Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

Interpolacion Hermite

15.529 visualizaciones

Publicado el

interpolacion de hermite basico

Publicado en: Educación, Tecnología
  • Sé el primero en comentar

Interpolacion Hermite

  1. 1. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Programación y Métodos Numéricos Programación y Métodos Numéricos Interpolación polinómica de Hermite: Interpolación polinómica de Hermite: PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER PLANTEAMIENTO Y CASO DE PRIMER ORDEN ORDEN Alfredo López Benito Carlos Conde Lázaro Arturo Hidalgo López Marzo, 2007 120 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  2. 2. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas OBJETIVOS OBJETIVOS 1º. Conocer el problema de interpolación de Hermite. 2º. Calcular el polinomio interpolador de Hermite que ajuste sobre un soporte dado el valor de una función y el de sus primeras derivadas. 121 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  3. 3. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Problema general de interpolación de Hermite Problema general de interpolación de Hermite Dados (n+1) puntos distintos {xo, x1, ..., xn} y (n+1) números enteros no negativos {α0, α1, ..., αn} n denotando por m al valor:m = n + ∑ αi i= 0 y siendo f(x) una función de la que se conoce, en cada punto xi , su valor y el de sus αi primeras derivadas, ENCONTRAR un polinomio pm(x) de grado menor o igual que m verificando las (m+1) igualdades siguientes: pm ( j (xi ) = f ( j ( xi ) = f ( j (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) i 122 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  4. 4. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Problema general de interpolación de Hermite Problema general de interpolación de Hermite Teorema Existe un único polinomio pm(x) que es solución del problema general de interpolación polinómica de Hermite Demostración: (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) ∃ !pm ∈ Pm / pm (xi ) = fi( j (j El sistema pm ( xi ) = fi (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) admite solución única (j (j El sistema pm (xi ) = 0 (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) sólo tiene soluc. trivial (j 123 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  5. 5. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Problema general de interpolación de Hermite Problema general de interpolación de Hermite Si pm (xi ) = 0 (j = 0, ..., αi); (i = 0, ..., n) (j xi es raíz con multiplicidad (αi +1) de pm(x) (i = 0, ..., n) n pm (x ) = q(x )·∏ (x − xi )αi +1 q≡0 pm ≡ 0 i= 0 ∈Pm ∈Pm+1 c.q.d. 124 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  6. 6. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo Determinar el polinomio interpolador de Hermite de la función f(x) = cos(x) en el soporte {0, π /2, p} para los enteros {2, 0, 1} x0 x1 x2 α0 α1 α2 Solución n Grado del polinomio interpolador: m = n + ∑ αi = 2 + 2 + 0 + 1 = 5 i= 0 p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5 125 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  7. 7. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo {0, π /2, π} , {2, 0, 1} p5(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5 p5(0) = cos(0) a0 =1 p5’(0) = -sen(0) a1 =0 p5”(0) = -cos(0) 2·a2 = -1 a0 +a1·(π/2) + a2·(π/2)2 + a3·(π/2)3 + a4·(π/2)4 + a5·(π/2)5= 0 p5(π/2) = cos(π/2) p5(π) = cos(π) + a2·(π)2 + a3·(π)3 + a4·(π)4 + a5·(π)5 =- 1 a0 +a1·(π) p’5(π) =-sen(π) +2·a2·(π) +3·a3·(π)2 + 4·a4·(π)3 +5·a5·(π)4 = 0 a1 ⎡1 0⎤ 0 0 0 0 ⎧1⎫ ⎧ a0 ⎫ ⎢0 0⎥ ⎪0⎪ ⎪a ⎪ 1 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ 1⎪ ⎢0 0⎥ 0 2 0 0 ⎪− 1⎪ ⎪ a2 ⎪ ⎢ 5⎥ ⎨ ⎬ =⎨ ⎬ 2 3 4 π ⎛π⎞ ⎛π⎞ ⎛π⎞ π⎞ ⎥ ⎛ ⎢1 ⎪0⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 ⎪ − 1⎪ ⎪a4 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ π π2 π3 π4 π5 ⎥ ⎢1 ⎩0⎭ ⎩ a5 ⎭ ⎢0 5·π 4 ⎥ 2·π 3·π 2 4·π 3 ⎣ ⎦ 1 126 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  8. 8. