Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Persamaan Differensial Biasa
(Ordinary Differential Equations (ODE))
Prodi Teknik Kimia
Fakultas Teknik
Universitas Negeri...
Persamaan Differensial adalah Persamaan yang mengandung
beberapa turunan dari suatu fungsi
Persamaan Differensial Biasa
Pe...
08sin 22
2
22
3
3
2



















x
dx
dy
yx
dx
yd
dx
yd
xy
xy
dx
dy
Persamaan Differensi...
Persamaan Differensial Biasa



















2
2
2
2
2
2
),,,(
z
u
y
u
x
u
t
tzyxu

Persamaan Diffe...
Persamaan Differensial Biasa
Penggunaan :
 Cabang-cabang ilmu teknik
 Ekonomi
 Biologi dan kedokteran
 Kimia, Fisika d...
Cooling
 This is a model of how the temperature of an
object changes as it loses heat to the
surrounding atmosphere:
Temp...
Newton’s 2nd law for a rotating object:
q
mg
l
q
q
sin2
2
2
mgl
dt
d
ml 
0sin2
2
2
 q
q
dt
d
This equation is very d...
 Order suatu persamaan differensial adalah tingkat turunan
tertinggi persamaan differensial tersebut.
02
2

dt
dy
dt
yd...
 Derajat suatu persamaan differensial (PD) adalah pangkat
dari turunan yang tertinggi di dalam PD tsb.
08sin 22
2
22
3
3
...
 Artinya mencari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi PD
tersebut
 Fungsi y=f(x) yang memenuhi sebuah PD banyak sekali,
kum...
Tipe-tipe PD biasa orde 1 :
• PD dengan variabel dapat dipisah
• PD homogen
• PD bentuk (ax+by+c ) dx + (px+qy+r) dy =0
• ...
Prinsip penyelesaian :
1. PD dengan variabel dapat dipisah
0),(),(  dyyxQdxyxP
diubah menjadi bentuk persamaan
CdyyNdxxM...
Contoh 1 : Cari penyelesaian umum PD berikut
1. PD dengan variabel dapat dipisah
)1)(1( yx
dx
dy

Penyelesaian
Cey
Cxxy...
Suatu fungsi dikatakan homogen derajat n bila ada suatu
konstanta n sehingga untuk setiap parameter λ berlaku :
2. PD Homo...
2. PD Homogen
Misal : 






y
x
yxfb tan),() Homogen derajat 0







y
x
yxf


 tan),(
λ saling me...
2. PD Homogen
Cara Penyelesaian :
PD Homogen dapat diselesaikan dengan subtitusi
dzxdxzdyzxy
x
y
z  ;;
Contoh 2 : Cari...
2. PD Homogen
(Lanjutan) Contoh 2 :
2/1
2/1
2
2
2
)21(lnln
ln)21ln(ln
ln)21ln(
2
1
ln
21
0)21(
0)21(
0)2(
0)(




...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
Beberapa kemungkinan :
a) c = 0, r = 0 ; sehingga PD menjadi
0)()(  dyqypxdxb...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
Lanjutan b), PD menjadi
0
)(
)(
0)()(







 




dz
b
rzk
dx
b...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara penyelesaian :
Subst. :
dyqdxpdvrqypxv
dybdxaduc...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
(Lanjutan) c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara
penyelesaian : Substitusi ke PD semul...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
Contoh 3 : cari PUPD berikut
0)122()1(  dyyxdxyx
Penyelesaian : (Berdasarka...
3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax
Lanjutan contoh 3 : PD menjadi
cxzz
dxdz
z
dxdz
z
z
dzzdxz
dzzdxzz
dxdzzdxz

...
4. PD Eksak
Bentuk
x
N
y
M





Bisa dinyatakan dalam bentuk turunan sempurna dari suatu
fungsi F (x,y)
Syarat PD eks...
4. PD Eksak
Agar terpenuhi :
Maka :
dyyxNdxyxMyxdF ),(),(),( 
dy
y
F
dx
x
F
yxdF





