z. Sabe-se que x é diretamente propor-
cional a y quando z é constante. Sabe-se, também,
2. Oito costureiras produzem 320 agasalhos em seis que y é inversa- x y z
dias de trabalho. Quantas costureiras seriam ne- mente proporcional
cessárias para produzir 480 agasalhos em apenas 10 20 100
a z, quando x é cons- 20 //////// 100
quatro dias? tante. Em seu ca- //////// 30 100
derno, copie e com- ////////
3. 1 m3 de certa madeira custa R$ 2 000,00. Uma plete a tabela, calcu-
15 15
prancha dessa madeira, com dimensões a, b e c, 15 //////// 50
lando mentalmente: 30 //////// 50
custa P. Em seu caderno, copie e complete a tabela:


Juros 12. Em meu colégio há 160 alunos de 8a série. Todos
responderam a uma pesquisa em que deveriam
5. Qual é a taxa de juros simples mensal que faz um citar dois astros da música. Veja o resultado: Jor-
capital de R$ 30 000,00 render R$ 3 600,00 em ge Benjor foi citado por 40 % dos alunos, Madonna
um ano? por 35 %, Caetano Veloso por 25 %, Michael
Jackson por 20 %, etc.
6. Um eletrodoméstico custa R$ 84,90 à vista. A a) Quantos alunos citaram Jorge Benjor?
loja oferece outra opção de pagamento: pagar
b)
em 30 dias com um cheque pré-datado no valor
de R$ 90,00. Nesse caso, que juro a loja estará
cobrando?

7. Qual é o capital que produz o montante de
R$ 22 320,00 a uma taxa de 4 % a.m. durante
seis meses?

8. Dorinha quer comprar um aparelho de som que custa
Você viu o que disse seu colega? Há algo er-
R$ 322,00 à vista ou R$ 330,00 em duas parcelas
rado na pesquisa?
iguais de R$ 165,00, a primeira a ser paga no ato
da compra e a segunda a ser paga 30 dias depois. c) O compositor Beethoven (1770-1827) foi ci-
Embora tenha R$ 450,00 depositados na poupança, tado por 2,5 % dos alunos. Quantos são esses
ela optou pelo parcelamento, porque a remuneração alunos?
da poupança seria de 0,98 % naqueles 30 dias.
Feita essa opção, Dorinha ganhou ou perdeu di-
13. Ao cobrar a energia elétrica fornecida aos consu-
midores, as companhias de eletricidade acrescen-
nheiro? Quanto?
tam o imposto sobre a circulação de mercadorias.
Em certos locais do país, o imposto corresponde
Problemas variados a 25 % do total a pagar, o que não é 25 % do
valor da energia fornecida, como seria de se es-
9. Comprei uma mercadoria no valor de R$ 558,00,
perar. Veja por quê:
que deverei pagar em três prestações iguais, sen-
do a primeira delas no ato da compra. O frete de valor da energia + imposto = total a pagar x
R$ 40,00 é cobrado à parte e deve ser pago à Como o imposto incide sobre o total a pagar, temos:
vista no ato da compra. Qual é o valor de cada valor da energia + 25 % de x = x
um dos três pagamentos que devo fazer?
Nessas condições:
10. Copie e complete em seu caderno, calculando men- a) O valor da energia corresponde a que porcen-
talmente: tagem do total a pagar?
a) 10 % de 480 dá . b) O imposto corresponde a que porcentagem do
5 % de 480 dá . valor da energia?
15 % de 480 dá . Dica: considere x = 100.

b) 25 % de 800 dá .
75 % de 800 dá .
c) 22 em 50 é o mesmo que em 100.
22 correspondem a % de 50.
d) 1 em 5 é o mesmo que em 100.
1 corresponde a % de 5.

11. Escreva na forma de porcentagem:

35
a) e) 0,10
100
355
b) f) 0,01
1 000
c) 17, 5 g) 1
100
d) 0,1 h) 1,15

284

capítulo

9 TRIGONOMETRIA

Medindo o que não se alcança 6. Responda em seu caderno:
a) Num triângulo retângulo em que um ângulo
1. Qual é a altura aproximada da torre? mede 5°, o cateto oposto a ele corresponde a
qual porcentagem do cateto adjacente a esse
ângulo?
b) Qual é essa porcentagem quando o ângulo
mede 45°?
35° c) E quando o ângulo mede 65°, qual é essa por-
1,7 m centagem?

