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La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
7
UNIDADES 1.2 Y 1.3
LA ESTÁTICA APLICADA EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL
Estática Aplicada.
Vectores: - Libres: Tienen dirección, sentido y magnitud.
- Axiles: Tienen dirección, sentido, magnitud y recta de acción.
- Fijos: Tienen dirección, sentido, magnitud, recta de acción y punto de aplicación.
Las fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido se pueden representar con vectores axiles,
mientras que a las fuerzas actuantes sobre un cuerpo deformable se las puede representar con vectores
fijos.
F
r
'F
r
''F
r
'''F
r libres'FF →=
rr
'''FF
fijos''FF
rr
rr
=
→≠
''FF
axiles'FF
rr
rr
=
→≠
Los efectos de F y F’ son idénticos.
F
F’
F
F’
Forma original
Deformada
Los efectos de F y F’ son distintos.
RÍGIDO
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
8
F1
F2
F3
F1
F2
Sistemas de Fuerzas: Conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo
Sistemas de fuerzas coplanares: Todas las fuerzas están contenidas
en un mismo plano
Sistema de Fuerzas espaciales: Las fuerzas están en distintos planos.
Sistema de fuerzas concurrentes: Cuando todas las fuerzas del sistema
pasan por el mismo punto, pudiendo ser coplanares o espaciales.
Dos vectores axiles y coplanares son siempre concurrentes. (Si son paralelos se considera que
concurren a un punto impropio).
Unidad de Medida de una Fuerza.
- Sistema Técnico: .Kg[F] = o t = 1000 Kg .
Kilogramo fuerza Tonelada fuerza.
- Sistema Internacional. (o Sistema Legal Argentino)
.
s
m
KgN[F] 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 1 Newton ≅ 100 g.
1 KN = 103
N
Principios de la Estática.
Primer Principio. Regla del Paralelogramo:
La acción de un sistema de fuerzas de dos vectores concurrentes puede ser reemplazada por
una única fuerza cuyo vector está dado por la diagonal del paralelogramo construido a partir de hacer
coincidir los orígenes de ambos vectores. A esta fuerza R se la denomina “Resultante del Sistema”.
F1
F2
F3
F4
F5
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
9
F2
F1
R
F2
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F1
F2
R
F2
F1
R
x
F1
F2
R
F1x
F2x Rx
F1x Rx = F1x +F2x
Paralelogramo
Si los vectores son axiles, se puede obtener la resultante
de dos fuerzas, trasladando éstas hasta la intersección
de ambas rectas de acción.
Segundo Principio. De Acción y Reacción:
A toda acción corresponde una reacción de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.
Las fuerzas de acción y reacción actúan cada una en un sistema distinto.
Tercer Principio. De Rigidez.
La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazada por cualquier
otro sistema estáticamente equivalente, es decir, con la misma resultante, produciendo el mismo efecto.
Proyección de una Fuerza Sobre un Eje.
X""enFedProyecciónxF =
Fx = F cos α
Módulo de F
F2F1
F2F1 =Rígido
Fx
x
F
Triángulo de fuerzas
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
10
Fx
FyFy
Fx
F
X
Y
Una fuerza axil en el plano queda definida
a partir de sus proyecciones sobre dos
ejes siempre que éstos no sean paralelos.
Polígono de Fuerzas.
Sistema en Equilibrio: Decimos que un sistema de fuerzas concurrentes está en equilibrio cuando su
resultante es nula.
Si a un sistema de resultante R le agregamos una nueva fuerza igual y contraria a R, el sistema
quedará en equilibrio. Esta nueva fuerza se llama equilibrante del sistema.
EQUILIBRANTE = - RESULTANTE
Un sistema de fuerzas concurrentes estará en equilibrio cuando el polígono de fuerzas esté
cerrado.
Momento de una Fuerza Respecto de un Punto:
Para que un sistema no concurrente esté en equilibrio no alcanza con que tenga resultante nula. Por
ejemplo, si el sistema es de dos fuerzas, éstas deben ser colineales, además de iguales y contrarias.
( ) ( )
Fx
Fy
arctg
FyFxF
FsenFy
cosFFx
22
=α
+=
α=
α=
F1
R
F2
F3
R1
F1
F2
F3
R
F1
F2
F3
R
F4 F =4 -R
A
d
F
M = F dF,A
.
Momento de F con respecto a A
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
11
Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas
respecto de cualquier punto debe ser cero.
Signo del Momento: Debe atribuirse convencionalmente un signo para el cálculo del momento de una
fuerza. Podemos adoptar una convención, por ejemplo, si la fuerza produce una tendencia a rotar
alrededor del punto en sentido horario lo consideraremos positivo (+), y negativo (-) en caso contrario.
Los signos de las proyecciones de las fuerzas se consideran positivos cuando coinciden con el
sentido positivo del eje de proyección.
Representación Gráfica del Momento de una Fuerza:
Representación Vectorial del Momento:
El momento respecto de un punto A se puede representar
mediante un vector, cuya dirección es perpendicular al plano que
definen el vector fuerza y el punto A, su módulo es el valor del
momento (F.d) y su sentido está dado por la “regla del tornillo”.