),(
x
N
y
F
x
yxN
y
F
y
M
x
...
4. PD Eksak
Cara mencari F (x, y) :
  ),()('),()
),,(
)(),(),()
),(
),(
yxNyCxyxM
y
b
makayxN
y
F
karena
yCxyxMyxFa
xyxM...
4. PD Eksak
Contoh 4 : Cari penyelesaian umum PD berikut :
Penyelesaian :
0)2()3( 32
 dyyxxdxyyx
0)2()3( 32
 dyy...
4. PD Eksak
Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a)
)(),(
)()3(
)(),(),(
3
2
yCyxyxyxF
yCxyyx
yCxyxMyxF


...
4. PD Eksak
Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a)
sehingga
yyC
dyydC
y
dy
dC
yxx
dy
dC
xx
2
33
)(
2
2
2



...
5. PD Linear
Bentuk : )()( xQyxP
dx
dy


dxxP
eU
)(
Cara Penyelesaian :
-) Kalikan dengan suatu faktor integrasi sedem...
5. PD Linear
 dxxPdxxPdxxP
exQeyxPe
dx
dy )()()(
)()(



  dxxPdxxP
exQey
dx
d )()(
)(
Pembuktian :
)(:
)(
)...
5. PD Linear
Sehingga berdasarkan :
CdxeQey
CdxeQeyd
dxxPdxxP
dxxPdxxP




 


)()(
)()(



  dx...
5. PD Linear
Lanjutan Contoh 5 :
PUPD berdasarkan
2lnln2
2
2






xUeUeUeU xx
dx
x
CdxeQey
dxxPdxxP


)(...
6. PD Bernoulli
Bentuk : )()( xQyyxP
dx
dy n

1
1

 n
y
z
Bila n  0, maka PD Bernoulli menjadi PD Linear
Cara penyele...
6. PD Bernoulli
Penyelesaian Contoh 6 : Substitusi
dx
dz
zdx
dy
maka
dx
dz
dz
dy
dx
dy
nberdasarka
zdz
dy
z
y
yyy
z n
2
2
...
6. PD Bernoulli
Lanjutan Contoh 6 :
2
2
1121







z
x
zxdx
dz
z
Dikalikan dengan -z2
Sehingga PD menjadi : xz
x...
Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
Bentuk :
)(..... 11
1
10 xfya
dx
dy
a
dx
yd
a
dx
yd
a nnn
n
n
n
 

 nn ...
Teorema :
1. Bila y = f(x) merupakan penyelesaian PD linear
homogen, maka y = C f(x) juga merupakan
penyelesaian
2. Bila y...
Cara I :
Penyelesaian Umum PD linear homogen tingkat n dapat
diperoleh dengan subtitusi Euler :
mx
ey 
0.....1
1
10  ...
Lanjutan Cara I :
Jadi
xm
nn
xm
xm
n
eCy
eCy
eCy



:
2
1
22
11
Sehingga
xm
n
xmxm n
eCeCeCy  .....21
21
PUPD linea...
Cara II :
Menggunakan operator :
PD menjadi dx
d
D 
0.....
0).....(
0.....
1
10
1
10
1
10






n
nn
n
nn
...
Lanjutan Cara II :
Ditinjau salah satu akar :
k
x
k
kkk
k
k
k
k
Cey
Cxy
dx
y
dy
y
dx
dy
y
dx
d
yD
k
lnlnln
lnln
0
0)(
0)(
...
Contoh 7 : Selesaikan persamaan diferensial berikut :
Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
6,0)0('';4,5)0(';4,3)0(
0:
...
Lanjutan Contoh 7 : Berdasarkan persamaan
maka
Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
xm
n
xmxm n
eCeCeCy  .....21
2...
Lanjutan Contoh 7 :
Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
321
0
3
0
21
4,3
4,3
4,3)0(*
CCC
eCeCC
y




32
32
6,...
Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus
Teknik Kimia
Pembuatan sabun disebut saponifikasi, dalam proses tersebut lemak
yan...
Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus
Teknik Kimia (lanjutan)
Sebuah pabrik sabun tersebut hanya memiliki 1 tangki denga...
Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan)
Untuk menjaga volume larutan dalam tangki tetap pada level...
Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus
Teknik Kimia (lanjutan)
Aliran A
1,5 Liter / menit
45 gram / liter
Aliran B
2 Lite...
Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus
Teknik Kimia (lanjutan)
Neraca massa untuk natrium klorida pada sistem tangki :
Ak...
5.67)(;5.3)(
5.675.3 1
1



xQxP
eeU
x
dt
dx
tdt
t
t
t
tt
tt
dxxPdxxP
e
C
x
e
Ce
x
Ceex
Ceex
CdxeQey





...
Penyelesaian dengan menggunakan PD Linear
Lg
L
g
xt /50
15
750
)0(,0 1 
5.17
5.6750
5.6750
5.67
0




