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Geometria Analítica: Eixos, Retas e suas Equações
- 1. GEOMETRIA ANALÍTICA “Penso, logo existo” René Descartes (1596 - 1650) Pai da Geometria Analítica Figura 1 Prof. Luiz Gustavo da Silva
- 3. Eixos • X eixo das abscissas • Y eixo das ordenadas • Z eixo das cotas (3ª dimensão) OBS: No momento vamos trabalhar somente com duas dimensões (x,y).
- 4. Sinais dos Quadrantes • 1º Quadrante: x > 0 e y > 0 • 2º Quadrante: x < 0 e y > 0 • 3º Quadrante: x < 0 e y < 0 • 4º Quadrante: x > 0 e y < 0
- 5. Distância entre dois pontos Figura 3
- 7. Ponto Médio Figura 5 ++++ 2 , 3 CbaCba yyyxxx G ++ 2 , 2 BABA yyxx P
- 8. Baricentro de um triângulo Figura 6 ++++ 3 , 3 CBACBA yyyxxx G
- 9. Condições de Alinhamento de 3 pontos 0 1 1 1 = CC BB AA yx yx yx
- 10. 3 pontos alinhados horizontalmente Gráfico 1
- 11. 3 pontos alinhados verticalmente Gráfico 2
- 12. 3 pontos numa reta não-paralela aos eixos Gráfico 3
- 13. Se 0 1 1 1 ≠ CC BB AA yx yx yx Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo!
- 14. Gráfico 4
- 15. Área de um Triângulo Figura 7 2 1 1 1 CC BB AA yx yx yx Área =
- 16. Mediatriz Figura 8 O coeficiente angular da mediatriz é igual ao inverso negativo do coeficiente angular da reta que contém o segmento AB. ABcontémquereta mediatriz m m ___ 1 −=
- 17. Simetria A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12
- 19. Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16
- 20. Figura 17
- 21. Figura 18
- 22. Equações da Reta Equação Geral da Reta 0 1 1 1 = BB AA yx yx yx ax+by+c=0
- 23. Equação Segmentária da Reta 1=+ q y p x
- 24. q = 3 p = 1 Gráfico 5
- 25. Equações Paramétricas da Reta Se y = f(x), temos: x = f(t) e y = g(t) Rt ∈∀
- 26. Exemplo Se ax + by + c = 0 , Vamos parametrizá-la! Escolhendo x = t , Teremos, at + by + c = 0 by + c = -at by = -at – c Portanto, y = (-a/b)t – c/a
- 27. Equação Reduzida da Reta y = mx + q Onde, m= -a/b q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
- 28. Coeficiente angular da reta x y xx yy b a tgm AB AB ∆ ∆ −= − − −=−== )( )( θ
- 29. Equação de uma reta r (conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r) )( )( P P xx yy m − − −=
- 30. Pra que servem essas Equações? • Usadas na Química; • Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....) • Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias; • Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou decrescimento; • E muito mais!
- 31. Representação gráfica de Retas Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano! É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso! Assim, Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau. E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!
- 32. Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas Nada mais é do que o ponto comum entre elas! Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!
- 33. Posições relativas entre retas • Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais! • Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem coeficientes angulares diferentes! • Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do coeficiente angular da outra reta!
- 34. Ângulo entre duas Retas sr sr sr sr mm mm arctg mm mm tg + − =⇒ + − = 11 θθ
- 35. Distância entre um Ponto e uma reta ²² , ba cbyax d PP rP + ++ =
- 36. Bissetrizes de duas retas Figura 19
- 38. Referências Bibliográficas • Figura 1: http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes.jpg • Figura 2: http://www.brasilescola.com/upload/e/1(25).jpg • Figuras 3, 4 e 5: http://www.google.com/images • Figura 6: http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/Image36.gif • Gráficos 1,2,3 e 4: Software Graphmatica • Figura 7: http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/AREA%20TRI1.JPG • Figura 8: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/constfundamentais/mediatriz01.gif • Figuras 9,10,11, 12 e 13: http://www.google.com/images • Figura 14: http://2.bp.blogspot.com/_vNhEHA-Xo0U/ • Figuras 15 e 16: http://parafernaliaartesanal.blogspot.com/ • Figura 17: http://www.google.com/images • Figura 18: http://seraksei.blogspot.com/2009/02/simetria.html • Figura 19: http://alfaconnection.net/images/GAN020117a.gif • Figura 20: www.dialogocomosfilosofos.com.br/category/metodo/ • VIVEIRO, Tânia, CORRÊA, Marlene. Minimanual Compacto de Matemática. 1. ed. São Paulo, 1999.