Teorema de Varignon:
El momento producido por la fuerza resultante es igual a la suma de los momentos de las
fuerzas componentes.
Pares de Fuerzas: Un par de fuerzas esta conformado por dos fuerzas coplanares iguales y contrarias y
no colineales.
A d
F2
F1 0012 ≠⋅+⋅=∑ FdFM A ∑ =⋅−⋅= 0dFdFM 21A
A d
F2
F1
A
d
F
2
M
2
dF
Area =
⋅
=
A
d
F
Area = M/2
A
d F
M
M = F d.
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
12
Momento de un Par Respecto de Un Punto:
Σ MA = F⋅ (a+d) – Fa
Σ MA = Fa + Fd – Fa
Σ MA = Fd
El momento de un par es independiente del centro o punto donde se toma el momento.
Condiciones Analíticas Necesarias y Suficientes Para el Equilibrio.
Para que un sistema de fuerzas coplanares esté en equilibrio es necesario y suficiente que:
1- Las proyecciones sobre dos ejes no paralelos tengan suma cero y que además la suma de los
momentos de todas las fuerzas respecto de un punto cualquiera también sea cero.
Σ MA = 0
Σ FX = 0 Condición: X no paralelo a Y.
Σ FY = 0
2- O la suma de las proyecciones en un eje sea cero y la suma de momentos respecto de dos puntos
también sea cero, siempre que la recta que determinan ambos puntos no sea paralela al eje.
Σ FX = 0
Σ MA = 0 Condición: Recta AB no paralela a X.
Σ MB = 0
3- O la suma de los momentos respecto de tres puntos no alineados debe ser cero.
Σ MA = 0
Σ MB = 0 Condición: A, B y C no alineados.
Σ MC = 0
A
d
F
F
a
F3
A
F2
F1
X
Y
F3
A
F2
F1
X
Y
B
F3
A
F2
F1
X
Y
B
C
La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
13
F1
F2
F
F1
F3
F
F2
Estáticamente, sobre un cuerpo rígido sometido a un sistema de fuerzas coplanares, no puede
haber más de tres incógnitas. En estas condiciones si planteamos una cuarta ecuación, ésta sería una
combinación lineal de las tres anteriores.
De la misma forma, para sistemas concurrentes planos no se pueden tener más de dos
incógnitas.
Σ FX = 0
Σ FY = 0 Incógnitas: F1 y F2
Σ FX = 0
Σ FY = 0
Incógnitas: F1 , F2 y F3.
(infinitas soluciones)
Si existen tres incógnitas, como en este caso, el problema es estáticamente indeterminado
(hiperestático).
F
1 2
F
1 2
3

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13 fuerzas - u1.2

  • 1. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 7 UNIDADES 1.2 Y 1.3 LA ESTÁTICA APLICADA EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL Estática Aplicada. Vectores: - Libres: Tienen dirección, sentido y magnitud. - Axiles: Tienen dirección, sentido, magnitud y recta de acción. - Fijos: Tienen dirección, sentido, magnitud, recta de acción y punto de aplicación. Las fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido se pueden representar con vectores axiles, mientras que a las fuerzas actuantes sobre un cuerpo deformable se las puede representar con vectores fijos. F r 'F r ''F r '''F r libres'FF →= rr '''FF fijos''FF rr rr = →≠ ''FF axiles'FF rr rr = →≠ Los efectos de F y F’ son idénticos. F F’ F F’ Forma original Deformada Los efectos de F y F’ son distintos. RÍGIDO
  • 2. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 8 F1 F2 F3 F1 F2 Sistemas de Fuerzas: Conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo Sistemas de fuerzas coplanares: Todas las fuerzas están contenidas en un mismo plano Sistema de Fuerzas espaciales: Las fuerzas están en distintos planos. Sistema de fuerzas concurrentes: Cuando todas las fuerzas del sistema pasan por el mismo punto, pudiendo ser coplanares o espaciales. Dos vectores axiles y coplanares son siempre concurrentes. (Si son paralelos se considera que concurren a un punto impropio). Unidad de Medida de una Fuerza. - Sistema Técnico: .Kg[F] = o t = 1000 Kg . Kilogramo fuerza Tonelada fuerza. - Sistema Internacional. (o Sistema Legal Argentino) . s m KgN[F] 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 Newton ≅ 100 g. 1 KN = 103 N Principios de la Estática. Primer Principio. Regla del Paralelogramo: La acción de un sistema de fuerzas de dos vectores concurrentes puede ser reemplazada por una única fuerza cuyo vector está dado por la diagonal del paralelogramo construido a partir de hacer coincidir los orígenes de ambos vectores. A esta fuerza R se la denomina “Resultante del Sistema”. F1 F2 F3 F4 F5