18,3 m Razões trigonométricas
2. No triângulo retângulo ALI, a hipotenusa AL mede 7. Consulte as tabelas e encontre o valor aproxima-
10 cm e o cateto LI mede 5 cm. do da medida x.
a) Calcule a medida do outro cateto, usando o a)
teorema de Pitágoras. x

b) Calcule tgÂ. 25°

c) Qual é a medida de Â? 7 cm

3. Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira? 10 cm
5,7 cm

b) x

8. Na figura, vale a fórmula a ⋅ h = b ⋅ c, que você já
25° conhece. Vamos deduzi-la novamente usando ago-
1,6 m ra a trigonometria. Se quiser explorar mais o
raciocínio dedutivo, pro-
A ponha que se demonstre
35,5 m que h2 = mn ou, ainda,
sen Bˆ
4. Num certo instante, um muro de 1,82 m de altura
b
ˆ
que tgB =
cos Bˆ
.
projeta uma sombra de 6,80 m de largura. c h

n m
B H C
a

1,82 m Em seu caderno, faça o seguinte:
ˆ
• dê o valor de sen B no triângulo ABC;
ê 6,80 ˆ
• dê o valor de sen B no triângulo ABH;
• a partir do que você obteve, tire a conclusão
Qual é, nesse instante, a medida aproximada do pedida.
ângulo ê de elevação do Sol? b
= c
5. ˆ
No triângulo retângulo REI, E = 90° , RE = 10 cm
a
b
a

e EI = 21,4 cm. a= a
c
ˆ
a) Calcule tg R . c c

ˆ b c= a c
b) Qual é a medida aproximada do ângulo R ? c
ˆ
c) Qual é a medida aproximada de I ? b c= a


9. Nesta figura, são conhecidos dois lados do triân- a) Desenhe o polígono regular inscrito de 10 la-
gulo e o ângulo formado por eles. dos.
A b) Desenhe o polígono regular circunscrito de 5
lados.
9 cm
13. Um hexágono regular está inscrito numa circun-
ferência com diâmetro de 18 cm.
30°
B C a) Quanto mede o lado do hexágono?
12 cm
b) Quanto mede cada uma das diagonais maio-
a) Copie a figura em seu caderno e desenhe a res desse hexágono?
altura perpendicular ao lado BC.
No problema 14, o ob-
b) Use razões trigonométricas e calcule a medi- 14. Em seu caderno, desenhe o triângulo eqüilátero
jetivo é, mais uma vez,
desenvolver métodos. da dessa altura. XIS, inscrito numa circunferência de centro O.
Por isso, nesse caso, o Calcule diretamente a medida do lado do triân-
aluno não deve apenas c) Calcule a área do triângulo.
gulo, supondo que o raio da circunferência é de
aplicar as fórmulas já
5 cm. Escrevemos “diretamente” para que você
conhecidas. 10. Para vencer o desnível de 3,15 m, vai ser construí- não use resultados de problemas anteriores.
da uma rampa com inclinação de 15°. Com que
comprimento a rampa ficará?
15. Um quadrado está inscrito num círculo de raio r.
Calcule a área do quadrado em função de r.

16. Um hexágono regular está circunscrito a um cír-
culo de raio r. Calcule, em função de r:

3,15 m
O
15°
r

11. ˆ
Num triângulo ABC, Â = 30°, B = 90° e AB = 6 cm. A B
Calcule BC e AC. Para responder, use os valores
exatos das razões trigonométricas. Dê as respostas a) o lado do triângulo eqüilátero OAB;
após racionalizar os denominadores. b) a área do triângulo OAB;
c) a área do hexágono.
Polígonos inscritos e circunscritos
17. Invente um problema sobre polígonos inscritos
12. Em seu caderno, trace uma circunferência com em um círculo ou circunscritos a ele. Depois, re-
raio de 5 cm. Divida-a em 10 partes iguais. solva-o.

