El lenguaje algebraico. Ecuaciones. Tema: 6

El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Largo Ancho x 2x + 10

Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 El número natural siguiente al número n El cuadrado de un número menos el mismo número Lenguaje algebraico c – 5 (Llamamos c al número) El cuadrado de un número x 2 Perímetro del cuadrado de lado x 4x x 2 – x n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x El lenguaje algebraico: algunos ejemplos x x x x

Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1. El factor 1 no se escribe. a b b 1 · x 2 · y 1 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. x 2 · y 1 x 2 · y x 2 y 5abc 3 5 · a · b · c 3 (t = tiempo en horas) Expresiones algebraicas Área del triángulo: h Área de un rectángulo: a · b La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t

Observa el cuadrado de lado x . Su área es x 2 . Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: 16 es el valor numérico de la expresión x 2 cuando se sustituye x por 4. para x = 2 , es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 2 . El valor numérico de la expresión algebraica 5a 2 + b 2 para a = 4 y b = 10 es: x 2 A = x 2 = 4 2 = 16 para x = 10 , es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44 5 · 4 2 + 10 2 = 5 · 16 + 100 = 180 Valor numérico de una expresión algebraica x x

Dos segmentos miden 5x y 3x , respectivamente. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes. ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? 5x 3x Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: 5x + 3x = 8x Suma: ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? 5x – 3x = 2x Resta: Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. No se pueden sumar 2x + x 2 Se deja indicado Suma y resta de expresiones algebraicas x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5x 3x 5x 3x 2x

La balanza está equilibrada. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Toda igualdad tiene dos miembros . El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). 10 + 2 = 4 + 8 Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Esta igualdad se llama ecuación . La letra x es la incógnita. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1. Igualdades y ecuaciones 2º miembro 1 er miembro

¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada? La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Platillo izquierdo: La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. x + 100 Platillo derecho: 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación:  x + 100 = 500 + 200 Ejemplo Solución de una ecuación La solución de la ecuación 2 x – 2 = x + 12 es x = 14 pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3 : Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4 + 4x = 25 – 3x Sustituyendo: b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2 . (¿Es cierto?) 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Le sumamos 2 a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Restamos 6x a cada miembro Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones . Ecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x = 10 Luego: Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. Observa : si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. x + 5 = 10 + 5 Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8 Regla de la suma Restamos 8: 2x = x + 25 Restamos x: x = 25 La solución es x = 25 Resolución de ecuaciones. Regla de la suma – 8 – 8 – x – x

Resuelve x – 5 = 13 . En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x . Para aislar x , hay que deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado. x – 5 = 13 x – 5 + 5 = 13 + 5 x = 18 Escribe la ecuación original. Suma 5 a cada lado. Simplifica. ► La solución es 18 . EJEMPLO Solución x – 5 = 13 Escribe la ecuación original. 18 – 5 = 13 13 = 13 Sustituye x por 18. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

x + 4 = –3 Resuelve x + 4 = –3 . EJEMPLO Escribe la ecuación original. x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro. x = –7 Simplifica. ► La solución es –7 . y – 3 = –14 Resuelve y – 3 = –14 . EJEMPLO Escribe la ecuación original. y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro. y = –11 Simplifica. ► La solución es –11 . x + 4 = –3 – 7 + 4 = –3 – 3 = –3 Sustituye x por –7. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

3 a = 7 + 2 a Resuelve 3 a = 7 + 2 a . EJEMPLO Escribe la ecuación original. 3 a – 2 a = 7 + 2 a – 2 a Resta 2 a a cada miembro. a = 7 Simplifica. ► La solución es 7 . 3 a = 7 + 2 a 3 ·7 = 7 + 2 ·7 21 = 21 Sustituye x por 7. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

x = 5 Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Ejemplo: Para resolver la ecuación 4 x + 3 = 2x + 9 Regla del producto Restamos 3: 4x = 2x + 6 Restamos 2x: 2x = 6 La solución es x = 3 4x = 20 Hemos dividido por 4 Dividimos por 2 x = 3 Resolución de ecuaciones. Regla del producto __ __ 2 2