C
C
e
C
e...
Let’s play
Find the solution (PUPD) from the problems below :
0'2'')10
02'3'')9
2cos2')8
2')7
0)5410()15()6
0)43()32()5
0)...
THANKYOU FORYOUR
ATTENTION INTHIS
CLASS
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Persamaan differensial-biasa

15.969 visualizaciones

Publicado el

persamaan differensial biasa (ordinary differential equation (ODE))

Publicado en: Ingeniería
  • Was a little hesitant about using ⇒⇒⇒WRITE-MY-PAPER.net ⇐⇐⇐ at first, but am very happy that I did. The writer was able to write my paper by the deadline and it was very well written. So guys don’t hesitate to use it.
       Responder 
    ¿Estás seguro?    No
    Tu mensaje aparecerá aquí
  • Sex in your area is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2ZDZFYj ❶❶❶
       Responder 
    ¿Estás seguro?    No
    Tu mensaje aparecerá aquí
  • Follow the link, new dating source: ♥♥♥ http://bit.ly/2ZDZFYj ♥♥♥
       Responder 
    ¿Estás seguro?    No
    Tu mensaje aparecerá aquí

Persamaan differensial-biasa

  1. 1. Persamaan Differensial Biasa (Ordinary Differential Equations (ODE)) Prodi Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Negeri Semarang Dhoni Hartanto, S.T., M.T., M.Sc. Kalkulus 2
  2. 2. Persamaan Differensial adalah Persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi Persamaan Differensial Biasa Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang mempunyai fungsi satu variable bebas Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang mempunyai fungsi dengan jumlah variable bebas lebih dari satu
  3. 3. 08sin 22 2 22 3 3 2                    x dx dy yx dx yd dx yd xy xy dx dy Persamaan Differensial Biasa Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang mempunyai fungsi satu variable bebas
  4. 4. Persamaan Differensial Biasa                    2 2 2 2 2 2 ),,,( z u y u x u t tzyxu  Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang mempunyai fungsi dengan jumlah variable bebas lebih dari satu Fungsi u(x,y,z,t) digunakan untuk merepresentasikan temperatur pada waktu t pada benda secara fisik dengan koordinat (x,y,z)  = thermal diffusivity. Heat equation
  5. 5. Persamaan Differensial Biasa Penggunaan :  Cabang-cabang ilmu teknik  Ekonomi  Biologi dan kedokteran  Kimia, Fisika dsb. ODE digunakan untuk mendapatkan formulasi suatu fenomena yang mengalami perubahan terhadap waktu atau tempat
  6. 6. Cooling  This is a model of how the temperature of an object changes as it loses heat to the surrounding atmosphere: Temperature of the object: ObjT Room Temperature: RoomT Newton’s laws states: “The rate of change in the temperature of an object is proportional to the difference in temperature between the object and the room temperature” )( RoomObj Obj TT dt dT   Form ODE t RoominitRoomObj eTTTT   )( Solve ODE Where is the initial temperature of the object. initT
  7. 7. Newton’s 2nd law for a rotating object: q mg l q q sin2 2 2 mgl dt d ml  0sin2 2 2  q q dt d This equation is very difficult to solve. rearrange and divide through by ml 2 l g 2  where  Moment of inertia x angular acceleration = Net external torque
  8. 8.  Order suatu persamaan differensial adalah tingkat turunan tertinggi persamaan differensial tersebut. 02 2  dt dy dt yd 2nd order 3 3 dt xd x dt dx  3rd order Order (tingkat)
