1. BAHAN AJAR TRIGONOMETRI
Pengertian Trigonometri
Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat
Cartesis atau pada segitiga siku-siku. Jika didefinisikan pada segitiga siku-siku, maka
Perhatikan gambar ;
Sin α =b Cot α=a
c b
Cos α=a Sec α=c
c a
Tan α=b Cosec α=
a
c
Contoh : b
1. Diketahui segitiga ABC dengan sisi AB = 3 cm dan BC = 4 cm.
Tentukana:
a. Panjang AC !
b. Nilai perbandingan:
Sin α , Cos α , Tan α , Cot α , Sec α , dan Cosec α !
Jawab:
a. AC = AB 2 + BC 2
= 32 + 4 2
= 9 +16
= 25
=5
b. Sin α=4 Cot α=3
5 4
Cos α =3 Sec α =5
5 3
Tan α=4 Cosec α =5
3 4
2. 2. Jika Cos α= 2
dan 0o < α < 90o, tentukan nilai sin α dan tan α !
2
Jawab:
Cos α= 2
, maka
2
BC = AC 2 − AB 2
= 22 − ( 2 )
2
= 4 −2
= 2
Jadi, Sin α = BC = 2 1
= 2
AC 2 2
Tan α = BC = 2
=1
AB 2
B. NILAI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT ISTIMEWA
Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ( 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o ) adalah
sebagai berikut :
α Sin α cos α tan α cot α sec α cosec α
0o 0 1 0 ~ 0 ~
1 1 1 2
30o 3 3 3 3 2
2 2 3 3
1 1
45o 2 2 1 1 2 2
2 2
1 1 1 2
60o 3 3 3 2 3
2 2 3 3
90o 1 0 ~ 0 ~ 0
C. RUMUS SUDUT-SUDUT YANG BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
Tanda – tanda fungsi:
3. Kuadran
Fungsi
| || ||| lV
Sin + + - -
Cos + - - +
tan + - + -
Rumus trigonometri sudut berelasi:
• Kuadran | Kuadran |||
sin ( 90o - α o) = cos α o sin ( 180o + α o) = -sin α o
cos ( 90o - α o) = sin α o cos ( 180o + α o) = -cos α o
tan ( 90o - α o) = cot α o tan ( 180o + α o) = tan α o
cot ( 90o - α o) = tan α o cot ( 180o + α o) = cot α o
sec ( 90o - α o) = cosec α o
sec ( 180o + α o) = -sec α o
cosec ( 90o - α o) = sec α o
cosec ( 180o + α o) = -cosec α o
• Kuadran || Kuadran lV
sin ( 180o - α o) = sin α o sin ( 360o - α o) = -sin α o
cos ( 180o - α o) = -cos α o cos ( 360o - α o) = cos α o
tan ( 180o - α o) = -tan α o tan ( 360o - α o) = -tan α o
cot ( 180o - α o) = -cot α o cot ( 360o - α o) = -cot α o
sec ( 180o - α o) = -sec α o sec ( 360o - α o) = sec α o
cosec ( 180o - α o) = cosec α o
cosec ( 360o - α o) = -cosec α o
Contoh:
1
a. sin 150o = sin (180o - 30o) = sin 30o =
2
1
b. cos 225o = cos (180o + 45o) = - cos 445o = - 2
2
1
c. tan 150o = tan (180o - 30o) = - tan 30o = - 3
3
4. 1
d. cos 300o = sin (360o - 60o) = sin 60o =
2
D. RUMUS – RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI
sin α
tan α = sin2 α + cos2 α = 1
cos α
cos α
cot α = tan2 α + 1 = sec2 α
sin α
1
sec α = cot α + 1 = cosec2 α
cos α
1
cosec α =
sin α
Contoh :
1
Sederhanakanlah: !