  • 3. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 9 F2 F1 R F2 F1 F1 F2 R F2 F1 R x F1 F2 R F1x F2x Rx F1x Rx = F1x +F2x Paralelogramo Si los vectores son axiles, se puede obtener la resultante de dos fuerzas, trasladando éstas hasta la intersección de ambas rectas de acción. Segundo Principio. De Acción y Reacción: A toda acción corresponde una reacción de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario. Las fuerzas de acción y reacción actúan cada una en un sistema distinto. Tercer Principio. De Rigidez. La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazada por cualquier otro sistema estáticamente equivalente, es decir, con la misma resultante, produciendo el mismo efecto. Proyección de una Fuerza Sobre un Eje. X""enFedProyecciónxF = Fx = F cos α Módulo de F F2F1 F2F1 =Rígido Fx x F Triángulo de fuerzas
  • 4. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 10 Fx FyFy Fx F X Y Una fuerza axil en el plano queda definida a partir de sus proyecciones sobre dos ejes siempre que éstos no sean paralelos. Polígono de Fuerzas. Sistema en Equilibrio: Decimos que un sistema de fuerzas concurrentes está en equilibrio cuando su resultante es nula. Si a un sistema de resultante R le agregamos una nueva fuerza igual y contraria a R, el sistema quedará en equilibrio. Esta nueva fuerza se llama equilibrante del sistema. EQUILIBRANTE = - RESULTANTE Un sistema de fuerzas concurrentes estará en equilibrio cuando el polígono de fuerzas esté cerrado. Momento de una Fuerza Respecto de un Punto: Para que un sistema no concurrente esté en equilibrio no alcanza con que tenga resultante nula. Por ejemplo, si el sistema es de dos fuerzas, éstas deben ser colineales, además de iguales y contrarias. ( ) ( ) Fx Fy arctg FyFxF FsenFy cosFFx 22 =α += α= α= F1 R F2 F3 R1 F1 F2 F3 R F1 F2 F3 R F4 F =4 -R A d F M = F dF,A . Momento de F con respecto a A
  • 5. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 11 Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto de cualquier punto debe ser cero. Signo del Momento: Debe atribuirse convencionalmente un signo para el cálculo del momento de una fuerza. Podemos adoptar una convención, por ejemplo, si la fuerza produce una tendencia a rotar alrededor del punto en sentido horario lo consideraremos positivo (+), y negativo (-) en caso contrario. Los signos de las proyecciones de las fuerzas se consideran positivos cuando coinciden con el sentido positivo del eje de proyección. Representación Gráfica del Momento de una Fuerza: Representación Vectorial del Momento: El momento respecto de un punto A se puede representar mediante un vector, cuya dirección es perpendicular al plano que definen el vector fuerza y el punto A, su módulo es el valor del momento (F.d) y su sentido está dado por la “regla del tornillo”. Teorema de Varignon: El momento producido por la fuerza resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes. Pares de Fuerzas: Un par de fuerzas esta conformado por dos fuerzas coplanares iguales y contrarias y no colineales. A d F2 F1 0012 ≠⋅+⋅=∑ FdFM A ∑ =⋅−⋅= 0dFdFM 21A A d F2 F1 A d F 2 M 2 dF Area = ⋅ = A d F Area = M/2 A d F M M = F d.
  • 6. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 12 Momento de un Par Respecto de Un Punto: Σ MA = F⋅ (a+d) – Fa Σ MA = Fa + Fd – Fa Σ MA = Fd El momento de un par es independiente del centro o punto donde se toma el momento. Condiciones Analíticas Necesarias y Suficientes Para el Equilibrio. Para que un sistema de fuerzas coplanares esté en equilibrio es necesario y suficiente que: 1- Las proyecciones sobre dos ejes no paralelos tengan suma cero y que además la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto de un punto cualquiera también sea cero. Σ MA = 0 Σ FX = 0 Condición: X no paralelo a Y. Σ FY = 0 2- O la suma de las proyecciones en un eje sea cero y la suma de momentos respecto de dos puntos también sea cero, siempre que la recta que determinan ambos puntos no sea paralela al eje. Σ FX = 0 Σ MA = 0 Condición: Recta AB no paralela a X. Σ MB = 0 3- O la suma de los momentos respecto de tres puntos no alineados debe ser cero. Σ MA = 0 Σ MB = 0 Condición: A, B y C no alineados. Σ MC = 0 A d F F a F3 A F2 F1 X Y F3 A F2 F1 X Y B F3 A F2 F1 X Y B C
  • 7. La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 13 F1 F2 F F1 F3 F F2 Estáticamente, sobre un cuerpo rígido sometido a un sistema de fuerzas coplanares, no puede haber más de tres incógnitas. En estas condiciones si planteamos una cuarta ecuación, ésta sería una combinación lineal de las tres anteriores. De la misma forma, para sistemas concurrentes planos no se pueden tener más de dos incógnitas. Σ FX = 0 Σ FY = 0 Incógnitas: F1 y F2 Σ FX = 0 Σ FY = 0 Incógnitas: F1 , F2 y F3. (infinitas soluciones) Si existen tres incógnitas, como en este caso, el problema es estáticamente indeterminado (hiperestático). F 1 2 F 1 2 3