  9. 9.  Derajat suatu persamaan differensial (PD) adalah pangkat dari turunan yang tertinggi di dalam PD tsb. 08sin 22 2 22 3 3             y dx dy yx dx yd x dx yd xy 2nd degree Derajat (Degree) )()(.....)( 1 )1( 1 xkyxayxay n nn    Persamaan diferensial (PD)  Linear derajat 1 Bentuk Umum :
  10. 10.  Artinya mencari suatu fungsi y=f(x) yang memenuhi PD tersebut  Fungsi y=f(x) yang memenuhi sebuah PD banyak sekali, kumpulan fungsi-fungsi yang memenuhi sebuah PD disebut Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD)  Salah satu fungsi di dalam kumpulan fungsi-fungsi yang memenuhi sebuah PD disebut Penyelesaian Khusus PD tsb.  Penyelesaian khusus sebuah PD tsb. juga harus memenuhi beberapa kondisi batas Penyelesaian Persamaan Diferensial
  11. 11. Tipe-tipe PD biasa orde 1 : • PD dengan variabel dapat dipisah • PD homogen • PD bentuk (ax+by+c ) dx + (px+qy+r) dy =0 • PD eksak • PD linear • PD Bernoulli Persamaan Diferensial Biasa Orde 1
  12. 12. Prinsip penyelesaian : 1. PD dengan variabel dapat dipisah 0),(),(  dyyxQdxyxP diubah menjadi bentuk persamaan CdyyNdxxM dyyNdxxM    )()( 0)()(
  13. 13. Contoh 1 : Cari penyelesaian umum PD berikut 1. PD dengan variabel dapat dipisah )1)(1( yx dx dy  Penyelesaian Cey Cxxy dxx y dy xx lnln)1ln( ln 2 1 )1ln( )1( 1 2 2 1 2       1 1 ln)1ln( 2 2 2 2 1 2 1 2 1       xx xx xx eCy eCy eCy
  14. 14. Suatu fungsi dikatakan homogen derajat n bila ada suatu konstanta n sehingga untuk setiap parameter λ berlaku : 2. PD Homogen ),(),( yxfyxf n   Misal : xyxyxfa  2 ),() Homogen derajat 2 ),( )( ),( 2 22 222 yxf xyx xyxyxf      
  15. 15. 2. PD Homogen Misal :        y x yxfb tan),() Homogen derajat 0        y x yxf    tan),( λ saling menghilangkan sehingga homogen berderajat 0 PD orde satu berikut : 0),(),(  dyyxQdxyxP Dikatakan homogen bila P dan Q keduanya homogen berderajat sama yaitu n
  16. 16. 2. PD Homogen Cara Penyelesaian : PD Homogen dapat diselesaikan dengan subtitusi dzxdxzdyzxy x y z  ;; Contoh 2 : Cari penyelesaian umum PD berikut 0)(  dyxdxyx Penyelesaian : Substitusi dzxdxzdyzxy x y z  ;; PD menjadi : 0)()(  dzxdxzxdxzxx 0)( 2  dzxdxzxdxzxx
  17. 17. 2. PD Homogen (Lanjutan) Contoh 2 : 2/1 2/1 2 2 2 )21(lnln ln)21ln(ln ln)21ln( 2 1 ln 21 0)21( 0)21( 0)2( 0)(             zCx Czx Czx z dz x dx dzxdxz dzxdxzx dzxdxzxx dzxdxzxdxzxx                              1 2 1 2 1 1 2 1 21 )21( )21( 2 2 2 2 2 2 2 2 122 2/1 )21(lnln 2/1 x Cx y x C x y x C z x C z zCx zCx ee zCx
  18. 18. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax Beberapa kemungkinan : a) c = 0, r = 0 ; sehingga PD menjadi 0)()(  dyqypxdxbyax Cara penyelesaian sama dengan PD homogen b) px + qy = k (ax + by), sehingga PD menjadi 0))(()(  dyrbyaxkdxcbyax Cara penyelesaian : Subst. : b dxadz dy dybdxadz byaxz    
  19. 19. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax Lanjutan b), PD menjadi 0 )( )( 0)()(              dz b rzk dx b rzka cz b dxadz rzkdxcz Cara penyelesaian sama dengan PD variabel dapat dipisah
  20. 20. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara penyelesaian : Subst. : dyqdxpdvrqypxv dybdxaducbyaxu   ; ; pbqa dvbduq qp ba qdv bdu dx    pbqa dupdva qp ba dvp dua dy   
  21. 21. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax (Lanjutan) c) a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0; cara penyelesaian : Substitusi ke PD semula 0)()( 0)()( 0                   dvbuavdupvqu dupdvavdvbduqu pbqa dupdva v pbqa dvbduq u Cara penyelesaian sama dengan PD homogen