Resuelve 3 x = 15 . 3 x = 15 x = 5 Escribe la ecuación original. Simplifica. ► La solución es 5 . EJEMPLO Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3 . Para aislar x , hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3 . Divide cada lado por 3. 3 x = 15 Sustituye x por 5. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN 3· 5 = 15 15 = 15 Resolución de ecuaciones. Regla del producto 3 x 3 = 15 3

Resuelve 7 x = –56. EJEMPLO 7 x = –56 x = – 8 Escribe la ecuación original. Simplifica. ► La solución es –8 . Divide cada lado por 7. Resuelve EJEMPLO y = 60 Escribe la ecuación original. Simplifica. ► La solución es 60 . Multiplica los dos miembros por 5. 7 x = –56 Sustituye x por –8. La solución es correcta.  COMPROBACIÓN 7· (–8) = –56 – 56 = –56  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Regla del producto 7 x 7 = – 56 7 ·5 = 12 · 5 60 5 = 12

Resuelve 3 x – 4 = 17. EJEMPLO 3 x – 4 = 17 Escribe la ecuación original. 3 x – 4 + 4 = 17 + 4 3 x = 21 Divide cada lado por 3. Suma 4 a cada miembro. Simplifica. x = 7 Simplifica. ► La solución es 7 . 3 x – 4 = 17 3 ·(7) – 4 = 17 17 = 17  COMPROBACIÓN En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto. Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto 3 x 3 = 21 3

Resuelve EJEMPLO – 25 = n ► La solución es –25 . Escribe la ecuación original. Resta 8 a cada miembro. Simplifica. Simplifica. Multiplica los dos miembros por 5. Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto n 5 3 – 8 = + 8 – 8 5( ) ( )·5

Resuelve 5 – x = 7. EJEMPLO 5 – x = 7 Escribe la ecuación original. – 5 + 5 – x = –5 + 7 Divide por –1. Resta 5 a cada miembro. Simplifica. x = –2 Simplifica. ► La solución es –2 . – 1 x = 2 5 – x = 7 5 – (–2) = 7 7 = 7  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto – 1 x – 1 = 2 – 1

Resuelve b + 8 = 18 + 3 b EJEMPLO b + 8 = 18 + 3 b b – 3 b + 8 = 18 + 3 b – 3 b b – 3 b + 8 = 18 b – 3 b + 8 – 8 = 18 – 8 b – 3 b = 18 – 8 – 2 b = 10 b = –5 Escribe la ecuación original. Divide por –2. Resta 3 b a cada miembro. Simplifica. Simplifica. Resta 8 a cada miembro. Simplifica. Agrupa. ► La solución es –5 . Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto – 2 b – 2 = 10 – 2

Transposición de términos en una ecuación Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba: ► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando. ► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando. Esta técnica se denomina transposición de términos .

a) Si sumamos a los dos miembros +8, b) De la misma forma, para eliminar +2 x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2 x . c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2 x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita. 2 x = 14 4 x – 8 = 6 + 2 x 4 x – 8 = 6 + 2 x 4 x – 8 + 8 = 6 + 2 x + 8 4 x = 6 + 2 x + 8 Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8. Transposición de términos en una ecuación x = = 7 14 2 4 x – 8 = 6 + 2 x 4 x – 2 x = 6 + 8 EJEMPLO Transposición de términos