tan α ⋅ cot α
Jawab:
1 1
1 cos α sin α
= sin α . cos α = . =1
tan α ⋅ cot α sin α cos α
cos α sin α
E..KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT CARTESIUS
1. Koordinat Cartesius p ( x, y )
• r= x2 + y2
x
• cos α = → x = r. cos α
r
y
• sin α = → y = r. cos x
r
y
• tan α =
x
2. Koordinat Kutub p (r, α)
Contoh:
1. Nyatakan koordinat cartesius ( -2, 2 ) menjadi koordinat kutub!
Jawab:
5. Koordinat kutub p ( r, α)
Mencari r = x2 + y2
= ( 2) 2 +( − 2 )
2
= 4 +4
= 8 =2 2
y
• Mencari α : tan α =
x
2
tan α =
−2
tan α = 1
α = 135 0
Jadi, koordinat kutubnya p ( 2 2 ,135 0 )
2. Tentukan koordinat cartesius jika koordinat kutub p (4, 45o)!
Jawab:
Koordinat cartesius p(x,y)
Mencari x: Mencari y:
x = r. cos α y = r. sin x
= 4. cos 45o = 4. sin 45o
1 1
= 4. 2 = 4. 2
2 2
= 2 2 = 2 2
Jadi, koordinat cartesiusnya p ( 2 2 , 2 2 )
F. ATURAN SINUS
Pada segitiga ABC berlaku :
a b c
= sin β = sin γ
sin α
6. Contoh:
Pada ∆ABC diketahui AB = 4, BC = 6, dan ∠ C = 45O, tentukan besar ∠ A !
Jawab:
BC AB
=
sin A sin C
6 4
=
sin A sin 45 0
6 4
=
sin A 1
2
2
4 sin A= 3 2
3
Sin A= 2
4
A= 68,720
G. ATURAN COSINUS
a2 = b2 + c2 – 2 bc. cos α
Pada segitiga ABC berlaku:
b2 = a2 + c2 – 2 bc. cos β
c2 = a2 + b2 – 2 bc. cos γ
b2 + c2 − a2
cos A =
2bc
a 2 + c2 − b2
cos B =
2ac
a2 + b2 − c2
cos C =
2ab
Contoh:
Diketahui ∆ ABC dengan a = 4, b = 5, dan c = 6. Tentukan besar sudut - sudut ∆
ABC!
Jawab:
b 2 + c 2 − a 2 5 2 + 6 2 − 4 2 25 + 36 − 16 45
Cos A = = = =
2bc 2( 5)( 6 ) 60 60
7. Cos A = 0,75
A = 41,40
∠ A = 41,40
Cos B = 0,5625
B = 55,770
∠ B = 55,770
∠ C = 1800 – ( ∠ A + ∠ B )
= 1800 – ( 41,40 + 55,770 )
= 82,830
a 2 + c 2 − b 2 4 2 + 6 2 − 5 2 16 + 36 − 25 27
Cos B = = = =
2ac 2( 4 )( 6 ) 48 48
H. LUAS SEGITIGA
Luas ∆ ABC
1
= bc. sin α
2
1
= ab. sin γ
2
1
= ac. sin β
2
Contoh:
Tentukan luas segitiga, jika sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan ∠ A = 450!
Jawab:
1 1 1
Luas segitiga = . AB. AC. sin 45 o = .6.4. = 6 cm2
2 2 2
8. I. TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT RANGKAP
Rumus:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2 α = cos2 α - sin2 α
cos 2 α = 1 - 2 sin2 α
cos 2 α = 2 cos2 α - 1
2 tan α
tan 2 α=
1 − tan 2 α
Contoh:
1. Bila sin α − cos α = p, tentukan nilai dari sin 2 α !
Jawab:
sin α − cos α = p ( dikuadratkan )
(sin α − cos α ) 2 = p2
sin 2 α − 2 sin α . cos α + cos 2 α = p2
Ingat!