  22. 22. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax Contoh 3 : cari PUPD berikut 0)122()1(  dyyxdxyx Penyelesaian : (Berdasarkan analisis konstanta kemungkinan persamaan tsb. Dapat diselesaikan dengan no.b) Subst. dxdzdydydxdz xzyyxz   ; ;
  23. 23. 3. PD Bentuk 0)()(  dyrqypxdxcbyax Lanjutan contoh 3 : PD menjadi cxzz dxdz z dxdz z z dzzdxz dzzdxzz dxdzzdxz                ln2 1 2 12 0)12( 0)12()121( 0)()12()1( Substitusi z = x + y ke persamaan ini Sehingga PUPD : cxyxyx  )ln()(2
  24. 24. 4. PD Eksak Bentuk x N y M      Bisa dinyatakan dalam bentuk turunan sempurna dari suatu fungsi F (x,y) Syarat PD eksak : 0),(),(  dyyxNdxyxM CyxF yxdF dyyxNdxyxMyxdF    ),( 0),( 0),(),(),( Permasalahan yang muncul adalah bagaimana mencari F (x, y)?
  25. 25. 4. PD Eksak Agar terpenuhi : Maka : dyyxNdxyxMyxdF ),(),(),(  dy y F dx x F yxdF      ),( x N y F x yxN y F y M x F y yxM x F                               ),(* ),(*
  26. 26. 4. PD Eksak Cara mencari F (x, y) :   ),()('),() ),,( )(),(),() ),( ),( yxNyCxyxM y b makayxN y F karena yCxyxMyxFa xyxMF yxM x F                2 persamaan penting dalam penyelesaian PD eksak Sehingga nilai C ( y ) bisa diperoleh
  27. 27. 4. PD Eksak Contoh 4 : Cari penyelesaian umum PD berikut : Penyelesaian : 0)2()3( 32  dyyxxdxyyx 0)2()3( 32  dyyxxdxyyx M N x N y M      Syarat PD eksak 13 13 2 2       x x N x y M Sesuai syarat PD eksak
  28. 28. 4. PD Eksak Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a) )(),( )()3( )(),(),( 3 2 yCyxyxyxF yCxyyx yCxyxMyxF            yxxyCyxyx y yxNyCxyyx y yxNyCxyxM y 2)(' ),()(')3( ),()('),( 33 2            Persamaan Umum PD eksak (b)
  29. 29. 4. PD Eksak Lanjutan Contoh 4 : Persamaan Umum PD eksak (a) sehingga yyC dyydC y dy dC yxx dy dC xx 2 33 )( 2 2 2       23 3 ),( )(),( yyxyxyxF yCyxyxyxF  
  30. 30. 5. PD Linear Bentuk : )()( xQyxP dx dy   dxxP eU )( Cara Penyelesaian : -) Kalikan dengan suatu faktor integrasi sedemikian agar PD Linear berubah menjadi PD dengan variabel yang dapat dipisah -) Kemudian menyelesaikan bentuk PD variabel yang dapat dipisah Faktor integrasi : PD dikalikan U sehingga menjadi:  dxxPdxxPdxxP exQeyxPe dx dy )()()( )()(
  31. 31. 5. PD Linear  dxxPdxxPdxxP exQeyxPe dx dy )()()( )()(      dxxPdxxP exQey dx d )()( )( Pembuktian : )(: )( )( )()( )()( xPee dx d note xPey dx dy e dx du y dx dy uuy dx d dxxPdxxP dxxPdxxP   
  32. 32. 5. PD Linear Sehingga berdasarkan : CdxeQey CdxeQeyd dxxPdxxP dxxPdxxP         )()( )()(      dxxPdxxP exQey dx d )()( )( Contoh 5 : Cari penyelesaian umum PD berikut : xy xdx dy  2 Penyelesaian : Bentuk tersebut merupakan bentuk PD linear, sehingga xxQ x xP  )(, 2 )(
  33. 33. 5. PD Linear Lanjutan Contoh 5 : PUPD berdasarkan 2lnln2 2 2       xUeUeUeU xx dx x CdxeQey dxxPdxxP   )()( Cxxxy Cxxy Cxxy C x dx xy Cdxxxxy 22 2 2 2 22 ln )(ln ln          
  34. 34. 6. PD Bernoulli Bentuk : )()( xQyyxP dx dy n  1 1   n y z Bila n  0, maka PD Bernoulli menjadi PD Linear Cara penyelesaian : Subtitusi : Sehingga menjadi PD menjadi Linear: Contoh 6 : Cari penyelesaian umum PD berikut : 22 yx x y dx dy 