Propiedad distributiva (Quitar paréntesis) a(b + c) = ab + ac – 2 ( n – 3) = –2 n + (–2) ( –3) = –2 n + 6 4 ( x – 2) = 4 x + 4 (–2) = 4 x – 8 ( y + 3) 6 = y · 6 + 3· 6 = 6 y + 18 2 ( x + 4) = 2 x + 2 ·4 = 2 x + 8 4 (5 + 8) = (6 + 9) 2 = 2 (4 x + 1) = 2 ·4 x + 2 ·1 = 8 x + 2 4 ·5 + 4 ·8 = = 20 + 32 = 52 6· 2 + 9· 2 = = 12 + 18 = 30 Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual. Cuidado con los signos negativos (–). Recuerda la regla de los signos: + · + = + + · – = – – · + = – – · – = –

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis. x = 8 2 x = 16 2 x – 21 = – 5 3 x – 21 = x – 5 3 x – 21 = 5 x – 5 – 4 x 3( x – 7) = 5( x – 1) – 4 x 5º. Dividir por 2 4º. Sumar 21 3º. Restar x 2º. Operar 5 x – 4 x : 1º. Quitar paréntesis:  COMPROBACIÓN 3( x – 7) = 5( x – 1) – 4 x 3( 8 – 7) = 5( 8 – 1) – 4· 8 3·1 = 5·7 – 4·8 3 = 35 – 32 3 = 3 La solución es correcta.

6 – (4 + x ) = 8 x – 2(3 x + 5) 6 – 4 – x = 8 x – 6 x –10 – x + 2 = 2 x – 10 – x – 2 x = –10 – 2 – 3 x = –12 x = 4 Ecuación original Simplifica . Quita paréntesis . Agrupa . Divide por –3 . Traspones términos . Resuelve 6 – (4 + x ) = 8 x – 2(3 x + 5) EJEMPLO 6 – (4 + 4 ) = 8· 4 – 2(3· 4 + 5) 6 – 8 = 32 – 34 – 2 = –2  COMPROBACIÓN Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. 3º. Operar 3 x – 2 x 2º. Restar 30: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): x = 30 3 x – 2 x = 30 3 x + 30 – 2 x = 60 4 = 2 2 2 = 2 6 = 2·3 m.c.m.(4, 2, 6) = 2 2 · 3 = 12 Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente: Recuerda cómo se calcula el m.c.m.: 4 2 2 2 1 6 3 2 2 1 12·( ) ( )·12

2( x + 1) + ( x + 3) = 2 2 x + 2 + x + 3 = 2 3 x + 5 = 2 3 x = 2 – 5 3 x = –3 x = –1 EJEMPLO 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m.c.m.(2, 4): 2º. Quitar paréntesis. 3º. Agrupar términos semejantes. 4º. Transponer términos. 5º. Despejar la incógnita. Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. 4( ) ( )4 4( ) 4( ) 4( )

1º. Interpretación del enunciado Problema 1 : La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Edad de Jorge 2º. Plantear la ecuación 3º. Resolución de la ecuación 4º. Comprobación. La madre de Jorge tiene 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge Jorge tiene 15 años Resolución de problemas Lenguaje algebraico x 39 3 x – 6 3 x – 6 = 39 3 x = 45 x = 15 Suma 6 Divide por 3 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto Son iguales

PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? Un número x + 55 = 6 x x + 55 = 6 x  55 = 6 x – x 55 = 5 x  55/5 = x  x = 11 El número aumentado en 55 Seis veces el número El número buscado es 11 . Nº aumentado en 55  11 + 55 = 66 6 veces el número  6·11 = 66 ► 4º. Comprobación. ► 3º. Resolver la ecuación. ► 2º Plantear la ecuación . ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente . 6 x x x + 55 Correcto Resolución de problemas El número aumentado en 55 es igual a 6 veces el número

PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. Lado menor  x Lado mayor  2 x x + 2 x + x + 2 x = 78 6 x = 78 x = 13 Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm ► 4º. Comprobación. ► 3º. Resolver la ecuación. ► 2º Plantear la ecuación . ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente . Resolución de problemas 2 x = 26 cm x = 13 cm 2 x x x 2 x x = 78 6 Perímetro 78 x + 2 x + x + 2 x