Sin 2 α + cos 2 α = 1 dan 2 sin α. cos α = sin 2α,
maka; 1- sin 2 α = p2
- sin 2 α = 1 + p2
Jadi, sin 2 α =1 − p2
5
2. Pada ∆ ABC diketahui tan α = , tentukan nilai dari sin 2 α !
12
Jawab:
AC = AB 2 + BC 2 = 144 + 25 = 169 = 13
5 12
Maka, sin α = , cos α =
13 13
5 12 120
Sin 2 α = 2 sin α. cos α = 2. . =
13 13 169
9. 120
Jadi, sin 2 α =
169
J. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
1. Rumus – rumus Penjumlahan
1
sin α + sin β = 2 sin ( α + β ) cos 1 ( α − β )
2 2
1 1
sin α − sin β = 2 cos (α + β ) sin (α − β )
2 2
1 1
cos α + cos β = 2 cos ( α + β ) cos ( α − β )
2 2
1 1
cos α − cos β = −2 sin ( α + β ) sin (α − β )
2 2
2. Rumus – rumus Perkalian
2 sin α. cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )
2 cos α. sin β = sin (α + β ) − sin (α − β )
2 cos α. cos β = cos(α + β ) + cos(α − β )
− 2 sin α. cos β = cos(α + β ) − cos(α − β )
Contoh:
1 1
a. cos 5x – cos 3x = -2 sin (5x + 3x) sin (5x – 3x) = -2 sin 4x sin x
2 2
1 1
2 sin (120 0 + 60 o ) cos (120 0 − 60 0 )
sin 120 + sin 60
0 0
2 2
b. =
cos120 + cos 60
0 0
1 1
− 2 sin (120 0 + 60 0 ) sin (120 0 − 60 0 )
2 2
1
2.1. 3
2 sin 90 0 cos 30 0 2 3
= = =− =− 3
− 2 sin 90 sin 30
0 0
1 1
( −2).1.
2
10. K. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Rumus:
• Untuk sinus, jika:
Sin x = sin α, maka x 1 = α + k. 360o
X2 = ( 180o - α ) + k. 360o
Keterangan: k = bilangan bulat = 0, 1, 2, …
• Untuk Cosinus, jika:
Cos x = cos α, maka x = ± α + k. 360o
• Untuk Tangen, jika:
Tan x = tan α, maka x = α + k. 180o
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
1
a. sin 2x = ; 0o ≤ x ≤ 360o
2
Jawab:
⇒ sin 2x = sin 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1→ x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = ( 180o – 30o) + k. 360o
2x = 150o + k. 360o
x = 75 o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 75o + 0. 180o = 75o
k = 1→ x = 75o + 1. 180o = 225o
11. Jadi, himpunan penyelesaian sin 2x =
1
2
{
adalah 15 0 ,75 0 ,195 0 , 225 0 }
1
b. cos 2x = 3;0 0 ≤ x ≤ 360 0
2
Jawab:
⇒ cos 2x = cos 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1→ x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = - 30o + k.360o
x = - 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = -15o + 0. 180o = -15o
k = 1→ x = -15o + 1. 180o = 165o
Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x =
1
2
{
3 adalah 15 0 ,165 0 ,195 0 }
c. tan 2x = 3;0 0 ≤ x ≤ 360 0
Jawab:
⇒ tan 2x = tan 60o
maka: 2x = 60o + k.360o
x = 30o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 30o + 0. 180o = 30o
k = 1→ x = 30o + 1. 180o = 210o
Jadi, himpunan penyelesaian tan 2x = 3 {
adalah 30 0 , 210 0 }
d. sin ( x – 30o ) + sin ( x + 60o) = 1 ; 0o ≤ x ≤ 360 0
Ingat!
12. 1 1
Gunakan rumus sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A + B ),
2 2
Sehingga:
sin ( x – 30o) + sin ( x + 60o ) = 1
1 1
2 sin (( x − 30 0 + x + 60 0 )) cos (( x − 30 0 ) − ( x + 60 0 )) = 1
2 2
1 1
2 sin ( x − 30 0 + x + 60 0 ) cos ( x − 30 0 − x − 60 0 ) = 1
2 2
1 1
2 sin ( 2 x + 30 0 ) cos ( −90 0 ) = 1
2 2
2 sin ( x +15 0 ) cos(−45 0 ) = 1
1
2 sin ( x + 15 0 )( 2) =1
2
1
( x + 15 0 ) =
2 sin 1
2
2
1 2
( x + 15 0 ) = .
2 sin 1 2
2
2
( dirasionalkan)
2 sin ( x + 15o ) = 2
2
sin ( x + 15o ) =
2
1
sin ( x + 15o ) = 2
2
sin ( x + 15o ) = sin 45o
x + 15o = 45o + k. 360o
x = 30o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 30o + 0. 360o = 30o
atau
x + 15o = ( 180o – 45o) + k. 360o
x + 15o = 135o + k. 360o
x = 120o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 120o + 0. 360o = 120o