  35. 35. 6. PD Bernoulli Penyelesaian Contoh 6 : Substitusi dx dz zdx dy maka dx dz dz dy dx dy nberdasarka zdz dy z y yyy z n 2 2 121 1 ,* 11 111      Sehingga PD menjadi : 2 2 1121        z x zxdx dz z
  36. 36. 6. PD Bernoulli Lanjutan Contoh 6 : 2 2 1121        z x zxdx dz z Dikalikan dengan -z2 Sehingga PD menjadi : xz xdx dz  2 PD Linear Penyelesaian berdasarkan PD linear : 2lnln2 2 2       xUeUeUeU xx dx x C x dx xz Cdxxxxz CdxuxQuz         2 22 )( )ln( 1 )ln( ln 2 2 2 xCx y Cxxz Cxxz    
  37. 37. Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1) Bentuk : )(..... 11 1 10 xfya dx dy a dx yd a dx yd a nnn n n n     nn aaaa ,,, 110 konstan Bila f(x) = 0  PD Linear order n homogen Bila f(x) ≠ 0  PD Linear order n tidak homogen
  38. 38. Teorema : 1. Bila y = f(x) merupakan penyelesaian PD linear homogen, maka y = C f(x) juga merupakan penyelesaian 2. Bila y1 = C1 f1 (x) y2 = C2 f2 (x) : yn = Cn fn (x) adalah penyelesaian-penyelesaian yang berlainan dari PD linear homogen, maka y = C1 f1 (x) + C2 f2 (x) +…….+ Cn fn (x) juga merupakan penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
  39. 39. Cara I : Penyelesaian Umum PD linear homogen tingkat n dapat diperoleh dengan subtitusi Euler : mx ey  0.....1 1 10    ya dx yd a dx yd a nn n n n mxn n n mx mx em dx yd em dx yd me dx dy    : 2 2 2 Sehingga 0 0 1 10 1 10     n nn mx n mxnmxn amama eaemaema Persamaan karakteristik Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1, m2, m3,….., mn Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
  40. 40. Lanjutan Cara I : Jadi xm nn xm xm n eCy eCy eCy    : 2 1 22 11 Sehingga xm n xmxm n eCeCeCy  .....21 21 PUPD linear homogen tingkat n Merupakan penyelesaian (berdasarkan teorema 2) Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
  41. 41. Cara II : Menggunakan operator : PD menjadi dx d D  0..... 0).....( 0..... 1 10 1 10 1 10       n nn n nn n nn aDaDa aDaDay yayDayDa Akar-akar : Persamaan karakteristik n ,......,, 21 0))......()(( 21  nDDD  Sehingga :   0))......()(( 21  yDDD n Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
  42. 42. Lanjutan Cara II : Ditinjau salah satu akar : k x k kkk k k k k Cey Cxy dx y dy y dx dy y dx d yD k lnlnln lnln 0 0)( 0)(                   n k x k x kk x kk k k k eCy PUPD eCy eCy 1 lnln    Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1)
  43. 43. Contoh 7 : Selesaikan persamaan diferensial berikut : Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1) 6,0)0('';4,5)0(';4,3)0( 0: 0''''    yyy xnote yy Penyelesaian : Substitusi Euler mx ey  1,1,0 0)1)(1( 0)1( 0 0 321 2 3 3      mmm mmm mm mm meem mxmx
  44. 44. Lanjutan Contoh 7 : Berdasarkan persamaan maka Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1) xm n xmxm n eCeCeCy  .....21 21 xx xx xx xxx eCeCy eCeCy eCeCCy eCeCeCy         32 32 321 )1( 3 )1( 2 )0( 1 '' '
  45. 45. Lanjutan Contoh 7 : Persamaan Diferensial Biasa Orde n (n>1) 321 0 3 0 21 4,3 4,3 4,3)0(* CCC eCeCC y     32 32 6,0 6,0)0(''* 4,5 4,5)0('* CC y CC y     Berdasarkan substitusi diperoleh masing-masing nilai : 4,2;3;4 321  CCC PD : xx eey   4,234