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo ⎧ ⎫ a0 1 p5 ⎪ ⎪ a1 0 ⎪ ⎪ cos(x) ⎪ −1/ 2 ⎪ a2 ⎪ ⎪ ⎪ 2· π − 10 ⎪ 2 a3 =⎨ π3 ⎬ ⎪ ⎪ 5 12 − π 2 ⎪ ⎪· a4 ⎪ 2 π4 ⎪ π 2 − 12 5 12 − π 2 ⎪ π 2 − 12 ⎪ · π5 ⎪ ⎪ 2 π4 a5 ⎪ ⎪ π ⎩ ⎭ 5 p5(x) = 1 – (½)·x2 + a3·x3 + a4·x4 + a5·x5 π 2 − 10 2· π3 127 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  9. 9. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Problema de interpolación polinómica de Problema de interpolación polinómica de Hermite de primer orden Hermite de primer orden Dados (n+1) puntos distintos {xo, x1, ..., xn}, denotando por m al valor: m = 2·n+1 , y siendo f(x) una función de la que se conoce en cada punto xi del soporte su valor f(0i y el de su primera derivada f(1i, ENCONTRAR un polinomio pm(x) de grado menor o igual que m verificando las (m+1) igualdades siguientes: pm (xi ) = fi(0 (i = 0, ..., n) p 'm (xi ) = f (1 i 128 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  10. 10. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Teorema Existe un único polinomio pm(x) que es solución del proble- ma de interpolación polinómica de Hermite de primer orden. Además n n (Fórmula de inter- pm (x ) = ∑ fi(0 ·Hi,0 (x) + ∑ fi(1·Hi,1(x ) polación de Hermite) i= 0 i= 0 donde: Hi,0 (x ) = [1 − 2·(x − xi )·L 'i (xi )]·(Li (x ))2 (i = 0, ..., n) Hi,1 (x ) = (x − xi )·(Li (x ))2 siendo Li(x) el i-ésimo polinomio de base de Lagrange: n x−x Li ( x ) = ∏ j j= 0 x i − x j j≠ i (Polinomios de base de Hermite) 129 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  11. 11. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo Calcular el polinomio interpolador de Hermite de una función de la que se conocen los siguientes valores: f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = (8)1/2 f’(0) = 0 f’(1) = 3/2 f’(2) = 3 / (2)1/2 Solución: Soporte: {0 , 1, 2} 1 1 L1(x ) = − x 2 + 2·x L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L2 (x ) = ·(x 2 − x) 2 2 1 3 3 3 L '2 ( x ) = x − → L '2 (2) = L '0 ( x ) = x − → L '0 (0) = − 2 2 2 2 L '1 (x ) = −2·x + 2 → L '1(1) = 0 130 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  12. 12. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo Soporte: {0 , 1, 2} 1 1 L1(x ) = − x 2 + 2·x L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L2 (x ) = ·(x 2 − x) 2 2 3 3 L '1 (1) = 0 L '0 (0) = − L '2 (2) = 2 2 ⎡ −3 ⎞ ⎤ ⎛ 1 2 2 ⎛ ⎞ H0,0 (x ) = [1 − 2·(x − x 0 )·L '0 (x 0 )]·( L0 (x) ) = ⎢1 − 2·x·⎜ 2 ·⎜ ·(x − 3·x + 2) ⎟ = ⎟⎥ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎣ 3·x 5 − 17·x 4 + 33·x 3 − 23·x 2 + 4 = 4 H1,0 ( x ) = [1 − 2·(x − x1 )·L '1 (x1 )]·( L1(x) ) = ⎡1 − 2·(x − 1)·( 0 ) ⎤·( − x + 2·x ) 2 2 2 = ⎣ ⎦ = x 4 − 4·x 3 + 4·x 2 ⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ ⎛ 1 2 2 ⎞ H2,0 (x ) = [1 − 2·(x − x 2 )·L '2 (x 2 )]·( L2 (x) ) 2 = ⎢1 − 2·(x − 2)·⎜ ⎟ ⎥·⎜ ·(x − x) ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎣ −3·x 5 + 13·x 4 − 17·x 3 + 7·x 2 = 4 131 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  13. 13. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo H0,0(x) H1,0(x) H2,0(x) 132 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  14. 14. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo Soporte: {0 , 1, 2} 1 1 L0 (x ) = ·(x 2 − 3·x + 2) L1(x ) = − x 2 + 2·x L2 (x ) = ·(x 2 − x) 2 2 2 ⎛1 2 ⎞ x − 6·x + 13·x 3 − 12·x 2 + 4·x 5 4 H0,1(x ) = (x − x 0 )·( L0 (x ) ) = x·⎜ ·(x − 3·x + 2) ⎟ = 2 ⎝2 ⎠ 4 = (x − 1)·( − x + x ) = x 5 − 5·x 4 + 8·x 3 − 4·x 2 H1,1(x ) = (x − x1 )·( L1(x ) ) 2 2 2 2 ⎛1 ⎞ x 5 − 4·x 4 + 5·x 3 − 2·x 2 H2,1(x ) = (x − x 2 )·( L2 (x ) ) = (x − 2)·⎜ ·(x 2 − x) ⎟ 2 = ⎝2 ⎠ 4 H0,1(x) H1,1(x) H2,1(x) 133 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  15. 15. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas Ejemplo Ejemplo 2 2 ∑ f ·Hi,0 (x) + ∑ fi(1 ·Hi,1 (x ) p5 (x ) = (0 i i= 0 i= 0 3 3 = 0·H0,0 (x ) + 1·H1,0 (x ) + 8 ·H2,0 (x ) + 0·H0,1(x ) + ·H1,1 (x ) + ·H2,1 (x ) 2 2 ⎛3 9⎞5⎛ 13 ⎞ 4 ⎛ 53 ⎞ 3 ⎛ 11 ⎞ =⎜ − ·x + ⎜ 5· 2 − ·x + ⎜ 8 − ·x + ⎜ − 2 ⎟·x 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 4· 2 ⎠ ⎝ 4· 2 ⎠ ⎝ 2· 2 ⎠ f(x) p5(x) Función de error 134 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
  16. 16. Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas 135 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

×