capítulo

10 FUNÇÕES
Funções, suas tabelas e suas fórmulas 2. A primeira fila de um auditório tem 10 poltronas.
Cada fila subseqüente tem duas poltronas a mais.
1. Um taxímetro foi aferido de acordo com esta fór- a) Quantas poltronas tem a décima fileira?
mula: b) Se f representa o número da fileira e p é o
y = 1,10 · x + 2,15 número de poltronas na fileira, p é função de
f. Qual é a fórmula dessa função?
preço em número de valor fixo da c) Se a última fileira tem 100 poltronas, quantas
reais quilômetros bandeirada fileiras tem o auditório?
rodados

a) O preço da corrida é função de que grandeza?
b) De acordo com a fórmula, uma corrida de 0 km
não é gratuita. Por que não?
c) Se uma corrida custar R$ 22,50, quantos qui-
lômetros o táxi rodará?

286

3. Este é um desafio! Observe a seqüência de figuras: 10. Um reservatório cilíndrico de al-
tura a (em cm), com capacidade
figura 2 máxima de 100 L, vai ser usado
figura 1 pela primeira vez. Para enchê-lo, a
abriu-se uma torneira que despe-
x
ja 10 L de água por minuto.

4 10 Qual dos gráficos seguintes expressa corretamen-
te a variação da altura x da coluna de água em
função do tempo t?
figura 4
(I)
x (cm)
figura 3 a

O 10 t (min)
(II)
x (cm)
18 28 a

a) A figura 2 é formada por 10 palitos de fósfo-
ro. Quantos palitos há na figura 5? O 10 t (min)
b) Quantos palitos há na figura 10? (III)
x (cm)
c) Encontre a fórmula que dá o número P de pali- a
tos de cada figura em função de seu número n.

4. Somente uma das fórmulas corresponde aos valo-
res da tabela. Descubra qual delas.
O 10 t (min)
x y a) y = x3 – 3x
0 0 b) y = x2 – 3x
11. Um reservatório cônico de altura
a (em cm), com capacidade má-
1 –2 c) y = –2x xima de 100 L, vai ser usado pela
–1 2 primeira vez. Para enchê-lo, abriu- a
d) y = x3 – 3x2
2 2 se uma torneira que despeja 10 L x
–2 –2 de água por minuto.

Funções e seus gráficos Qual dos gráficos seguintes expressa corretamente
a variação da altura x da coluna de água em fun-
5. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada pela ção do tempo t?
fórmula y = 3x + 1, sendo x um número qualquer. x (cm)
(I)
a
6. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada
por y = x2 – 4x + 3, sendo x um número qualquer.

7. Quais são as coordenadas do ponto mais “baixo” O 10 t (min)
atingido pela parábola que representa a função x (cm)
(II)
da questão anterior? a

8. O gráfico da função dada pela fórmula y = x2 – 8x
é uma parábola. Determine as coordenadas dos
pontos em que essa parábola corta o eixo hori- O 10 t (min)
zontal. x (cm)
(III)
a
Usando funções
9. Determine o valor máximo de y na função dada
O 10 t (min)
por y = –x2 + 6x.


12. Os recipientes cilíndricos A, B e C, que têm altura a e raios da base respectivamente iguais a r, 2r e 3r, estão
vazios. As torneiras que os abastecem estão igualmente reguladas para despejar o mesmo número de litros de
água por minuto.

a a

A B C

Os gráficos mostram a variação da altura x da coluna de água em função do tempo t. Associe cada recipiente ao
gráfico correspondente a ele:

x (I) x (II) (III)
x
a a a

O b t O 9b t O 4b t

capítulo

11 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Simetrias 3. Veja como se constrói a imagem do triângulo ABC
por uma simetria central de centro O. Repare que
1. Observe a figura e sua ficha: não é preciso traçar ângulos de 180o.
C

e1 e2 A
Tem simetria axial (três eixos).
Não tem simetria central.
Tem simetria 120° rotacional.
B
e3

O
Faça a ficha destas figuras em seu caderno:
a) c)
B'

A'

C'
b) d)
Com base no exemplo, construa a imagem do qua-
drilátero ABCD pela simetria de centro O. As me-
didas ficam por sua conta.
B

2. Faça em seu caderno um desenho à mão livre e,
depois, a ficha da figura, como no exercício ante- D
rior: A
a) retângulo c) losango O
b) quadrado d) pentágono regular C

288

4.

