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Trigonometría . Teoría
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MATEMÁTICAS
TEMA 8
Trigonometría . Teoría
2
MATEMÁTICAS
TEMA 8
1.- Los triángulos semejantes
Decimos que dos triángulos son semejantes cuando sus lados correspondientes son
proporcionales y sus ángulos son iguales.
Para saber si estos dos triángulos son semejantes, hemos de analizar sus lados y sus
ángulos.
Si sus lados son proporcionales, se han de cumplir estas proporciones:
Si los triángulos son semejantes, se han de cumplir estas igualdades entre los ángulos:
1.1.- Aplicaciones de la semejanza
La semejanza de figuras, en especial la de triángulos, nos ayuda a resolver numerosos
problemas originados en situaciones cotidianas como:
 El cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.
 El cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo.
Vamos a resolver un caso de imagen reflejada, para ilustrar la aplicación de la semejanza.
Rosa ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. La altura de sus ojos desde el
suelo es de 1,6 m y el espejo se encuentra a una distancia de 3 m de sus pies y a 15,6 m del
edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?.
Para resolver este problema, hacemos primero un esquema con todos los valores:
Trigonometría . Teoría
3
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Observamos que los dos triángulos son semejantes y, por tanto, sus lados son
proporcionales. Escribimos las relaciones de proporcionalidad derivadas de la semejanza entre
los dos triángulos:
2.- Los triángulos rectángulos
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo de 90°.
Observa este triángulo rectángulo, con un ángulo de 90°.
Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto es
la hipotenusa del triángulo.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si:
 Tienen un ángulo agudo igual.
 Sus catetos son proporcionales.
El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Trigonometría . Teoría
4
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Observa los elementos de un triángulo rectángulo y la fórmula del teorema de Pitágoras.
Las aplicaciones del teorema de Pitágoras

Calcula la altura del siguiente triangulo isósceles:
Toma nota de los valores de los lados para calcular la altura de este triánguloisósceles.
Así pues, la altura del triángulo es de 3,61 cm.
3.- Las razones trigonométricas
La trigonometría establece relaciones matemáticas entre las longitudes de los lados de un
triángulo y las amplitudes de sus ángulos, de manera que es posible calcular unas a partir de
los datos de las otras.
El estudio de las razones trigonométricas se basa en la semejanza de triángulos. Decimos
que dos triángulos son semejantes entre sí cuando sus ángulos son iguales y sus lados
homólogos son proporcionales.
En el caso de los triángulos rectángulos, son semejantes cuando tienen un ángulo agudo igual:
Los triángulos ABC, A′B′C y A″B″C son semejantes entre sí.
Trigonometría . Teoría
5
MATEMÁTICAS
TEMA 8
Por tanto, podemos establecer razones o cocientes entre los lados de los triángulos
rectángulos semejantes. Estas relaciones se denominan razones trigonométricas y son
constantes si el ángulo se mantiene constante, sea como sea el triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas entre los lados de los triángulos semejantes ABC, A′B′C y A″B″C.

Dado un triángulo rectángulo, se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo α a
los diversos cocientes entre las longitudes de los lados del triángulo:
Los lados del triángulo rectángulo se nombran en función de su ubicación respecto al ángulo α:
el lado a es la hipotenusa, el lado b es el cateto opuesto y el lado c es elcateto adyacente.
 El seno de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo α y la
longitud de la hipotenusa. De forma abreviada se escribe sen α.
.
 El coseno de α es el cociente entre la longitud del cateto adyacente al ángulo α y la
longitud de la hipotenusa. De forma abreviada, se escribe cosα.
Trigonometría . Teoría
6
MATEMÁTICAS
TEMA 8
.
 La tangente de α es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto
adyacente al mismo. De forma abreviada, se escribe: tg α.
.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de un
ángulo

Las razones trigonométricas de un ángulo no son independientes, sino que están
relacionadas entre sí. El conocimiento de las relaciones entre las razones
trigonométricas de un ángulo facilita el cálculo de las demás razones trigonométricas a
partir de una de ellas.
Las relaciones trigonométricas fundamentales son las siguientes:
 sen2
α + cos2
α = 1
 tg α = sen α/cos α
 1 + tg2
α = 1/cos2
α

Ejemplo:
Queremos calcular la altura de una torre, sabiendo que cuando nos separamos 30 metros de
su base, vemos la punta del campanario bajo un ángulo de 60°.
Resolvemos el ejercicio siguiendo estos pasos:
1. Identificamos los datos. Para ello, hacemos un esquema y vemos que:
 Distancia que nos separa de la base = cateto adyacente al ángulo de 60°.
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8 trigonimetria teoria