  46. 46. Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia Pembuatan sabun disebut saponifikasi, dalam proses tersebut lemak yang berasal dari hewan atau tumbuhan direaksikan dengan KOH atau NaOH untuk memproduksi gilcerol dan fattyacid salt (sabun). Sabun dipisahkan dari gliserol melalui presipitasi dengan penambahan natrium klorida. Lapisan air bagian atas yang mengandung natrium klorida dipisahkan dari campuran sebagai limbah. Kementerian Lingkungan Hidup (KLH) mengharuskan konsentrasi maksimum natrium klorida pada limbah yang dibuang ke lingkungan tidak lebih dari 11.00 gram / liter. Natrium klorida ini merupakan limbah utama dalam proses produksi sabun.
  47. 47. Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan) Sebuah pabrik sabun tersebut hanya memiliki 1 tangki dengan kapasitas 15 liter untuk penampungan limbah. Dalam proses pengisian tangki limbah tersebut, sebanyak 15 liter air dan 750 gram natrium klorida dimasukkan. Untuk proses kontinuitas proses produksi pabrik dan menjaga agar limbah yang terbuang ke lingkungan konsentrasinya tidak melebihi aturan KLH, maka diperlukan pompa yang dioperasikan untuk memompa air ke tangki dengan laju 2 liter setiap menit dimana limbah garam yang mengandung 45 gram garam per liter ditambahkan dengan laju 1,5 liter per menit.
  48. 48. Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan) Untuk menjaga volume larutan dalam tangki tetap pada level 15 liter, maka limbah yang terdapat di dalam tangki dikeluarkan (discharge) sebanyak 3,5 liter per menit Misalkan A merupakan aliran limbah dari proses, B merupakan aliran air (fresh water), dan C adalah aliran keluar limbah dari tangki ke lingkungan. Diasumkan saat aliran A dan B masuk ke dalam tangki, maka secara cepat terjadi perubahan konsentrasi klorida ke arah konsentrasi keluar tangki x1 dan di dalam tangki tidak terjadi reaksi kimia a) Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk memperoleh konsentrasi sesuai dengan standar dari KLH untuk limbah kloride di lingkungan, apakah pabrik tersebut bisa memenuhi standard dari KLH? b) Pada waktu 3 detik berapa konsentrasi limbah yang keluar dari tangki c) Dalam kondisi steady state, berapa konsentrasi garam yang dikeluarkan oleh pabrik tersebut
  49. 49. Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan) Aliran A 1,5 Liter / menit 45 gram / liter Aliran B 2 Liter / menit 0 gram / liter Aliran C 3,5 Liter / menit x1 gram / liter
  50. 50. Persamaan Diferensial Biasa dalam kasus Teknik Kimia (lanjutan) Neraca massa untuk natrium klorida pada sistem tangki : Akumulasi = input – output + generasi (pembuangan karena reaksi) Lg L g xt x dt dx LLgxLLgLLg dt dx /50 15 750 )0(,0 5.675.3 0min)/5.3()/(min)/2()/0(min)/5.1()/45( 1 1 1 1 1   
  51. 51. 5.67)(;5.3)( 5.675.3 1 1    xQxP eeU x dt dx tdt t t t tt tt dxxPdxxP e C x e Ce x Ceex Ceex CdxeQey         5.67 5.67 5.67 5.67 )()( Penyelesaian dengan menggunakan PD Linear
  52. 52. Penyelesaian dengan menggunakan PD Linear Lg L g xt /50 15 750 )0(,0 1  5.17 5.6750 5.6750 5.67 0     C C e C e C x t Sehingga persamaan menjadi : t e x 5.17 5.67  a) -1,1724 minutes, artinya pabrik tidak bisa memenuhi standar KLH karena waktu yang dibutuhkan bersifat minus sehingga tidak dapat memenuhi persamaan b) 50.8535 g/L c) Steady state berarti Lgx x dt dx /285.19 5.675.30 0 1 1 1   
  53. 53. Let’s play Find the solution (PUPD) from the problems below : 0'2'')10 02'3'')9 2cos2')8 2')7 0)5410()15()6 0)43()32()5 0)4 2)()3 0)1(2)2 0)12()12()1 433422 22 2           yyy yyy xyy eyy dyyxyyxdxyyx dyyxdxyx dyxdxy dyyxdxyx dyxdxxy dyyxdxyx x
  54. 54. THANKYOU FORYOUR ATTENTION INTHIS CLASS

×