Tendo metade da figura e seu eixo de simetria, 6. Este trabalho de arte óptica é 72° rotacional, ou
obtém-se a outra metade traçando perpendicula- seja, tem simetria de rotação de 72°. Faça em
res e medindo distâncias iguais. seu caderno um desenho desse tipo que seja 60°
rotacional.
e

7. Observe a barra decorativa:

e

Nesta barra há:

simetria axial translação

a) Crie uma barra decorativa com translação e
Use esse processo para criar uma figura com um
simetria axial.
só eixo de simetria.
b) Crie outra com translação e simetria central.
5. Tendo metade da figura e um centro de simetria, c) Agora um desafio: crie uma barra com trans-
faz-se a outra metade marcando distâncias iguais. lação, simetria axial e simetria central.
O símbolo seguinte, que identifica uma certa
empresa, foi criado segundo esses métodos:
Dá para construir?

8. Em seu caderno, desenhe:
a) um quadrilátero ABCD, com AB = 35 mm,
BC = 40 mm, CD = 32 mm e DA = 31 mm.
b) outro quadrilátero, diferente do anterior, com
as mesmas medidas para os lados.

9. Um triângulo está determinado quando os dados
conhecidos permitem construir um único triân-
gulo. Aqui, não estamos levando em considera-
ção a posição do triângulo. Quais destes triângu-
los estão determinados?
a) AB = 7 cm, BC = 5 cm e CA = 6 cm.
b) AB = 50 mm e BC = 65 mm.
ˆ
c) AB = 50 mm, B = 55° e BC = 65 mm.

Crie um símbolo com simetria central para uma d) AB = 6,5 cm, BC = 3,8 cm e CA = 1,4 cm.
empresa de transportes aéreos. ˆ
e) B = 35°, BC = 6 cm e CA = 4 cm.


10. Em cada caso, responda sim se os elementos for- em que a peça esteja à direita e acima dos olhos
necidos determinam a figura (sem levar em con- do observador. Desenhe também as arestas “es-
sideração sua posição). Em caso contrário, res- condidas”.
ponda não e apresente um argumento para justi-
ficar sua resposta.
a) Quadrado cujos lados medem 40 mm.
b) Losango cujos lados medem 30 mm.
c) Pentágono regular de lados iguais a 6 cm.
d) Pentágono eqüilátero de lados iguais a 34 mm.
e) Triângulo eqüilátero cujos lados medem 25 cm.
f) Triângulo isósceles cuja base mede 5 cm. 14. Imagine uma pilha com nove caixas iguais, com a
forma do bloco retangular. Desenhe em seu caderno:
11. Observe esta logomarca, construída a partir de a) uma perspectiva da pilha usando dois pontos
um quadrado: de fuga;
b) as três vistas simplificadas da pilha.

15. Observe a peça formada pela justaposição de um
cubo com a metade de outro cubo:
B
A C

D
F
G

Quais medidas devem ser definidas para que essa E
figura fique determinada?

H
Desenhando em 3D
Classifique cada afirmação como verdadeira ou
falsa:
12. Desenhe em seu caderno a perspectiva de um bloco
a) O plano da face ABCD é perpendicular ao pla-
retangular, usando apenas um ponto de fuga.
no da face ADHE.
Imagine o bloco acima dos olhos e à esquerda do
observador. b) A reta BC é paralela à reta EH.
c) O plano DCGH é perpendicular ao plano EFGH.
13. Nessa perspectiva, a peça está à esquerda e abaixo d) A reta AE é perpendicular à reta EF.
dos olhos do observador. Faça outra perspectiva e) A reta AE é perpendicular à reta AD.

capítulo

12 CÍRCULO E CILINDRO

Perímetro e área do círculo 3. Faça o que se pede:
a) Usando os instrumentos de desenho, cons-
1. O raio de um círculo mede 5 cm. Calcule o valor trua uma figura como esta, formada por um
aproximado: quadrado e quatro semicírculos. Não vale usar
a) de seu perímetro; papel quadriculado.
b) de sua área. b) Calcule a área aproximada da figura. Conside-
re π ≈ 3,14.
2. O diâmetro da Lua é de 3 476 km. Calcule o com- c) Construa uma figura criada por você, mas que
primento aproximado do equador lunar. não tenha apenas linhas retas.

290

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