  • 2. Trigonometría . Teoría 2 MATEMÁTICAS TEMA 8 1.- Los triángulos semejantes Decimos que dos triángulos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos son iguales. Para saber si estos dos triángulos son semejantes, hemos de analizar sus lados y sus ángulos. Si sus lados son proporcionales, se han de cumplir estas proporciones: Si los triángulos son semejantes, se han de cumplir estas igualdades entre los ángulos: 1.1.- Aplicaciones de la semejanza La semejanza de figuras, en especial la de triángulos, nos ayuda a resolver numerosos problemas originados en situaciones cotidianas como:  El cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.  El cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo. Vamos a resolver un caso de imagen reflejada, para ilustrar la aplicación de la semejanza. Rosa ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. La altura de sus ojos desde el suelo es de 1,6 m y el espejo se encuentra a una distancia de 3 m de sus pies y a 15,6 m del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?. Para resolver este problema, hacemos primero un esquema con todos los valores:
  • 3. Trigonometría . Teoría 3 MATEMÁTICAS TEMA 8 Observamos que los dos triángulos son semejantes y, por tanto, sus lados son proporcionales. Escribimos las relaciones de proporcionalidad derivadas de la semejanza entre los dos triángulos: 2.- Los triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo de 90°. Observa este triángulo rectángulo, con un ángulo de 90°. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa del triángulo. Dos triángulos rectángulos son semejantes si:  Tienen un ángulo agudo igual.  Sus catetos son proporcionales. El teorema de Pitágoras  El teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
  • 4. Trigonometría . Teoría 4 MATEMÁTICAS TEMA 8 Observa los elementos de un triángulo rectángulo y la fórmula del teorema de Pitágoras. Las aplicaciones del teorema de Pitágoras  Calcula la altura del siguiente triangulo isósceles: Toma nota de los valores de los lados para calcular la altura de este triánguloisósceles. Así pues, la altura del triángulo es de 3,61 cm. 3.- Las razones trigonométricas La trigonometría establece relaciones matemáticas entre las longitudes de los lados de un triángulo y las amplitudes de sus ángulos, de manera que es posible calcular unas a partir de los datos de las otras. El estudio de las razones trigonométricas se basa en la semejanza de triángulos. Decimos que dos triángulos son semejantes entre sí cuando sus ángulos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales. En el caso de los triángulos rectángulos, son semejantes cuando tienen un ángulo agudo igual: Los triángulos ABC, A′B′C y A″B″C son semejantes entre sí.
  • 5. Trigonometría . Teoría 5 MATEMÁTICAS TEMA 8 Por tanto, podemos establecer razones o cocientes entre los lados de los triángulos rectángulos semejantes. Estas relaciones se denominan razones trigonométricas y son constantes si el ángulo se mantiene constante, sea como sea el triángulo rectángulo. Razones trigonométricas entre los lados de los triángulos semejantes ABC, A′B′C y A″B″C.  Dado un triángulo rectángulo, se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo α a los diversos cocientes entre las longitudes de los lados del triángulo: Los lados del triángulo rectángulo se nombran en función de su ubicación respecto al ángulo α: el lado a es la hipotenusa, el lado b es el cateto opuesto y el lado c es elcateto adyacente.  El seno de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo α y la longitud de la hipotenusa. De forma abreviada se escribe sen α. .  El coseno de α es el cociente entre la longitud del cateto adyacente al ángulo α y la longitud de la hipotenusa. De forma abreviada, se escribe cosα.
  • 6. Trigonometría . Teoría 6 MATEMÁTICAS TEMA 8 .  La tangente de α es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente al mismo. De forma abreviada, se escribe: tg α. . Las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo  Las razones trigonométricas de un ángulo no son independientes, sino que están relacionadas entre sí. El conocimiento de las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo facilita el cálculo de las demás razones trigonométricas a partir de una de ellas. Las relaciones trigonométricas fundamentales son las siguientes:  sen2 α + cos2 α = 1  tg α = sen α/cos α  1 + tg2 α = 1/cos2 α  Ejemplo: Queremos calcular la altura de una torre, sabiendo que cuando nos separamos 30 metros de su base, vemos la punta del campanario bajo un ángulo de 60°. Resolvemos el ejercicio siguiendo estos pasos: 1. Identificamos los datos. Para ello, hacemos un esquema y vemos que:  Distancia que nos separa de la base = cateto adyacente al ángulo de 60°.
  • 7. Trigonometría . Teoría 7 MATEMÁTICAS TEMA 8 Dibujamos un esquema del problema y, al lado, el triángulo rectángulo que esquematiza la situación. . 2. Identificamos las incógnitas:  Altura de la torre = cateto opuesto al ángulo de 60°. 3. Utilizamos una de las razones trigonométricas para calcular uno de los lados del triángulo rectángulo (el lado b, que coincide con la altura de la torre): El resultado es que la torre tiene una altura de 51,96 m.